蘇教版五年級數(shù)學(xué)上冊《釘子板上的多邊形》教學(xué)設(shè)計（公開課；定稿）

PAGEPAGE9釘子板上的多邊形教學(xué)內(nèi)容：蘇教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》五年級上冊第108-109頁探索規(guī)律“釘子板上的多邊形”。教學(xué)目標：1．探索并初步發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形內(nèi)有1、2、3枚以以上釘子的多邊形的面積與多邊形邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系，激發(fā)進一步探索釘子板上的多邊形面積與釘子數(shù)關(guān)系的興趣。2．使學(xué)生經(jīng)歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關(guān)釘子數(shù)間的關(guān)系的過程，體會規(guī)律的復(fù)雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關(guān)系的簡潔性，發(fā)展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。3．通過小組合作，類比遷移探索問題的方法，嘗試探索研究同類問題，一定基礎(chǔ)上獲得規(guī)律成功的體驗，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心；感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇妙，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。教學(xué)重點：探索釘子板上的多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)難點：在有限的課堂時間內(nèi)進行類比推導(dǎo)，綜合歸納出多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，得出一般規(guī)律。教具準備：板貼、多媒體課件。學(xué)具準備:作業(yè)紙等教學(xué)過程：課前交流對話：（預(yù)設(shè)3分鐘）主要圍繞“會觀察、敢猜想”這兩個關(guān)鍵詞。你知道今天將要學(xué)習(xí)什么知識嗎？（在學(xué)生回答后點擊課件出示課題）你是怎么知道的？預(yù)設(shè)：有釘子板和點子圖，還有多邊形釘子板和點子圖都是我們數(shù)學(xué)中常見的工具，它們每相鄰的兩個點之際的距離都是1厘米,也就是每一個小正方形的面積是1平方厘米?？磥碓蹅儼嗌朴谟^察，敢于猜想的同學(xué)真不少?。ù虐宸謩e貼出善于觀察、敢于猜想），這兩點是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，很優(yōu)秀的品質(zhì)。老師希望這節(jié)課中能看到更多的同學(xué)具有這種品質(zhì)！4、前段時間我們學(xué)習(xí)過了很多平面圖形，你會算哪些圖形的面積?學(xué)生：三角形面積=底×高÷2平行四邊形面積=底×高梯形面積=（上底+下底）×高÷2那對于一些不能直接用公式算面積的組合圖形，你是怎么解決的？學(xué)生：切割，添補看來同學(xué)們學(xué)的都不錯，那就下來我們開始上課！一、激趣生疑，直觀感知（預(yù)設(shè)：2分鐘）1.復(fù)習(xí)學(xué)過的平面圖形的面積，引出一道稍難的問題，埋下伏筆，引出課題。（1）談話引入：我們學(xué)過好多平面圖形，老師先要考考你，看誰能在最短的時間內(nèi)答出它的面積是多少。（2）看來這兩個題目難不倒大家！老師再出一道?。c擊出示），問：怎么沒有剛才那么迅速呢？你在想什么？你們都是這么想的嗎？預(yù)設(shè)：學(xué)生會說出關(guān)于“分割”的字眼。（3）老師沒用這個方法，很快就算出了它的面積是2.5平方厘米。你們想學(xué)習(xí)這個方法嗎？告訴你吧，解決這個難題的奧妙就藏在這個小小的釘子板中。（磁板貼出課題：釘子板上的多邊形）（4）那釘子板上的多邊形面積會與這些釘子有什么關(guān)系呢？二、學(xué)習(xí)新課，建構(gòu)知識（預(yù)設(shè)33分鐘）1、探究多邊形內(nèi)有1枚釘子的規(guī)律。（8分鐘）（1）個例發(fā)現(xiàn)，形成猜想。（1）讓我們一起先來觀察這幾個圖形。觀察1號圖形，面積是多少呢？誰會算？2號圖形呢？3號圖形呢？你是怎么算的？4號圖形呢？（2）同學(xué)們利用已有的知識，很快就算出了這些多邊形的面積，現(xiàn)在，請你來觀察這四個釘子板的多邊形，它們有什么相同的地方呢？預(yù)設(shè)：多邊形的內(nèi)部只有1枚釘子（3）同學(xué)們觀察地非常仔細，那這些多邊形，除了內(nèi)部有釘子，還有哪里也有釘子？（邊上），是的，那讓我們一起來數(shù)一數(shù)這四個多邊形邊上有多少枚釘子?。?）表格完整出示后，提問：請你仔細觀察這張表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？預(yù)設(shè):學(xué)生回答出“多邊形面積乘以2等于邊上釘子的數(shù)量”；教師就追問：還可以怎么說呢？（多邊形邊上的釘子數(shù)的一半，等于多邊形面積的平方厘米數(shù)）師：用數(shù)量關(guān)系式表達出來就是多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2（板書）我們在表示面積時一般用s表示，多邊形邊上的釘子數(shù)用n表示，（在對應(yīng)的位置板書“s”、和“n”）那么這個規(guī)律可以寫成s=n÷2。評價：同學(xué)們，你們太了不起了，通過觀察，異中求同，找到了規(guī)律?。?）舉例驗證，再生疑惑。（1）過度：不過我們發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律，到目前為止只能算是一個“猜測”（板貼），只有經(jīng)得住“驗證”（板貼），才能稱作規(guī)律。下面我們找?guī)锥噙呅悟炞C一下，好嗎？（2）課件出示三個圖形讓我們一起來數(shù)一數(shù)邊上的釘子數(shù)是多少枚?。╪=8）第二個圖形請你們自己來數(shù)一數(shù)（n=10）第三個圖形呢？（n=10）（3）那根據(jù)我們的發(fā)現(xiàn)，請你來說一說，面積分別是多少呢？（4）那接下來，讓我們一起來驗證一下第一個圖形誰來算一下？符合我們猜想嗎？完全符合！第二個圖形誰想來算一下？符合我們猜想嗎？完全符合！第三個圖形誰想來算一下？符合我們猜想嗎？完全符合?。?）（出示長方形）這個圖形呢？邊上有多少枚釘子？數(shù)一數(shù)（10枚）那你覺得它的面積是多少？（有5也有6）誰來算一下？對啊，長方形面積是6，那還符合我們的發(fā)現(xiàn)嗎？（不符合）（3）歸納概括，形成結(jié)論。師：那為什么這三個圖形符合這條規(guī)律，而這個圖形又不適用于這條規(guī)律了呢？預(yù)設(shè)：內(nèi)部釘子數(shù)都是“1”師：看樣子多邊形的面積不僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和什么有關(guān)系？（內(nèi)部釘子數(shù)）因而我們的這個發(fā)現(xiàn)，必須要加上一個條件，才能正確！附加什么條件呢？（在學(xué)生表述后，貼上板貼：“內(nèi)部釘子數(shù)1枚”小結(jié)回顧：回顧剛才我們在探索規(guī)律的過程，我們先是仔細觀察，然后異中求同，提出猜想，最后通過驗證，終于找到了這樣的一條規(guī)律：（指著板書）提示學(xué)生齊讀，當多邊形內(nèi)部釘子數(shù)1枚時，“多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2”?！驹O(shè)計意圖：首先出示例題中的四個圖形，讓學(xué)生先利用已有的知識算出多邊形的面積，接著讓學(xué)生觀察這四個多邊形的共同點，逐步開展探索活動，在這里滲透了我們是如何來驗證猜想是否正確是需要通過計算來說明的。最后出現(xiàn)了一個內(nèi)部是2枚釘子的長方形，學(xué)生數(shù)出邊上釘子數(shù)，再猜面積是多少，這時候?qū)W生會有分歧，有面積是5有6，這樣既讓學(xué)生觀察出剛才的發(fā)現(xiàn)需要加一個前提條件：內(nèi)部釘子數(shù)是1枚，也引出了要探究“內(nèi)部釘子數(shù)是2枚”的多邊形面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系?！?.探究多邊形內(nèi)有2枚釘子的情況。（預(yù)設(shè)10分鐘）過渡：老師有個疑問：（對著課件）這種內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，會不會也有類似的規(guī)律呢？我們能繼續(xù)探究嗎？（能）讓我們來看一下如何探究，讓我們一起來讀一讀。要求：①每位同學(xué)在點子圖上畫一個內(nèi)部有2枚釘子的多邊形。②算一算多邊形的面積。③數(shù)一數(shù)，多邊形邊上有多少枚釘子。④將數(shù)據(jù)填入下表。接下來開始獨立探究吧！教師巡視，選取完成迅速的且具有典型性的5個同學(xué)的數(shù)據(jù)。交流：先來看第一位同學(xué)的數(shù)據(jù)，畫的圖形內(nèi)部是2枚釘子嗎？他算的對嗎？數(shù)一數(shù)邊上的釘子數(shù)，他表格填得正確嗎？（教師把數(shù)據(jù)填入記錄單）來檢查一下第二位同學(xué)，他畫的圖形，計算，以及表格對嗎？（教師把數(shù)據(jù)填入記錄單）來檢查一下第三位同學(xué)，對嗎？（教師把數(shù)據(jù)填入記錄單）來檢查一下第四位同學(xué)，對嗎？（教師把數(shù)據(jù)填入記錄單）來檢查一下第五位同學(xué)，對嗎？（教師把數(shù)據(jù)填入記錄單）由于時間問題，老師就找了5個同學(xué)的數(shù)據(jù)，我們一起來觀察一下，當內(nèi)部釘子數(shù)都是2枚的情況，多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)存在什么關(guān)系？提醒：剛才內(nèi)部釘子數(shù)是1枚的時候，面積=邊上釘子數(shù)÷2，現(xiàn)在除以2和面積有什么關(guān)系呢？預(yù)設(shè)：內(nèi)部釘子數(shù)為2枚時，多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2+1（6）同學(xué)們看一下你們的數(shù)據(jù)，是否也存在這樣的規(guī)律呢？符合的同學(xué)請舉手！（7）看樣子我們?nèi)喽及l(fā)現(xiàn)了這一條規(guī)律，什么規(guī)律？預(yù)設(shè)：①內(nèi)部釘子數(shù)是2枚的時候，多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2+1追問：用字母表示就是S=n÷2+1②內(nèi)部釘子數(shù)是2枚的時候：S=n÷2+1追問：S呢？n呢？【設(shè)計意圖：這邊的探索我是放手讓學(xué)生進行操作的，由學(xué)生畫出內(nèi)部是2枚釘子的多邊形，接著計算面積，再數(shù)出邊上釘子數(shù)，完成表格。這一段的探索活動與前面一段基本相同，前面探索中的做法與經(jīng)驗會遷移過來。都是觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以，教材的安排比前面寬松，留給學(xué)生自主活動的空間比前面大。這一段的規(guī)律比前面復(fù)雜，發(fā)現(xiàn)和表達規(guī)律的難度也比前面大。】4.探究多邊形內(nèi)有3枚以及更多釘子的情況。（預(yù)設(shè)10分鐘）（1）推想多邊形內(nèi)部有3枚以及3枚以上釘子的規(guī)律。過度：（對著板書）你們太了不起來，如此迅速的從不同的多邊形中找到了兩條規(guī)律。觀察這兩條規(guī)律，想一想，如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子，你猜猜會有怎樣的變化？（學(xué)生表述后，課件演示“3”、“s=n÷2+2”）4枚呢？（課件演示“4”、“s=n÷2+3”）5枚呢？（課件演示“5”、“s=n÷2+4”）（2）出示驗證要求，完成探究活動（三）（1）過度：你們太棒了，特別善于觀察，敢于猜測！但是這些猜測現(xiàn)在要打上一個“？”，因為只有通過驗證，才能確定成立！時間關(guān)系，每位同學(xué)可以選擇其中的一條進行驗證。（2）活動前稍加指導(dǎo)：（出示課件）如果想驗證“內(nèi)部釘子數(shù)3枚”，這兒就填上3，這兒要填寫剛才相應(yīng)的推測！接下來進行驗證的時候?在點子圖上畫出內(nèi)部是3枚釘子的多邊形?數(shù)出多邊形邊上的釘子數(shù)，并利用猜想的規(guī)律算一算多邊形的面積是多少并填入下表。?算一算，驗證畫出的多邊形的面積。④比一比，兩次得出的結(jié)果，猜想成立嗎？最后可以得出你的結(jié)論。明白了嗎？活動開始吧！(3)學(xué)生活動，教師巡視。交流：誰研究的是內(nèi)部是3枚釘子的情況？你畫的圖形邊上是多少枚釘子？根據(jù)我們的猜想，誰來算一算面積應(yīng)該是多少？你算出來是嗎？那看來你驗證到了我們剛才的猜想是正確的！誰也研究的是內(nèi)部是3枚釘子的情況？你畫的圖形，邊上釘子數(shù)是多少枚？誰來幫他算一算，根據(jù)猜想，面積應(yīng)該是多少？你算出來是嗎？那看來你也驗證到了我們剛才的猜想是正確的！交流：誰研究的是內(nèi)部是4枚釘子的情況？你畫的圖形邊上是多少枚釘子？根據(jù)我們的猜想，誰來算一算面積應(yīng)該是多少？你算出來是嗎？那看來你驗證到了我們剛才的猜想是正確的！交流：誰研究的是內(nèi)部是5枚釘子的情況？你畫的圖形邊上是多少枚釘子？根據(jù)我們的猜想，誰來算一算面積應(yīng)該是多少？你算出來是嗎？那看來你驗證到了我們剛才的猜想是正確的！同學(xué)們看看你們手中的數(shù)據(jù)，你們驗證到猜想是正確的了嗎？（非常好）（4）總結(jié)成一般規(guī)律①經(jīng)過大家的努力，我們現(xiàn)在可以確定這些猜想都是成立的。同學(xué)們，內(nèi)部釘子數(shù)除了這些，還可以是多少？寫的完嗎？（出示省略號）說不完我們就可以用一個字母a來表示內(nèi)部的釘子數(shù)。②現(xiàn)在來觀察我們發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律，你有什么發(fā)現(xiàn)？把你的想法和同桌說一下。（說不出提示：這些規(guī)律有什么相同的地方，有什么不同的地方？預(yù)設(shè)：都有n÷2,但是后面加的數(shù)字不一樣？②追問：那加的數(shù)字是怎樣變化的？和誰有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系呢？是的：我們發(fā)現(xiàn)加的這個數(shù)字是內(nèi)部釘子數(shù)-1所以我們現(xiàn)在可以知道了，多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2+內(nèi)部釘子數(shù)-1（板書：多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2+內(nèi)部釘子數(shù)-1）③那如果內(nèi)部釘子數(shù)是a枚，那加的數(shù)字是多少？（PPT演示a-1）所以如何用字母來表示我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？（板書：內(nèi)部是a枚，s=n÷2+a-1）④這里的a可以表示許多數(shù)。如果內(nèi)部釘子數(shù)是0枚呢，可以怎么寫？板書：內(nèi)部是0枚，s=n÷2-1(4)通過ppt演示充分感受規(guī)律的變化。接下來讓我們一起再來看一下我們發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律，當邊上釘子數(shù)不變（每次都將這個點往上挪一格，內(nèi)部釘子數(shù)都增加1，這樣面積每次也都是增加1.如果內(nèi)部沒有釘子的話，就是往下挪一格，面積就少1.所以我們發(fā)現(xiàn)了這樣一條規(guī)律：多邊形的面積=邊上釘子數(shù)÷2-1，用字母表示就是s=n÷2+a-1三、運用規(guī)律、回顧反思（預(yù)設(shè)4分鐘）1.簡介皮克定理我們今天發(fā)現(xiàn)的這條規(guī)律，實際上這和偉大的科學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的“皮克定理”是一致的：（課件展示）自己可以閱讀一下什么是皮克定理。2.接下來我們就要利用今天學(xué)習(xí)的規(guī)律，來解決這兩個多邊形的面積。請你獨立完成在學(xué)習(xí)單上！我們來交流一下?。ㄕ覍W(xué)生匯報）3.回顧反思：師：同學(xué)們謝謝你們的精彩合作！回顧我們探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，得出這個結(jié)論固然重要，但我覺得更重要的是整個過程中的體會，這堂課，我們一開始引出問題，通過四個圖形，進行大膽猜想，再進行驗證，發(fā)現(xiàn)一些問題后，再修正猜想，最后自主探索，發(fā)信了一般規(guī)律，在這個學(xué)習(xí)的過程中，你想說點什么嗎？四、課外拓展：推