考研數(shù)學D考研基礎(chǔ)班教案課件

會計學1考研數(shù)學D考研基礎(chǔ)班會計學1考研數(shù)學D考研基礎(chǔ)班定積分:二重積分:三重積分:第1頁/共48頁定積分:二重積分:三重積分:第1頁/共48頁顯然第2頁/共48頁顯然第2頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林公式及其應(yīng)用

主要內(nèi)容一、曲線積分的計算法（四）線積分的應(yīng)用第3頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L是分段光滑的，且有有限長度，函數(shù)z=f(x,y)在L上有界，在曲線L上依次插入分點及為L的兩個端點),把L分成n個小弧段記小弧段的長度為并在上任取一點如果極限存在，1.對弧長的曲線積分的概念及性質(zhì)第4頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧長的曲線積分，記作即積分變量積分弧段被積表達式弧長元素積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量也稱第一類曲線積分.第5頁/共48頁存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).(2)f(x,y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記為(3)若L分段光滑的則有(4)存在條件：當f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分存在.第6頁/共48頁注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：高在底L上的線積分.(7)推廣:函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分為特別地：聯(lián)想：第7頁/共48頁(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).即思考:

定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.回憶定積分：故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的.第8頁/共48頁（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).2.對坐標的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從點A到點B的一條分段光滑的有向曲線，函數(shù)在L上有界.沿L的方向依次取分點把L分成n個有向小弧段設(shè)并記為所有小弧段長度的最大值.在上任意取一點如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標x的曲線積分，記作第9頁/共48頁2.對坐標的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標

y記作的曲線積分，即其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，(1)

L稱為積分路徑.說明：(2)與第一類曲線積分記號的區(qū)別.可正可負.這里的第10頁/共48頁類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的功為：(4)特殊路徑情況x由若則記作第11頁/共48頁(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的（5）存在條件：當在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分存在.(6)推廣到空間有向曲線弧第12頁/共48頁（5）存在條件：當在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分（2）對坐標的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān).回憶定積分：故定積分是第二類曲線積分的特例.第13頁/共48頁（2）對坐標的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標的曲線積分與曲線的方第14頁/共48頁第14頁/共48頁例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，為L上（B）（C）（D）（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）,（A）則下列小于零的是（）從點M到點N的一段弧，B第15頁/共48頁例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分1.計算第一類曲線積分的基本方法----三代一定定義計算方法第16頁/共48頁（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：第17頁/共48頁對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：第17頁/共48頁例1.解:oayxA所以Ｂ第18頁/共48頁例1.解:oayxA所以Ｂ第18頁/共48頁解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意到：Ｌ關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù).★計算第一類曲線積分的簡化方法：1.利用第一類曲線積分的幾何意義.2.利用第一類曲線積分的對稱性.3.利用第一類曲線積分的積分弧段的方程化簡被積函數(shù).第19頁/共48頁解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy第20頁/共48頁注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1O例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，這個過程一般是比較困難的，在特殊情況下可用特殊方法處理.要計算函數(shù)對弧長的第21頁/共48頁例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO第22頁/共48頁推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO第22頁

例5.

計算其中L為圓周提示:原式=說明:

1.若用參數(shù)方程計算,則2.若用參數(shù)方程：第23頁/共48頁例5.計算其中L為圓周提示:原式=說明:1.若用參2.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況：(1)曲線弧L的方程為：x自a到b,則(2)曲線弧L的方程為：y自

c到d,則(3)推廣則第24頁/共48頁2.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況對坐標的曲線積分的計算步驟：化為：第25頁/共48頁對坐標的曲線積分的計算步驟：化為：第25頁/共48頁比較直接法或參數(shù)方程法第26頁/共48頁比較直接法或參數(shù)方程法第26頁/共48頁例6.

計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解法2:化為對y的定積分，則從點的一段.第27頁/共48頁例6.計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上則于是0.0.這里故由格林公式設(shè)L圍成區(qū)域D，第28頁/共48頁例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上例8.解:第29頁/共48頁例8.解:第29頁/共48頁3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系

第30頁/共48頁3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系第30頁/共48頁（三）格林公式及其應(yīng)用

1.格林公式：(1)格林公式是牛頓—萊布尼茲公式的推廣，其中L是D的正向邊界曲線（有向性）.D是有界閉區(qū)域（封在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）.上的二重積分與區(qū)域邊界上的線積分的聯(lián)系.注意：(2)公式的記憶方法：溝通了區(qū)域(3)對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

閉性），第31頁/共48頁（三）格林公式及其應(yīng)用1.格林公式：(1)格林公式是牛頓(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——格林公式;(5)格林公式適用于平面曲線上的第二類線積分的計算.(6)如果L不是閉曲線或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D的個別點上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，格林公式不能直接使用，此時往往需添加輔助線，然后再作計算.第32頁/共48頁(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——2.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲線積分計算平面圖形的面積閉區(qū)域D的面積(3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(4)二元函數(shù)的全微分求積——格林公式;第33頁/共48頁2.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)在G內(nèi)存在u(x,y),使(3)在G內(nèi)，(4)閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題等價.說明：1.四個等價命題第34頁/共48頁與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原函數(shù)不唯一第35頁/共48頁2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原閉合非閉閉合非閉補充曲線后用格林公式或直接計算注意條件第36頁/共48頁閉合非閉閉合非閉補充曲線后用格林公式或直接計算注意條件第36例1.L為由點(a,0)到(0,0)的上半圓周解:L如圖，D添加輔助線：第37頁/共48頁例1.L為由點(a,0)到(0,0)的上半圓周解:L如圖，2.注意格林公式成立的條件.說明：有向性；連續(xù)性；封閉性.——格林公式;第38頁/共48頁2.注意格林公式成立的條件.說明：有向性；連續(xù)性；封閉性.—例2.的分段光滑的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向.xyoL解:記L所圍的閉區(qū)域為D，令由格林公式知，其中L為一無重點且不過原點第39頁/共48頁例2.的分段光滑的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向.xyoLyxo注意格林公式的條件:作位于D內(nèi)圓周其中l(wèi)的方向取逆時針方向.應(yīng)用格林公式,得即有第40頁/共48頁yxo注意格林公式的條件:作位于D內(nèi)圓周其中l(wèi)的方向取逆解:例3.計算為由點O(0,0)到點A(1,1)的曲線其中L因為則在平面上成立.第41頁/共48頁解:例3.計算為由點O(0,0)到點A(1,1)的曲線其中L選擇如圖所示的路徑選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標軸平行的新路徑（1）新路徑的起點與終點不變（2）新路徑第42頁/共48頁選擇如圖所示的路徑選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標軸平行例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出它的一個原函數(shù).解:這里則在整個xoy平面內(nèi)有：于是在整個xoy平面(它是一個單連通區(qū)域)內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，由公式線積分法第43頁/共48頁例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出它例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函另解:則所求的函數(shù)為：事實上：數(shù)的全微分，并求出它的一個原函數(shù).偏積分法觀察法第44頁/共48頁例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函另解:則所求的函數(shù)為（四）線積分的應(yīng)用

第45頁/共48頁（四）線積分的應(yīng)用第45頁/共48頁第46頁/共48頁第46頁/共48頁（1）變力沿曲線所作的功為：（2）變力沿曲線所作的功為：第47頁/共48頁（1）變力沿曲線所作的功為：（2）變力感謝您的觀看！第48頁/共48頁感謝您的觀看！第48頁/共48頁會計學50考研數(shù)學D考研基礎(chǔ)班會計學1考研數(shù)學D考研基礎(chǔ)班定積分:二重積分:三重積分:第1頁/共48頁定積分:二重積分:三重積分:第1頁/共48頁顯然第2頁/共48頁顯然第2頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林公式及其應(yīng)用

主要內(nèi)容一、曲線積分的計算法（四）線積分的應(yīng)用第3頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L是分段光滑的，且有有限長度，函數(shù)z=f(x,y)在L上有界，在曲線L上依次插入分點及為L的兩個端點),把L分成n個小弧段記小弧段的長度為并在上任取一點如果極限存在，1.對弧長的曲線積分的概念及性質(zhì)第4頁/共48頁（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧長的曲線積分，記作即積分變量積分弧段被積表達式弧長元素積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量也稱第一類曲線積分.第5頁/共48頁存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).(2)f(x,y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記為(3)若L分段光滑的則有(4)存在條件：當f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分存在.第6頁/共48頁注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：高在底L上的線積分.(7)推廣:函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分為特別地：聯(lián)想：第7頁/共48頁(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).即思考:

定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.回憶定積分：故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的.第8頁/共48頁（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).2.對坐標的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從點A到點B的一條分段光滑的有向曲線，函數(shù)在L上有界.沿L的方向依次取分點把L分成n個有向小弧段設(shè)并記為所有小弧段長度的最大值.在上任意取一點如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標x的曲線積分，記作第9頁/共48頁2.對坐標的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標

y記作的曲線積分，即其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，(1)

L稱為積分路徑.說明：(2)與第一類曲線積分記號的區(qū)別.可正可負.這里的第10頁/共48頁類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的功為：(4)特殊路徑情況x由若則記作第11頁/共48頁(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的（5）存在條件：當在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分存在.(6)推廣到空間有向曲線弧第12頁/共48頁（5）存在條件：當在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分（2）對坐標的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān).回憶定積分：故定積分是第二類曲線積分的特例.第13頁/共48頁（2）對坐標的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標的曲線積分與曲線的方第14頁/共48頁第14頁/共48頁例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，為L上（B）（C）（D）（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）,（A）則下列小于零的是（）從點M到點N的一段弧，B第15頁/共48頁例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分1.計算第一類曲線積分的基本方法----三代一定定義計算方法第16頁/共48頁（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：第17頁/共48頁對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：第17頁/共48頁例1.解:oayxA所以Ｂ第18頁/共48頁例1.解:oayxA所以Ｂ第18頁/共48頁解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意到：Ｌ關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù).★計算第一類曲線積分的簡化方法：1.利用第一類曲線積分的幾何意義.2.利用第一類曲線積分的對稱性.3.利用第一類曲線積分的積分弧段的方程化簡被積函數(shù).第19頁/共48頁解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy第20頁/共48頁注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1O例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，這個過程一般是比較困難的，在特殊情況下可用特殊方法處理.要計算函數(shù)對弧長的第21頁/共48頁例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO第22頁/共48頁推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO第22頁

例5.

計算其中L為圓周提示:原式=說明:

1.若用參數(shù)方程計算,則2.若用參數(shù)方程：第23頁/共48頁例5.計算其中L為圓周提示:原式=說明:1.若用參2.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況：(1)曲線弧L的方程為：x自a到b,則(2)曲線弧L的方程為：y自

c到d,則(3)推廣則第24頁/共48頁2.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況對坐標的曲線積分的計算步驟：化為：第25頁/共48頁對坐標的曲線積分的計算步驟：化為：第25頁/共48頁比較直接法或參數(shù)方程法第26頁/共48頁比較直接法或參數(shù)方程法第26頁/共48頁例6.

計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解法2:化為對y的定積分，則從點的一段.第27頁/共48頁例6.計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上則于是0.0.這里故由格林公式設(shè)L圍成區(qū)域D，第28頁/共48頁例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上例8.解:第29頁/共48頁例8.解:第29頁/共48頁3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系

第30頁/共48頁3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系第30頁/共48頁（三）格林公式及其應(yīng)用

1.格林公式：(1)格林公式是牛頓—萊布尼茲公式的推廣，其中L是D的正向邊界曲線（有向性）.D是有界閉區(qū)域（封在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）.上的二重積分與區(qū)域邊界上的線積分的聯(lián)系.注意：(2)公式的記憶方法：溝通了區(qū)域(3)對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

閉性），第31頁/共48頁（三）格林公式及其應(yīng)用1.格林公式：(1)格林公式是牛頓(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——格林公式;(5)格林公式適用于平面曲線上的第二類線積分的計算.(6)如果L不是閉曲線或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D的個別點上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，格林公式不能直接使用，此時往往需添加輔助線，然后再作計算.第32頁/共48頁(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——2.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲線積分計算平面圖形的面積閉區(qū)域D的面積(3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(4)二元函數(shù)的全微分求積——格林公式;第33頁/共48頁2.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)在G內(nèi)存在u(x,y),使(3)在G內(nèi)，(4)閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題等價.說明：1.四個等價命題第34頁/共48頁與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原函數(shù)不唯一第35頁/共48頁2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原閉合非閉閉合非閉補充曲線后用格林公式或直接計算注意條件第36頁/共48頁閉合非閉閉合非閉補充曲線后用格林公