最新-42應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分-課件

§4.2

應(yīng)用留數(shù)定理

計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分在自然科學(xué)中常常需要計(jì)算一些實(shí)積分，特別是計(jì)算一些在無(wú)窮區(qū)間上的積分。例如：光學(xué)問(wèn)題中需要計(jì)算菲涅爾積分；熱傳導(dǎo)問(wèn)題中需要計(jì)算；阻尼振動(dòng)問(wèn)題中需要計(jì)算積分等。我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中已經(jīng)知道這些實(shí)變函數(shù)的積分需要特殊的技巧才能計(jì)算，有的很難，甚至不能計(jì)算。原因在于被積函數(shù)往往不能用初等函數(shù)的有限形式表示，因而就不能用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算。§4.2應(yīng)用留數(shù)定理在自然科學(xué)中常常需要計(jì)算一些實(shí)積分，特1可是通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分(注意到當(dāng)積分路徑沿實(shí)軸時(shí)，z=x即對(duì)應(yīng)于實(shí)積分)，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分一般可采用如下步驟：(1)添加輔助曲線(xiàn)，使積分路徑構(gòu)成閉合曲線(xiàn)；(2)選擇一個(gè)在曲線(xiàn)內(nèi)除了一些孤立奇點(diǎn)外都解析的被積函數(shù)F(z)，使得滿(mǎn)足F(x)=f(x)，通常選用F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外；可是通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的2(3)計(jì)算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線(xiàn)內(nèi)的每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和；(4)計(jì)算輔助曲線(xiàn)上函數(shù)F(z)的積分值，通常選擇輔助線(xiàn)使得積分簡(jiǎn)單易求，甚至直接為零。設(shè)法將實(shí)積分與復(fù)變函數(shù)回路積分相聯(lián)系?；舅枷耄?1)補(bǔ)上一段l2，使得l2上的積分容易計(jì)算；(3)計(jì)算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線(xiàn)內(nèi)的每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，3(2)自變數(shù)變換，把l1變成另一復(fù)平面上的回路。類(lèi)型一：條件：

①被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式；

②區(qū)間是[0，2π]

變數(shù)代換令z=eix，x∈

[0，2π]，作變換(2)自變數(shù)變換，把l1變成4令令5由留數(shù)定理得：zk為f(z)在單位圓內(nèi)的奇點(diǎn)例1：計(jì)算該積分在力學(xué)和量子力學(xué)中很重要由留數(shù)定理得：6例2：計(jì)算

解：令z=eix，則

f(z)有兩個(gè)2階極點(diǎn)，

其中在|z|=1內(nèi)，則z1處的留數(shù)為例2：計(jì)算7例3：計(jì)算

解：令z=eix，則

在|z|=1內(nèi)，例3：計(jì)算8

，以z=ε為一階極點(diǎn)例4：求的值解：令z=eiθ，則，以z=ε為一階極點(diǎn)9被積函數(shù)

在|z|=1內(nèi)只有單極點(diǎn)

，故類(lèi)型二：(反常積分)條件：

①區(qū)間(-∞，∞)；

②f(z)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面上被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有單極10除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；③當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上→∞時(shí)，

zf(z)一致地→0若，和為互質(zhì)多項(xiàng)式，上述條件意味著無(wú)實(shí)的零點(diǎn)，的次數(shù)至少比高兩階。所求積分通常理解為下列極限：除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；11若上述極限存在，這一極限便稱(chēng)為

的值。而當(dāng)R1=R2→∞時(shí)極限存在的話(huà)，該極限稱(chēng)為積分的主值，記為：

P

上下限相等并同時(shí)→∞本類(lèi)型積分計(jì)算的是積分主值，如何計(jì)算？作如圖所示半圓形回路l若上述極限存在，這一極限便稱(chēng)為的值。而當(dāng)R112只需證明只需證明13例4：計(jì)算

解：=1，

=1+x2，在實(shí)軸上無(wú)零點(diǎn)，而，具有單極點(diǎn)±i，+i在上半平面，則例4：計(jì)算14例5：計(jì)算，（n為正整數(shù)）

解：∵是偶函數(shù)

而在上半平面具有n階極點(diǎn)+i，則例5：計(jì)算，（n為正整數(shù)）15最新-42應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分-課件16例6：計(jì)算

解：∵f(x)是偶函數(shù)

令z4+a4=0，則z4=-a4，即也就是說(shuō)有4個(gè)單極點(diǎn)，其中，和在上半平面例6：計(jì)算17最新-42應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分-課件18例7：計(jì)算,(a>0,b>0)的值。

解：∵的分母多項(xiàng)式的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次，它在上半平面有z1=ai和z2=bi兩個(gè)單極點(diǎn)所以例7：計(jì)算,(a>19例8：計(jì)算的值。

解：∵為偶函數(shù)，且分母多項(xiàng)式的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次，它在上半平面有和

兩個(gè)單極點(diǎn)，所以例8：計(jì)算的值。20類(lèi)型三：條件：

①F(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)，積分

區(qū)間是[0，∞]；

②F(x)，G(x)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；③當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上→∞時(shí)，F(xiàn)(x)和G(x)一致地→0。類(lèi)型三：21要計(jì)算右邊的積分，需要用到約當(dāng)引理。約當(dāng)引理如果m為正數(shù)，CR是以原點(diǎn)為圓心而位于上半平面的半圓周，又設(shè)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上→∞時(shí)，F(xiàn)(z)一致地→0，則證明：要計(jì)算右邊的積分，需要用到約當(dāng)引理。22當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上→∞時(shí)，F(xiàn)(z)一致地→0，所以max|F(z)|→0，從而只需證明

即是有界的。在范圍內(nèi)，有，當(dāng)R→∞時(shí)，上式→有限值，則約當(dāng)引理成立。如果m為負(fù)數(shù)，則約當(dāng)引理為C'R是CR對(duì)于實(shí)軸的映像。當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上→∞時(shí)，F(xiàn)(z)一致地→0，所以max23以上兩式均已化為類(lèi)型二，其中條件3已放寬，由約當(dāng)引理保證，所以例：計(jì)算(a>0)的值。解：有兩個(gè)單極點(diǎn)±ai，其中ai在上半平面，則以上兩式均已化為類(lèi)型二，其中條件3已放寬，由約當(dāng)引理保證，所24特殊情形：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情形條件：①f(x)在實(shí)軸上有有限個(gè)單極點(diǎn)；

②滿(mǎn)足類(lèi)型二的其它條件；結(jié)果：

的求和范圍是上半平面

的求和范圍是在實(shí)軸上特殊情形：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情形25例8：計(jì)算(m>0,a<0)的值。解：且例8：計(jì)算(m>0,a<0)的值。26而作業(yè)：P63-64：1－1，62－2、63－3、5而作業(yè)：P63-64：1－1，627§4.2

應(yīng)用留數(shù)定理

計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分在自然科學(xué)中常常需要計(jì)算一些實(shí)積分，特別是計(jì)算一些在無(wú)窮區(qū)間上的積分。例如：光學(xué)問(wèn)題中需要計(jì)算菲涅爾積分；熱傳導(dǎo)問(wèn)題中需要計(jì)算；阻尼振動(dòng)問(wèn)題中需要計(jì)算積分等。我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中已經(jīng)知道這些實(shí)變函數(shù)的積分需要特殊的技巧才能計(jì)算，有的很難，甚至不能計(jì)算。原因在于被積函數(shù)往往不能用初等函數(shù)的有限形式表示，因而就不能用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算?！?.2應(yīng)用留數(shù)定理在自然科學(xué)中常常需要計(jì)算一些實(shí)積分，特28可是通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分(注意到當(dāng)積分路徑沿實(shí)軸時(shí)，z=x即對(duì)應(yīng)于實(shí)積分)，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分一般可采用如下步驟：(1)添加輔助曲線(xiàn)，使積分路徑構(gòu)成閉合曲線(xiàn)；(2)選擇一個(gè)在曲線(xiàn)內(nèi)除了一些孤立奇點(diǎn)外都解析的被積函數(shù)F(z)，使得滿(mǎn)足F(x)=f(x)，通常選用F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外；可是通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的29(3)計(jì)算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線(xiàn)內(nèi)的每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和；(4)計(jì)算輔助曲線(xiàn)上函數(shù)F(z)的積分值，通常選擇輔助線(xiàn)使得積分簡(jiǎn)單易求，甚至直接為零。設(shè)法將實(shí)積分與復(fù)變函數(shù)回路積分相聯(lián)系?；舅枷耄?1)補(bǔ)上一段l2，使得l2上的積分容易計(jì)算；(3)計(jì)算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線(xiàn)內(nèi)的每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，30(2)自變數(shù)變換，把l1變成另一復(fù)平面上的回路。類(lèi)型一：條件：

①被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式；

②區(qū)間是[0，2π]

變數(shù)代換令z=eix，x∈

[0，2π]，作變換(2)自變數(shù)變換，把l1變成31令令32由留數(shù)定理得：zk為f(z)在單位圓內(nèi)的奇點(diǎn)例1：計(jì)算該積分在力學(xué)和量子力學(xué)中很重要由留數(shù)定理得：33例2：計(jì)算

解：令z=eix，則

f(z)有兩個(gè)2階極點(diǎn)，

其中在|z|=1內(nèi)，則z1處的留數(shù)為例2：計(jì)算34例3：計(jì)算

解：令z=eix，則

在|z|=1內(nèi)，例3：計(jì)算35

，以z=ε為一階極點(diǎn)例4：求的值解：令z=eiθ，則，以z=ε為一階極點(diǎn)36被積函數(shù)

在|z|=1內(nèi)只有單極點(diǎn)

，故類(lèi)型二：(反常積分)條件：

①區(qū)間(-∞，∞)；

②f(z)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面上被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有單極37除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；③當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上→∞時(shí)，

zf(z)一致地→0若，和為互質(zhì)多項(xiàng)式，上述條件意味著無(wú)實(shí)的零點(diǎn)，的次數(shù)至少比高兩階。所求積分通常理解為下列極限：除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；38若上述極限存在，這一極限便稱(chēng)為

的值。而當(dāng)R1=R2→∞時(shí)極限存在的話(huà)，該極限稱(chēng)為積分的主值，記為：

P

上下限相等并同時(shí)→∞本類(lèi)型積分計(jì)算的是積分主值，如何計(jì)算？作如圖所示半圓形回路l若上述極限存在，這一極限便稱(chēng)為的值。而當(dāng)R139只需證明只需證明40例4：計(jì)算

解：=1，

=1+x2，在實(shí)軸上無(wú)零點(diǎn)，而，具有單極點(diǎn)±i，+i在上半平面，則例4：計(jì)算41例5：計(jì)算，（n為正整數(shù)）

解：∵是偶函數(shù)

而在上半平面具有n階極點(diǎn)+i，則例5：計(jì)算，（n為正整數(shù)）42最新-42應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分-課件43例6：計(jì)算

解：∵f(x)是偶函數(shù)

令z4+a4=0，則z4=-a4，即也就是說(shuō)有4個(gè)單極點(diǎn)，其中，和在上半平面例6：計(jì)算44最新-42應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分-課件45例7：計(jì)算,(a>0,b>0)的值。

解：∵的分母多項(xiàng)式的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次，它在上半平面有z1=ai和z2=bi兩個(gè)單極點(diǎn)所以例7：計(jì)算,(a>46例8：計(jì)算的值。

解：∵為偶函數(shù)，且分母多項(xiàng)式的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次，它在上半平面有和

兩個(gè)單極點(diǎn)，所以例8：計(jì)算的值。47類(lèi)型三：條件：

①F(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)，積分

區(qū)間是[0，∞]；

②F(x)，G(x)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；③當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上→∞時(shí)，F(xiàn)(x)和G(x)一致地→0。類(lèi)型三：48要計(jì)算右邊的積分，需要用到約當(dāng)引理。約當(dāng)引理如果m為正數(shù)，CR是以原點(diǎn)為圓心而位于上半平面的半圓周，又設(shè)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上→∞時(shí)，F(xiàn)(z)一致地→0，則證明：要計(jì)算右邊的積