單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義課件

4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的定義都昌三中高一數(shù)學(xué)組都昌三中高一數(shù)學(xué)組1問題引航

1.單位圓中是如何定義正、余弦函數(shù)的？正、余弦函數(shù)的定義域是什么？2.正、余弦函數(shù)在各個象限的符號如何確定？3.任意角的三角函數(shù)的定義是什么？問題1.單位圓中是如何定義正、余弦函數(shù)的？正、余弦函數(shù)的定義2銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：對邊鄰邊斜邊銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：對邊鄰邊斜邊3

以原點為O圓心，以單位長度為半徑的圓叫做單位圓．x(1,0)OP(u,v)αyMx當點P(u,v)就是的終邊與單位圓的交點時,銳角三角函數(shù)會有什么結(jié)果？

下面我們在直角坐標系中，利用單位圓來進一步研究銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以原點為O圓心，以單位長度為半徑的圓叫做單位圓．x(4任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：xyOP(u,v)αA(1,0)（1）v叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=v；（2）u叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=u如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(u,v)，那么：任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：xyOP(u,v)αA(1,5三角函數(shù)都是以角為自變量,以單位圓上的點的坐標(比值)為函數(shù)值的函數(shù).角(弧度數(shù))實數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)一一對應(yīng)

定義域

函數(shù)三角函數(shù)角(弧度數(shù))61.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)vu全體實數(shù)全體實數(shù)1.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)vu全體實數(shù)全體實數(shù)72.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號方法規(guī)律：正弦上正下負，余弦右正左負。2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號方法規(guī)律：正弦上正下83.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)(1)前提：設(shè)角α的頂點是坐標系的原點，始邊與x軸的非負半軸重合，角α終邊上任一點Q(x,y).(2)結(jié)論：OQ的長度為且sinα=___，cosα=___.3.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)91.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)sinα,cosα中可以將“α”與“sin”，“cos”分開.()(2)同一個三角函數(shù)值能找到無數(shù)個角與之對應(yīng).()(3)角α終邊上有一點P(1，1)，故cosα=1.()【解析】(1)錯誤.符號sinα,cosα是一個整體，不能分開.(2)正確.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(3)錯誤.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=×√×1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)【解析】(1)錯102.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知角α終邊經(jīng)過點則角α的最小正值是______.(2)角α的終邊經(jīng)過點P(m,4)，且cosα=則m=_______.(3)角α滿足sinα>0,cosα<0,則α在第______象限.2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)11【解析】(1)所以α的最小正值為答案：(2)r=因為cosα=解得m=3(舍去)，m=-3.

答案：-3(3)當sinα>0時,α在第一、二象限及y軸正半軸，當cosα<0時，α在第二、三象限及x軸負半軸，故sinα>0,cosα<0時，α在第二象限.

答案：二

【解析】(1)(3)當sinα>0時,α在第一、二象限及y12【即時練】當角α=0時，sinα=______；若角α=-3，則sinα的符號為______(填“正”或“負”).【解析】當角α=0時，sinα=0；若角α=-3，則角α是第三象限角，所以sinα＜0.答案：0負【即時練】13

【題型示范】類型一任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)【典例1】(1)(2014·石家莊高一檢測)已知角α與單位圓的一個交點坐標是則cosα等于()(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－2,－4)，求角α的正、余弦函數(shù)值.【題型示范】14【自主解答】(1)選D.因為所以故cosα=(2)因為點P(－2,－4)在角α的終邊上，故u1=－2，v1=－4，可知r=

OP

=所以sinα=cosα=【自主解答】(1)選D.因為所以15【變式訓(xùn)練】已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，則cosα的值是()【解析】選C.角α的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，故由三角函數(shù)的定義知故選C．【變式訓(xùn)練】已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，則cosα16【考題鏈接】(2013·西安高一檢測)已知角α為第二象限的角.P(a,4)為α終邊上一點，且sinα=則sinα+cosα的值為____.【解析】|OP|=r=

由sinα=得所以a=±3.

又α為第二象限的角,所以a=-3,所以cosα=所以sinα+cosα=15【考題鏈接】(2013·西安高一檢測)已知角α為第二象限的角17類型二三角函數(shù)值的符號的應(yīng)用【典例2】(1)(已知角α是第二象限角，則點P(sinα,cosα)在第__

象限.(2)確定下列各式的符號.

①cos200°.

②sin160°+cos(-40°).

③sin210°·cos260°.【自主解答】(1)因為角α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以點P的坐標符號是(+,－)，所以點P在第四象限.(2)①200°為第三象限的角，所以cos200°＜0.②160°為第二象限的角，所以sin160°＞0.-40°為第四象限的角，所以cos(-40°)＞0,所以sin160°+cos(-40°)＞0.

③210°為第三象限的角，sin210°＜0,260°為第三象限的角，所以cos260°＜0,所以sin210°·cos260°＞0.四類型二三角函數(shù)值的符號的應(yīng)用【自主解答】(1)因為角α是18【方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律【方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律19【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號.(1)sin2014°.

(2)

(3)sin4·cos4.【解析】(1)2014°=360°×5+214°,所以2014°為第三象限的角,所以sin2014°＜0.(2)為第四象限的角,所以cos＞0.(3)4∈

所以4rad為第三象限的角.所以cos4＜0，sin4＜0.

所以sin4·cos4＞0.【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號.【解析】(1)2014°=20【考題鏈接】（2014·西安高一檢測)

sin(－140°)cos740°的值()A.大于0B.等于0C.小于0D.不確定【解析】選C.

－140°是第三象限角，所以sin(－140°)＜0，

740°=2×360°+20°，所以740°是第一象限角，所以

cos740°＞0，所以sin(－140°)cos740°＜0.【考題鏈接】（2014·西安高一檢測)sin(－140°)21【易錯誤區(qū)】處理三角函數(shù)問題時忽視參數(shù)的符號致誤

【典例】(2014·泰安高一檢測)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－3m,m)(m≠0)，則sinα=_________.錯解

錯因剖析

忽略了對參數(shù)m的取值符號的討論，而得到錯誤結(jié)果

【易錯誤區(qū)】處理三角函數(shù)問題時忽視參數(shù)的符號致誤錯解錯22【解析】由題意得：|OP|=當m＞0時，|OP|=則sinα=當m＜0時，|OP|=則sinα=答案：或【解析】由題意得：23【類題試解】已知角α的終邊過點P(-3a，4a)(a≠0)，則cosα=________.【解析】由題意可得：|OP|=當a＞0時，|OP|=5a，則當a＜0時，|OP|=-5a，則答案：或【類題試解】已知角α的終邊過點P(-3a，4a)(a≠0)，24課堂總結(jié)1、任意角三角函數(shù)的定義：2、解題方法總結(jié)（1）已知交點P的坐標，直接用定義（2）已知角，則先求交點P的坐標再用定義若已知角α終邊與單位圓交于點P(u，v)，則：3、正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律正弦上正下負，余弦右正左負。v=asinu=acos課堂總結(jié)1、任意角三角函數(shù)的定義：2、解題方法總結(jié)（125再見！感謝指導(dǎo)！再見！感謝指導(dǎo)！264.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的定義都昌三中高一數(shù)學(xué)組都昌三中高一數(shù)學(xué)組27問題引航

1.單位圓中是如何定義正、余弦函數(shù)的？正、余弦函數(shù)的定義域是什么？2.正、余弦函數(shù)在各個象限的符號如何確定？3.任意角的三角函數(shù)的定義是什么？問題1.單位圓中是如何定義正、余弦函數(shù)的？正、余弦函數(shù)的定義28銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：對邊鄰邊斜邊銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：對邊鄰邊斜邊29

以原點為O圓心，以單位長度為半徑的圓叫做單位圓．x(1,0)OP(u,v)αyMx當點P(u,v)就是的終邊與單位圓的交點時,銳角三角函數(shù)會有什么結(jié)果？

下面我們在直角坐標系中，利用單位圓來進一步研究銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以原點為O圓心，以單位長度為半徑的圓叫做單位圓．x(30任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：xyOP(u,v)αA(1,0)（1）v叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=v；（2）u叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=u如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(u,v)，那么：任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：xyOP(u,v)αA(1,31三角函數(shù)都是以角為自變量,以單位圓上的點的坐標(比值)為函數(shù)值的函數(shù).角(弧度數(shù))實數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)一一對應(yīng)

定義域

函數(shù)三角函數(shù)角(弧度數(shù))321.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)vu全體實數(shù)全體實數(shù)1.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)vu全體實數(shù)全體實數(shù)332.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號方法規(guī)律：正弦上正下負，余弦右正左負。2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號方法規(guī)律：正弦上正下343.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)(1)前提：設(shè)角α的頂點是坐標系的原點，始邊與x軸的非負半軸重合，角α終邊上任一點Q(x,y).(2)結(jié)論：OQ的長度為且sinα=___，cosα=___.3.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)351.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)sinα,cosα中可以將“α”與“sin”，“cos”分開.()(2)同一個三角函數(shù)值能找到無數(shù)個角與之對應(yīng).()(3)角α終邊上有一點P(1，1)，故cosα=1.()【解析】(1)錯誤.符號sinα,cosα是一個整體，不能分開.(2)正確.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(3)錯誤.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=×√×1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)【解析】(1)錯362.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知角α終邊經(jīng)過點則角α的最小正值是______.(2)角α的終邊經(jīng)過點P(m,4)，且cosα=則m=_______.(3)角α滿足sinα>0,cosα<0,則α在第______象限.2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)37【解析】(1)所以α的最小正值為答案：(2)r=因為cosα=解得m=3(舍去)，m=-3.

答案：-3(3)當sinα>0時,α在第一、二象限及y軸正半軸，當cosα<0時，α在第二、三象限及x軸負半軸，故sinα>0,cosα<0時，α在第二象限.

答案：二

【解析】(1)(3)當sinα>0時,α在第一、二象限及y38【即時練】當角α=0時，sinα=______；若角α=-3，則sinα的符號為______(填“正”或“負”).【解析】當角α=0時，sinα=0；若角α=-3，則角α是第三象限角，所以sinα＜0.答案：0負【即時練】39

【題型示范】類型一任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)【典例1】(1)(2014·石家莊高一檢測)已知角α與單位圓的一個交點坐標是則cosα等于()(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－2,－4)，求角α的正、余弦函數(shù)值.【題型示范】40【自主解答】(1)選D.因為所以故cosα=(2)因為點P(－2,－4)在角α的終邊上，故u1=－2，v1=－4，可知r=

OP

=所以sinα=cosα=【自主解答】(1)選D.因為所以41【變式訓(xùn)練】已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，則cosα的值是()【解析】選C.角α的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，故由三角函數(shù)的定義知故選C．【變式訓(xùn)練】已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，-3)，則cosα42【考題鏈接】(2013·西安高一檢測)已知角α為第二象限的角.P(a,4)為α終邊上一點，且sinα=則sinα+cosα的值為____.【解析】|OP|=r=

由sinα=得所以a=±3.

又α為第二象限的角,所以a=-3,所以cosα=所以sinα+cosα=15【考題鏈接】(2013·西安高一檢測)已知角α為第二象限的角43類型二三角函數(shù)值的符號的應(yīng)用【典例2】(1)(已知角α是第二象限角，則點P(sinα,cosα)在第__

象限.(2)確定下列各式的符號.

①cos200°.

②sin160°+cos(-40°).

③sin210°·cos260°.【自主解答】(1)因為角α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以點P的坐標符號是(+,－)，所以點P在第四象限.(2)①200°為第三象限的角，所以cos200°＜0.②160°為第二象限的角，所以sin160°＞0.-40°為第四象限的角，所以cos(-40°)＞0,所以sin160°+cos(-40°)＞0.

③210°為第三象限的角，sin210°＜0,260°為第三象限的角，所以cos260°＜0,所以sin210°·cos260°＞0.四類型二三角函數(shù)值的符號的應(yīng)用【自主解答】(1)因為角α是44【方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律【方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律45【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號.(1)sin2014°.

(2)

(3)sin4·cos4.【解析】(1)2014°=360°×5+214°,所以2014°為第三象限的角,所以sin2014°＜0.(2)為第四象限的角,所以cos＞0.(3)4∈

所以4rad為第三象限的角.所以cos4＜0，sin4＜0.

所以sin4·cos4＞0.【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號.【解析】(1)2014°=46【考題鏈接】（2014·西安高一檢測)

sin(－140°