2024屆河北省石家莊二中數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆河北省石家莊二中數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，若當時，，則()A． B． C． D．2．=（）A． B． C． D．3．已知，則的值域為（）A． B． C． D．4．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作．其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．問：得幾何？”意思是：“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作多少個？”現(xiàn)有這樣的一個正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為()A． B． C． D．5．下列說法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．如果圓上總存在點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．7．若，，那么在方向上的投影為（）A．2 B． C．1 D．8．如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．9．若是的重心，，，分別是角的對邊，若，則角（）A． B． C． D．10．二進制是計算機技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)。它的基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則“借一當二”。當前的計算機系統(tǒng)使用的基本上是二進制系統(tǒng)，計算機中的二進制則是一個非常微小的開關(guān)，用1來表示“開”，用0來表示“關(guān)”。如圖所示，把十進制數(shù)1010化為二進制數(shù)（1010）2,十進制數(shù)9910化為二進制數(shù)11000112，把二進制數(shù)（10110A．932 B．931 C．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若、是方程的兩根，則__________.12．用列舉法表示集合__________．13．在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．14．已知數(shù)列滿足，則__________.15．已有無窮等比數(shù)列的各項的和為1，則的取值范圍為__________．16．已知，則的最大值是____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足條件.（1）求點的軌跡的方程；（2）設(shè)點是點關(guān)于直線的對稱點，問是否存在點同時滿足條件：①點在曲線上；②三點共線，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.18．已知函數(shù)的最小正周期是．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．19．已知向量.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.20．已知函數(shù)，，數(shù)列滿足，，.（1）求證；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，求中的最大項.21．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點E是PC的中點,求證:平面BDE;(2)若點F在線段PA上,且,當三棱錐的體積為時,求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

利用函數(shù)的為偶函數(shù)，可得，代入解析式即可求解.【題目詳解】是定義在上的偶函數(shù)，則，又當時，，所以.故選：A【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

試題分析：由誘導公式，故選A．考點：誘導公式．3、C【解題分析】

由已知條件，先求出函數(shù)的周期，由于，即可求出值域.【題目詳解】因為，所以，又因為，所以當時，；當時，；當時，，所以的值域為.故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的值域，利用了正弦函數(shù)的周期性.4、C【解題分析】

有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，由此能求出從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率．【題目詳解】有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，∴從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率：p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.5、C【解題分析】試題分析：選項A中，條件應(yīng)為；選項B中當時不成立；選項D中，結(jié)論應(yīng)為；C正確．考點：不等式的性質(zhì)．6、B【解題分析】

將圓上的點到原點的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.【題目詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點的距離為：如果圓上總存在點到原點的距離為即圓心到原點的距離即故答案選B【題目點撥】本題考查了圓上的點到原點的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

根據(jù)定義可知，在方向上的投影為，代入即可求解．【題目詳解】，，那么在方向上的投影為．故選：C．【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)試題．8、D【解題分析】連結(jié)，∵，

∴是異面直線與所成角（或所成角的補角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為，故選D.9、D【解題分析】試題分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案為D.考點：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的應(yīng)用.10、D【解題分析】

利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】二進制的后五位的排列總數(shù)為25二進制的后五位恰好有三個“1”的個數(shù)為C5由古典概型的概率公式得P=10故選：D【題目點撥】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意利用韋達定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【題目詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查韋達定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

先將的表示形式求解出來，然后根據(jù)范圍求出的可取值.【題目詳解】因為，所以，又因為，所以，此時或，則可得集合：.【題目點撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值求解給定區(qū)間中變量的值，難度較易.13、【解題分析】

設(shè)三棱錐的外接球半徑為，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用公式可計算出外接球半徑，最后利用球體的表面積公式可計算出結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理可得，的外接圓直徑為，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，平面，，因此，三棱錐的外接球表面積為，故答案為.【題目點撥】本題考查多面體的外接球，考查球體表面積的計算，在求解直棱柱后直棱錐的外接球，若底面外接圓半徑為，高為，可利用公式得出外接球的半徑，解題時要熟悉這些結(jié)論的應(yīng)用.14、【解題分析】

數(shù)列為以為首項，1為公差的等差數(shù)列?！绢}目詳解】因為所以又所以數(shù)列為以為首項，1為公差的等差數(shù)列。所以所以故填【題目點撥】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題。15、【解題分析】

根據(jù)無窮等比數(shù)列的各項和表達式，將用公比表示，根據(jù)的范圍求解的范圍.【題目詳解】因為且，又，且，則.【題目點撥】本題考查無窮等比數(shù)列各項和的應(yīng)用，難度一般.關(guān)鍵是將待求量與公比之間的關(guān)系找到，然后根據(jù)的取值范圍解決問題.16、4【解題分析】

利用對數(shù)的運算法則以及二次函數(shù)的最值化簡求解即可．【題目詳解】，，，則．當且僅當時，函數(shù)取得最大值．【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)的運算法則應(yīng)用以及利用二次函數(shù)的配方法求最值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在點，直線方程為.【解題分析】

（1）設(shè)，由題意根據(jù)兩點間的距離公式即可求解.（2）假設(shè)存在點滿足題意，此時直線的方程為：.設(shè)，，根據(jù)題意可得，求出，再將直線與圓聯(lián)立求出，根據(jù)向量共線的坐標表示以及點在圓上，求出即可求解.【題目詳解】（1）設(shè)，由得，整理得：，所以點的軌跡方程為.（2）假設(shè)存在點滿足題意，此時直線的方程為：.設(shè)，.因為與關(guān)于直線對稱，所以解得即.由，得，即.此時，，，所以，所以當時，三點共線.若在曲線上，則，整理得，即，所以，即.綜上所述，存在點，滿足條件①②，此時直線方程為.【題目點撥】本小題主要考查坐標法、圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、整體運算思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等.18、(1)(2)函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時x的集合為{x|x＝+，k∈Z}．【解題分析】試題分析析：本題是函數(shù)性質(zhì)問題，可借助正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)去研究，根據(jù)周期公式可以求出，當函數(shù)的解析式確定后，可以令，，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值何時取得，可以計算出為何值時，函數(shù)值取得的最大值，進而求出的值的集合.試題解析：(1)∵f(x)＝sin（＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是，∴，所以ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.當4x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)時，sin取得最大值1，所以函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時x的集合為{x|x＝＋，(k∈Z)}．【題目點撥】函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)公式求出，頁有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可按照復合函數(shù)的思想去求，可以看成與.復合而成的復合函數(shù)，譬如本題求函數(shù)的最大值，可以令，求出值，同時求出函數(shù)的最大值2.19、（1）或（2）【解題分析】

（1）因為，所以可以設(shè)求出坐標，根據(jù)模長，可以得到參數(shù)的方程.（2）由于已知條件可以計算出與坐標（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關(guān)于的方程，完成本題.【題目詳解】（1）法一:設(shè)，則，所以解得所以或法二:設(shè)，因為，，所以，因為，所以解得或，所以或（2）因為向量與互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【題目點撥】考查了向量的線性表示，引入?yún)?shù)，只要我們能建立起引入?yún)?shù)的方程，則就能計算出所求參數(shù)值，從而完成本題.20、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）將化簡后可得要求證的遞推關(guān)系.（2）將（1）中的遞推關(guān)系化簡后得到，從而可求的通項公式.（3）結(jié)合（2）的結(jié)果化簡，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【題目詳解】（1）證明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比為的等比數(shù)列.又，∴.（3）由（2）知，因為，所以，所以，令，則，又因為且，所以所以中的最大項為.【題目點撥】數(shù)列最大項、最小項的求法，一般是利用數(shù)列的單調(diào)性去討論，但是也可以根據(jù)通項的特點，利用函數(shù)的單調(diào)性來討論，要注意函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性的區(qū)別與聯(lián)系.21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求