一次函數(shù)和反比例函數(shù)結(jié)合(答案)

一次函數(shù)和反比例函數(shù)結(jié)合(答案)一次函數(shù)和反比例函數(shù)結(jié)合(答案)一次函數(shù)和反比例函數(shù)結(jié)合(答案)V:1.0精細(xì)整理，僅供參考一次函數(shù)和反比例函數(shù)結(jié)合(答案)日期：20xx年X月2017中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練(三)一次函數(shù)和反比例函數(shù)結(jié)合縱觀近5年中考試題，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合是中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容．側(cè)重考查用待定系數(shù)確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式及解決相關(guān)問(wèn)題．類型1利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式【例1】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸，y軸分別交于A(1，0)，B(0，－1)兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(m≠0)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求C點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式．【解析】(1)將點(diǎn)A(1，0)，B(0，－1)代入y＝kx＋b即可．(2)將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入公式y(tǒng)＝kx＋b即可求出縱坐標(biāo)，再代入y＝eq\f(m,x)中即可．【學(xué)生解答】解：(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0，,b＝－1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－1，))一次函數(shù)的解析式為y＝x－1；(2)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2－1＝1，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)；又C點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(m≠0)的圖象上，∴1＝eq\f(m,2)，解得m＝2.所以反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(2,x).針對(duì)練習(xí)1．(2016重慶中考)在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖形與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸，垂足為H，OH＝3，tan∠AOH＝eq\f(4,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，－2)．(1)求△AHO的周長(zhǎng)；(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．解：(1)由OH＝3，tan∠AOH＝eq\f(4,3)，得AH＝4.即A(－4，3)．由勾股定理，得AO＝eq\r(OH2＋AH2)＝5，△AHO的周長(zhǎng)＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12；(2)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝eq\f(k,x)(k≠0)，得k＝－4×3＝－12，反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(－12,x)；當(dāng)y＝－2時(shí)，－2＝eq\f(－12,x)，解得x＝6，即B(6，－2)．將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4a＋b＝3，,6a＋b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，))一次函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋1.2．(2016樂(lè)山中考)如圖，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)與一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象交于點(diǎn)A(2，2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n)).(1)求這兩個(gè)函數(shù)解析式；(2)將一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象沿y軸向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，∴k＝4.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(4,x).又∵點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))在反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上，∴eq\f(1,2)n＝4，解得n＝8，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8)).由A(2，2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8))在一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象上，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝2a＋b，,8＝\f(1,2)a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝10，))∴一次函數(shù)的解析式為y＝－4x＋10；(2)將直線y＝－4x＋10向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得直線的解析式為y＝－4x＋10－m，∵直線y＝－4x＋10－m與雙曲線y＝eq\f(4,x)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，令－4x＋10－m＝eq\f(4,x)，得4x2＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或18.類型2與面積有關(guān)的問(wèn)題【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx與雙曲線y＝eq\f(n,x)相交于A(－1，a)，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸，垂足為C，△AOC的面積是1.(1)求m，n的值；(2)求直線AC的解析式．【解析】(1)因?yàn)锳(－1，a)，所以B的橫坐標(biāo)為1，即C(1，0)．再由S△AOC＝1，得A(－1，2)，再代入y＝mx與y＝eq\f(n,x)即可．(2)將A、C坐標(biāo)代入即可．【學(xué)生解答】解：(1)∵直線y＝mx與雙曲線y＝eq\f(n,x)相交于A(－1，a)，B兩點(diǎn)，∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，即C(1，0)，∵△AOC的面積為1，∴A(－1，2)，將A(－1，2)代入y＝mx，y＝eq\f(n,x)可得m＝－2，n＝－2；(2)設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝2，,k＋b＝0.))解得k＝－1，b＝1，∴直線AC的解析式為y＝－x＋1.針對(duì)練習(xí)3．(2016宜賓中考)如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(x>0)的圖象交于A(2，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))兩點(diǎn)，直線y＝2與y軸交于點(diǎn)C.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)求△ABC的面積．解：(1)把A(2，－1)代入反比例解析式得：－1＝eq\f(m,2)，即m＝－2，∴反比例解析式為y＝－eq\f(2,x)，把Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))代入反比例解析式得：n＝－4，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－4)).把A與B的坐標(biāo)代入y＝kx＋b中得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝－1，,\f(1,2)k＋b＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－5.))則一次函數(shù)的解析式為y＝2x－5；(2)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，－5)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，CE＝2－(－5)＝7，∵點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為2，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離為eq\f(1,2)，∴S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝eq\f(1,2)×7×2－eq\f(1,2)×7×eq\f(1,2)＝7－eq\f(7,4)＝eq\f(21,4).4．(2016瀘州中考)如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(k<0)與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A(4，1)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)連接OB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若△BOC的面積為3，求該一次函數(shù)的解析式．解：(1)∵點(diǎn)A(4，1)在反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象上，∴m＝4×1＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(4,x)；(2)將點(diǎn)A(4，1)代入一次函數(shù)的解析式中，即1＝4k＋b，解得b＝1－4k.∴y＝kx＋(1－4k)，令x＝0，則y＝1－4k，∴C(0，1－4k)．又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x)，,y＝kx＋（1－4k），))?kx2＋(1－4k)x－4＝·xB＝－eq\f(4,k)，xA＝4.∴xB＝－eq\f(1,k)，S△OBC＝eq\f(1,2)OC·xB＝3，∴k＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,2)x＋3.類型3與最小(大)值有關(guān)的問(wèn)題【例3】一次函數(shù)y＝mx＋5的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1，n)和B(4，1)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為M.(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求△OAM的面積S；(3)在y軸上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。窘馕觥?3)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N，連接BN交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【學(xué)生解答】解：(1)將B(4，1)代入y＝eq\f(k,x)，得1＝eq\f(k,4).∴k＝4，∴y＝eq\f(4,x)，將B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；(2)在y＝eq\f(4,x)中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝eq\f(1,2)×1×4＝2；(3)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N，則N(－1，4)，連接BN交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．設(shè)直線BN的關(guān)系式為y＝kx＋b，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝1，,－k＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,5)，,b＝\f(17,5)，))y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(17,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(17,5))).針對(duì)練習(xí)5．(2016新疆中考)如圖，直線y＝2x＋3與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)D(a，1)是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PB＋PD最小若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，∴在直線y＝2x＋3中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2＋3＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，5)，又∵點(diǎn)B(1，5)在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(5,x)；(2)將點(diǎn)D(a，1)代入y＝eq\f(5,x)，得：a＝5，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(5，1)，設(shè)點(diǎn)D(5，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′(5，－1)，過(guò)點(diǎn)B(1，5)、點(diǎn)D′(5，－1)的直線解析式為：y＝kx＋b，可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝5，,5k＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,2)，,b＝\f(13,2)，))∴直線BD′的解析式為：y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(13,2)，根據(jù)題意知，直線BD′與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，當(dāng)y＝0時(shí)，得－eq\f(3,2)x＋eq\f(13,2)＝0，解得：x＝eq\f(13,3)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，0)).6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(8，1)，B(0，－3)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，動(dòng)直線x＝t(0<t<8)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M，與直線AB交于點(diǎn)N.(1)求k的值；(2)求△BMN面積的最大值；(3)若MA⊥AB，求t的值．解：(1)將A點(diǎn)坐標(biāo)(8，1)代入y＝eq\f(k,x)得k＝8；(2)設(shè)直線AB的解析式為y＝mx＋b，將A點(diǎn)坐標(biāo)(8，1)和B點(diǎn)坐標(biāo)(0，－3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝8m＋b，,－3＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,b＝－3，))故直線AB的解析式為y＝eq\f(1,2)x－3，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t,2)－3))，又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(8,t)))，故MN＝eq\f(8,t)－eq\f(t,2)＋3，△BMN面積為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,t)－\f(t,2)＋3))t＝－eq\f(1,4)t2＋eq\f(3,2)t＋4＝－eq\f(1,4)(t－3)2＋eq\f(25,4)，所以當(dāng)t＝3時(shí)，△BMN面積的最大值為eq\f(25,4)；(3)如圖，過(guò)A作AQ⊥y軸于Q，延長(zhǎng)AM交y軸于P，又AM⊥AB.所以△ABQ∽△PAQ，故eq\f(AQ,BQ)＝eq\f(PQ,AQ)，即eq\f(8,4)＝eq\f(PQ,8)，所以PQ＝16，所以P(0，17)．又A(8，1)．所以直線AP的解析式為y＝－2x＋17.所以－2x＋17＝eq\f(8,x)，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝8(舍去)，所以t＝eq\f(1,2).類型4與平移有關(guān)的問(wèn)題【例4】如圖，直線y＝eq\f(1,2)x與雙曲線y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)交于點(diǎn)A，將直線y＝eq\f(1,2)x向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)交于點(diǎn)B，若OA＝3BC，求k的值．【解析】分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點(diǎn)F，設(shè)A(3x，eq\f(3,2)x)，可得B(x，eq\f(1,2)x＋4)．【學(xué)生解答】解：∵將直線y＝eq\f(1,2)x向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C，∴平移后直線的解析式為y＝eq\f(1,2)x＋4，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點(diǎn)F，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x，\f(3,2)x))，∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x軸，∴CF＝eq\f(1,3)OD，又∵點(diǎn)B在直線y＝eq\f(1,2)x＋4上，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋4))，∵點(diǎn)A，B在雙曲線y＝eq\f(k,x)(x>0)上，∴3x×eq\f(3,2)x＝x×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4))，解得x＝1(x＝0直接舍去)，∴k＝3×1×eq\f(3,2)×1＝eq\f(9,2).針對(duì)練習(xí)7．如圖，已知函數(shù)y＝eq\f(4,3)x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象交于點(diǎn)A，將y＝eq\f(4,3)x的圖象向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若eq\f(OA,CB)＝2，求反比例函數(shù)的解析式．解：(1)點(diǎn)C坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，0))；(2)作AE⊥x軸于E點(diǎn)，BF⊥x軸于F點(diǎn)，Rt△OAE∽R(shí)t△CBF，∴eq\f(OA,CB)＝eq\f(AE,BF)＝eq\f(OE,CF)＝2，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\