2021-2022學年新疆哈密八中高一（下）期末數學試卷（附答案詳解）

2021-2022學年新疆哈密八中高一（下）期末數學試卷一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）.已知向量d=（Lm）,向量坂=（一1,遍），若五〃則m等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.V3 B.-V3 C.叵 D.-在3 32.設復數Z滿足（1一i）z=—23則團=（）A.\ B.立 C,V2 D.22 2.已知復數2=磬是純虛數（其中i是虛數單位），則實數a的值為（）2-IA.1 B.2 C.3 D.-2.下列敘述中，正確的個數是（）①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的幾何體是圓臺；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；④圓面繞它的任一直徑旋轉形成的幾何體是球.A.3 B.2 C.1 D.0.已知向量a、b滿足悶=1,|加=2，\a-b]=2.則|江+力等于（）A.1 B.V2 C.y/5 D.V6.在AABC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,若c=2acosB,則AABC的形狀是（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.等腰或直角三角形 D.直角三角形.如圖，在正方體4BCD-&B1C1D1中，已知M,N分別為棱AB,AB1的中點，則異面直線41cl與MN所成的角等于（）A.90°B.60°C.45°D.30°.在△4BC中，若siMA+siMB=ZsiMc,則角。為（）D.60°A.鈍角 B.直角 D.60°.己知向量d=（1,2）,b=（2,2）.則向量d在向量另上的投影向量為（）A.； B.泅 C,與 D.立4 4 2 2.阿基米德（Archimedes,公元前287年一公元前212年）是古希胳偉大的數學家、物理學家和天文學家.他推導出的結論“圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數學發(fā)現，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球（如圖所示），該球與圓柱的兩個底面及側面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為36兀，則圓柱的體積為（）A.367r B.457r C.547r D.637r.設nt,n是不同的直線，a,0,y是不同的平面，則下面說法正確的是（）A.若al/7,a1y,貝伊〃y B.若mla,m//p,則a1?C.若a10,m〃a,則rn_L0 D.若m〃n,nca,則m〃a.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BCD為菱形，/.DAB=60。，側面PAD為正三角形，且平面PAD1平面4BCD,則下列說法不正確的是（）A.在棱4D上存在點M,使4。_L平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為90。C.二面角P-BC-A的大小為45。D.BD1平面P4C二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）.三條直線相交于一點，則它們最多能確定個平面..在△4BC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a?+c?—乂=V^ac，則角B的值為..已知向量了=(41),b=(2,-3)?若僅一勵13，則4=..如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側棱441=8.若側面44/18水平放置時，液面恰好過AC,BC,&C],BiG的中點.當底面4BC水平放置時，液面高為.三、解答題(本大題共6小題，共70.0分).已知復數z=(m2—5m+6)+(m2—m—2)i(mG/?).(1)若復數z為純虛數，求實數m的值；(2)若愛數z在復平面內對應的點在第四象限，求實數機的取值范圍..已知同=4,\b\=8.2與?夾角是120。.(1)求五i的值及m+山的值；(2)當k為何值時，(a+26)l(fca-6)?.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，PD1平面ABCC,底面4BCD為正方形，尸為對角線AC與8D的交點，E為棱PC的中點.(1)證明：EF//平面PBC；(2)證明：平面P4c_L平面PBD..在AABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a-cosC+c-cosA=3bcosB.(1)求sinB的值；(2)若a=3,b=2百，求A/IBC的面積..如圖：四棱錐P-48CD中，PALAD,AB=AC=2PA=2,PC=V5.AD//BC,/.BAD=150°.(1)證明：PA1TS4HCD；(2)求三棱錐B-P4C的體積..設銳角三角形ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA+sinC的取值范圍.答案和解析.【答案】B【解析】解：向量d=(l,wi),向量3=(—1,遍)，若日〃3,則1x百—mx(―1)=0,解得m=—故選：B.由已知結合共線向量的坐標運算列式求解m值.本題考查共線向量的坐標運算，是基礎題..【答案】C【解析】解：r(l-i)z=-2i,—2i —2i(l+i) 4?AZ= = =1—1,1-i (l+i)(l-i)A|Z|=J#+(-1)2=V2.故選：c.根據已知條件，結合復數的四則運算，以及復數模公式，即可求解.本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，屬于基礎題..【答案】A【解析】解.Z=絲冬=(a+2i)(2+i)=也》+2a-2rz是純虛數，二等H0,，^=0,解得：a=l.故選：A.直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，讓實部等于0,列式求解即可.本題考查復數的運算，與純虛數的概念，是基礎題..【答案】C【解析】解：對于①，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐，故①錯誤；對于②，以直角梯形的垂直于底邊的一腰為軸旋轉所得的幾何體是圓臺，故②錯誤；對于③，用平行于圓錐底面的一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，故③錯誤；對于④，圓面繞它的任一直徑旋轉形成的幾何體是球，故④正確.故選：C.利用圓錐的定義判斷①；利用圓臺的定義判斷②；利用圓錐、圓臺的定義判斷③；利用球的定義判斷④.本題考查圓錐、圓臺、球的定義等基礎知識，考查空間思維能力，是基礎題..【答案】D【解析】【分析】欲求|2+向，一是設出五、b的坐標求，二是直接根據向量模計算.對于解法一，我們可以設出兩個向量的坐標，然后根據已知條件中|磯=1,\b\=2.|a-b|=2,對|d+山的平方進行化簡求值，進而給出|&+力的值.本題中沒有給出向量的坐標，故也可根據向量的平方等于向量模的平方進行求解.求同常用的方法有：①若已知&=(x,y),則|可="2+y2；②若已知表示d的有向線段荏的兩端點4、B坐標，則|d|=|AB|=_小)2+31_丫2)2③構造關于間的方程，解方程求同.【解答】解：法一：設)=(%％)，b=(x2,y2)>則好+比=1,xl+yl=4,a-b={x1-小，、1一丫2)，??(?i-x2)2+(yi-y2)2=4.旺-2x^2+xf+yf-2yly2+尤=4.1— —2yly2=。?二^xix2+2yly2=1?二(Xi+X2)2+01+72)2=1+4+2xtx2+2yly2=5+1=6.??|a+K|=V6.解法二：?；M+b\2+|a-b\2=2(|a|2+|b|2)?|a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-6|2=2(l+4)-22=6.-|a+b|=V6.故選。.【答案】A【解析】解：因為c=2acosB,所以由正弦定理可得sinC=sin(4+B)=2sinAcosB,由兩角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,所以sinAcosB=cosAsinB,可得tanA=tanB,又0<4B<n,所以A=B,故4ABC的形狀為等腰三角形.故選：A.由正弦定理可得sin（4+B）=2sinAcosB,由兩角和的正弦公式可求得tanA=tanB,根據0<A,B<n,可得結論.本題考查正弦定理的應用，已知三角函數值求角的大小得到=tanB是解題的關鍵,屬于基礎題..【答案】B【解析】解：連接AB1，「M,N分別為棱AB,AB1的中點,???MN//ABr???MN//ABr,又AiCJ/AC,則在正三角形ABiC中，=60°,即異面直線&C］與MN所成的角等于60。，故選:B.MN為三角形ABB1的中位線，將MN平移至AB1，將必。1平移至4C,則48通。為所求,然后在正三角形481c中，求解即可.本題考查異面直線所成的角，考查學生空間想象能力，屬基礎題..【答案】C【解析】解:在△4BC中，siM/l+siMB=2si〃2c,利用正弦定理化簡得：a2+b2=2c2,ACOSC=aACOSC=a2+b2-c2F>°'即c為銳角,故選：c.已知等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理判斷出cosC的正負，即可確定出C.此題考查了余弦定理，以及正弦定理，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵..【答案】B【解析】解：?.?向量d=(1,2),b=(2,2).1-1/F?r?c內- 7- 3* 1X2+2X2 3同.?.|a|=V5,|b|=2V2,^s<a,b>=^=-7^-=—,???五在向量B上的投影為|a|cos<a,b>=V5x=雷，又設與3同向的單位向量為3,??.向量2在向量片上的投影向量為：\a\cosOe=—x—b=-b,'1 2 4 4故選：B.利用向量數量積的幾何意義|百|cos<a,h>>再求出與b同向的單位向量3與b的關系.本題考查了向量數量積的幾何意義，但特別要注重投影向量和投影的關系，屬于中檔題..【答案】C【解析】解：設圓柱的內切球半徑為R,???球的體積為36兀，4oa-nR3=36tt,.*./?=3>3又球與圓柱的兩個底面及側面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,二圓柱的體積為兀/?2.2R=2nR3=2"x27=54幾，故選：C.先根據球的體積求出球額半徑，再根據題意及圓柱的體積公式即可求解.本題考查球的體積公式，圓柱的體積公式，屬基礎題..【答案】B【解析】解：m,n是不同的直線，a,夕，y是不同的平面，對于A,若a_L0,a1y,則夕與y相交或平行，故A錯誤；對于B,若m1a,m//p,則由面面垂直的判定定理得a1/?,故8正確；對于C,若aJ■夕，7n//a,則m與夕相交、平行或mu夕，故C錯誤；對于C,若m〃n,nc.a,則m〃a或mua,故。錯誤.故選:B.對于A,￡與y相交或平行；對于8,由面面垂直的判定定理得a_L/?；對于C,m與￡相交、平行或mu0；對于。，m〃a或mua.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題..【答案】D【解析】解：對于4，如圖，取4。的中點M,連接PM,BM,???側面P/W為正三角形，PM1AD,.?底面4BCC是菱形，ND4B=60。，是等邊三角形，為力。的中點，???AD1BM,又PMnBM=M,故A正確；對于B,由4知，4。平面PBM,又PBu平面PBM,：.ADLPB,二異面直線4D與PB所成的角為90。，故8正確；對于C,???AD BC//AD,8C1平面PBM,BCA.PB,BC1BM,.?平面PBCn平面ABC。=BC.aNPBM是二面角尸-BC-4的平面角，設4B=1,則BM=］，PM=號在RtAPBM中，tanzPBM=—=1,Z.PBM=45°,BM.?.二面角的大小為45。，故C正確：對于C,???平面PAD_L平面力BCD,PMLAD,PM_L平面4BCD,又BCu平面，PM1BD,假設BD_L平面PAC,則有BD14P,又PM、4P在平面PAD內，且相交于點P,??BD1平面P/W,5LADu平面PA。，BDLAD,則由題可知BD與4。的夾角為60。，矛盾，故假設不成立，故。錯誤.故選：D.對于4,取4。的中點M,利用三角形知識得垂直關系，再利用線面垂直的判定定理證明4。1平面PMB；對于B,利用4C_L平面PMB,可得A。1PB；對于C,先作出并證明所求二面角為/PBM,再利用直角三角形知識求解；對于D,利用反證諛房，假設BC1平面P4C,再證明BDJ"平面PAD,得到BDJ.4D,與BD與4D夾角為60。矛盾進行說明.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題..【答案】3【解析】解：當三條直線共面時，顯然這三條直線只確定1個平面，當三條直線不共面時，以三棱錐的三條側棱為例，任意兩條側樓都確定一個側面，而三棱錐有三個側面，故相交于一點的三條直線最多可確定3個平面，故答案為：3.根據任意相交直線都可確定一個平面來計算.本題考查了平面的基本性質，屬于基礎題..【答案】?O【解析】解：在△4BC中，a2c2—b2=y/3aCf由余弦定理可得，”58=父五=①=立，2ac2ac2V0<B<7T,???B=匕o故答案為：由已知直接利用余弦定理的推論求解.本題考查余弦定理的應用，是基礎題..【答案】8【解析】解：根據題意，向量五=(尢1)，b=(2,-3).若(G-b)1 則位-b)-b=a-K-b2=2A-3-13=0>解可得：A=8；故答案為：8.

根據題意，由向量數量積的運算性質可得0.石).石=五不_石"=2/1_3_13=0,解可得答案.本題考查向量數量積的運算，涉及向量垂直的判斷方法，屬于基礎題..【答案】6【解析】解：當側面A4B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設△ABC的面積為S,則S擺形=[S,水的體積%=;SxA&=6S,當底面4BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為九，則有V次=Sh=6S,得h=6,即當底面ABC水平放置時，液面高為6.故答案為：6.當側面A&BiB水平放置時，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積：當底面4BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為九，再由體積相等求解.本題考查棱柱的結構特征，訓練了等體積法的應用，考查運算求解能力，是基礎題..【答案】解：⑴??,復數z=(m2-5m+6)+(m2-m-2)i(mGR)為純虛數,am2—5m+6=0且m?-m—2H0,解得m=3；(2)?.?復數z在復平面內對應的點在第四象限,"二出吃?！悖獾?＜?。?；故實數m的取值范圍(-1,2).(2)由題意得《【解析】(1)由復數z為純虛數得加？-5m+6=0且-m-2H0,然后求出(2)由題意得《m2-57n+6>0i然后求出加即可.m—m—2Vo本題考查了復數的幾何意義的應用和純虛數的概念，屬于基礎題.18.【答案】解：(l),b=|d||b|cosl2()o=4x8x(一》=-16.|a+b|=^a2+b2+2a-b="2+82+2x(-16)=4V3.(2)v(a+2b)1(fca-B),(a+2b)-(kd-b)=OBP/ca2-2b2+(2k-l)a-b=O,16k-128+(2k-1)x(-16)=0,解得k=-7..?.當k=-7時，伍+2力1(而一辦【解析】本題考查了向量數量積定義及其運算性質、向量垂直與數量積的關系，基礎題.(1)利用向量數量積定義及其運算性質即可得出；(2)由于(d+2a，(kd-B)，則0+2區(qū))?(/￡工一方)=0，展開即可得出.TOC\o"1-5"\h\z19.【答案】證明：(1)???底面4BCD為正方形，F為對角線4c C與BC的交點， /;VK為BC的中點，又E為棱PC的中點， /'I\EF//PB,而PBu平面PBC,EfC平面PBC,???EF〃平面PBC； -嗓A B(2)vPD1平面4BCD,ACu平面48CD,:.PDS.AC,又四邊形4BCC為正方形，.??4CJLBC,而PDCBD=D,:.AC_L平面PBD,"ACu平面PAC,.?.平面PAC1平面PBC.【解析】(1)由已知利用三角形中位線定理可得EF〃PB,再由直線與平面平行的判定可得EF〃平面PBC：(2)由已知證明AC1平面PBD,再由平面與平面垂直的判定可得平面PACJ_平面PBD.本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.20.【答案】解：(1)因為a-cosC+c-cosA=3bcosB,JpfrliksinAcosC+sinCcosA=SsinBcosB,故sin(A+C)=sinB—3sinBcosB,又sinB*0,故cosB=I，由于BG(0,7r),

故sinB="一皿28=—.COS3(2)結合(1)得cosB=喙薩=p解得c=3,或一1(舍)，故Saabc=：acsinB=|x3x3x誓=3V2.【解析】(1)將原式化角，即可得到關于B的方程，從而問題可解：(2)借助于余弦定理求出c,然后套用面積公式求解即可.本題考查正余弦定理以及三角形的面積公式，同時突出了方程思想在解三角形問題中的應用，屬于中檔題.21.【答案】(1)證明：在APAC中，已知PA=1,AC=2,PC=遍，PA2+AC2=PC2,則PAIAC,5LPALAD,ADnAC=A,:.PA1平面48CD：(2)解：由⑴得PA_L平面ABCO