《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件

第二章導(dǎo)數(shù)與微分（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解導(dǎo)數(shù)、微分的幾何意義；微分在近似計算中的應(yīng)用。2、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。3、掌握導(dǎo)數(shù)和微分的基本公式與運算法則；掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法。（二）學(xué)習(xí)重點和難點重點導(dǎo)數(shù)的概念；可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法。難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法。第二章導(dǎo)數(shù)與微分1導(dǎo)數(shù)（derivative）的概念變速直線運動的瞬時速度由物理學(xué)知道，物體作等速直線運動時，它在任意時刻的速度可用公式來計算。只能反映物體在一段時間內(nèi)的平均速度，不能反映物體在某一時刻的速度（瞬時速度）。導(dǎo)數(shù)（derivative）的概念來計算。只能反映物體在一段2設(shè)物體作變速直線運動，其運動方程為s=s(t)，考察物體在時刻的瞬時速度。設(shè)物體作變速直線運動，其運動方程為s=3導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念4處的導(dǎo)數(shù)（亦稱變化率），記作即處的導(dǎo)數(shù)（亦稱變化率），記作即5《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件6

2、導(dǎo)函數(shù)的定義即

在不發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也稱為導(dǎo)數(shù)。2、導(dǎo)函數(shù)的定義即在不發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也稱為導(dǎo)數(shù)7利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)（1）求函數(shù)的增量

（2）算比值

（3）取極限

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)（1）求函數(shù)的增量（2）算比值（3）取8例題1求函數(shù)y=C(Constant常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解：（1）求函數(shù)的增量（2）算比值

（3）取極限即(C)＇=0，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零?！?例題1求函數(shù)y=C(Constant常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解：9解：（1）求函數(shù)的增量

（2）算比值（3）取極限解：（1）求函數(shù)的增量（2）算比值（3）取極限10解：（1）求函數(shù)的增量

（2）算比值

(3)取極限即解：（1）求函數(shù)的增量（2）算比值(3)取11

一般地，對于冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式——公式2一般地，對于冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式——公式212《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件13《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件14同理可得，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同理可得，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)15《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件16《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件17導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義18

例題求曲線在點（-1,1）處的切線方程和法線方程例題求曲線在點（-1,1）處的切線方程和法線方程19可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由此可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件?？蓪?dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由此可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條200021求導(dǎo)法則

本節(jié),我們將介紹導(dǎo)數(shù)的幾個基本求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。借助這些法則和公式,可以比較方便地求出一些常見的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則22

注：（1）法則（1）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)代數(shù)和的情形，例如

（2）法則（2）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)之積的情形，例如注：（1）法則（1）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)代數(shù)和的情形，例23《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件24《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件25《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件26《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件27《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件28《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件29《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件300031復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則32

注：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式也可推廣到任意有限個函數(shù)復(fù)合的情形。

因此，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則又稱為鏈式法則。注：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式也可推廣到任意有限個函數(shù)復(fù)合的33對于復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必寫中間變量。對于復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必寫中間變量。34復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練后，層層求導(dǎo)得出最后結(jié)果。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練后，層層求導(dǎo)得出最后結(jié)果。35《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件36復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歌分層層剝皮皮莫忘層層打撇撇復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歌370038反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)結(jié)論反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)結(jié)論反39《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件40《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件41《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件420基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式43《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件44函數(shù)四則運算的導(dǎo)數(shù)法則函數(shù)四則運算的導(dǎo)數(shù)法則45復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則46把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程，叫做隱函數(shù)的顯化。如把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程，叫做隱函數(shù)的顯化。如47隱函數(shù)求導(dǎo)方法當(dāng)方程的兩端對求導(dǎo)時，要記住的函數(shù)，然后用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則去求導(dǎo)，便可得到欲求的導(dǎo)數(shù)。遇到求導(dǎo)，然后乘上對的導(dǎo)數(shù)。先對隱函數(shù)求導(dǎo)方法當(dāng)方程的兩端對求導(dǎo)時，要記48《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件49《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件50對數(shù)求導(dǎo)法所謂對數(shù)求導(dǎo)法，就是先在的兩邊取對數(shù)，然后再求出的導(dǎo)數(shù)。對數(shù)求導(dǎo)法所謂對數(shù)求導(dǎo)法，就是先在的兩邊取對數(shù)，然后再求出的51解：這種函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)。底也變指也變對數(shù)求導(dǎo)最方便先在兩邊取對數(shù)，得解：這種函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)。底52《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件53解：由幾個因式通過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)。

因子多指數(shù)繁對數(shù)求導(dǎo)少麻煩先在兩邊取對數(shù)，得解：由幾個因式通過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的比較54由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法研究物體運動的軌跡時，常遇到參數(shù)方程。例如，研究拋射物的運動時，如果空氣阻力忽略不計，則拋射物的運動軌跡可表示為消去時間t,得由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法消去時間t,得55一般說來，參數(shù)方程利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，就有一般說來，參數(shù)方程利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公56《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件57代入點斜式方程，橢圓在點處的切線方程為代入點斜式方程，橢圓在點處的切線方程為58函數(shù)的求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法分層層剝皮皮莫忘層層打撇撇隱函數(shù)求導(dǎo)方法遇到求導(dǎo)，然后乘上對的導(dǎo)數(shù)。先對函數(shù)的求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法分層層剝皮59對數(shù)求導(dǎo)法底也變指也變對數(shù)求導(dǎo)最方便因子多指數(shù)繁對數(shù)求導(dǎo)少麻煩由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法底也變指也變對數(shù)求導(dǎo)最方便因子多60高階導(dǎo)數(shù)

類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫作三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作四階導(dǎo)數(shù)，……。高階導(dǎo)數(shù)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫61

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。

求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)，仍然用前面學(xué)過的方法。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。62《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件63《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件64《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件65第二章導(dǎo)數(shù)與微分（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解導(dǎo)數(shù)、微分的幾何意義；微分在近似計算中的應(yīng)用。2、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。3、掌握導(dǎo)數(shù)和微分的基本公式與運算法則；掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法。（二）學(xué)習(xí)重點和難點重點導(dǎo)數(shù)的概念；可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法。難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法。第二章導(dǎo)數(shù)與微分66導(dǎo)數(shù)（derivative）的概念變速直線運動的瞬時速度由物理學(xué)知道，物體作等速直線運動時，它在任意時刻的速度可用公式來計算。只能反映物體在一段時間內(nèi)的平均速度，不能反映物體在某一時刻的速度（瞬時速度）。導(dǎo)數(shù)（derivative）的概念來計算。只能反映物體在一段67設(shè)物體作變速直線運動，其運動方程為s=s(t)，考察物體在時刻的瞬時速度。設(shè)物體作變速直線運動，其運動方程為s=68導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念69處的導(dǎo)數(shù)（亦稱變化率），記作即處的導(dǎo)數(shù)（亦稱變化率），記作即70《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件71

2、導(dǎo)函數(shù)的定義即

在不發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也稱為導(dǎo)數(shù)。2、導(dǎo)函數(shù)的定義即在不發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也稱為導(dǎo)數(shù)72利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)（1）求函數(shù)的增量

（2）算比值

（3）取極限

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)（1）求函數(shù)的增量（2）算比值（3）取73例題1求函數(shù)y=C(Constant常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解：（1）求函數(shù)的增量（2）算比值

（3）取極限即(C)＇=0，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零?！?例題1求函數(shù)y=C(Constant常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解：74解：（1）求函數(shù)的增量

（2）算比值（3）取極限解：（1）求函數(shù)的增量（2）算比值（3）取極限75解：（1）求函數(shù)的增量

（2）算比值

(3)取極限即解：（1）求函數(shù)的增量（2）算比值(3)取76

一般地，對于冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式——公式2一般地，對于冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式——公式277《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件78《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件79同理可得，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同理可得，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)80《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件81《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件82導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義83

例題求曲線在點（-1,1）處的切線方程和法線方程例題求曲線在點（-1,1）處的切線方程和法線方程84可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由此可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件?？蓪?dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由此可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條850086求導(dǎo)法則

本節(jié),我們將介紹導(dǎo)數(shù)的幾個基本求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。借助這些法則和公式,可以比較方便地求出一些常見的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則87

注：（1）法則（1）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)代數(shù)和的情形，例如

（2）法則（2）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)之積的情形，例如注：（1）法則（1）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)代數(shù)和的情形，例88《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件89《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件90《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件91《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件92《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件93《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件94《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件950096復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則97

注：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式也可推廣到任意有限個函數(shù)復(fù)合的情形。

因此，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則又稱為鏈式法則。注：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式也可推廣到任意有限個函數(shù)復(fù)合的98對于復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必寫中間變量。對于復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必寫中間變量。99復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練后，層層求導(dǎo)得出最后結(jié)果。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練后，層層求導(dǎo)得出最后結(jié)果。100《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件101復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歌分層層剝皮皮莫忘層層打撇撇復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歌10200103反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)結(jié)論反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)結(jié)論反104《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件105《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件106《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件1070基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式108《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件109函數(shù)四則運算的導(dǎo)數(shù)法則函數(shù)四則運算的導(dǎo)數(shù)法則110復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則111把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程，叫做隱函數(shù)的顯化。如把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程，叫做隱函數(shù)的顯化。如112隱函數(shù)求導(dǎo)方法當(dāng)方程的兩端對求導(dǎo)時，要記住的函數(shù)，然后用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則去求導(dǎo)，便可得到欲求的導(dǎo)數(shù)。遇到求導(dǎo)，然后乘上對的導(dǎo)數(shù)。先對隱函數(shù)求導(dǎo)方法當(dāng)方程的兩端對求導(dǎo)時，要記113《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件114《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件115對數(shù)求導(dǎo)法所謂對數(shù)求導(dǎo)法，就是先在的兩邊取對數(shù)，然后再求出的導(dǎo)數(shù)。對數(shù)求導(dǎo)法所謂對數(shù)求導(dǎo)法，就是先在的兩邊取對數(shù)，然后再求出的116解：這種函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)。底也變指也變對數(shù)求導(dǎo)最方便先在兩邊取對數(shù)，得解：這種函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)。底117《高等數(shù)學(xué)》導(dǎo)數(shù)解析課件118解：由幾個因式通過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)。

因子多指數(shù)繁對數(shù)求導(dǎo)少麻煩先在兩邊取對數(shù)，得解：由幾個因式通過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的比較119由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法研究物體運動的軌跡時，常遇到參數(shù)方程。