分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論(同名64)課件

第二章

分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論§2.1分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

§2.2概率論的基本知識(shí)

§2.3

麥克斯韋速率分布§2.4麥克斯韋速度分布§2.5玻爾茲曼分布§2.6

能量均分定理第二章分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論§2.1分1（一）名稱：§2.1分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)審定“分子運(yùn)動(dòng)論”“分子動(dòng)力論”等統(tǒng)一稱為“分子動(dòng)理學(xué)理論”

（一）名稱：§2.1分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)全國2（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系

1、分子動(dòng)理學(xué)理論方法的主要特點(diǎn)：它考慮到分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來討論分子運(yùn)動(dòng)及分子碰撞的詳情。它的最終及最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。

（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系1、分子動(dòng)理學(xué)理論方法3（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系

2、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從對(duì)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來說明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系2、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從對(duì)物4（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系

3、廣義上，分子動(dòng)理學(xué)理論歸屬于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的范疇。狹義上，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)僅指玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)與吉布斯統(tǒng)計(jì)，是平衡態(tài)理論。

熱物理學(xué)的微觀理論由分子動(dòng)理學(xué)理論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)與非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)三部分組成。

（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系3、廣義上，分子動(dòng)理學(xué)5（三）學(xué)習(xí)建議重點(diǎn)掌握基本物理概念、處理問題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)。暫不去追求理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。（三）學(xué)習(xí)建議重點(diǎn)掌握基本物理概念、處理問題的物理6A、在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)律---統(tǒng)計(jì)規(guī)律§2.2概率論的基本知識(shí)

B、統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象

伽爾頓板實(shí)驗(yàn)（P54）A、在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)7（一）等概率性與概率的基本性質(zhì)（P55）

1、隨機(jī)事件：在一定條件下，某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生。

2、概率的定義：在相同的條件下重復(fù)同一實(shí)驗(yàn)，在總次數(shù)N足夠多的情況下（即N→∞），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù)NL，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率。

（一）等概率性與概率的基本性質(zhì)（P55）1、隨機(jī)事件：283、等概率性在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)的概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。統(tǒng)計(jì)物理的基本假定：（等概率原理）如果對(duì)于系統(tǒng)的各個(gè)可能的狀態(tài)沒有更多的知識(shí)，就可暫時(shí)假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。3、等概率性統(tǒng)計(jì)物理的基本假定：（等概率原理）93、概率的基本性質(zhì)：

(1)歸一化（P57）：

n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率(2)概率相加法則：是每個(gè)事件發(fā)生概率之和。

(3)概率相乘法則：等于各個(gè)事件概率之乘積。3、概率的基本性質(zhì)：(1)歸一化（P57）：n個(gè)10（二）平均值與漲落

1、平均值

（P56）

說明：應(yīng)用方便，但只適用于N非常大的所有事件。（二）平均值與漲落1、平均值（P56）說明：應(yīng)用方便，112、漲落（散度、散差）（相對(duì)方均根偏差）

（P58）

物理意義：表示隨機(jī)變量在平均值附近散開分布的程度2、漲落（散度、散差）（相對(duì)方均根偏差）（P58）物理意12（三）概率分布函數(shù)（概率密度）

由于測量儀器總有一定的誤差（如：1m/s），我們只能測出分子速率從99m/s到101m/s的分子數(shù)是多少，也只能講速率界于某一范圍內(nèi)的概率。描述連續(xù)變量概率分布情況。變量連續(xù)變化，如：粒子的空間位置、粒子的速度。（三）概率分布函數(shù)（概率密度）由于測量儀器總有一定的誤差（13黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：

表示黑點(diǎn)沿x方向的相對(duì)密集程度。1、按位置分布的概率密度

（P58）

射擊點(diǎn)在靶上的分布（P59圖2.2）黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：1、按位置分布的概率密度（P514黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：

位置處于x1到x2范圍內(nèi)的概率1（歸一化條件）（注意：對(duì)所有的黑點(diǎn)求平均）黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：位置15黑點(diǎn)沿y方向分布的概率密度：

表示黑點(diǎn)沿y方向的相對(duì)密集程度。

黑點(diǎn)沿平面位置分布的概率密度：

表示黑點(diǎn)在某一區(qū)域內(nèi)的相對(duì)密集程度。

黑點(diǎn)沿y方向分布的概率密度：黑點(diǎn)沿平面位置分布的概率密度：162、速率分布函數(shù)（概率分布函數(shù)的一種）

只與速率v有關(guān)或說只是v的函數(shù)=含義：

速率在υ附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比?；蛞粋€(gè)分子的速率在速率υ附近單位速率區(qū)間的概率--概率密度。

2、速率分布函數(shù)（概率分布函數(shù)的一種）只與速率v有關(guān)17曲線下面積恒為1o幾何意義：2、速率分布函數(shù)1

歸一性質(zhì)曲線下面積恒為1o幾何意義：2、速率分布函數(shù)1183、概率分布函數(shù)的普遍意義

物理意義：

能量在ε附近（ε-ε+dε）單位能量間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比①分子按能量的概率分布函數(shù)：

3、概率分布函數(shù)的普遍意義物理意義：①分子按能量的概率分19②分子按速度的概率分布函數(shù)：物理意義：

速度在附近

單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。②分子按速度的概率分布函數(shù)：物理意義：20③分子按空間位置和速度的概率分布函數(shù)：物理意義：

位置在附近（x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz）單位長度間隔內(nèi),速度在附近（）單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。③分子按空間位置和速度的概率分布函數(shù)：物理意義：21思考１：（P99思考題2.1）說明下列各量的意義。f(v)dv(2)Nf(v)dv(3)思考１：（P99思考題2.1）22思考2：（P99思考題2.2）速率從v1到v2之間分子的平均速率是否為

思考2：（P99思考題2.2）23例題：P102習(xí)題2.2.1（b）例題：P102習(xí)題2.2.1（b）24§2.3麥克斯韋速率分布律從整體上講，分子的速度分布有沒有規(guī)律？對(duì)單個(gè)氣體分子來說，任何時(shí)刻其速度的大小和方向受到許多偶然因素的影響，不能預(yù)知。-----1859年，麥克斯韋（Maxwell）利用理想氣體分子在三個(gè)方向上作獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，用概率統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了麥克斯韋速度分布律，然后得到麥克斯韋速率分布?！?.3麥克斯韋速率分布律從整體上講，分子的速度25（一）麥克斯韋速率分布

（P62）

1、無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子按速率分布：f(v)：麥克斯韋速率分布概率密度。物理意義：速率在υ附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

（一）麥克斯韋速率分布（P62）1、無外場作用，平衡態(tài)下26（2）麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的集體。也有漲落，非常小。

注意：（1）僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù)（2）麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的272、麥克斯韋速率分布曲線：

f()T

op

1

2

d2、麥克斯韋速率分布曲線：f()Top128思考：（1）豎線意義？？

（2）窄面積意義？？f()T

op

1

2

d’思考：（1）豎線意義？？（2）窄面積意義？？f(29f()T

op

1

2

d思考：（3）寬面積意義？？（4）速率很小和速率很大的分子數(shù)所占的比重？？f()Top12d思考：（3）寬面積30（二）三種速率（P65）

（1）最概然速率

最大O（二）三種速率（P65）（1）最概然速率最大O31O思考：①p的物理意義？？有人認(rèn)為最概然速率就是速率分布中的最大速率，對(duì)不對(duì)？f(p)最大。即：分子以速率p出現(xiàn)的幾率最大。或：若把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則p所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比最大。

O思考：f(p)最大。即：分子以速率p出現(xiàn)的幾率最大。32O思考：②溫度T升高，p，f(υ)曲線，f(p)如何變化？？為什么？

N2分子在不同溫度下的速率分布O思考：N2分子在不同溫度下的速率分布33O思考：③在相同的溫度下，氫氣和氧氣分子的速率分布是否一樣？請(qǐng)?jiān)谕粓D中定性地畫出兩種氣體各自的麥克斯韋速率分布曲線。

同一溫度下不同氣體的速率分布O思考：同一溫度下不同氣體的速率分布34O④（P100思考題2.4）恒溫器中放有氫氣瓶，現(xiàn)將氧氣通入瓶內(nèi)，某些速度大的氫分子具備與氧分子復(fù)合的條件而復(fù)合成水，同時(shí)放出熱量。問瓶內(nèi)剩余的氫分子的速率分布應(yīng)該改變嗎？若氫氣瓶為一絕熱容器，情況又如何？

O④（P100思考題2.4）35（2）平均速率

（2）平均速率36（3）方均根速率

（3）方均根速率37（4）三種速率的比較

適用條件：大小:

理想氣體分子它們都應(yīng)用:

p---用于討論速率分布---用于討論分子碰撞---用于計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能（4）三種速率的比較適用條件：大小:理想氣體分子它們都38思考：

（P100思考題2.5）思考：39例題1：如圖所示為氫分子和氧分子在相同溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，則氫分子的最可幾速率為_______，氧分子的最可幾速率為_______。

f(v)υ(m/s)01000例題1：如圖所示為氫分子和氧分子在相同溫度下的麥克斯韋速40例題2：P102習(xí)題2.3.1例題2：P102習(xí)題2.3.141例題3：3.導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可以看作類似氣體分子的運(yùn)動(dòng)，故稱為電子氣。設(shè)導(dǎo)體中共有Ｎ個(gè)自由電子，這些電子的最大速率為vF，稱為費(fèi)米速率。導(dǎo)體中的自由電子速率分布函數(shù)ｆ(ｖ)滿足以下關(guān)系式(式中A為常數(shù))：

(1)作速率分布曲線；

(2)由Ｎ和vF求常數(shù)A；(3)求出這Ｎ個(gè)自由電子的例題3：3.導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可以看作類似氣體分子的運(yùn)42（三）麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)證明

（P60）

歷史：最早：法國物理學(xué)家史特恩（o.stern）1920年；我國物理學(xué)家葛正權(quán)1934年，鉍（Bi）蒸氣；

1955年，美國哥倫比亞大學(xué)的密勒(R.C.Miller)和庫什（P.Kusch）測定了鉀（K）和鉈（Tl）的蒸氣分子的速率分布。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果都與麥克斯韋分布率大致相符。

真空技術(shù)的發(fā)展，驗(yàn)證才有了可能。（三）麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)證明（P60）歷史：真空技431、朗繆爾實(shí)驗(yàn)裝置

（P61圖2.4）

金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵1、朗繆爾實(shí)驗(yàn)裝置（P61圖2.4）金屬蒸汽顯示屏狹縫接442、實(shí)驗(yàn)原理金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵思考：穿過第一凹槽的分子的速率滿足什么條件，才能穿過第二凹槽？

·金屬蒸氣的分子速率分布與分子束中的分子速率分布·改變?chǔ)?，從分子束中選擇出不同速率的分子，測定其強(qiáng)度。·凹槽有一定寬度，實(shí)際上選出的是某一速率范圍內(nèi)的分子數(shù)。并非一回事

2、實(shí)驗(yàn)原理金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵思考：·金屬蒸氣45（一）速度空間

（P66-67）

§2.4麥克斯韋速度分布1、直角坐標(biāo)表示的速度空間

坐標(biāo)軸：速度分量vx、vy、vzvxvyvzov從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量：表示分子速度方向和大小。

（一）速度空間（P66-67）§2.4麥克斯韋速度分462、代表點(diǎn)在速度空間中的分布

（P66圖2.9（a））

速度分布概率密度：

vxvyvzovdvxdvydvz2、代表點(diǎn)在速度空間中的分布（P66圖2.9（a））速度47vxvyvzovdvxdvydvzA、表示速度空間中體積為dvxdvydvz的小體積元中代表點(diǎn)的相對(duì)密集程度。B、速度在附近（）單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。物理意義：vxvyvzovdvxdvydvz物理意義：48思考：（P100思考題2.11）f(vx)dvx表示什么？f(vx)dvxf(vy)dvy表示什么？試用速度空間形象化表示。

f(vx)dvx物理意義：A、任一分子處在速度空間垂直于vx軸的無窮大平板中的概率。（P66圖2.9（b））B、分子速度的x分量在vx—vx+dvx的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

思考：（P100思考題2.11）f(vx)dvx物理意義：49（二）麥克斯韋速度分布（P69）

無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布：vxvyvzovdvxdvydvz物理意義：A、任一分子處在速度空間中任一體積為dvxdvydvz的小立方體中的概率。B、速度在附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。（二）麥克斯韋速度分布（P69）無外場作用，平衡態(tài)下，理50（二）麥克斯韋速度分布（P69）

（二）麥克斯韋速度分布（P69）51（三）從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布（P72）

思考：（P100思考題2.15）麥克斯韋速度分布與速率分布分別表示分子處于速度空間中什么范圍內(nèi)的概率？

ovxvyvzvdvvxvyvzovdvxdvydvz（三）從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布（P72）思考：（P152（一）等溫大氣壓強(qiáng)公式

（P84）

§2.5玻耳茲曼分布思考：

假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣壓強(qiáng)隨高度變化是怎樣的？

（一）等溫大氣壓強(qiáng)公式（P84）§2.5玻耳茲曼分53大氣是等溫的，并處于平衡態(tài)。則大氣壓強(qiáng)隨高度變化：

各量含義：P(z)：高度為z處的大氣壓強(qiáng)P(0)：海平面處的大氣壓強(qiáng)Mm：大氣分子的摩爾質(zhì)量大氣是等溫的，并處于平衡態(tài)。則大氣壓強(qiáng)隨高度變化：各量含義54說明：高度不超過2Km時(shí)，結(jié)果比較符合實(shí)際。應(yīng)用：高度計(jì)

高度每升高10米，大氣壓強(qiáng)約降133Pa(1mmHg)

說明：高度不超過2Km時(shí)，結(jié)果比較符合實(shí)際。應(yīng)用：高度計(jì)55（二）重力場中粒子按位置的分布

（分子數(shù)密度隨高度按指數(shù)規(guī)律減?。?/p>

（二）重力場中粒子按位置的分布（分子數(shù)密度隨高度按指數(shù)規(guī)律56玻爾茲曼對(duì)粒子按能量的分布進(jìn)行了推廣。

玻爾茲曼對(duì)粒子按能量的分布進(jìn)行了推廣。57（三）玻耳茲曼分布律

（P85）

在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該狀態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量ε有關(guān)，且與成正比。

（三）玻耳茲曼分布律（P85）在溫度為T的平衡態(tài)下58B、玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何系統(tǒng)的基本定律。（平衡態(tài)）(在ε越大的狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少)如：重力場中，分子位置分布下密上疏，不再均勻。

在量子理論中，處于基態(tài)的原子最多，處于激發(fā)態(tài)的極少。說明：A、玻爾茲曼分布僅是一種描述粒子處于不同能量的（單個(gè)）狀態(tài)上有不同概率的一種分布。B、玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何系統(tǒng)的基本定律。（平59（一）熱容

（P87）

§6.6能量均分定理1、熱容：

物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。

摩爾熱容：1mol物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。

比熱（容）：1Kg物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。（一）熱容（P87）§6.6能量均分定理1、60定體熱容CV、定壓熱容CP、摩爾定體熱容CV,m、摩爾定壓熱容CP,m、定體比熱容cV、定壓比熱容cP

不僅與物體性質(zhì)有關(guān)，也與具體過程有關(guān)

定體熱容CV、定壓熱容CP、不僅與物體性質(zhì)有關(guān)，也與具體過程612、理想氣體內(nèi)能與熱容單原子理想氣體內(nèi)能：

單原子理想氣體摩爾定體熱容：（P87表2.2）2、理想氣體內(nèi)能與熱容單原子理想氣體內(nèi)能：單原子理想氣體摩62（二）自由度與自由度數(shù)

（1）機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)動(dòng)形式任一直線形成一組平行線A、平動(dòng)B、轉(zhuǎn)動(dòng)C、振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（二）自由度與自由度數(shù)（1）機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)動(dòng)形式任一直線63如自行車輪子的運(yùn)動(dòng)(剛體)一般運(yùn)動(dòng):看成基本運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)）形式的疊加CPP如自行車輪子的運(yùn)動(dòng)(剛體)一般運(yùn)動(dòng):看成基本運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)642、自由度與自由度數(shù)自由度：

描述物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)。自由度數(shù)：

確定物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。

t+r+

s(t：平動(dòng)自由度；r：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；s：振動(dòng)自由度)2、自由度與自由度數(shù)自由度：t+r+s(t：平動(dòng)自65

t

3r=0s=0三維空間，t=3若受到限制，自由度降低

平面上t=2

直線上t=1質(zhì)點(diǎn)t3r66剛體(如：手榴彈，陀螺)

t+r

6s=0xzy

●每一點(diǎn)繞過c點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)●定質(zhì)心位置先定轉(zhuǎn)軸2個(gè)自由度再定每個(gè)質(zhì)量元在垂直軸的平面內(nèi)繞軸旋的角度1個(gè)自由度共有

3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度需3個(gè)平動(dòng)自由度剛體(如：手榴彈，陀螺)t+67非剛體（由N個(gè)獨(dú)立的粒子組成的質(zhì)點(diǎn)系：包括氣體、液體）

t+r+s

3N一般說來，這3N個(gè)自由度中，有三個(gè)平動(dòng)、三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)及3N-6個(gè)振動(dòng)自由度

非剛體t+r+s3N一般說來，這3683、氣體分子的自由度（P89）

單原子分子N個(gè)原子組成的多原子分子

剛性雙原子分子以及其它剛性的線型分子，一般都有3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其自由度數(shù)為5。

可看作質(zhì)點(diǎn)，自由度數(shù)為t=3

可看作質(zhì)點(diǎn)系（非剛體），自由度數(shù)最多為3N個(gè)。3、氣體分子的自由度（P89）單原子分子N個(gè)原子組69（三）能量（按自由度）均分原理1、能量均分定理：

（P90）

在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)(氣、液、固)分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能平均分配到每一個(gè)分子的每一個(gè)自由度上，每一個(gè)分子的每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能都是

（三）能量（按自由度）均分原理1、能量均分定理：（P9070u

振動(dòng)能量的計(jì)算：簡諧振動(dòng)，u

能量均分定理僅限于均分平均動(dòng)能平均動(dòng)能與平均勢能相等，每一振動(dòng)自由度均分kT的能量。若某種分子有t個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s個(gè)振動(dòng)自由度，則每一分子的總的平均能量為式中各種振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度都應(yīng)是確實(shí)對(duì)能量均分定理作全部貢獻(xiàn)的自由度，因?yàn)樽杂啥葧?huì)發(fā)生凍結(jié)。

注意：u

振動(dòng)能量的計(jì)算：簡諧振動(dòng)，u

能量均分定理僅限71思考1：（P101思考題2.28）

既然理想氣體是忽略分子間互作用勢能的，為什么上式中還有勢能？

思考1：（P101思考題2.28）722、能量按自由度均分的微觀解釋：

（P92）

A、對(duì)于氣體，由于分子間頻繁的無規(guī)則碰撞，能量從一個(gè)分子轉(zhuǎn)移到另一個(gè)分子，從這一個(gè)自由度轉(zhuǎn)移到另一個(gè)自由度，從這種形式的自由度（如：平動(dòng)）轉(zhuǎn)移到另一種形式的自由度（如：轉(zhuǎn)動(dòng)）。B、液體和固體，能量均分是通過分子間很強(qiáng)的相互作用來實(shí)現(xiàn)的。

2、能量按自由度均分的微觀解釋：（P92）A、對(duì)于氣體733、常溫下理想氣體的內(nèi)能的計(jì)算常溫下理想氣體振動(dòng)自由度凍結(jié)，分子可看作剛性的。

常溫下νmol單原子分子理想氣體：常溫下νmol雙原子分子理想氣體：常溫下ν

mol多原子分子理想氣體：

常溫下νmol單原子分子理想氣體：常溫下νmol雙原子分子理想氣體：常溫下ν

mol多原子分子理想氣體：

常溫下νmol單原子分子理想氣體：常溫下νmol雙原子分子理想氣體：常溫下ν

mol多原子分子理想氣體：

常溫下νmol單原子分子理想氣體：常溫下νmol雙原子分子理想氣體：常溫下ν

mol多原子分子理想氣體：

3、常溫下理想氣體的內(nèi)能的計(jì)算常溫下理想氣體振動(dòng)自由度凍結(jié)74思考2：（P101思考題2.26）為什么溫度不太高時(shí)O2、N2、CO及室溫下的H2等常見雙原子分子理想氣體，其摩爾內(nèi)能是，而不是？

思考2：（P101思考題2.26）75思考3：

判斷正誤。有兩種理想氣體，溫度相等，則：（1）內(nèi)能必然相等（2）分子的平均能量必然相等（3）分子的平均動(dòng)能必然相等（4）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能必然相等思考3：判斷正誤。76例題：

P105習(xí)題2.7.3習(xí)題2.7.1

例題：P105習(xí)題2.7.377作業(yè)：P102習(xí)題2.3.4（麥克斯韋速率分布）P102習(xí)題2.3.5（理想氣體三種速率）

P104

習(xí)題2.6.6

（等溫氣壓公式）

作業(yè)：P102習(xí)題2.3.4（麥克斯韋速率分布）78第二章

分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論§2.1分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

§2.2概率論的基本知識(shí)

§2.3

麥克斯韋速率分布§2.4麥克斯韋速度分布§2.5玻爾茲曼分布§2.6

能量均分定理第二章分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論§2.1分79（一）名稱：§2.1分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)審定“分子運(yùn)動(dòng)論”“分子動(dòng)力論”等統(tǒng)一稱為“分子動(dòng)理學(xué)理論”

（一）名稱：§2.1分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)全國80（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系

1、分子動(dòng)理學(xué)理論方法的主要特點(diǎn)：它考慮到分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來討論分子運(yùn)動(dòng)及分子碰撞的詳情。它的最終及最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。

（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系1、分子動(dòng)理學(xué)理論方法81（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系

2、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從對(duì)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來說明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系2、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從對(duì)物82（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系

3、廣義上，分子動(dòng)理學(xué)理論歸屬于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的范疇。狹義上，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)僅指玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)與吉布斯統(tǒng)計(jì)，是平衡態(tài)理論。

熱物理學(xué)的微觀理論由分子動(dòng)理學(xué)理論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)與非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)三部分組成。

（二）分子動(dòng)理學(xué)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)關(guān)系3、廣義上，分子動(dòng)理學(xué)83（三）學(xué)習(xí)建議重點(diǎn)掌握基本物理概念、處理問題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)。暫不去追求理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。（三）學(xué)習(xí)建議重點(diǎn)掌握基本物理概念、處理問題的物理84A、在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)律---統(tǒng)計(jì)規(guī)律§2.2概率論的基本知識(shí)

B、統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象

伽爾頓板實(shí)驗(yàn)（P54）A、在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)85（一）等概率性與概率的基本性質(zhì)（P55）

1、隨機(jī)事件：在一定條件下，某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生。

2、概率的定義：在相同的條件下重復(fù)同一實(shí)驗(yàn)，在總次數(shù)N足夠多的情況下（即N→∞），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù)NL，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率。

（一）等概率性與概率的基本性質(zhì)（P55）1、隨機(jī)事件：2863、等概率性在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)的概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。統(tǒng)計(jì)物理的基本假定：（等概率原理）如果對(duì)于系統(tǒng)的各個(gè)可能的狀態(tài)沒有更多的知識(shí)，就可暫時(shí)假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。3、等概率性統(tǒng)計(jì)物理的基本假定：（等概率原理）873、概率的基本性質(zhì)：

(1)歸一化（P57）：

n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率(2)概率相加法則：是每個(gè)事件發(fā)生概率之和。

(3)概率相乘法則：等于各個(gè)事件概率之乘積。3、概率的基本性質(zhì)：(1)歸一化（P57）：n個(gè)88（二）平均值與漲落

1、平均值

（P56）

說明：應(yīng)用方便，但只適用于N非常大的所有事件。（二）平均值與漲落1、平均值（P56）說明：應(yīng)用方便，892、漲落（散度、散差）（相對(duì)方均根偏差）

（P58）

物理意義：表示隨機(jī)變量在平均值附近散開分布的程度2、漲落（散度、散差）（相對(duì)方均根偏差）（P58）物理意90（三）概率分布函數(shù)（概率密度）

由于測量儀器總有一定的誤差（如：1m/s），我們只能測出分子速率從99m/s到101m/s的分子數(shù)是多少，也只能講速率界于某一范圍內(nèi)的概率。描述連續(xù)變量概率分布情況。變量連續(xù)變化，如：粒子的空間位置、粒子的速度。（三）概率分布函數(shù)（概率密度）由于測量儀器總有一定的誤差（91黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：

表示黑點(diǎn)沿x方向的相對(duì)密集程度。1、按位置分布的概率密度

（P58）

射擊點(diǎn)在靶上的分布（P59圖2.2）黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：1、按位置分布的概率密度（P592黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：

位置處于x1到x2范圍內(nèi)的概率1（歸一化條件）（注意：對(duì)所有的黑點(diǎn)求平均）黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度：位置93黑點(diǎn)沿y方向分布的概率密度：

表示黑點(diǎn)沿y方向的相對(duì)密集程度。

黑點(diǎn)沿平面位置分布的概率密度：

表示黑點(diǎn)在某一區(qū)域內(nèi)的相對(duì)密集程度。

黑點(diǎn)沿y方向分布的概率密度：黑點(diǎn)沿平面位置分布的概率密度：942、速率分布函數(shù)（概率分布函數(shù)的一種）

只與速率v有關(guān)或說只是v的函數(shù)=含義：

速率在υ附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。或一個(gè)分子的速率在速率υ附近單位速率區(qū)間的概率--概率密度。

2、速率分布函數(shù)（概率分布函數(shù)的一種）只與速率v有關(guān)95曲線下面積恒為1o幾何意義：2、速率分布函數(shù)1

歸一性質(zhì)曲線下面積恒為1o幾何意義：2、速率分布函數(shù)1963、概率分布函數(shù)的普遍意義

物理意義：

能量在ε附近（ε-ε+dε）單位能量間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比①分子按能量的概率分布函數(shù)：

3、概率分布函數(shù)的普遍意義物理意義：①分子按能量的概率分97②分子按速度的概率分布函數(shù)：物理意義：

速度在附近

單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。②分子按速度的概率分布函數(shù)：物理意義：98③分子按空間位置和速度的概率分布函數(shù)：物理意義：

位置在附近（x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz）單位長度間隔內(nèi),速度在附近（）單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。③分子按空間位置和速度的概率分布函數(shù)：物理意義：99思考１：（P99思考題2.1）說明下列各量的意義。f(v)dv(2)Nf(v)dv(3)思考１：（P99思考題2.1）100思考2：（P99思考題2.2）速率從v1到v2之間分子的平均速率是否為

思考2：（P99思考題2.2）101例題：P102習(xí)題2.2.1（b）例題：P102習(xí)題2.2.1（b）102§2.3麥克斯韋速率分布律從整體上講，分子的速度分布有沒有規(guī)律？對(duì)單個(gè)氣體分子來說，任何時(shí)刻其速度的大小和方向受到許多偶然因素的影響，不能預(yù)知。-----1859年，麥克斯韋（Maxwell）利用理想氣體分子在三個(gè)方向上作獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，用概率統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了麥克斯韋速度分布律，然后得到麥克斯韋速率分布?！?.3麥克斯韋速率分布律從整體上講，分子的速度103（一）麥克斯韋速率分布

（P62）

1、無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子按速率分布：f(v)：麥克斯韋速率分布概率密度。物理意義：速率在υ附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

（一）麥克斯韋速率分布（P62）1、無外場作用，平衡態(tài)下104（2）麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的集體。也有漲落，非常小。

注意：（1）僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù)（2）麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的1052、麥克斯韋速率分布曲線：

f()T

op

1

2

d2、麥克斯韋速率分布曲線：f()Top1106思考：（1）豎線意義？？

（2）窄面積意義？？f()T

op

1

2

d’思考：（1）豎線意義？？（2）窄面積意義？？f(107f()T

op

1

2

d思考：（3）寬面積意義？？（4）速率很小和速率很大的分子數(shù)所占的比重？？f()Top12d思考：（3）寬面積108（二）三種速率（P65）

（1）最概然速率

最大O（二）三種速率（P65）（1）最概然速率最大O109O思考：①p的物理意義？？有人認(rèn)為最概然速率就是速率分布中的最大速率，對(duì)不對(duì)？f(p)最大。即：分子以速率p出現(xiàn)的幾率最大?；颍喝舭颜麄€(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則p所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比最大。

O思考：f(p)最大。即：分子以速率p出現(xiàn)的幾率最大。110O思考：②溫度T升高，p，f(υ)曲線，f(p)如何變化？？為什么？

N2分子在不同溫度下的速率分布O思考：N2分子在不同溫度下的速率分布111O思考：③在相同的溫度下，氫氣和氧氣分子的速率分布是否一樣？請(qǐng)?jiān)谕粓D中定性地畫出兩種氣體各自的麥克斯韋速率分布曲線。

同一溫度下不同氣體的速率分布O思考：同一溫度下不同氣體的速率分布112O④（P100思考題2.4）恒溫器中放有氫氣瓶，現(xiàn)將氧氣通入瓶內(nèi)，某些速度大的氫分子具備與氧分子復(fù)合的條件而復(fù)合成水，同時(shí)放出熱量。問瓶內(nèi)剩余的氫分子的速率分布應(yīng)該改變嗎？若氫氣瓶為一絕熱容器，情況又如何？

O④（P100思考題2.4）113（2）平均速率

（2）平均速率114（3）方均根速率

（3）方均根速率115（4）三種速率的比較

適用條件：大小:

理想氣體分子它們都應(yīng)用:

p---用于討論速率分布---用于討論分子碰撞---用于計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能（4）三種速率的比較適用條件：大小:理想氣體分子它們都116思考：

（P100思考題2.5）思考：117例題1：如圖所示為氫分子和氧分子在相同溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，則氫分子的最可幾速率為_______，氧分子的最可幾速率為_______。

f(v)υ(m/s)01000例題1：如圖所示為氫分子和氧分子在相同溫度下的麥克斯韋速118例題2：P102習(xí)題2.3.1例題2：P102習(xí)題2.3.1119例題3：3.導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可以看作類似氣體分子的運(yùn)動(dòng)，故稱為電子氣。設(shè)導(dǎo)體中共有Ｎ個(gè)自由電子，這些電子的最大速率為vF，稱為費(fèi)米速率。導(dǎo)體中的自由電子速率分布函數(shù)ｆ(ｖ)滿足以下關(guān)系式(式中A為常數(shù))：

(1)作速率分布曲線；

(2)由Ｎ和vF求常數(shù)A；(3)求出這Ｎ個(gè)自由電子的例題3：3.導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可以看作類似氣體分子的運(yùn)120（三）麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)證明

（P60）

歷史：最早：法國物理學(xué)家史特恩（o.stern）1920年；我國物理學(xué)家葛正權(quán)1934年，鉍（Bi）蒸氣；

1955年，美國哥倫比亞大學(xué)的密勒(R.C.Miller)和庫什（P.Kusch）測定了鉀（K）和鉈（Tl）的蒸氣分子的速率分布。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果都與麥克斯韋分布率大致相符。

真空技術(shù)的發(fā)展，驗(yàn)證才有了可能。（三）麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)證明（P60）歷史：真空技1211、朗繆爾實(shí)驗(yàn)裝置

（P61圖2.4）

金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵1、朗繆爾實(shí)驗(yàn)裝置（P61圖2.4）金屬蒸汽顯示屏狹縫接1222、實(shí)驗(yàn)原理金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵思考：穿過第一凹槽的分子的速率滿足什么條件，才能穿過第二凹槽？

·金屬蒸氣的分子速率分布與分子束中的分子速率分布·改變?chǔ)兀瑥姆肿邮羞x擇出不同速率的分子，測定其強(qiáng)度。·凹槽有一定寬度，實(shí)際上選出的是某一速率范圍內(nèi)的分子數(shù)。并非一回事

2、實(shí)驗(yàn)原理金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵思考：·金屬蒸氣123（一）速度空間

（P66-67）

§2.4麥克斯韋速度分布1、直角坐標(biāo)表示的速度空間

坐標(biāo)軸：速度分量vx、vy、vzvxvyvzov從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量：表示分子速度方向和大小。

（一）速度空間（P66-67）§2.4麥克斯韋速度分1242、代表點(diǎn)在速度空間中的分布

（P66圖2.9（a））

速度分布概率密度：

vxvyvzovdvxdvydvz2、代表點(diǎn)在速度空間中的分布（P66圖2.9（a））速度125vxvyvzovdvxdvydvzA、表示速度空間中體積為dvxdvydvz的小體積元中代表點(diǎn)的相對(duì)密集程度。B、速度在附近（）單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。物理意義：vxvyvzovdvxdvydvz物理意義：126思考：（P100思考題2.11）f(vx)dvx表示什么？f(vx)dvxf(vy)dvy表示什么？試用速度空間形象化表示。

f(vx)dvx物理意義：A、任一分子處在速度空間垂直于vx軸的無窮大平板中的概率。（P66圖2.9（b））B、分子速度的x分量在vx—vx+dvx的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

思考：（P100思考題2.11）f(vx)dvx物理意義：127（二）麥克斯韋速度分布（P69）

無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布：vxvyvzovdvxdvydvz物理意義：A、任一分子處在速度空間中任一體積為dvxdvydvz的小立方體中的概率。B、速度在附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。（二）麥克斯韋速度分布（P69）無外場作用，平衡態(tài)下，理128（二）麥克斯韋速度分布（P69）

（二）麥克斯韋速度分布（P69）129（三）從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布（P72）

思考：（P100思考題2.15）麥克斯韋速度分布與速率分布分別表示分子處于速度空間中什么范圍內(nèi)的概率？

ovxvyvzvdvvxvyvzovdvxdvydvz（三）從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布（P72）思考：（P1130（一）等溫大氣壓強(qiáng)公式

（P84）

§2.5玻耳茲曼分布思考：

假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣壓強(qiáng)隨高度變化是怎樣的？

（一）等溫大氣壓強(qiáng)公式（P84）§2.5玻耳茲曼分131大氣是等溫的，并處于平衡態(tài)。則大氣壓強(qiáng)隨高度變化：

各量含義：P(z)：高度為z處的大氣壓強(qiáng)P(0)：海平面處的大氣壓強(qiáng)Mm：大氣分子的摩爾質(zhì)量大氣是等溫的，并處于平衡態(tài)。則大氣壓強(qiáng)隨高度變化：各量含義132說明：高度不超過2Km時(shí)，結(jié)果比較符合實(shí)際。應(yīng)用：高度計(jì)

高度每升高10米，大氣壓強(qiáng)約降133Pa(1mmHg)

說明：高度不超過2Km時(shí)，結(jié)果比較符合實(shí)際。應(yīng)用：高度計(jì)133（二）重力場中粒子按位置的分布

（分子數(shù)密度隨高度按指數(shù)規(guī)律減?。?/p>

（二）重力場中粒子按位置的分布（分子數(shù)密度隨高度按指數(shù)規(guī)律134玻爾茲曼對(duì)粒子按能量的分布進(jìn)行了推廣。

玻爾茲曼對(duì)粒子按能量的分布進(jìn)行了推廣。135（三）玻耳茲曼分布律

（P85）

在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該狀態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量ε有關(guān)，且與成正比。

（三）玻耳茲曼分布律（P85）在溫度為T的平衡態(tài)下136B、玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何系統(tǒng)的基本定律。（平衡態(tài)）(在ε越大的狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少)如：重力場中，分子位置分布下密上疏，不再均勻。

在量子理論中，處于基態(tài)的原子最多，處于激發(fā)態(tài)的極少。說明：A、玻爾茲曼分布僅是一種描述粒子處于不同能量的（單個(gè)）狀態(tài)上有不同概率的一種分布。B、玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何系統(tǒng)的基本定律。（平137（一）熱容

（P87）

§6.6能量均分定理1、熱容：

物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。

摩爾熱容：1mol物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。

比熱（容）：1Kg物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。（一）熱容（P87）§6.6能量均分定理1、138定體熱容CV、定壓熱容CP、摩爾定體熱容CV,m、摩爾定壓熱容CP,m、定體比熱容cV、定壓比熱容cP

不僅與物體性質(zhì)有關(guān)，也與具體過程有關(guān)

定體熱容CV、定壓熱容CP、不僅與物體性質(zhì)有關(guān)，也與具體過程1392、理想氣體內(nèi)能與熱容單原子理想氣體內(nèi)能：

單原子理想氣體摩爾定體熱容：（P87表2.2）2、理想氣體內(nèi)能與熱容單原子理想氣體內(nèi)能：單原子理想氣體摩140（二）自由度與自由度數(shù)

（1）機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)動(dòng)形式任一直線形成一組平行線A、平動(dòng)B、轉(zhuǎn)動(dòng)C、振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（二）自由度與自由度數(shù)（1）機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)動(dòng)形式任一直線141如自行車輪子的運(yùn)動(dòng)(剛體)一般運(yùn)動(dòng):看成基本運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)）形式的疊加CPP如自行車輪子的運(yùn)動(dòng)(剛體)一般運(yùn)動(dòng):看成基本運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)1422、自由度與自由度數(shù)自由度：

描述物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)。自由度數(shù)：

確定物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。

t+r+

s(t：平動(dòng)自由度；r：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；s：振動(dòng)自由度)2、自由度與自由度數(shù)自由度：t+r+s(t：平動(dòng)自143

t

3r=0s=0三維空間，t=3