電動(dòng)力學(xué)-矢量分析與場(chǎng)論講解課件

電動(dòng)力學(xué)--2013鄒正峰 求是樓233# 689487959-16周 16次課期末考試80% 平時(shí)成績(jī)20%每周交一次作業(yè)電動(dòng)力學(xué)--2013鄒正峰 求是樓233# 68948791電動(dòng)力學(xué)矢量分析與場(chǎng)論電動(dòng)力學(xué)參考書：《矢量分析與場(chǎng)論》 謝樹藝，高教出版社《電動(dòng)力學(xué)》郭碩鴻，高教出版社《電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程》俞允強(qiáng)，北大出版社電動(dòng)力學(xué)矢量分析與場(chǎng)論2矢量分析與場(chǎng)論—數(shù)學(xué)預(yù)備矢量及基本運(yùn)算矢性函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則哈密頓算子及其簡(jiǎn)易計(jì)算方法積分變換式：高斯公式、斯托克斯公式場(chǎng)梯度、散度、旋度有勢(shì)場(chǎng)管形場(chǎng)矢量分析與場(chǎng)論—數(shù)學(xué)預(yù)備矢量及基本運(yùn)算3矢量矢量：既有大?。＃?，又有方向數(shù)量矢量矢量的坐標(biāo)表示方法基矢zxy矢量可以用三個(gè)有序的數(shù)量表示矢量矢量：既有大?。＃?，又有方向數(shù)量矢量矢量的坐標(biāo)表示方法4矢量矢量的模單位矢量zxy矢量矢量的模單位矢量zxy5矢量的加、減 加、減

矢量的加、減，滿足平行四邊形法則。以兩矢量為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形的對(duì)角線就是這兩個(gè)矢量的和或差。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個(gè)矢量的和(差)的分量等于這兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量的和(差)。矢量的加、減 加、減 矢量的加、減，滿足平行四邊6標(biāo)積 標(biāo)積

兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個(gè)標(biāo)量，稱為標(biāo)積或內(nèi)積。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個(gè)矢量的標(biāo)積等于這兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。標(biāo)積 標(biāo)積 兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個(gè)標(biāo)量，稱為7矢積

×積，或矢積 矢積是一個(gè)矢量，其大小等于以兩矢量為鄰邊所作平行四邊形的面積，方向滿足右手螺旋法則。矢積 ×積，或矢積 矢積是一個(gè)矢量，其大小等于8并矢 并矢 又可以表示為 并矢 并矢 又可以表示為 9并矢與張量 張量：就是有坐標(biāo)的量，它們不隨參照系的坐標(biāo)變換 而變化 坐標(biāo)組一個(gè)指標(biāo)的，就是一階張量，在三維迪卡爾坐標(biāo) 系里，具有三個(gè)與坐標(biāo)相關(guān)的獨(dú)立變量集合，矢量

坐標(biāo)組兩個(gè)指標(biāo)的，就是二階張量矩陣，在三維迪卡爾 坐標(biāo)系里，具有九個(gè)與坐標(biāo)相關(guān)的獨(dú)立變量集合，并矢

依次類推，三階，四階……本課程中，如無(wú)特別指明，張量均指二階張量并矢與張量 張量：就是有坐標(biāo)的量，它們不隨參照系的10矢量的運(yùn)算符 標(biāo)量的運(yùn)算符 矢量的運(yùn)算符 矢量的運(yùn)算符 標(biāo)量的運(yùn)算符 矢量的運(yùn)算符 11三矢量的混合積 三矢量的混合積 三個(gè)矢量的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其絕對(duì)值等于以這三個(gè)矢量為棱的平行六面體的體積。三矢量的混合積 三矢量的混合積 三個(gè)矢量的混合12三矢量的矢積

三矢量的矢積

三個(gè)矢量的矢積，可以表示為括號(hào)內(nèi)兩矢量的線性組合，系數(shù)分別為括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)的另一矢量的點(diǎn)積，括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)距離較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項(xiàng)為正，與較近的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項(xiàng)為負(fù)?！斑h(yuǎn)交近攻”三矢量的矢積 三矢量的矢積 三個(gè)矢量的矢積，可以表13例：證明

證明：是一個(gè)矢量，令，有：

利用三矢量的矢積公式可以得到，

于是可得，

例：證明14矢性函數(shù)的定義設(shè)有數(shù)性變量t和變矢，如果對(duì)于t在某個(gè)范圍G內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值，都以一個(gè)確定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)，記作并稱G為函數(shù)的定義域概念常矢：模和方向都保持不變的矢量。零矢量方向任意，作為常矢特例。變矢：模和方向只要有一個(gè)會(huì)變化（除零矢量外）即為變矢。矢性函數(shù)的定義設(shè)有數(shù)性變量t和變矢，如果對(duì)于t15矢性函數(shù) 矢性函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)(即它在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影)顯然都是的函數(shù).矢性函數(shù)的坐標(biāo)為矢性函數(shù)的坐標(biāo)表達(dá)式為：矢性函數(shù)可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)表示矢性函數(shù) 矢性函數(shù)在直角坐標(biāo)16矢端曲線，矢徑，距離矢量 矢徑： 距離矢量：zxylMozxyoMP矢端曲線，矢徑，距離矢量 矢徑： 距離矢量：zxylM17矢性函數(shù)的極限極限定義設(shè)矢性函數(shù)在t0點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義(但t0點(diǎn)可以沒有定義)，為一常矢，若都，使得當(dāng)t滿足時(shí)，定有，就稱為矢性函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。記為：根據(jù)極限運(yùn)算性質(zhì)可得到矢性函數(shù)的極限極限定義根據(jù)極限運(yùn)算性質(zhì)可得到18矢性函數(shù)的極限一個(gè)矢性函數(shù)的極限，可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的極限來(lái)描述（或表示）。矢性函數(shù)的極限一個(gè)矢性函數(shù)的極限，可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的19矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（），可以用三個(gè)有序的數(shù)性性函數(shù)的（）來(lái)描述（或表示）。

極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分

極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（20矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（），可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的（）來(lái)描述（或表示）。

極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分

微分不定積分定積分矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（21 當(dāng)兩個(gè)矢量運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)行基矢間的運(yùn)算，然后再進(jìn)行函數(shù)間的運(yùn)算?；钢g的運(yùn)算規(guī)則是與運(yùn)算符相鄰的兩個(gè)基矢之間發(fā)生運(yùn)算關(guān)系?；高\(yùn)算只有點(diǎn)、叉、并運(yùn)算。而函數(shù)間運(yùn)算包含了乘、微分、積分等關(guān)系。矢量運(yùn)算的基本方法 當(dāng)兩個(gè)矢量運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)行基矢間的運(yùn)算，然后再進(jìn)行函數(shù)間的運(yùn)22矢量的基矢運(yùn)算規(guī)則 矢量的基矢運(yùn)算規(guī)則 23哈密頓算符 哈密頓算符是一個(gè)矢性微分算符，在運(yùn)算中具有矢量和微分的雙重性質(zhì)。在直角坐標(biāo)系中，可表示為其運(yùn)算規(guī)則是：哈密頓算符 哈密頓算符是一個(gè)矢性微分算符，在運(yùn)算中具24算符 算符 25哈密頓算符矢量公式哈密頓算符矢量公式26矢量公式矢量公式27

28在下面的公式中為矢徑在下面的公式中為矢徑29證明算子▽的公式例：證明證明算子▽的公式30哈密頓算符的運(yùn)算方法 “先微分，后矢量”分為三步：第一步：利用▽的微分性，將所求表達(dá)式分成幾項(xiàng)，每一項(xiàng)中▽只作用于一個(gè)函數(shù)上。

此時(shí)可在▽算符的下標(biāo)標(biāo)明算符所作用的函數(shù) 或者在▽算符不作用的函數(shù)下加臨時(shí)的常數(shù)標(biāo)記哈密頓算符的運(yùn)算方法 “先微分，后矢量”31哈密頓算符的運(yùn)算方法 第二步：將算符看成一個(gè)矢量，利用矢量的性質(zhì)重新排列，使得算符緊鄰著排在它所作用的函數(shù)前面，而把不被作用的函數(shù)移到算符作用范圍外面

或第三步，抹去下標(biāo)，得到結(jié)果哈密頓算符的運(yùn)算方法 第二步：將算符看成一個(gè)矢量，利32例：證明

先微分再矢量去掉下標(biāo)證畢例：證明33例：證明先微分再矢量去掉下標(biāo)證畢例：證明34例：證明先微分再矢量

去掉下標(biāo)證畢例：證明35強(qiáng)調(diào)： 1： ▽是一個(gè)算符，不能看成一個(gè)矢量

2： 哈密頓算法的簡(jiǎn)易運(yùn)算方法，三個(gè)步驟是一個(gè)整體，缺一不可，不能單獨(dú)使用。

沒有對(duì)做微分運(yùn)算對(duì) 做了微分運(yùn)算強(qiáng)調(diào)： 1： ▽是一個(gè)算符，不能看成一個(gè)矢量 236積分變換式--1 高斯公式（奧式公式）上式能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。

采用▽符號(hào)來(lái)表示，可將上式寫成：積分變換式--1 高斯公式（奧式公式）37積分變換式--2 斯托克斯公式上式能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。

采用▽符號(hào)來(lái)表示，可將上式寫成：積分變換式--2 斯托克斯公式38場(chǎng) 如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)：溫度，密度，電位矢量場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度，力，速度穩(wěn)定場(chǎng)：不穩(wěn)定場(chǎng)：數(shù)量場(chǎng)的等值面和等值線：矢量場(chǎng)的矢量線：曲線的每一點(diǎn)均與對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的矢量相切場(chǎng) 如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)39方向?qū)?shù) 設(shè)M0為數(shù)量場(chǎng)u=u(M)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)引一條射線l,在l上的點(diǎn)M0的臨近取一動(dòng)點(diǎn)M，記，如右圖。若當(dāng)M→M0時(shí)比式的極限存在，則稱它為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)描述了在特定點(diǎn)處，數(shù)量場(chǎng)沿指定方向的變化率M0Mlρ

定義

計(jì)算公式其中方向?qū)?shù) 設(shè)M0為數(shù)量場(chǎng)u=u(M)中的一點(diǎn)40方向?qū)?shù)最大值與方向 l方向上的單位矢量取矢量有方向?qū)?shù)最大值與方向 l方向上的單位矢量取矢量有41梯度 若在數(shù)量場(chǎng)u(M)

中的一點(diǎn)M處，存在這樣的一個(gè)矢量

，其方向?yàn)楹瘮?shù)u(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值。則稱矢量

為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M處的梯度，記作：

定義

計(jì)算公式

性質(zhì)方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向數(shù)量增大的方向梯度 若在數(shù)量場(chǎng)u(M)中的一點(diǎn)M處，存在這樣的一42通量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中有向曲面S的某一側(cè)的曲面積分叫做矢量場(chǎng)向積分所沿一側(cè)穿過(guò)曲面S的通量

定義

通量可疊加通量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中有向43散度 設(shè)有矢量場(chǎng)，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一封閉曲面，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)椋员砥潴w積，以表從其內(nèi)穿出S的通量，若當(dāng)以任意方式縮向M點(diǎn)時(shí)，比式之極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的散度，記作

定義散度表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即該點(diǎn)處源的強(qiáng)度散度 設(shè)有矢量場(chǎng)，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的44散度的計(jì)算公式 矢量場(chǎng)高斯公式（奧氏公式）由高斯公式再根據(jù)中值定理，在中總能找到一點(diǎn)，使由定義散度的計(jì)算公式 矢量場(chǎng)高斯公式由高斯公式再根據(jù)中值定45環(huán)量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中某一封閉的有向曲線l的曲線積分叫做矢量場(chǎng)按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量

定義環(huán)量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中某一46環(huán)量面密度

設(shè)有M為矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)，在M點(diǎn)處取定一個(gè)方向，再過(guò)M點(diǎn)任作一微小曲面,以為其在M點(diǎn)處的法矢，其周界之正向取作與構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場(chǎng)沿之正向的環(huán)量與面積之比，當(dāng)曲面在保持M點(diǎn)于其上的條件下，沿著自身縮向M點(diǎn)時(shí)，若的極限存在，則稱其為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度，記作：

定義環(huán)量面密度表示環(huán)量對(duì)面積的變化率M環(huán)量面密度 設(shè)有M為矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)，在M點(diǎn)處47環(huán)量面密度的計(jì)算公式 矢量場(chǎng)斯托克斯公式根據(jù)中值定理環(huán)量面密度的計(jì)算公式 矢量場(chǎng)斯托克斯公式根據(jù)中值定理48環(huán)量面密度變化率最大值與方向 方向上的單位矢量取矢量有環(huán)量面密度變化率最大值與方向 方向上的單位矢量取矢量有49旋度 若在矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)M處存在這樣的一個(gè)矢量，矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，且最大的數(shù)值為，則稱矢量為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的旋度記作：

定義

計(jì)算公式

性質(zhì)環(huán)量面密度等于旋度在該方向上的投影，即旋度 若在矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)M處存在這樣的一個(gè)50梯度、散度、旋度

哈密頓算子

雅可比矩陣梯度、散度、旋度 哈密頓算子雅可比矩陣51積分變換式 高斯公式（奧式公式）斯托克斯公式積分變換式 高斯公式（奧式公式）52思考題 的含義？思考題 的含義？53梯度、散度、旋度

哈密頓算子梯度、散度、旋度 哈密頓算子54 設(shè)矢量場(chǎng)，若存在單值函數(shù)滿足；則稱此矢量場(chǎng)是有勢(shì)的。令，并稱為這個(gè)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)。有勢(shì)場(chǎng)

定義有勢(shì)場(chǎng)為一個(gè)梯度場(chǎng)。有勢(shì)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)為無(wú)窮多。

性質(zhì) 設(shè)矢量場(chǎng)，若存在單值函數(shù)55定理 定理：在線單連域內(nèi)矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)的充要條件是其旋度在場(chǎng)內(nèi)處處為零。必要性：充分性：與積分路徑無(wú)關(guān)定理 定理：在線單連域內(nèi)矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)的充要條件56證畢證畢57結(jié)論：有勢(shì)場(chǎng)梯度場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)保守場(chǎng)與積分路徑無(wú)關(guān)結(jié)論：有勢(shì)場(chǎng)梯度場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)保守場(chǎng)與積分路徑無(wú)關(guān)58 設(shè)矢量場(chǎng)，若其散度，則稱此矢量場(chǎng)是管形場(chǎng)。管形場(chǎng)就是無(wú)源場(chǎng)。管形場(chǎng)

定義管形場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)旋度場(chǎng) 設(shè)矢量場(chǎng)，若其散度59柱坐標(biāo)系中用哈密頓算符表示梯度、散度、旋度柱坐標(biāo)系中用哈密頓算符表示梯度、散度、旋度60在球坐標(biāo)系中哈密頓算符表示梯度、散度、旋度在球坐標(biāo)系中哈密頓算符表示梯度、散度、旋度61拉普拉斯算子與調(diào)和量 拉普拉斯算子調(diào)和量拉普拉斯算子與調(diào)和量 拉普拉斯算子62電動(dòng)力學(xué)--2013鄒正峰 求是樓233# 689487959-16周 16次課期末考試80% 平時(shí)成績(jī)20%每周交一次作業(yè)電動(dòng)力學(xué)--2013鄒正峰 求是樓233# 689487963電動(dòng)力學(xué)矢量分析與場(chǎng)論電動(dòng)力學(xué)參考書：《矢量分析與場(chǎng)論》 謝樹藝，高教出版社《電動(dòng)力學(xué)》郭碩鴻，高教出版社《電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程》俞允強(qiáng)，北大出版社電動(dòng)力學(xué)矢量分析與場(chǎng)論64矢量分析與場(chǎng)論—數(shù)學(xué)預(yù)備矢量及基本運(yùn)算矢性函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則哈密頓算子及其簡(jiǎn)易計(jì)算方法積分變換式：高斯公式、斯托克斯公式場(chǎng)梯度、散度、旋度有勢(shì)場(chǎng)管形場(chǎng)矢量分析與場(chǎng)論—數(shù)學(xué)預(yù)備矢量及基本運(yùn)算65矢量矢量：既有大?。＃?，又有方向數(shù)量矢量矢量的坐標(biāo)表示方法基矢zxy矢量可以用三個(gè)有序的數(shù)量表示矢量矢量：既有大?。＃?，又有方向數(shù)量矢量矢量的坐標(biāo)表示方法66矢量矢量的模單位矢量zxy矢量矢量的模單位矢量zxy67矢量的加、減 加、減

矢量的加、減，滿足平行四邊形法則。以兩矢量為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形的對(duì)角線就是這兩個(gè)矢量的和或差。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個(gè)矢量的和(差)的分量等于這兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量的和(差)。矢量的加、減 加、減 矢量的加、減，滿足平行四邊68標(biāo)積 標(biāo)積

兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個(gè)標(biāo)量，稱為標(biāo)積或內(nèi)積。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個(gè)矢量的標(biāo)積等于這兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。標(biāo)積 標(biāo)積 兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個(gè)標(biāo)量，稱為69矢積

×積，或矢積 矢積是一個(gè)矢量，其大小等于以兩矢量為鄰邊所作平行四邊形的面積，方向滿足右手螺旋法則。矢積 ×積，或矢積 矢積是一個(gè)矢量，其大小等于70并矢 并矢 又可以表示為 并矢 并矢 又可以表示為 71并矢與張量 張量：就是有坐標(biāo)的量，它們不隨參照系的坐標(biāo)變換 而變化 坐標(biāo)組一個(gè)指標(biāo)的，就是一階張量，在三維迪卡爾坐標(biāo) 系里，具有三個(gè)與坐標(biāo)相關(guān)的獨(dú)立變量集合，矢量

坐標(biāo)組兩個(gè)指標(biāo)的，就是二階張量矩陣，在三維迪卡爾 坐標(biāo)系里，具有九個(gè)與坐標(biāo)相關(guān)的獨(dú)立變量集合，并矢

依次類推，三階，四階……本課程中，如無(wú)特別指明，張量均指二階張量并矢與張量 張量：就是有坐標(biāo)的量，它們不隨參照系的72矢量的運(yùn)算符 標(biāo)量的運(yùn)算符 矢量的運(yùn)算符 矢量的運(yùn)算符 標(biāo)量的運(yùn)算符 矢量的運(yùn)算符 73三矢量的混合積 三矢量的混合積 三個(gè)矢量的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其絕對(duì)值等于以這三個(gè)矢量為棱的平行六面體的體積。三矢量的混合積 三矢量的混合積 三個(gè)矢量的混合74三矢量的矢積

三矢量的矢積

三個(gè)矢量的矢積，可以表示為括號(hào)內(nèi)兩矢量的線性組合，系數(shù)分別為括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)的另一矢量的點(diǎn)積，括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)距離較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項(xiàng)為正，與較近的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項(xiàng)為負(fù)?！斑h(yuǎn)交近攻”三矢量的矢積 三矢量的矢積 三個(gè)矢量的矢積，可以表75例：證明

證明：是一個(gè)矢量，令，有：

利用三矢量的矢積公式可以得到，

于是可得，

例：證明76矢性函數(shù)的定義設(shè)有數(shù)性變量t和變矢，如果對(duì)于t在某個(gè)范圍G內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值，都以一個(gè)確定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)，記作并稱G為函數(shù)的定義域概念常矢：模和方向都保持不變的矢量。零矢量方向任意，作為常矢特例。變矢：模和方向只要有一個(gè)會(huì)變化（除零矢量外）即為變矢。矢性函數(shù)的定義設(shè)有數(shù)性變量t和變矢，如果對(duì)于t77矢性函數(shù) 矢性函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)(即它在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影)顯然都是的函數(shù).矢性函數(shù)的坐標(biāo)為矢性函數(shù)的坐標(biāo)表達(dá)式為：矢性函數(shù)可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)表示矢性函數(shù) 矢性函數(shù)在直角坐標(biāo)78矢端曲線，矢徑，距離矢量 矢徑： 距離矢量：zxylMozxyoMP矢端曲線，矢徑，距離矢量 矢徑： 距離矢量：zxylM79矢性函數(shù)的極限極限定義設(shè)矢性函數(shù)在t0點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義(但t0點(diǎn)可以沒有定義)，為一常矢，若都，使得當(dāng)t滿足時(shí)，定有，就稱為矢性函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。記為：根據(jù)極限運(yùn)算性質(zhì)可得到矢性函數(shù)的極限極限定義根據(jù)極限運(yùn)算性質(zhì)可得到80矢性函數(shù)的極限一個(gè)矢性函數(shù)的極限，可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的極限來(lái)描述（或表示）。矢性函數(shù)的極限一個(gè)矢性函數(shù)的極限，可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的81矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（），可以用三個(gè)有序的數(shù)性性函數(shù)的（）來(lái)描述（或表示）。

極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分

極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（82矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（），可以用三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)的（）來(lái)描述（或表示）。

極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分

微分不定積分定積分矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分，積分一個(gè)矢性函數(shù)的（83 當(dāng)兩個(gè)矢量運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)行基矢間的運(yùn)算，然后再進(jìn)行函數(shù)間的運(yùn)算?；钢g的運(yùn)算規(guī)則是與運(yùn)算符相鄰的兩個(gè)基矢之間發(fā)生運(yùn)算關(guān)系?；高\(yùn)算只有點(diǎn)、叉、并運(yùn)算。而函數(shù)間運(yùn)算包含了乘、微分、積分等關(guān)系。矢量運(yùn)算的基本方法 當(dāng)兩個(gè)矢量運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)行基矢間的運(yùn)算，然后再進(jìn)行函數(shù)間的運(yùn)84矢量的基矢運(yùn)算規(guī)則 矢量的基矢運(yùn)算規(guī)則 85哈密頓算符 哈密頓算符是一個(gè)矢性微分算符，在運(yùn)算中具有矢量和微分的雙重性質(zhì)。在直角坐標(biāo)系中，可表示為其運(yùn)算規(guī)則是：哈密頓算符 哈密頓算符是一個(gè)矢性微分算符，在運(yùn)算中具86算符 算符 87哈密頓算符矢量公式哈密頓算符矢量公式88矢量公式矢量公式89

90在下面的公式中為矢徑在下面的公式中為矢徑91證明算子▽的公式例：證明證明算子▽的公式92哈密頓算符的運(yùn)算方法 “先微分，后矢量”分為三步：第一步：利用▽的微分性，將所求表達(dá)式分成幾項(xiàng)，每一項(xiàng)中▽只作用于一個(gè)函數(shù)上。

此時(shí)可在▽算符的下標(biāo)標(biāo)明算符所作用的函數(shù) 或者在▽算符不作用的函數(shù)下加臨時(shí)的常數(shù)標(biāo)記哈密頓算符的運(yùn)算方法 “先微分，后矢量”93哈密頓算符的運(yùn)算方法 第二步：將算符看成一個(gè)矢量，利用矢量的性質(zhì)重新排列，使得算符緊鄰著排在它所作用的函數(shù)前面，而把不被作用的函數(shù)移到算符作用范圍外面

或第三步，抹去下標(biāo)，得到結(jié)果哈密頓算符的運(yùn)算方法 第二步：將算符看成一個(gè)矢量，利94例：證明

先微分再矢量去掉下標(biāo)證畢例：證明95例：證明先微分再矢量去掉下標(biāo)證畢例：證明96例：證明先微分再矢量

去掉下標(biāo)證畢例：證明97強(qiáng)調(diào)： 1： ▽是一個(gè)算符，不能看成一個(gè)矢量

2： 哈密頓算法的簡(jiǎn)易運(yùn)算方法，三個(gè)步驟是一個(gè)整體，缺一不可，不能單獨(dú)使用。

沒有對(duì)做微分運(yùn)算對(duì) 做了微分運(yùn)算強(qiáng)調(diào)： 1： ▽是一個(gè)算符，不能看成一個(gè)矢量 298積分變換式--1 高斯公式（奧式公式）上式能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。

采用▽符號(hào)來(lái)表示，可將上式寫成：積分變換式--1 高斯公式（奧式公式）99積分變換式--2 斯托克斯公式上式能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。

采用▽符號(hào)來(lái)表示，可將上式寫成：積分變換式--2 斯托克斯公式100場(chǎng) 如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)：溫度，密度，電位矢量場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度，力，速度穩(wěn)定場(chǎng)：不穩(wěn)定場(chǎng)：數(shù)量場(chǎng)的等值面和等值線：矢量場(chǎng)的矢量線：曲線的每一點(diǎn)均與對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的矢量相切場(chǎng) 如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)101方向?qū)?shù) 設(shè)M0為數(shù)量場(chǎng)u=u(M)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)引一條射線l,在l上的點(diǎn)M0的臨近取一動(dòng)點(diǎn)M，記，如右圖。若當(dāng)M→M0時(shí)比式的極限存在，則稱它為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)描述了在特定點(diǎn)處，數(shù)量場(chǎng)沿指定方向的變化率M0Mlρ

定義

計(jì)算公式其中方向?qū)?shù) 設(shè)M0為數(shù)量場(chǎng)u=u(M)中的一點(diǎn)102方向?qū)?shù)最大值與方向 l方向上的單位矢量取矢量有方向?qū)?shù)最大值與方向 l方向上的單位矢量取矢量有103梯度 若在數(shù)量場(chǎng)u(M)

中的一點(diǎn)M處，存在這樣的一個(gè)矢量

，其方向?yàn)楹瘮?shù)u(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值。則稱矢量

為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M處的梯度，記作：

定義

計(jì)算公式

性質(zhì)方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向數(shù)量增大的方向梯度 若在數(shù)量場(chǎng)u(M)中的一點(diǎn)M處，存在這樣的一104通量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中有向曲面S的某一側(cè)的曲面積分叫做矢量場(chǎng)向積分所沿一側(cè)穿過(guò)曲面S的通量

定義

通量可疊加通量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中有向105散度 設(shè)有矢量場(chǎng)，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一封閉曲面，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)?，以表其體積，以表從其內(nèi)穿出S的通量，若當(dāng)以任意方式縮向M點(diǎn)時(shí)，比式之極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的散度，記作

定義散度表示場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即該點(diǎn)處源的強(qiáng)度散度 設(shè)有矢量場(chǎng)，于場(chǎng)中一點(diǎn)M的106散度的計(jì)算公式 矢量場(chǎng)高斯公式（奧氏公式）由高斯公式再根據(jù)中值定理，在中總能找到一點(diǎn)，使由定義散度的計(jì)算公式 矢量場(chǎng)高斯公式由高斯公式再根據(jù)中值定107環(huán)量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中某一封閉的有向曲線l的曲線積分叫做矢量場(chǎng)按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量

定義環(huán)量 設(shè)有矢量場(chǎng)，沿其中某一108環(huán)量面密度

設(shè)有M為矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)，在M點(diǎn)處取定一個(gè)方向，再過(guò)M點(diǎn)任作一微小曲面,以為其在M點(diǎn)處的法矢，其周界之正向取作與構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場(chǎng)沿之正向的環(huán)量與面積之比，