北京西城八中少年班2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到的圖像，則A. B.C. D.2．如圖，以為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，為半圓上與不重合的一動(dòng)點(diǎn)，下面關(guān)于的說法正確的是A.無最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但無最小值D.既無最大值，又無最小值3．對于空間中的直線，以及平面，，下列說法正確的是A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則4．若關(guān)于x的方程log12x=m1-mA.(0,1) B.(1,2)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)5．是定義在上的函數(shù)，，且在上遞減，下列不等式一定成立的是A. B.C. D.6．已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.57．設(shè)四邊形為平行四邊形，，若點(diǎn)滿足，，則A. B.C. D.8．下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖象是（）A B.C. D.9．已知x，y滿足，求的最小值為（）A.2 B.C.8 D.10．如圖，在平面內(nèi)放置兩個(gè)相同的直角三角板，其中，且三點(diǎn)共線，則下列結(jié)論不成立的是A. B.C.與共線 D.11．已知角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，則=（）A. B.C. D.12．“”是“函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則A1B與EF所成角的大小為______14．已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________；（2）若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.15．已知為三角形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的值為_______16．計(jì)算：=___________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且側(cè)面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）求證:（2）若，求證:平面平面18．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期以及對稱軸方程；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的值域.20．已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移單位長度，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域22．如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，平面外一點(diǎn)滿足平面，=.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為：本題選擇A選項(xiàng).2、D【解析】設(shè)正方形的邊長為2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）,∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了向量的加法及向量模的計(jì)算，利用建系的方法，引入三角函數(shù)來解決使得思路清晰，計(jì)算簡便，遇見正方形，圓，等邊三角形，直角三角形等特殊圖形常用建系的方法.3、D【解析】根據(jù)空間直線和平面的位置關(guān)系對四個(gè)選項(xiàng)逐一排除，由此確定正確的選項(xiàng)【詳解】對于A選項(xiàng)，可能異面，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，可能有，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，的夾角不一定為90°，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故D正確，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，考查直線和平面、平面和平面位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意可得：函數(shù)y=log12x∴∴∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0故選A點(diǎn)睛：本小題考查的是學(xué)生對函數(shù)最值的應(yīng)用的知識點(diǎn)的掌握．本題在解答時(shí)應(yīng)該先將函數(shù)y=log12x在區(qū)間(0，5、B【解析】對于A，由為偶函數(shù)可得，又，由及在上為減函數(shù)得，故A錯(cuò)；對于B，因同理可得，故B對；對于C，因無法比較大小，故C錯(cuò)；對于D，取，則；取，則，故與大小關(guān)系不確定，故D錯(cuò)，綜上，選B點(diǎn)睛：對于奇函數(shù)或偶函數(shù)，如果我們知道其一側(cè)的單調(diào)性，那么我們可以知道另一側(cè)的單調(diào)性，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化6、B【解析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.7、D【解析】令，則，，故選D8、C【解析】根據(jù)函數(shù)中每一個(gè)自變量有且只有唯一函數(shù)值與之對應(yīng)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷符合函數(shù)定義的圖象即可.【詳解】由函數(shù)定義：定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有唯一函數(shù)值與之對應(yīng)，A、B、D選項(xiàng)中的圖象都符合；C項(xiàng)中對于大于零的x而言，有兩個(gè)不同的函數(shù)值與之對應(yīng)，不符合函數(shù)定義.故選：C9、C【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：表示點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離的平方所以最小值為：故選：C.10、D【解析】設(shè)BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三點(diǎn)共線，則CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,故A、B、C成立；而，，即不成立，故選D.11、C【解析】先利用三角函數(shù)的定義求角的正、余弦，再利用二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，故，所以，故.故選：C.12、A【解析】由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增得，進(jìn)而根據(jù)充分，必要條件判斷即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增”的充分而不必要條件故選：A二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】解：如圖，將EF平移到A1B1，再平移到AC，則∠B1AC為異面直線AB1與EF所成的角三角形B1AC為等邊三角形，故異面直線AB1與EF所成的角60°，14、①.②.【解析】（1）分析可知內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且對任意的，恒成立，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分析可知為二次函數(shù)值域的子集，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）令，.當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)為常值函數(shù)，不合乎題意.所以，，內(nèi)層函數(shù)的對稱軸為直線，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)為增函數(shù)，故內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且對任意的，恒成立，所以，，解得；（2）因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，則為二次函數(shù)值域的子集.當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)為，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：（1）；（2）.15、【解析】根據(jù)向量減法的幾何意義及向量的數(shù)乘便可由得出,再由D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)及向量加法的平行四邊形法則即可得出點(diǎn)D為AP的中點(diǎn)，從而便可得出，這樣便可得出λ的值【詳解】=,所以，D為△ABC的邊BC中點(diǎn)，∴∴如圖，D為AP的中點(diǎn)；∴,又，所以-2.故答案為-2.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，及向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，屬于中檔題.16、1【解析】.故答案為1三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）可根據(jù)為等腰三角形得到，再根據(jù)平面平面可以得到平面，故.（2）因及是中點(diǎn)，從而有，再根據(jù)平面得到，從而平面，故平面平面.詳解：（1）證明:因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，平面.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）證明:因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.由（1）可得，又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面點(diǎn)睛：線線垂直的證明，可歸結(jié)為線面垂直，也可以轉(zhuǎn)化到平面中的某兩條直線的垂直問題，而面面垂直的證明，可轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，也轉(zhuǎn)化為證明二面角為直二面角.18、（1）（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，利用，結(jié)合條件及可得解；（2）分析可得在上遞增，進(jìn)而得，從而得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，為上的奇函數(shù)，且，；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以在上遞增，因?yàn)椋杂煽傻?，所以不等式的解集?9、（1）最小正同期為，對稱軸方程為（2）【解析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換公式將化為只含有一個(gè)三角函數(shù)形式，即可求得結(jié)果；（2）將展開化簡，然后采用整體處理的方法，求得答案.【小問1詳解】，所以的最小正同期為.令，得對稱軸方程為.【小問2詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以，故，所以，故在上的值域?yàn)?20、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，即可解出的集合.【詳解】解：（1）設(shè)任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當(dāng)時(shí)，都有，在區(qū)間上增函數(shù)；（2）由（1）知：在區(qū)間上是增函數(shù)；又，，即，即，解得：，即的解集為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：

取值：任取，，規(guī)定，

作差：計(jì)算，

定號：確定的正負(fù)，

得出結(jié)論：根據(jù)同增異減得出結(jié)論.21、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）.【解析】（1）利用二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期和遞減區(qū)間.（2）由（1）及圖象平移有，應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域.【小問1詳解】由題設(shè)，，所以的最小正周期為，令，，解得，，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由（1）知，，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為