河北邢臺(tái)市內(nèi)丘中學(xué)等五校2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．給出下列四種說法：①若平面，直線，則；②若直線，直線，直線，則；③若平面，直線，則；④若直線，，則.其中正確說法的個(gè)數(shù)為(）A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)2．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.3．設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1、CC1上，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為（）A. B.C. D.4．將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.5．已知集合，則A. B.C. D.6．函數(shù)f（x）圖象大致為（）A. B.C. D.7．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù).若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知，，則________.12．已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍13．將函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為_________.14．函數(shù)的零點(diǎn)為______15．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，滿足，則值為__________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．閱讀與探究人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）》在第一章小結(jié)中寫道：將角放在直角坐標(biāo)系中討論不但使角的表示有了統(tǒng)一的方法，而且使我們能夠借助直角坐標(biāo)系中的單位圓，建立角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而用單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)來表示圓心角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）之間存在著非常緊密的聯(lián)系.例如，和單位圓相關(guān)的“勾股定理”與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有內(nèi)在的一致性；單位圓周長為與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為是一致的；圓的各種對(duì)稱性與三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式等也是一致的等等.因此，三角函數(shù)的研究過程能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.依據(jù)上述材料，利用正切線可以討論研究得出正切函數(shù)的性質(zhì).比如：由圖1.2-7可知，角的終邊落在四個(gè)象限時(shí)均存在正切線；角的終邊落在軸上時(shí)，其正切線縮為一個(gè)點(diǎn)，值為；角的終邊落在軸上時(shí)，其正切線不存在；所以正切函數(shù)的定義域是.（1）請(qǐng)利用單位圓中的正切線研究得出正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性；（2）根據(jù)閱讀材料中途1.2-7，若角為銳角，求證：.17．已知關(guān)于x的不等式：a（1）當(dāng)a=-2時(shí)，解此不等式；（2）當(dāng)a>0時(shí)，解此不等式18．如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且，，交于.（1）若，求的值；（2）若，，，求的值.19．如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為的半圓形空，外的地方種草，的內(nèi)接正方形為一水池，其余的地方種花，若，，，設(shè)的面積為，正方形的面積為(1)用表示和；(2)當(dāng)變化時(shí)，求的最小值及此時(shí)角的大小.20．已知，且的最小正周期為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值并求相應(yīng)的值.21．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，其中a為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最小值，并求取最小值時(shí)x的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、D【解析】根據(jù)線面關(guān)系舉反例否定命題，根據(jù)面面平行定義證命題正確性.【詳解】若平面，直線，則可異面；若直線，直線，直線，則可相交，此時(shí)平行兩平面交線；若直線，，則可相交，此時(shí)平行兩平面交線；若平面，直線，則無交點(diǎn)，即；選D.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系，考查空間想象能力以及簡單推理能力.2、C【解析】將點(diǎn)代入中，求解的值可得，再求即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以有：，即.所以，故，故選：C.3、C【解析】為直三棱柱，且，．故C正確考點(diǎn)：棱錐的體積4、B【解析】直接利用函數(shù)圖像變化原則：“左加右減，上加下減”得到平移后的函數(shù)解析式【詳解】函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位，由得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像變換：“左加右減，上加下減”，需注意“左加右減”時(shí)平移量作用在x上，即將變成，是函數(shù)圖像平移了個(gè)單位，而非個(gè)單位5、C【解析】分別解集合A、B中的不等式，再求兩個(gè)集合的交集【詳解】集合，集合，所以，選擇C【點(diǎn)睛】進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算前，要搞清楚每個(gè)集合里面的元素種類，以及具體的元素，再進(jìn)行運(yùn)算6、A【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的特征，利用奇偶性判斷，再利用特殊值取舍.【詳解】因?yàn)閒（x）=f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，排除B，C又因?yàn)椋懦鼶故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合，求解作答.【詳解】函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)的圖象是恒過定點(diǎn)的動(dòng)直線，函數(shù)在上的圖象與直線，如圖，觀察圖象得：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，將此時(shí)的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線的位置，直線(除時(shí)外)與函數(shù)在上的圖象最多一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)或或a不存在，將時(shí)的直線(含)繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線(不含直線)的位置，旋轉(zhuǎn)過程中的直線與函數(shù)在上的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).8、C【解析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合單調(diào)性即可比較大小.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x2﹣2|x|+2019＝f（﹣x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則a＝f（﹣log25）＝f（log25），當(dāng)x≥0，f（x）＝x2﹣2x+2019＝（x﹣1）2+2018，在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)；又由1＜20.8＜2＜log25，則.則有b＜a＜c；故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷以及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】設(shè)直線x﹣y+3=0的傾斜角為θ由直線x﹣y+3=0化為y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°故選B10、D【解析】由判斷取值范圍，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【詳解】，所以，則為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為，選擇D【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷遵循“同增異減”的原則，所以需先判斷構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再判斷原函數(shù)的單調(diào)性二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】根據(jù)已知條件求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，兩邊平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】知道其中一個(gè)，可通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個(gè)，在求解過程中要注意角的范圍.12、（1）30（2）或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得中元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)，可分和兩種情況討論，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，共有5個(gè)元素，所以的非空真子集的個(gè)數(shù)為【小問2詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得：或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是或13、【解析】利用相位變換直接求得.【詳解】按照相位變換，把函數(shù)y＝sinx的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到.故答案為：.14、1和【解析】由，解得的值，即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，若，則，即，整理得：可解得：或，即函數(shù)的零點(diǎn)為1和，故答案為1和.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15、11【解析】畫出函數(shù)圖像，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及二次函數(shù)的對(duì)稱性可得答案.【詳解】函數(shù)的圖像如圖：若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，滿足，則必有，得，.故答案為：11.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）在單位圓中畫出角的正切線，觀察隨增大正切線的值得變化情況，再觀察時(shí)，正切線的值隨增大時(shí)的變化情況，發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)是銳角時(shí)，有，由此得到.解析：（1）當(dāng)時(shí)，增大時(shí)正切線的值越來越大；當(dāng)時(shí)，正切線與區(qū)間上的情況完全一樣；隨著角的終邊不停旋轉(zhuǎn)，正切線不停重復(fù)出現(xiàn)，故可得出正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由題意知正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在坐標(biāo)系中畫出角和，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，在單位圓中作出它們的正切線，可以發(fā)現(xiàn)它們的正切線長度相等，方向相反，即，得出正切函數(shù)為奇函數(shù).（2）如圖，當(dāng)為銳角時(shí)，在單位圓中作出它的正弦線，正切線，又因?yàn)椋?，又，而，故?點(diǎn)睛：三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)性質(zhì)（如定義域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.17、（1）{x|x<-12（2）當(dāng)a=13時(shí)，解集為?；當(dāng)0<a<13時(shí)，解集為{x|3<x<【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可變形為(x－3)(x－1a)＜0，然后分a＝13、0＜a＜13、a＞【小問1詳解】當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－12或x＞3當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式解集為{x|x＜－12或x＞【小問2詳解】當(dāng)a＞0時(shí)，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－1a)＜0當(dāng)a＝13時(shí)，1a＝當(dāng)0＜a＜13時(shí)，1a＞3，解得3＜x＜當(dāng)a＞13時(shí)，1a＜3，解得1a＜x綜上：當(dāng)a＝13時(shí)，解集為當(dāng)0＜a＜13時(shí)，解集為{x|3＜x＜1a當(dāng)a＞13時(shí)，解集為{x|1a＜x18、（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法則可求出、的值，進(jìn)而可計(jì)算出的值；（2）設(shè)，設(shè)，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，可得出關(guān)于、的表達(dá)式，然后用、表示，最后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義即可計(jì)算出的值.【詳解】（1），，，因此，；（2）設(shè)，再設(shè)，則，即，所以，，解得，所以，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來表示向量，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）最小值【解析】（1）在中，可用表示，從而可求其面積，利用三角形相似可得的長度，從而可得.（2）令，從而可得，利用的單調(diào)性可求的最小值.【詳解】（1）在中，，所以，.而邊上的高為，設(shè)斜邊上的為，斜邊上的高為，因，所以，故，故，.（2），令，則.令，設(shè)任意的，則，故為減函數(shù)，所以，故，此時(shí)即.【點(diǎn)睛】直角三角形中的內(nèi)接正方形的問題，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各邊與角的關(guān)系，三角函數(shù)式的最值問題，可利用三角變換化簡再利用三角函數(shù)的性質(zhì)、換元法等可求原三角函數(shù)式的最值.20、（1）；（2）時(shí)，,時(shí)，.【解析】（1）化簡即得函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的周期求出，即得解；（2