中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題教案中考中的探索性問題

中考復(fù)習(xí)專題授課方案——中考取的研究性問題江蘇省清江中學(xué)錢旭東研究性問題主假如相對(duì)于關(guān)閉性問題而言的，它的形式多種多樣，取材寬泛。近幾年來(lái)，研究性問題在中考試卷中屢次出現(xiàn)，成為中考試卷中的一個(gè)亮點(diǎn)。解決這種問題，經(jīng)常需要我們張開察看、試驗(yàn)、類比、概括、猜想等一系列的研究活動(dòng)。經(jīng)過研究性問題的解題活動(dòng)，不只有益于促使數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的堅(jiān)固和掌握，有益于思想質(zhì)量的提升，也有益于自主研究、創(chuàng)新精神的培育。一、研究數(shù)據(jù)規(guī)律例1.(2003年北京市)察看以下次序擺列的等式:9×0＋1=19×1＋2=119×2＋3=219×3＋4=319×4＋5=41猜想:第n個(gè)等式(n為正整數(shù))應(yīng)當(dāng)為.答案：9(n1)n10n9（或9(n1)n10(n1)1）2．察看以低等式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3×5＝15而15＝４２－15×7＝35而35＝6２－1２7×9＝63而63＝8－1將你猜想到的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來(lái)：。答案：（2n－1）×（2n＋1）＝(2n)2－1說(shuō)明：在解決這種研究數(shù)據(jù)規(guī)律的問題時(shí)，我們平常是先察看一些特其余情況，經(jīng)過察看、分析、概括、考證，此后得出一般性的結(jié)論。在解題的過程中，我們經(jīng)常需要對(duì)題目中的數(shù)據(jù)進(jìn)行適合變化，以使得數(shù)據(jù)的規(guī)律更為顯然。二、研究函數(shù)關(guān)系例3．(2004年常州市)用水平線和豎直線將平面分紅若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的極點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為極點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形。設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x。①②③④（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對(duì)應(yīng)關(guān)系以下表，請(qǐng)寫出S與x之間的關(guān)系式。答：S=。多邊形的序號(hào)①②③④多邊形的面積S22.534各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x4568（2）請(qǐng)你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有并且只有2個(gè)格點(diǎn)。此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式是：S=。（3）請(qǐng)你連續(xù)研究，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想S與x有如何的關(guān)系？答：S=。（2004年常州中考）答案：(1)S=1x(2)S=1x1(3)S=1x(n1)222例4、（2004年遼寧省本溪市）已知：射線OF交⊙O于點(diǎn)B，半徑OA⊥OB，P是射線OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與O、B重合)，直線AP交⊙O于D，過D作⊙O的切線交射線OF于E。(1)圖a是點(diǎn)P在圓內(nèi)挪動(dòng)時(shí)符合已知條件的圖形，請(qǐng)你在圖b中畫出點(diǎn)P在圓外挪動(dòng)時(shí)符合已知條件的圖形；察看圖形，點(diǎn)P在挪動(dòng)過程中，△DPE的邊、角或形狀存在某些規(guī)律，請(qǐng)你經(jīng)過察看、丈量、比較，寫出一條與△DPE的邊、角或形狀有關(guān)的規(guī)律；在點(diǎn)P挪動(dòng)過程中，設(shè)∠DEP的度數(shù)為x，∠OAP的度數(shù)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。DPEOBFOBFA圖aA圖b略解：(1)如圖c∠EDP=∠DPE或ED=EP或△PDE是等腰三角形(其余結(jié)果合理即可)由題意得：△PDE是等腰三角形∴∠EDP=∠DPE∴∠DPE=180x2

BEPFO在Rt△OAP中，y+180x=90°∴y=12Dx,自變量x的取值范圍是0°＜x＜180°，且x≠90°A圖c2說(shuō)明：對(duì)函數(shù)關(guān)系的研究問題，經(jīng)常要綜合運(yùn)用幾何、方程、函數(shù)等有關(guān)知識(shí)去研究，綜合性較強(qiáng)。解決這種問題的策略是在綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，要點(diǎn)去研究變量的變化情況和變量與一些不變量的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系確實(shí)立經(jīng)常是利用圖形的面積、周長(zhǎng)的數(shù)目關(guān)系或許經(jīng)過有關(guān)線段的關(guān)系來(lái)達(dá)成的。在研究中，假如能存心識(shí)地對(duì)變量進(jìn)行必定的特別化辦理或許對(duì)一些圖形的特別地點(diǎn)進(jìn)行要點(diǎn)研究會(huì)給解題帶來(lái)方便。三、研究數(shù)學(xué)對(duì)象能否存在例5、（2004年富陽(yáng)市）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(－1,0),B(0,3),C(4,－5)三點(diǎn).(1)求這個(gè)函數(shù)的分析式及其極點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),除點(diǎn)A外的另一個(gè)交點(diǎn)設(shè)為E,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在△AOB、△BOE、△ABE和△DBE這四個(gè)三角形中,能否有相像三角形?假如有,指出哪幾對(duì)三角形相像,并加以證明;假如沒有,請(qǐng)說(shuō)明原因。略解：（1）a1,b2,c3yx22x3D（1，4）

yDB（2）有一對(duì)三角形相像，△AOB∽△DBE證明：由（1）得圖像另一交點(diǎn)E（3，0）過D分別作x軸、y軸的垂線，可計(jì)算出BD=2，DE=25AOEx，BE=32，222而△DBE知足DE=BE+BDRt△AOB中，AO=1，BO=3，且AO1，BO31，即AOBO，∠AOB=∠DBE=Rt∠DB2EB322DBEB∴△AOB∽△DBE例6、已知拋物線y=ax2+bx+c的極點(diǎn)坐標(biāo)為(4，—1)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，O是原點(diǎn)．求這條拋物線的分析式；設(shè)此拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，B(A在B的左側(cè))，問在y軸上能否存在點(diǎn)P，使以O(shè)，B，P為極點(diǎn)的三角形與△AOC相像?若存在，懇求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．略解：(1)可設(shè)拋物線的分析式y(tǒng)=a(x—4)2—l簡(jiǎn)單求出分析式y(tǒng)=1x2—2x+3．4存在．y=0，則1(x-4)2—1=0，4x1=2，x2=6．A(2，0)，B(6，0)．設(shè)P(0，m)，則OP=|m|．在△AOC與△BOP中，①若∠OCA=∠OBP，則△BOP∽△COA，OBOP∴OP=4，∴m=±4．OCOA②若∠OCA=∠OPB，則△BOP∽△AOCOPOB∴OP=9，OCOA∴m=±9．∴，存在符合題意的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(0，4)、(0，-4)、(0，9)或(0，-9)．說(shuō)明：解決這種問題的基本策略是第一假定要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象存在，此后運(yùn)用題設(shè)的條件和這種假定進(jìn)行研究，假如由此推出矛盾，則否認(rèn)存在；假如推理研究中不出現(xiàn)矛盾，則必定存在。在研究中有時(shí)需要依據(jù)題目的不一樣樣情況進(jìn)行分類討論。四、在操作中研究例7、（本小題滿分8分）2004用兩個(gè)全等的等邊三角形△這個(gè)菱形疊合，使三角尺的

年河北省課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的極點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與

60°角的三角尺與AB，AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).ADFADBEFCBCE圖13—1圖13—21）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖13—1），經(jīng)過察看或丈量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延伸線訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖13—2），你在（1）中獲得的結(jié)論還建立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明原因.解：（1）BE=CF.證明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF.AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.（2）BE=CF仍舊建立

.依據(jù)三角形全等的判斷公義，相同能夠證明△們的對(duì)應(yīng)邊.因此BE=CF仍舊建立.

ABE和△ACF

全等，

BE和

CF是它⌒⌒CE、CF有什么關(guān)系？用你學(xué)過的知識(shí)證明你的發(fā)現(xiàn)；CE、PE、BF有如何的比率關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)。例7、如圖1，⊙O1和⊙2內(nèi)切于點(diǎn)P。C是⊙O1上任一點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合)。實(shí)驗(yàn)操作：將直角三角板的直角極點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)O1，另向來(lái)角邊所在直線交⊙O2于點(diǎn)A、B，直線PA、PB分別交⊙O1于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE(圖2是實(shí)驗(yàn)操作備用圖)研究：⑴你發(fā)現(xiàn)⑵你發(fā)現(xiàn)線段PPO1O1O1PO2O2O2圖1圖2圖3（3）如圖3，若將上述問題的⊙O1和⊙O2由內(nèi)切改為外切，其余條件不變，請(qǐng)你研究線段CE、PE、BF有如何的比率關(guān)系，并說(shuō)明。⌒⌒M略解：（1）結(jié)論：CE＝CF證明：如圖4，過P點(diǎn)作兩圓的外公切線MN，連結(jié)EF。P∵M(jìn)N是兩圓的外公切線，∴∠NPB＝∠PEF＝∠A，EF∥AB。又∵O1C⊥AB，∴O1C⊥EF⌒⌒∵O1C為⊙O1的半徑∴CE＝CFO1（2）結(jié)論：CE2＝BF·PEEO2F證明：如圖4，連結(jié)CF，∵M(jìn)N是兩圓的外公切線，∴∠MPA＝∠PCE＝∠B，NACB∵⊙O1是四邊形ECFP的外接圓，∴∠CFB＝∠CEP圖4∴BFCF∴△CBF∽△PCE，⌒⌒CEPEM∴CE=CF，∵CE＝CF∴CE2＝BF·PEE（3）結(jié)論仍為CE2＝BF·PEF證明：如圖5，過P點(diǎn)作兩圓的外PO2公切線MN，連結(jié)CF、CP。O1在⊙O2中，由弦切角定理可得∠ABP＝∠APN∵∠MPE＝∠APNB∴∠ABP＝∠MPE又∵∠MPE＝∠PCECA∴∠ABP＝∠PCE又∠F＝∠E圖5∴BFCF∴△CBF∽△PCE，NCEPE∴CE2＝BF·PE說(shuō)明：這種在操作中進(jìn)行研究的問題，要求我們以實(shí)質(zhì)操作為問題背景去研究操作背后所包括的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這種問題的解題策略是在操作中發(fā)揮合理的想象，聯(lián)合實(shí)質(zhì)去察看操作中的圖形地點(diǎn)的變化、數(shù)目關(guān)系的變化并依據(jù)這些變化進(jìn)行察看、試驗(yàn)、類比、概括、猜想活動(dòng)。在這種問題的研究中，我們要注意把實(shí)質(zhì)的操作問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬?duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)識(shí)題并踴躍運(yùn)用操作過程中所包括的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題。五、有關(guān)練習(xí)題1．(2002年輕海中考題)比較下邊兩列算式結(jié)果的大小(在橫線上選填“>”“<”“=”)(1)222×4×3；(2)222×(－2)×1；4＋3(－2)＋1(3)(2)2＋(1)22×2×1；(4)22＋222×2×2；22經(jīng)過察看概括，寫出能反應(yīng)這種規(guī)律的一般結(jié)論，并加以證明。2．察看以低等式9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20這些等式反應(yīng)自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n(n≥1)表示自然數(shù)，用對(duì)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為.3．張老師在一次“研究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了以下數(shù)表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1）請(qǐng)你分別察看a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示：a=，b=，c=.（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形能否為直角三角形？并證明你的猜想.4．給出一個(gè)正方形，請(qǐng)你著手畫一畫，將它剖分為n個(gè)小正方形。那么，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)與思慮，你以為這樣的自然數(shù)n能夠取的全部值應(yīng)當(dāng)是_________________5．（2004年廣東?。┤鐖D，在等腰直角三角形ABCA中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，P是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為BC上的一點(diǎn)，且PB=PD，DEAC,垂足為點(diǎn)PE.求證：PE=BO;O（１）設(shè)AC=2a，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．6．（2003年山西省中考題）取一張矩形紙片進(jìn)行BD折疊，詳細(xì)操作過程以下：第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖（１）第22題圖第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B/，得如圖（２）第三步：沿EB/線折疊得折痕EF，如圖（３）BCECECBAMNPB'NNMB'ADA(2)DFDA(1)(3)（第27題圖）

ERt△AB/E,EB'F(4)

CCND利用張開圖（4）研究：1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論。2）對(duì)于任一矩形，依據(jù)上述方法能否都能折出這種三角形？請(qǐng)說(shuō)明原因。有關(guān)練習(xí)題答案1、＞，＞，＞，＝a2＋b2≥2ab由a2＋b2－2ab＝(a－b）2≥0易證a2＋b2≥2ab2、（n＋2）2－n2＝4（n＋1）3、解：（1）n2-12nn2+1（2）答：以a、b、c為邊的三角形是直角三角形證明：∵a222-1)22+b=(n+4n42242222=n-2n+1+4n=n+2n+1=(n+1)=c4、n=4或n≥6的全部自然數(shù)。5、(1)利用直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，能夠得出∠PBO＝∠DPE，從而可得Rt△PBO≌Rt△DPE，因此可證PE＝BO。（2）聯(lián)合已知條件和（1）中的結(jié)論，可得AO＝BO＝PE＝a，DE＝PO＝EC＝a－x，EO＝x，因此四邊形PBDE的面積y＝S△PBO＋S梯形BDEO＝1a(ax)1(2ax)x22＝1x21ax1a2，自變量x的取值范圍是0<x<a222BCECECBEC6、(1)△AEF是等邊三角形。A證明：由平行線均分線段定理知