時(shí)間序列模型講義課件

第九章時(shí)間序列模型

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)我們已經(jīng)在前面的章節(jié)討論過(guò)了，本章著重于時(shí)間序列模型的估計(jì)和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法。這一部分屬于動(dòng)態(tài)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。通常是運(yùn)用時(shí)間序列的過(guò)去值、當(dāng)期值及滯后擾動(dòng)項(xiàng)的加權(quán)和建立模型，來(lái)“解釋”時(shí)間序列的變化規(guī)律。

1第九章時(shí)間序列模型關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)主要內(nèi)容§9.1序列相關(guān)理論§9.2平穩(wěn)時(shí)間序列建?！?.3非平穩(wěn)時(shí)間序列建?！?.4協(xié)整和誤差修正模型2主要內(nèi)容§9.1序列相關(guān)理論2§9.1

序列相關(guān)理論

第6章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)ut的一系列假設(shè)下，討論了古典線性回歸模型的估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)問(wèn)題。如果線性回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)ut滿足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計(jì)量是線性無(wú)偏最優(yōu)的。但是如果擾動(dòng)項(xiàng)ut不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的估計(jì)結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實(shí)踐均證明，擾動(dòng)項(xiàng)ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立相關(guān)的理論，解決擾動(dòng)項(xiàng)不滿足古典回歸假設(shè)所帶來(lái)的模型估計(jì)問(wèn)題。3§9.1序列相關(guān)理論第6章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)ut的一系§9.1.1

序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果

對(duì)于線性回歸模型

(9.1.1)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不相關(guān)，即無(wú)序列相關(guān)的基本假設(shè)為

(9.1.2)如果擾動(dòng)項(xiàng)序列ut表現(xiàn)為：(9.1.3)4§9.1.1序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果對(duì)于線性回即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性（serialcorrelation）。由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以表示為：(9.1.4)特別的，如果僅存在

(9.1.5)稱為一階序列相關(guān)，這是一種最為常見(jiàn)的序列相關(guān)問(wèn)題。5即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的，而

如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P(guān)可能引起的后果歸納為：②使用OLS公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確，相應(yīng)的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信；

③如果在方程右邊有滯后因變量，OLS估計(jì)是有偏的且不一致。

①在線性估計(jì)中OLS估計(jì)量不再是有效的；

6如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法

EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要的解釋變量，資本對(duì)產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中?！?.1.2序列相關(guān)的檢驗(yàn)方法7EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但首

EViews提供了以下幾種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。1．D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)

Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量（簡(jiǎn)稱D.W.統(tǒng)計(jì)量）用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程：

(9.1.6)D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)：=0，備選假設(shè)是

0。

8EViews提供了以下幾種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。8如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于2。如果存在負(fù)序列相關(guān)，D.W.值將在2～4之間。正序列相關(guān)最為普遍。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有大于50個(gè)觀測(cè)值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說(shuō)明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。9如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。9

Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相關(guān)有三個(gè)主要不足：1．D-W統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗(yàn)不再有效。3．僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：Q-統(tǒng)計(jì)量和Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場(chǎng)合。

10Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相關(guān)有2.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量

我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)（在本章9.2.4節(jié)給出相應(yīng)的公式），以及Ljung-BoxQ-統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)序列相關(guān)。Q-統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為：其中：rj是殘差序列的j階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)。(9.1.7)112.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量

p階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)。如果Q-統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說(shuō)明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q-統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果各階Q-統(tǒng)計(jì)量都沒(méi)有超過(guò)由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則不拒絕原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。12p階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存

反之，如果在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計(jì)量超過(guò)設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明殘差序列存在p階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計(jì)量的P值要根據(jù)自由度p來(lái)估算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證Q-統(tǒng)計(jì)量有效的重要因素。

在EViews軟件中的操作方法：

在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對(duì)應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值。13反之，如果在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計(jì)量例9.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性

下面是這些檢驗(yàn)程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計(jì)的簡(jiǎn)單消費(fèi)函數(shù)的結(jié)果：

14例9.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性下面是這些

瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是很顯著的，并且擬合得很好。但是，如果誤差項(xiàng)是序列相關(guān)的，那么估計(jì)OLS標(biāo)準(zhǔn)誤差將是無(wú)效的，并且估計(jì)系數(shù)由于在方程右端有滯后因變量會(huì)發(fā)生偏倚和不一致。在這種情況下D-W統(tǒng)計(jì)量作為序列相關(guān)的檢驗(yàn)是不合適的，因?yàn)樵诜匠逃叶舜嬖谥粋€(gè)滯后因變量。選擇View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice會(huì)產(chǎn)生如下情況：15瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是很顯著的，并1616

虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5%的情形下與零沒(méi)有顯著區(qū)別。本例1～3階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說(shuō)明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值都小于5%，說(shuō)明在5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。17虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。3.序列相關(guān)LM檢驗(yàn)

與D.W.統(tǒng)計(jì)量?jī)H檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)不同，Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有效。

LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。183.序列相關(guān)LM檢驗(yàn)與D.W.統(tǒng)計(jì)量?jī)H檢驗(yàn)擾動(dòng)

1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et(9.1.8)2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到(9.1.9)

這是對(duì)原始回歸因子X(jué)t和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和T×R2統(tǒng)計(jì)量。F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)式（9.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗(yàn)。T×R2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù)T乘以回歸方程（9.1.9）的R2。一般情況下，T×R2統(tǒng)計(jì)量服從漸進(jìn)的分布。191）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et19

在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，說(shuō)明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說(shuō)明序列存在序列相關(guān)性。

在軟件中的操作方法：

選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對(duì)高階的，含有ARMA誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對(duì)話框，輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù)。20在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性

上一例子中相關(guān)圖在滯后值3時(shí)出現(xiàn)峰值。Q統(tǒng)計(jì)量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中的顯著序列相關(guān)。進(jìn)行序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)，選擇View/ResidualTests/SerialCorrelationLMTest，輸入p=2產(chǎn)生如下結(jié)果：例9.2:關(guān)于殘差序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)(1)21上一例子中相關(guān)圖在滯后值3時(shí)出現(xiàn)峰值。Q統(tǒng)計(jì)

此檢驗(yàn)拒絕直至2階的無(wú)序列相關(guān)的假設(shè)。Q-統(tǒng)計(jì)和LM檢驗(yàn)都表明：殘差是序列相關(guān)的，因此方程在被用于假設(shè)檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)之前應(yīng)該重新定義。

22此檢驗(yàn)拒絕直至2階的無(wú)序列相關(guān)的假設(shè)。Q-統(tǒng)計(jì)和LM例9.3:關(guān)于殘差序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)(2)

考慮美國(guó)的一個(gè)投資方程。美國(guó)的GNP和國(guó)內(nèi)私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)P為GNP的平減指數(shù)（1972=100），利息率R為半年期商業(yè)票據(jù)利息?；貧w方程所采用的變量都是實(shí)際GNP和實(shí)際投資；它們是通過(guò)將名義變量除以價(jià)格指數(shù)得到的，分別用小寫字母gnp，inv表示。實(shí)際利息率的近似值r則是通過(guò)貼現(xiàn)率R減去價(jià)格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：1963年～1984年，應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：23例9.3:關(guān)于殘差序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)(2)考慮美

t=（-1.32）（154.25）R2=0.80

D.W.=0.94

從D.W.值來(lái)看，這個(gè)模型存在正的序列相關(guān)，但是，看起來(lái)還不是強(qiáng)的正序列相關(guān)。24t=（-1.32）（154.2圖5.1回歸方程殘差圖圖5.1回歸方程殘差圖圖9.1回歸方程殘差圖從殘差圖9.1可以看到殘差序列的變化有相似的波動(dòng)。所以，再采取上面介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序列的自相關(guān)性。25圖5.1回歸方程殘差圖圖5.1回歸方程殘差圖圖9.1下面采用LM統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)(p=2)，得到結(jié)果如下：LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。當(dāng)然，對(duì)于這個(gè)例子，我們也可以用Q-統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，而且效果更為直觀，更有利于實(shí)際建模，但是這涉及到序列自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的理論。26下面采用LM統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)(p=2)，得到結(jié)果如下：26§9.1.3擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的線性回歸方程的估計(jì)與修正線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在，會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)結(jié)果的失真。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來(lái)的不利影響。通?？梢杂肁R(p)模型來(lái)描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：(9.1.10)(9.1.11)27§9.1.3擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的線性回歸其中：ut是無(wú)條件誤差項(xiàng)，它是回歸方程（9.1.10）的誤差項(xiàng)，參數(shù)0，1,

2,

,

k是回歸模型的系數(shù)。式（9.1.11）是誤差項(xiàng)ut的

p階自回歸模型，參數(shù)1,

2,

,

p是p階自回歸模型的系數(shù)，t是相應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)，并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值之差。下面將討論如何利用AR(p)模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列相關(guān)，以及用什么方法來(lái)估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知參數(shù)。28其中：ut是無(wú)條件誤差項(xiàng)，它是回歸方程（9.1.10）的誤1．修正一階序列相關(guān)

最簡(jiǎn)單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1)模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且具有一階序列相關(guān)的情形，即p=1的情形：(9.1.12)(9.1.13)把式（9.1.13）帶入式（9.1.12）中得到(9.1.14)291．修正一階序列相關(guān)把式（9.1.13）帶入式（9.1.1然而，由式（9.1.12）可得(9.1.15)再把式（9.1.15）代入式（9.1.14）中，并整理(9.1.16)令，代入式（9.1.16）中有(9.1.17)如果已知

的具體值，可以直接使用OLS方法進(jìn)行估計(jì)。如果

的值未知，通?？梢圆捎肎auss—Newton迭代法求解，同時(shí)得到

，

0，

1的估計(jì)量。

30然而，由式（9.1.12）可得302．修正高階序列相關(guān)

通常如果殘差序列存在p階序列相關(guān)，誤差形式可以由AR(p)過(guò)程給出。對(duì)于高階自回歸過(guò)程，可以采取與一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終得到一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方程的參數(shù)。

例如：仍討論一元線性回歸模型，并且殘差序列具有3階序列相關(guān)的情形，即p=3的情形：312．修正高階序列相關(guān)31(9.1.18)(9.1.19)按照上面處理AR(1)的方法，把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原方程中去，得到如下表達(dá)式：(9.1.20)

通過(guò)一系列的化簡(jiǎn)后，仍然可以得到參數(shù)為非線性，擾動(dòng)項(xiàng)t為白噪聲序列的回歸方程。運(yùn)用非線性最小二乘法，可以估計(jì)出回歸方程的未知參數(shù)

0,

1,

1,

2,

3。32(9.1.18)(9.1.19)按照上面處理AR(1我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式為f(xt,

)的非線性模型，，，若殘差序列存在p階序列相關(guān)，(9.1.21)(9.1.22)也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng)t為白噪聲序列的非線性回歸方程，以p=1為例，(9.1.23)使用Gauss-Newton算法來(lái)估計(jì)參數(shù)。33我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式3.在Eviews中的操作過(guò)程：選擇Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation打開一個(gè)方程，輸入方程變量，最后輸入ar(1)ar(2)ar(3)。針對(duì)例5.1定義方程為：343.在Eviews中的操作過(guò)程：34需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)ar(3)分別代表3個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù)，因此，如果我們認(rèn)為殘差僅僅在滯后2階和滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān)，即則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個(gè)單項(xiàng)來(lái)消除季節(jié)自回歸，可以輸入：cscgdpcs(-1)ar(4)。35需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)aARMA估計(jì)選擇

如前所述，帶有AR或MA的模型用非線性最小二乘法估計(jì)。非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。有時(shí)當(dāng)?shù)螖?shù)最大值達(dá)到時(shí)，方程終止迭代，盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開始方程，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同的初值來(lái)保證估計(jì)是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過(guò)提供初值加速估計(jì)過(guò)程。

36ARMA估計(jì)選擇如前所述，帶有AR或MA的模型為控制ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊options。在EViews提供的選項(xiàng)中，有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。EViews缺省方法是OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒(méi)有ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再?gòu)倪@些值開始非線性估計(jì)。另一選擇是使用OLS或TSLS系數(shù)的一部分作為初值?？梢赃x擇0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設(shè)為零。用戶確定初值選項(xiàng)是UserSupplied。在這個(gè)選項(xiàng)下，EViews使用C系數(shù)向量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)，為C系數(shù)向量開一窗口，進(jìn)行編輯。37為控制ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊o

為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)EViews如何為ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解。EViews使用C系數(shù)向量。它按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)：

1.變量系數(shù)，以輸入為序。2.定義的AR項(xiàng)，以輸入為序。3．SAR，MA，SMA系數(shù)（按階數(shù)由高到底）

38為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)EViews如何為ARMA設(shè)例如：下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)YcXma(2)ma(1)sma(4)ar(1)Ysma(4)car(1)ma(2)Xma(1)也可使用程序指令安排C向量值paramc(1)50c(2)0.8c(3)0.2c(4)0.6c(5)0.1c(6)0.5初值：常數(shù)是50，X系數(shù)的初值是0.8，ar(1)、ma(2)、ma(1)、sma(4)系數(shù)的初值分別是0.2，0.6，0.1，0.5。估計(jì)后，可在方程表達(dá)式Representation選項(xiàng)見(jiàn)到系數(shù)安排。也可以從估計(jì)方程中填寫C向量，選擇pros/update/coefsfromequations。39例如：下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)39例9.4:用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)

例9.1中檢驗(yàn)到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序列存在明顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采用AR(3)模型來(lái)修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性?；貧w估計(jì)的結(jié)果如下：

40例9.4:用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下：

41再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得含有AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出

當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模型時(shí)，在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和t-統(tǒng)計(jì)量時(shí)，涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于OLS的估計(jì)結(jié)果。要理解這些差別，記住一個(gè)含有AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無(wú)條件殘差

通過(guò)原始變量以及估計(jì)參數(shù)算出。在用同期信息對(duì)yt值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。42含有AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模

第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差。由其名可知，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。對(duì)于含有AR項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，如R2、回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差和D-W值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的。含有AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的AR系數(shù)。43第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差。由其對(duì)于簡(jiǎn)單AR(1)模型，是無(wú)條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。對(duì)于平穩(wěn)AR(1)模型，在-1（極端負(fù)序列相關(guān)）和+1（極端正序列相關(guān)）之間。一般AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。EViews在回歸輸出的底部給出這些根：InvertedARRoots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。44對(duì)于簡(jiǎn)單AR(1)模型，是無(wú)條件殘差的

另外：EViews可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的非線性回歸模型。例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng)AR(3)的非線性方程

單擊Quick/EstimateEquation，打開一個(gè)方程，用公式法輸入cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]45另外：EViews可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的非

輸出結(jié)果顯示為：46輸出結(jié)果顯示為：46§9.2平穩(wěn)時(shí)間序列建模本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的殘差序列為研究對(duì)象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問(wèn)題。在現(xiàn)實(shí)中很多問(wèn)題，如利率波動(dòng)、收益率變化及匯率變化等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列，或者通過(guò)差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列。本節(jié)中介紹的ARMA模型（autoregressivemovingaveragemodels）可以用來(lái)研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。47§9.2平穩(wěn)時(shí)間序列建模

如果隨機(jī)過(guò)程的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于t，則稱u

t是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的：注意，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是弱平穩(wěn)的，則ut與ut-s之間的協(xié)方差僅取決于s，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長(zhǎng)度s有關(guān)，而與時(shí)期t無(wú)關(guān)。一般所說(shuō)的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。§9.2.1平穩(wěn)時(shí)間序列的概念對(duì)所有的

t

對(duì)所有的

t

對(duì)所有的t和s

(9.2.1)(9.2.2)(9.2.3)48注意，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是弱平穩(wěn)的，則ut與§9.2.2ARMA模型1.自回歸模型AR(p)

p階自回歸模型記作AR(p)，滿足下面的方程：(9.2.4)其中：參數(shù)c為常數(shù)；1,

2,…,p是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)；t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列。49§9.2.2ARMA模型2.移動(dòng)平均模型MA(q)

q階移動(dòng)平均模型記作MA(q)，滿足下面的方程：(9.2.5)其中：參數(shù)為常數(shù)；參數(shù)1,2,…,q是q階移動(dòng)平均模型的系數(shù)；t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列。502.移動(dòng)平均模型MA(q)503.ARMA(p,q)模型

(9.2.6)顯然此模型是模型（9.2.4）與（9.2.5）的組合形式，稱為混合模型，常記作ARMA(p，q)。當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(0,q)=MA(q)；當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,0)=AR(p)。513.ARMA(p,q)模型51§9.2.3ARMA模型的平穩(wěn)性1.AR(p)模型的平穩(wěn)性條件為了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的。對(duì)于AR(p)模型(9.2.7)設(shè)L為滯后算子，則有，特別地，。則式（9.2.7）可以改寫為：

(9.2.8)52§9.2.3ARMA模型的平穩(wěn)性若設(shè)，令(9.2.9)則(z)是一個(gè)關(guān)于z的p次多項(xiàng)式，AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是(z)的根全部落在單位圓之外。式（9.2.7）可以改寫為滯后算子多項(xiàng)式的形式

可以證明如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則式（9.2.10）可以表示為如下MA()的形式

(9.2.10)53若設(shè)(9.2.11)其中且。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式（9.2.7）兩端取期望可以求得均值或

(9.2.13)(9.2.12)(9.2.14)54(9.2.11)其中(9.2.13)(9.2.12)(9.2式（9.2.11）表示ut可以由一個(gè)白噪聲序列的線性組合表示出來(lái)?，F(xiàn)在可以看到，任何一個(gè)AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。事實(shí)上，式（9.2.11）是沃爾德分解定理（Wold定理）的特例。沃爾德分解定理（Wold定理）任何零均值協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程ut可表示成如下形式其中：。t是白噪聲序列，對(duì)于任意的j，t的值與t-j無(wú)關(guān)。t稱為ut的確定性分量，而稱為線性非確定性分量。(9.2.15)55式（9.2.11）表示ut可以由一個(gè)白噪聲2．MA(q)模型的可逆性考察MA(q)模型若的根全部落在單位圓之外，則式（9.2.16）的MA算子稱為可逆的。(9.2.16)562．MA(q)模型的可逆性(9.2.16(9.2.17)比較式（9.2.16）和式（9.2.17），可知(9.2.18)運(yùn)用MA算子的逆運(yùn)算，式（9.2.16）可寫成AR()的形式盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有模型可逆時(shí)才有效。57(9.2.17)比較式（9.2.16）和式（9.2.17），3．ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件ARMA(p,q)模型包括了一個(gè)自回歸模型AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型MA(q)或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示(9.2.19)(9.2.20)583．ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件(若令則ARMA(p，q)模型（9.2.19）平穩(wěn)的充要條件是(z)的根全部落在單位圓之外。在式（9.2.20）的兩邊除以，可以得到其中(9.2.21)(9.2.22)(9.2.23)59若令(9.2.21)(9.2.22)(9.2.23)59(9.2.24)(9.2.25)

ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個(gè)平穩(wěn)序列?？梢钥闯鯝RMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動(dòng)平均模型參數(shù)無(wú)關(guān)。

60(9.2.24)(9.2.25)ARMA模在Eviews中確定ARMA形式

1、ARMA項(xiàng)

模型中AR和MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞ar和ma定義。在上面AR定義中，我們已見(jiàn)過(guò)這種方法的例子。這對(duì)MA也同樣適用。

例如，估計(jì)一個(gè)2階自回歸和1階動(dòng)平均過(guò)程ARMA(2,1)，應(yīng)將AR(1),MA(1),AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中：ycgovar(1)ar(2)ma(1)61在Eviews中確定ARMA形式1、ARMA項(xiàng)模如果采用公式法輸入方程，則要將AR和MA項(xiàng)系數(shù)明確列出，形式為：LS=c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)]。

下面說(shuō)明EViews是如何估計(jì)一個(gè)ARMA(p，q)模型的。單擊Quick/EstimateEquation打開一個(gè)方程，輸入LScar(1)ma(1)即可。62如果采用公式法輸入方程，則要將AR和MA項(xiàng)系2.季節(jié)ARMA項(xiàng)

對(duì)于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，BoxandJenkins(1976)建議使用季節(jié)自回歸SAR和季節(jié)動(dòng)平均SMA。SAR(p)定義為帶有p階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式是AR項(xiàng)和SAR項(xiàng)定義的結(jié)合。與此類似，SMA(q)定義為帶有q階滯后的季節(jié)動(dòng)平均。估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式是MA項(xiàng)和SMA項(xiàng)定義的結(jié)合。存在SAR項(xiàng)則允許建立一個(gè)滯后多項(xiàng)式。例如：沒(méi)有季節(jié)項(xiàng)的2階AR過(guò)程632.季節(jié)ARMA項(xiàng)對(duì)于帶有季節(jié)因素的季例如：沒(méi)有季節(jié)項(xiàng)的2階AR過(guò)程用滯后算子，則上式可表示為：可以通過(guò)回歸自變量的ar(1)，ar(2)項(xiàng)來(lái)估計(jì)這個(gè)過(guò)程。

對(duì)于季度數(shù)據(jù)，可以加入sar(4)來(lái)表示季節(jié)因素，定義方程：ycxar(1)ar(2)sar(4)估計(jì)誤差結(jié)構(gòu)為：64例如：沒(méi)有季節(jié)項(xiàng)的2階AR過(guò)程用滯后算子等價(jià)于參數(shù)和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對(duì)系數(shù)有非線性約束的AR(6)模型。在另一個(gè)例子中，無(wú)季節(jié)性的二階MA過(guò)程如下可以通過(guò)包含ma(1)和ma(2)來(lái)估計(jì)二階MA過(guò)程。

65等價(jià)于參數(shù)和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對(duì)季度數(shù)據(jù)，可以添加sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義方程：ycxma(1)ma(2)sma(4)估計(jì)模型為：等價(jià)于：

參數(shù)和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對(duì)系數(shù)有非線性約束的MA(6)模型。還可以在方程說(shuō)明中同時(shí)包括SAR，SMA項(xiàng)。66對(duì)季度數(shù)據(jù)，可以添加sma(4)考慮季節(jié)性例9.5:利用AR(1)模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律本例取我國(guó)上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間：1991年1月～2003年3月）的月度時(shí)間序列S作為研究對(duì)象，用AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對(duì)其做變化率，srt

=100×(St-St-1)/St-1（t

=

1,2,,T），這樣便得到了變化率序列。一般來(lái)講，股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列，而通過(guò)變換后的變化率數(shù)據(jù)，是一個(gè)平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對(duì)象。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為sr，建立如下模型：67例9.5:利用AR(1)模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)回歸結(jié)果為：68回歸結(jié)果為：68圖9.2實(shí)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列sr，虛線是AR(1)模型的擬合值從圖9.2可以看出我國(guó)上證股價(jià)指數(shù)變化率序列在1991年～1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3%上下波動(dòng)。近年來(lái)波動(dòng)平緩，并且大多在3%下面波動(dòng)。擬合曲線基本代表了這一時(shí)期的均值。69圖9.2實(shí)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列sr，虛線是AR(1)§9.2.4

ARMA模型的識(shí)別在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來(lái)推斷其總體（真實(shí)）特征。這一節(jié)將引入自相關(guān)系數(shù)(autocorrelations，簡(jiǎn)稱AC)和偏自相關(guān)系數(shù)(partialautocorrelations，簡(jiǎn)稱PAC)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量去識(shí)別ARMA(p，q)模型。1.自相關(guān)系數(shù)

時(shí)間序列ut滯后k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計(jì)(9.2.26)70§9.2.4ARMA模型的識(shí)別其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)，稱rk為時(shí)間序列ut的自相關(guān)系數(shù)。自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)。它告訴我們?cè)谛蛄衭t的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。通常的，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于AR(p)模型滯后項(xiàng)的系數(shù)。71其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)，稱r2．偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定ut-1，ut-2，…，ut-k的條件下，ut與ut-k之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)

k,k度量。在p階滯后下估計(jì)偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下(9.2.27)722．偏自相關(guān)系數(shù)(9.2.27)72其中：rk是在k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。這是偏相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)。要得到

k,k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸

(9.2.28)(9.2.29)因此，滯后k階的偏相關(guān)系數(shù)是當(dāng)ut對(duì)ut-1，…，ut-k作回歸時(shí)ut-k的系數(shù)。稱之為偏相關(guān)是因?yàn)樗攘苛薻期間距的相關(guān)而不考慮k-1期的相關(guān)。73其中：rk是在k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。(9.2.28如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在k期滯后下的值趨于零。一個(gè)純的p階自回歸過(guò)程AR(p)的偏相關(guān)系數(shù)在p階截尾，而純的動(dòng)平均函數(shù)的偏相關(guān)過(guò)程漸進(jìn)趨于零。因此，如果我們能求出關(guān)于

k,k的估計(jì)值，用以檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時(shí)間序列ut的自相關(guān)的階數(shù)。3.MA模型的識(shí)別MA(q)模型(9.2.30)74如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于k階的自相關(guān)其中：t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列，而自協(xié)方差k計(jì)算可得(9.2.31)(9.2.32)75其中：t是均值為0，方差為2的白噪聲序列，而自協(xié)方差進(jìn)而得到

(9.2.33)上式表明對(duì)MA(q)模型，當(dāng)k>q時(shí)，rk=0。ut與ut+k不相關(guān)，這種性質(zhì)通常稱為截尾。即MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)在q步以后是截尾的。76進(jìn)而得到(9.2.33)上式表明對(duì)MA(qMA(q)的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著q的增加變得越來(lái)越復(fù)雜，很難給出一個(gè)關(guān)于q的一般表達(dá)式，但是，一個(gè)MA(q)模型對(duì)應(yīng)于一個(gè)AR(∞)模型。因此，MA(q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)一定呈現(xiàn)出某種衰減的形式是拖尾的。故可以通過(guò)識(shí)別一個(gè)序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式，大致確定它應(yīng)該服從一個(gè)MA(q)過(guò)程。77MA(q)的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著q的4.AR模型的識(shí)別可以不加證明的給出AR(p)過(guò)程的自相關(guān)系數(shù)(9.2.34)其中1,2,…,p

是AR(p)模型的特征多項(xiàng)式(9.2.35)的p個(gè)特征根，g1,g2,…,gp為任意給定的p個(gè)常數(shù)。784.AR模型的識(shí)別(9.2.34)其中1,2由此可知，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于g1,g2,…,gp及k取值的不同，呈現(xiàn)出不同的衰減形式，可能是指數(shù)式的衰減，也可能是符號(hào)交替的震蕩式的衰減。例如，對(duì)于AR(1)模型，其自相關(guān)系數(shù)為，當(dāng)r1>0時(shí)，rk呈指數(shù)式的衰減；當(dāng)r1<0時(shí)，rk呈震蕩式的衰減。

因此，可以通過(guò)自相關(guān)系數(shù)來(lái)獲得一些有關(guān)AR(p)

模型的信息，如低階AR(p)模型系數(shù)符號(hào)的信息。但是，對(duì)于自回歸過(guò)程AR(p)，自相關(guān)系數(shù)并不能幫助我們確定AR(p)模型的階數(shù)p。所以，可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù)

k,k，

以便更加全面的描述自相關(guān)過(guò)程AR(p)的統(tǒng)計(jì)特征。79由此可知，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于g1,g2這里我們通過(guò)簡(jiǎn)單的證明給出AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)。對(duì)于一個(gè)AR(p)模型，(9.2.36)將式（9.2.36）兩邊同時(shí)乘以u(píng)t-k(k=1,2,…,p)，再對(duì)方程兩邊取期望值并除以序列ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù)1,2,…,p的線性方程組：(9.2.37)80這里我們通過(guò)簡(jiǎn)單的證明給出AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)。對(duì)于其中：r1,r2,…,rp分別為序列ut的1,2,…,p階自相關(guān)系數(shù)。然后求解方程組（9.2.37），計(jì)算出一組解1,2,…,p，就可得到的偏自相關(guān)系數(shù)為：k,k=

k

(k=1，2，…，p)。且對(duì)于一個(gè)AR(p)模型，

k,k的最高階數(shù)為p，也即AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)是p階截尾的。因此，可以通過(guò)識(shí)別AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)，來(lái)確定AR(p)模型的階數(shù)p，進(jìn)而設(shè)定正確的模型形式，并通過(guò)具體的估計(jì)方法估計(jì)出AR(p)模型的參數(shù)。81其中：r1,r2,…,rp分別為序列ut的1,例9.6利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)識(shí)別ARMA模型并檢驗(yàn)序列相關(guān)性例9.1考察了美國(guó)1947年第1季度～1995年第1季度的消費(fèi)和GDP之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)殘差存在序列相關(guān)，并且例9.4用AR(3)模型修正了殘差的序列相關(guān)性。但是，我們并沒(méi)有說(shuō)明是通過(guò)怎樣的方法來(lái)判斷殘差服從一個(gè)AR(3)模型。這個(gè)例子將借助Q-統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖，說(shuō)明如何判斷模型的階數(shù)?；貧w方程：82例9.6利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)8383圖9.3原方程的殘差圖從殘差圖9.3可以觀察到，殘差序列基本是平穩(wěn)的，這一點(diǎn)還可以用9.3.2節(jié)介紹的單位根檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。下面計(jì)算殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。84圖9.3原方程的殘差圖從殘差圖9.3可以觀察到，殘差圖9.4原方程的殘差序列的相關(guān)圖85圖9.4原方程的殘差序列的相關(guān)圖85自相關(guān)系數(shù)呈震蕩式遞減，偏自相關(guān)系數(shù)除了1、2和3階顯著不為0以外，其他各項(xiàng)均接近于0，因此，我們可以猜測(cè)殘差序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)可以用AR(3)模型來(lái)糾正，模型建立如下：

86自相關(guān)系數(shù)呈震蕩式遞減，偏自相關(guān)系數(shù)除了1、2和3圖9.5修正序列相關(guān)后的回歸方程的相關(guān)圖87圖9.5修正序列相關(guān)后的回歸方程的相關(guān)圖875.模型的識(shí)別與建立我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)識(shí)別ARMA(p,q)模型的系數(shù)特點(diǎn)和模型的階數(shù)。但是，在實(shí)際操作中，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是通過(guò)要識(shí)別序列的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)的，并且隨著抽樣的不同而不同，其估計(jì)值只能同理論上的大致趨勢(shì)保持一致，并不能精確的相同。因此，在實(shí)際的模型識(shí)別中，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)只能作為模型識(shí)別過(guò)程中的一個(gè)參考，并不能通過(guò)它們準(zhǔn)確的識(shí)別模型的具體形式。885.模型的識(shí)別與建立88例9.7利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型識(shí)別和建模本例將用ARMA模型模擬1990年1月～2004年12月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)CPI（上年同月=100）的變化規(guī)律。實(shí)際上用后面學(xué)到的單位根檢驗(yàn)可知CPI序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列，但是它的一階差分序列CPI是平穩(wěn)的。首先觀察CPI序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的圖形89例9.7利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型識(shí)別和建模圖9.6CPI序列的相關(guān)圖90圖9.6CPI序列的相關(guān)圖90從圖9.6可以看出CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)系數(shù)在1階結(jié)尾。由前面的知識(shí)可以判斷

CPI序列基本滿足AR(1)過(guò)程。建模得到91從圖9.6可以看出CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是圖9.7左邊是CPI序列的實(shí)際值和擬合值，右邊是殘差序列由圖9.7可以觀察到AR(1)模型比較好的擬合了CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個(gè)零均值的平穩(wěn)序列。92圖9.7左邊是CPI序列的實(shí)際值和擬合值，右邊是殘差序列圖9.8CPI序列方程殘差序列的相關(guān)圖從圖9.8的回歸方程的殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看到不存在序列相關(guān)。因此，在實(shí)際建模中，可以借助ARMA(p,q)模型去擬和一些具有平穩(wěn)性的經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律。93圖9.8CPI序列方程殘差序列的相關(guān)圖

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三個(gè)模型只適用于刻畫一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)性。一個(gè)平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時(shí)間的變化而變化的，時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)性服從一定的概率分布。然而，對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列而言，時(shí)間序列的數(shù)字特征是隨著時(shí)間的變化而變化的?！?.3非平穩(wěn)時(shí)間序列建模94前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以通過(guò)過(guò)去時(shí)間點(diǎn)上的信息，建立模型擬合過(guò)去信息，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來(lái)的信息。而非平穩(wěn)時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)規(guī)律是不同的，難以通過(guò)序列已知的信息去掌握時(shí)間序列整體上的隨機(jī)性。因此，對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)序列去建模，預(yù)測(cè)是困難的。但在實(shí)踐中遇到的經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。95也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以通過(guò)過(guò)去時(shí)圖9.9中國(guó)1978年～2002年的GDP序列96圖9.9中國(guó)1978年～2002年的GDP序列96

1.確定性時(shí)間趨勢(shì)和單位根過(guò)程

描述類似圖9.9形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列有兩種方法，一種方法是包含一個(gè)確定性時(shí)間趨勢(shì)

(9.3.1)

其中ut是平穩(wěn)序列；a+t是線性趨勢(shì)函數(shù)。這種過(guò)程也稱為趨勢(shì)平穩(wěn)的，因?yàn)槿绻麖氖?9.3.1)中減去a+t，結(jié)果是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。注意到像圖9.9一類的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常呈指數(shù)趨勢(shì)增長(zhǎng)，但是指數(shù)趨勢(shì)取對(duì)數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢(shì)。

§9.3.1非平穩(wěn)序列和單整971.確定性時(shí)間趨勢(shì)和單位根過(guò)程§9.3.1另一種方法是設(shè)定為單位根過(guò)程，非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過(guò)差分運(yùn)算，得到具有平穩(wěn)性的序列，考慮下式

(9.3.2)也可寫成(9.3.3)98另一種方法是設(shè)定為單位根過(guò)程，非平穩(wěn)序列中有一類

其中a是常數(shù)，ut是平穩(wěn)序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一個(gè)白噪聲序列，則該過(guò)程稱為含位移a的隨機(jī)游走。若令a=0，y0

=0，則由式(9.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），顯然違背了時(shí)間序列平穩(wěn)性的假設(shè)。而其差分序列yt是平穩(wěn)序列。

99其中a是常數(shù)，ut是平穩(wěn)序列，若ut～i.i.d.實(shí)際上，在9.1節(jié)中討論的回歸方程的序列自相關(guān)問(wèn)題是暗含著殘差序列是一個(gè)平穩(wěn)序列。這是因?yàn)?，如果殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，則說(shuō)明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規(guī)則，隨著時(shí)間的變化有越來(lái)越大的偏離因變量均值的趨勢(shì)，這樣的模型是不能夠用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)信息的。100實(shí)際上，在9.1節(jié)中討論的回歸方

殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被稱為偽回歸，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標(biāo)都很好，但是由于殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，說(shuō)明了這種回歸關(guān)系不能夠真實(shí)的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關(guān)系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。偽回歸的出現(xiàn)說(shuō)明模型的設(shè)定出現(xiàn)了問(wèn)題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進(jìn)行差分，以使殘差序列達(dá)到平穩(wěn)。

一個(gè)可行的辦法是先把一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)某種變換化成一個(gè)平穩(wěn)序列，根據(jù)9.2節(jié)中的方法建模，并利用變量之間的相關(guān)信息，描述經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的變化規(guī)律。

101殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被

2.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過(guò)差分運(yùn)算，得到平穩(wěn)性的序列稱為單整（integration）序列。定義如下：

定義如果序列yt，通過(guò)d次差分成為一個(gè)平穩(wěn)序列，而這個(gè)序列差分d–1次時(shí)卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt～I(xiàn)(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt～I(xiàn)(0)。1022.單整102

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的階數(shù)。對(duì)于上面的隨機(jī)游走過(guò)程，有一個(gè)單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價(jià)格表示的資產(chǎn)總值、儲(chǔ)蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整；以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整。

103單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的階數(shù)。對(duì)于上面的隨機(jī)

如果兩個(gè)序列分別為d階單整和e階單整，即xt～I(xiàn)(d)，yt～I(xiàn)(e)，e>d則二序列的線性組合是e階單整序列，即

zt=axt+byt～I(xiàn)(max(d，e))104如果兩個(gè)序列分別為d階單整和e階單整，即104

§9.3.2

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗(yàn)

檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn)。本節(jié)將介紹5種單位根檢驗(yàn)方法：DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)、ERS檢驗(yàn)。前三種方法出現(xiàn)的比較早，在實(shí)際應(yīng)用中較為常見(jiàn)，但是，由于這3種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來(lái)帶有一定的不便；后2種方法克服了前3種方法帶來(lái)的不便，在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根，應(yīng)用起來(lái)較為方便。105§9.3.2非平穩(wěn)序列的單位根其中a是常數(shù)，t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(9.3.4)(9.3.5)(9.3.6)

1.

DF檢驗(yàn)

為說(shuō)明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型

106其中a是常數(shù)，t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut～i1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。2)如果

=1，yt序列是非平穩(wěn)序列。(9.3.4)式可寫成：顯然yt的差分序列是平穩(wěn)的。3)如果

的絕對(duì)值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。1071)如果-1<<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過(guò)檢驗(yàn)

是否嚴(yán)格小于1來(lái)實(shí)現(xiàn)。也就是說(shuō)：

原假設(shè)H0：

=1，備選假設(shè)H1：

<1(9.3.7)(9.3.8)(9.3.9)從方程兩邊同時(shí)減去yt-1得，108因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過(guò)檢驗(yàn)其中：

=

-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為

可以通過(guò)最小二乘法得到的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量。109其中：=-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為10但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng))和樣本長(zhǎng)度T

。Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過(guò)t統(tǒng)計(jì)量來(lái)決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱為Dickey-Fuller檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn))。

110但是，Dickey-Fuller

上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1)時(shí)才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗(yàn)方法（augmentedDickey-Fullertest）來(lái)檢驗(yàn)含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。111上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1)時(shí)2.

ADF檢驗(yàn)

ADF檢驗(yàn)方法通過(guò)在回歸方程右邊加入因變量yt的滯后差分項(xiàng)來(lái)控制高階序列相關(guān)

(9.3.11)(9.3.12)(9.3.13)1122.ADF檢驗(yàn)(9.3.11)(9.3.1擴(kuò)展定義將檢驗(yàn)

(9.3.14)

也就是說(shuō)原假設(shè)為：原假設(shè)至少存在一個(gè)單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。判斷的估計(jì)值是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列AR(p)過(guò)程是否存在單位根。113擴(kuò)展定義將檢驗(yàn)113

類似于DF檢驗(yàn)，Mackinnon通過(guò)模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn)不同顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。114類似于DF檢驗(yàn)，Mackinno但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)。通常采用AIC準(zhǔn)則來(lái)確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

115但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)

（2）可以選擇常數(shù)和線性時(shí)間趨勢(shì)，選擇哪種形式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的漸進(jìn)分布依賴于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。

①如果在檢驗(yàn)回歸中含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為0，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫出檢驗(yàn)序列的曲線圖，通過(guò)圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離0的位置隨機(jī)變動(dòng)，進(jìn)而決定是否在檢驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)；116（2）可以選擇常數(shù)和線性時(shí)間趨勢(shì)，

②如果在檢驗(yàn)回歸中含線性趨勢(shì)項(xiàng)，意味著原序列具有時(shí)間趨勢(shì)。同樣，決定是否在檢驗(yàn)中添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，也可以通過(guò)畫出原序列的曲線圖來(lái)觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗(yàn)序列的波動(dòng)趨勢(shì)隨時(shí)間變化而變化，那么便可以添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。

117②如果在檢驗(yàn)回歸中含線性趨勢(shì)項(xiàng)，意味著原序列具

EViews軟件中的操作說(shuō)明：

雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗(yàn)窗口118EViews軟件中的操作說(shuō)明：?jiǎn)挝桓鶛z驗(yàn)窗口11進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)：1．選擇檢驗(yàn)類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。EViews5提供了6種單位根檢驗(yàn)的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Phillips-Perron(PP)Test③Dickey-FullerGLSTest④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test119進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)：1192．選擇被檢驗(yàn)序列的形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。可以使用這個(gè)選項(xiàng)決定序列中單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然拒絕了原假設(shè)，則需要選擇2階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過(guò)兩