代數(shù)幾何綜合題的解題方法

代數(shù)幾何綜合題的解題方法北京一〇一中學李愛民代數(shù)、幾何綜合題是指需綜合運用代數(shù)、幾何這兩部分知識解題的問題，是初中數(shù)學中知識涵蓋面廣、綜合性最強的題型，它的解法多種多樣.代數(shù)與幾何綜合題考查了數(shù)學基礎(chǔ)知識和靈活運用知識的能力；復(fù)雜問題簡單化的能力；考查了對數(shù)學知識的遷移整合能力；考查了將大題分解為小題，運用數(shù)學思想方法分析考查了對代數(shù)幾何知識的內(nèi)在聯(lián)系的認識，與解決問題的能力.題型一般分為：〔1〕方程與幾何綜合的問題；〔2〕函數(shù)與幾何綜合的問題；〔3〕動態(tài)幾何中的函數(shù)問題；〔4〕直角坐標系中的幾何問題；〔5〕幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題.題型特點：一是以幾何圖形為載體，通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數(shù)量關(guān)系，建立代數(shù)中的方程或函數(shù)模型求解；二是把數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系，使之直觀化、形象化，從函數(shù)關(guān)系中點與線的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關(guān)系.以形導(dǎo)數(shù)，由數(shù)思形，從而尋找出解題捷徑.解代數(shù)、幾何綜合題要靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想進行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要從題目中尋找這兩部分知識的結(jié)合點，從而發(fā)現(xiàn)解題的突破口.這類題目往往是中考的壓軸題解題方法：解這類題目時應(yīng)從代數(shù)幾何兩方面入手，多角度、多線索地深入分析，架起連接代數(shù)與幾何的橋梁關(guān)鍵點.靈活運用數(shù)學思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學建模思想、.分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程思想等.例1.生活中，有人喜歡把傳送的便條折成示紙條的反面)，如圖1-1.形狀，折疊過程是這樣的(陰影部分表Q圖1-1(圖①)長為26cm，寬為xcm，分別答復(fù)以下問題：(即紙條兩端均超出點P)，試求x的取值范圍．P的長度相等，M與點A的距離(用x表示)．如果由信紙折成的長方形紙條(1)為了保證能折成圖④的形狀(2)如果不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點即最終圖形是軸對稱圖形，試求在開始折疊時起點點撥：將圖④中的紙條分別沿PM、PQ折疊，把折好的紙條打開，則得到如圖1-2所.我們發(fā)現(xiàn)其中等腰直角三角形的斜邊長正好等于示的帶有折痕〔虛線〕的紙條〔數(shù)學化〕紙條的寬，PM′等于5倍的紙條寬，從而可列方程求解.1APBMM′圖1-2PM/解：〔1〕由折紙的過程可知，要保證折后紙條兩端均超出點P，則必須滿足AB，26∴05x26，解得0x；5〔2〕∵圖④是軸對稱圖形，由紙條兩端超出點P的長度相等，也即265xAPBM/M與點A的距離為APPM，而PMx，，折疊時起點2265x3232∴AM=APPMx13x.點M與點A的距離是〔13x〕cm.2歸納：此題設(shè)計精巧、頗具創(chuàng)意，以學生喜聞樂見的“折紙”為背景，展示了數(shù)學的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡明、直觀，且?guī)缀蔚滋N豐富，極具有挑戰(zhàn)性.既考查了圖形變換及軸對稱、方程和不等式的知識，又考查了實踐能力和數(shù)學建模能力，引導(dǎo)學生將實踐變?yōu)檎嬷?，將感性上升為理性，這正是此題設(shè)計的價值所在.如果不親自動手實踐，僅憑想象，是很難得到正確結(jié)果的.此題對學生的識圖能力和動手實踐能力提出了更高的要求實踐操作型以文字、圖形等形式介紹一種圖案〔實物〕的設(shè)計〔制作〕流程，根據(jù)流程完成設(shè)計或制作，并在此基礎(chǔ)解決設(shè)計或制作中所遇到的問題.求解時，要注意挖掘設(shè)計〔制作〕過程中蘊涵的數(shù)學知識例2.如圖2-1，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．〔1〕直接寫出點E、F的坐標；〔2〕設(shè)頂點為F的拋物線交y軸正半．．軸．于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；..〔3〕在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最?。咳绻嬖?，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．點撥：〔1〕由軸對稱的性質(zhì)，可知∠得四邊形ABFD是正方形，則可求點FBD=∠ABD，F(xiàn)B=AB，可E、F的坐標；〔2〕已知拋物圖2-1線的頂點，則可用頂點式設(shè)拋物線的解析式給明頂角的頂點，而頂角和底邊都是惟一的，.因為以點E、F、P為頂點的等腰三角形沒有所以要抓住誰是頂角的頂點進行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點；〔3〕求周長的最小值需轉(zhuǎn)化為利用軸對稱的性質(zhì)求解解：(1)E(3,1)；F(1,2)；.EB2BF212225.(2)連結(jié)EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=設(shè)點P的坐標為(0,n),n＞0,∵頂點F(1,2),∴設(shè)拋物線的解析式為①如圖2-2，當EF=PF時，EF，∴1+(n-2)=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得y=a(x-1)2+2，(a≠0)．2=PF222a=2，∴拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2．2②如圖2-3，當EP=FP時，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得5(舍去2)．n=－③當EF=EP時，EP=5＜3，這種情況不存在.綜上所述，符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2．MNFE的周長最?。?3)存在點M、N，使得四邊形如圖2-4，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連結(jié)E′F′，分別與x軸、y軸交于點M、N，則點M、N就是所求.連結(jié)NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′.∴BF′=4，BE′=3.3242=5.∴FN+NM+ME=F′N+NM+MEF′E又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此時四邊形MNFE的周長最小值為5+5.yyFBCOPEFBCxDAExODAP圖2-3圖2-2yF′FBECNxOADM圖2-4E′歸納：此題考查了平面直角坐標系、等腰直角三角形、拋物線解析式的求法、利用軸對稱性求最短距離以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想對問題分類、求解，要特別注意分類原則是不重不漏、最簡念分類，如判斷直角三角形時明確哪個角可以是直角，對應(yīng)角；二是依運動變化的圖形中的分界點進行分類，.分類討論的思想要依據(jù)一定的標準，.分類常見的依據(jù)是：一是依概兩個三角形相似時分清誰與誰可以是如一個圖形在運動過程中，與另一個圖形重合部分可以是三角形，也可以是四邊形、五邊形等.幾何與函數(shù)的綜合題是中考常見的壓軸題型，解決這類問題主要分為兩步：一是利用線段的長確定出幾何圖形中各點的坐標；二是用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式.例3.已知：如圖3-1，在Rt△ACB中，C90，AC4cm，BC3cm，點P3由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．假設(shè)設(shè)運動的時間為t(s)〔0t2〕，解答以下問題：〔1〕當t為何值時，PQ∥BC？〔2〕設(shè)△AQP的面積為y〔cm2〕，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕是否存在某一時刻存在，求出此時t的值；假設(shè)不存在，說明理由；PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？假設(shè)〔4〕如圖3-2，連接PQPC，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQPC為菱形？假設(shè)存在，求出此時菱形的邊長；假設(shè)不存在，說明理由．BPBCPCAQAQ圖3-1圖3-2PAQAPAB點撥：〔1〕當PQ∥BC時，△APQ∽△ABC，從而可列比例式，求出t的值；PH，然后由ACPHAPAB〔2〕過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得，求出BC1S△APQ=PH·AQ,求出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；2〔3〕先假設(shè)存在，再由假設(shè)出發(fā)結(jié)合已知條件求出t的值.BC2AC25，由題意知：AP=5－t，AQ=2t，B解：〔1〕在Rt△ABC中，AB假設(shè)PQ∥BC，則△APQ∽△ABC.PAQACAP.∴2t5t10∴t，∴．AB457〔2〕過點P作PH⊥AC于H．如圖3-3.PHBCAPAB∵△APH∽△ABC，∴，AQCHPH5t，∴PH33t.圖3-3∴3551212332∴yAQPH2t(3t)t3t．55〔3〕假設(shè)PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．∴(5t)2tt3(42t)，解得：t1．假設(shè)PQ把△ABC面積平分，41235則SAPQSABC，即－t2＋3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．〔4〕過點P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，如圖3-4.假設(shè)四邊形PQP′C是菱形，那么∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．PQ＝PC．BN∵PN⊥BC于