中考數(shù)學(xué)專題特訓(xùn)第二十七講：相似圖形(含詳細參考答案)

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習第二十七講相似圖形【基礎(chǔ)知識回顧】成比例線段：1、線段的比：如果選用同一長度的兩條線段ＡＢ，ＣＤ的長度分別為m、n則這兩條線段的比就是它們的比，即：=2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果=那么四條線段叫做同比例線段，簡稱3、比例的基本性質(zhì)：=<＝>4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線【趙老師提醒：1、表示兩條線段的比時，必須示用相同的，在用了相同的前提下，兩條線段的比值與用的無關(guān)即比值沒有2、全分割：點C把線段AB分成兩條，線段AC和BC（AC>BC）如果那么稱線段AB被點C全分割A(yù)C與AB的比叫全比，即L=≈】二、相似三角形：1、定義：如果兩個三角形的各角對應(yīng)各邊對應(yīng)那么這兩個三角形相似2、性質(zhì)：⑴相似三角形的對應(yīng)角對應(yīng)邊⑵相似三角形對應(yīng)點的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)的比都等于⑶相似三角形周長的比等于面積的比等于判定：⑴基本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似⑵兩邊對應(yīng)且夾角的兩三角形相似⑶兩角的兩三角形相似⑷三組對應(yīng)邊的比的兩三角形相似【趙老師提醒：1、全等是相似比為的特殊相似2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定，要證四條線段的比相等相等一般要先證判定方法中最常用的是三組對應(yīng)邊成比例的兩三角形相似多用在點三角形中】三、相似多邊形：1、定義：各角對應(yīng)各邊對應(yīng)的兩個多邊形叫做相似多邊形2、性質(zhì)：⑴相似多邊形對應(yīng)角對應(yīng)邊⑵相似多邊形周長的比等于面積的比等于【趙老師提醒：相似多邊形沒有專門的判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定義進行判定】位似：1、定義：如果兩個圖形不僅是而且每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做這時相似比又稱為2、性質(zhì)：位似圖形上任意一點到位似中心的距離之比都等于【趙老師提醒：1、位似圖形一定是圖形，但反之不成立，利用位似變換可以將一個圖形放大或2、在平面直角坐標系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比位r，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于或】【典型例題解析】考點一：比例線段例1（2012?福州）

如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是，cosA的值是．（結(jié)果保留根號）考點：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．分析：可以證明△ABC∽△BDC，設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；

過點D作DE⊥AB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值．解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB==72°．

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°．

∴∠A=∠DBC=36°，

又∵∠C=∠C

∴△ABC∽△BDC，

∴=，

設(shè)AD=x，則BD=BC=x．則，

解得：x=（舍去）或．

故x=．

如右圖，過點D作DE⊥AB于點E，

∵AD=BD，

∴E為AB中點，即AE=AB=．

在Rt△AED中，cosA==．

故答案是：；．點評：△ABC、△BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2012?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，若AC=2，則AD的長是（）A．B．C．D．考點：黃金分割．分析：根據(jù)兩角對應(yīng)相等，判定兩個三角形相似．再用相似三角形對應(yīng)邊的比相等進行計算求出BD的長．解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，

∴△ABC∽△BDC，

且AD=BD=BC．

設(shè)BD=x，則BC=x，CD=2-x．

由于，

∴．

整理得：x2+2x-4=0，

解方程得：x=-1±，

∵x為正數(shù)，

∴x=-1+．

故選C．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先用兩角對應(yīng)相等判定兩個三角形相似，再用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等進行計算求出BD的長．考點二：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用例2（2012?重慶）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則ABC與△DEF的面積之比為．考點：相似三角形的性質(zhì)．專題：探究型．分析：先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出其相似比，再根據(jù)面積的比等于相似比的平方進行解答即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，

∴三角形的相似比是3：1，

∴△ABC與△DEF的面積之比為9：1．

故答案為：9：1．點評：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2012?沈陽）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為3：4，△ABC的周長為6，則△A′B′C′的周長為．考點：相似三角形的性質(zhì)．專題：應(yīng)用題．分析：根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比計算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴△ABC的周長：△A′B′C′的周長=3：4，

∵△ABC的周長為6，

∴△A′B′C′的周長=6×=8．

故答案為：8．點評：本題主要考查了相似三角形周長的比等于相似比的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點三：相似三角形的判定方法及其應(yīng)用例3（2012?徐州）如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=BC．圖中相似三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)．分析：首先由四邊形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，F(xiàn)C=BC，證出△ADE∽△ECF，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與相似三角形的對應(yīng)角相等，證明出△AEF∽△ADE，則可得△AEF∽△ADE∽△ECF，進而可得出結(jié)論．解答：解：圖中相似三角形共有3對．理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，

∵DE=CE，F(xiàn)C=BC，

∴DE：CF=AD：EC=2：1，

∴△ADE∽△ECF，

∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，

∴AE：EF=AD：DE，

即AD：AE=DE：EF，

∵∠DAE+∠AED=90°，

∴∠CEF+∠AED=90°，

∴∠AEF=90°，

∴∠D=∠AEF，

∴△ADE∽△AEF，

∴△AEF∽△ADE∽△ECF，

即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．

故選C．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證明△ECF∽△ADE，在此基礎(chǔ)上可證△AEF∽△ADE．例416．（2012?資陽）（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計算過程）；

（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；

（3）把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此時HD：GC：EB的值與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計算過程）．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．分析：（1）首先連接AG，由正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，易證得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；

（2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值；

（3）由矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．解答：解：（1）連接AG，

∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，

∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，

∴A，G，C共線，AB-AE=AD-AH，

∴HD=BE，

∵AG==AE，AC==AB，

∴GC=AC-AG=AB-AE=（AB-AE）=BE，

∴HD：GC：EB=1：：1。

（2）連接AG、AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，

∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°，

∴∠DAH=∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=1：，

∵∠DAB=∠HAE=90°，

∴∠DAH=∠BAE，

在△DAH和△BAE中，，

∴△DAH≌△BAE（SAS），

∴HD=EB，

∴HD：GC：EB=1：：1；

（3）有變化，

連接AG、AC，

∵矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n，

∴∠ADC=∠AHG=90°，

∴△ADC∽△AHG，

∴AD：AC=AH：AG=m：，∠DAC=∠HAG，

∴∠DAH=∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=m：，

∵∠DAB=∠HAE=90°，

∴∠DAH=∠BAE，

∵DA：AB=HA：AE=m：n，

∴△ADH∽△ABE，

∴DH：BE=AD：AB=m：n，

∴HD：GC：EB=m：：n．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．對應(yīng)訓(xùn)練3.（2012?攀枝花）如圖，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于點O．則下列四個結(jié)論中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四點在同一個圓上，一定成立的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)；圓周角定理．分析：由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得BC=DE，∠BAC=∠DAE，繼而可得∠1=∠2，則可判定①②正確；由△ABC≌△ADE，可得AB=AD，AC=AE，則可得AB：AC=AD：AE，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，即可判定③正確；易證得△AEF∽△DCF與△AOF∽△CEF，繼而可得∠OAC+∠OCE=180°，即可判定A、O、C、E四點在同一個圓上．解答：解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，

∴∠BAC=∠DAE，BC=DE，故②正確；

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

即∠1=∠2，故①正確；

∵△ABC≌△ADE，

∴AB=AD，AC=AE，

∴，

∵∠1=∠2，

∴△ABD∽△ACE，故③正確；

∵∠ACB=∠AEF，∠AFE=∠OFC，

∴△AFE∽△OFC，

∴，∠2=∠FOC，

即，

∵∠AFO=∠EFC，

∴△AFO∽△EFC，

∴∠FAO=∠FEC，

∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°，

∴A、O、C、E四點在同一個圓上，故④正確．

故選D．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及四點共圓的知識．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意找到相似三角形是解此題的關(guān)鍵．4.（2012?義烏市）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)；（2）由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積；

（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分）

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1．

∴，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=；

（3）①如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

當P在AC上運動與AB垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7．點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系．考點四：位似例5（2012?玉林）如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上，正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC的中點O′為中心的位似圖形，已知AC=3，若點A′的坐標為（1，2），則正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是（）A．B．C．D．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．分析：延長A′B′交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比．解答：解：∵在正方形ABCD中，AC=3

∴BC=AB=3，

延長A′B′交BC于點E，

∵點A′的坐標為（1，2），

∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，

∴正方形A′B′C′D′的邊長為1，

∴正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是．

故選B．點評：本題考查了位似變換和坐標與圖形的變化的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個正方形的邊長．對應(yīng)訓(xùn)練5．（2012?咸寧）如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標為（1，0），則E點的坐標為（）A．（，0）B．（C．D．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．分析：由題意可得OA：OD=1：，又由點A的坐標為（1，0），即可求得OD的長，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點的坐標．解答：解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，

∴OA：OD=1：，

∵點A的坐標為（1，0），

即OA=1，

∴OD=，

∵四邊形ODEF是正方形，

∴DE=OD=．

∴E點的坐標為：（，）．

故選C．點評：此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關(guān)鍵．【聚焦山東中考】1．（2012?濰坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）A． B． C． D．2考點：相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．分析：可設(shè)AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．解答：解：∵AB=1，

設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

∴，

，

解得x1=，x2=（負值舍去），

經(jīng)檢驗x1=是原方程的解．

故選B．點評：考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．2．（2012?東營）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標是（）A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）考點：相似多邊形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)．分析：由矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點B的坐標為（-4，6），即可求得答案．解答：解：∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，

∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，

∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，

∴位似比為：1：2，

∵點B的坐標為（-4，6），

∴點B′的坐標是：（-2，3）或（2，-3）．

故選D．點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3.（2012?日照）在菱形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F，若EC=2BE，則的值是（）A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．分析：根據(jù)菱形的對邊平行且相等的性質(zhì)，判斷△BEF∽△DAF，得出=，再根據(jù)BE與BC的數(shù)量關(guān)系求比值．解答：解：如圖，

∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，

∴△BEF∽△DAF，

∴=，

又∵EC=2BE，

∴BC=3BE，即AD=3BE，

∴==，

故選B．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得出相似三角形，由菱形的性質(zhì)得出線段的長度關(guān)系．4.（2012?德州）為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：①BC，∠ACB；

②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組F考點：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用．分析：根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)即可解答．解答：解：此題比較綜合，要多方面考慮，

①因為知道∠ACB和BC的長，所以可利用∠ACB的正切來求AB的長；

②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；

③，因為△ABD∽△EFD可利用，求出AB；

④無法求出A，B間距離．

故共有3組可以求出A，B間距離．

故選C．點評：本題考查相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用，解答道題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．5．（2012?威海）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為（1，3），（2，5），若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．分析：首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點（1，3），（2，5）的直線的解析式，即可知過這兩點的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對應(yīng)點為A1（1，3），C的對應(yīng)點為C1（2，5）與②若C的對應(yīng)點為A1（1，3），A的對應(yīng)點為C1（2，5）去分析求解，即可求得答案．解答：解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵△ABC的頂點坐標分別為（4，0），（8，2），（6，4），

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=2x-8，

同理可得：直線AB的解析式為：y=x-2，直線BC的解析式為：y=-x+10，

∵△A1B1C1的兩個頂點的坐標為（1，3），（2，5），

∴過這兩點的直線為：y=2x+1，

∴過這兩點的直線與直線AC平行，

①若A的對應(yīng)點為A1（1，3），C的對應(yīng)點為C1（2，5），

則B1C1∥BC，B1A1∥BA，

設(shè)直線B1C1的解析式為y=-x+a，直線B1A1的解析式為y=x+b，

∴-2+a=5，+b=3，

解得：a=7，b=，

∴直線B1C1的解析式為y=-x+7，直線B1A1的解析式為y=x+，

則直線B1C1與直線B1A1的交點為：（3，4）；

②若C的對應(yīng)點為A1（1，3），A的對應(yīng)點為C1（2，5），

則B1A1∥BC，B1C1∥BA，

設(shè)直線B1C1的解析式為y=x+c，直線B1A1的解析式為y=-x+d，

∴×2+c=5，-1+d=3，

解得：c=4，d=4，

∴直線B1C1的解析式為y=x+4，直線B1A1的解析式為y=-x+4，

則直線B1C1與直線B1A1的交點為：（0，4）．

∴△A1B1C1的第三個頂點的坐標為（3，4）或（0，4）．

故答案為：（3，4）或（0，4）．點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握位似圖形的對應(yīng)線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2012?菏澤）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：

（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；

（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；

（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與△ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）．考點：作圖—相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．分析：（1）利用網(wǎng)格借助勾股定理得出AB=2，AC=，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；

（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三邊比值關(guān)系得出即可；

（3）根據(jù)△P2P4P5三邊與△ABC三邊長度得出答案即可．解答：解：（1）根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；

顯然有AB2+AC2=BC2，

根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC

為直角三角形；

（2）△ABC和△DEF相似．

根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，

DE=4，DF=2，EF=2．

，

∴△ABC∽△DEF．

（3）如圖：連接P2P5，P2P4，P4P5，

∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，

AB=2，AC=，BC=5，

∴，

∴，△ABC∽△P2P4

P5．點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理與逆定理應(yīng)用，根據(jù)已知得出三角形各邊長度是解題關(guān)鍵．【備考真題過關(guān)】一、選擇題1．（2012?涼山州）已知，則的值是（）A．B．C．D．考點：比例的性質(zhì)．分析：先設(shè)出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．解答：解：令a，b分別等于13和5，

∵，

∴a=13，

∴=；

故選D．點評：此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形．2．（2012?天門）如圖，△ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC．若△ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為（）A．2B．3C．D．考點：平行線分線段成比例；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：延長BC至F點，使得CF=BD，證得△EBD≌△EFC后即可證得∠B=∠F，然后證得AC∥EF，利用平行線分線段成比例定理證得CF=EA后即可求得BD的長．解答：解：延長BC至F點，使得CF=BD，

∵ED=EC

∴∠EDB=∠ECF

∴△EBD≌△EFC

∴∠B=∠F

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB

∴∠ACB=∠F

∴AC∥EF

∴AE=CF=2

∴BD=AE=CF=2

故選A．點評：本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．3．（2012?寧德）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，則四邊形EFGH的周長是（）A．B．C．D．考點：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形的對角線相等，利用勾股定理求出對角線的長度，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式表示出EF、EH的長度之和，再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形，即可得解．解答：解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

根據(jù)勾股定理，AC=BD=，

∵EF∥AC∥HG，

∴，

∵EH∥BD∥FG，

∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH的周長=2（EF+EH）=2．

故選D．點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，矩形的對角線相等，勾股定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出1是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．4．（2012?柳州）小張用手機拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖，甲圖中的線段AB在乙圖中的對應(yīng)線段是（）

A．FG B．FH C．EH D．EF考點：相似圖形．分析：觀察圖形，先找出對應(yīng)頂點，再根據(jù)對應(yīng)頂點的連線即為對應(yīng)線段解答．解答：解：由圖可知，點A、E是對應(yīng)頂點，

點B、F是對應(yīng)頂點，

點D、H是對應(yīng)頂點，

所以，甲圖中的線段AB在乙圖中的對應(yīng)線段是EF．

故選D．點評：本題考查了相似圖形，根據(jù)對應(yīng)點確定對應(yīng)線段，所以確定出對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵．5.（2012?銅仁地區(qū)）如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL考點：相似多邊形的性質(zhì)．專題：探究型．分析：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．解答：解：A、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本選項錯誤；

B、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴BC=2HI，故本選項正確；

C、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長×2，故本選項錯誤；

D、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項錯誤．

故選B．點評：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即兩個相似多邊形的對應(yīng)角相等，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．6.（2012?荊州）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）A． B． C． D．考點：相似三角形的判定．專題：網(wǎng)格型．分析：根據(jù)勾股定理求出△ABC的三邊，并求出三邊之比，然后根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)利用勾股定理求出三角形的三邊之比，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似選擇答案．解答：解：根據(jù)勾股定理，AB==2，

BC==，

AC=，

所以△ABC的三邊之比為：2：=1：2：，

A、三角形的三邊分別為2，，=3，三邊之比為2：：3=：：3，故本選項錯誤；

B、三角形的三邊分別為2，4，=2，三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項正確；

C、三角形的三邊分別為2，3，=，三邊之比為2：3：，故本選項錯誤；

D、三角形的三邊分別為=，=，4，三邊之比為：：4，故本選項錯誤．

故選B．點評：本題主要考查了相似三角形的判定與網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別求出各三角形的三條邊的長，并求出三邊之比是解題的關(guān)鍵．7.（2012?海南）如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的是（）A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．考點：相似三角形的判定．分析：由∠A是公共角，利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可得A與B正確；又由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．解答：解：∵∠A是公共角，

∴當∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應(yīng)相等的三角形相似）；

故A與B正確；

當時，△ADB∽△ABC（兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）；

故D正確；

當時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，

故C錯誤．

故選C．點評：此題考查了相似三角形的判定．此題難度不大，注意掌握有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似定理的應(yīng)用8．（2012?遵義）如圖，在△ABC中，EF∥BC，，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．13考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題．分析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出，把S四邊形BCFE=8代入求出即可．解答：解：∵，

∴=，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∴9S△AEF=S△ABC，

∵S四邊形BCFE=8，

∴9（S△ABC-8）=S△ABC，

解得：S△ABC=9．

故選A．點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目．9.（2012?宜賓）如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為AB、AD的中點，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理．分析：根據(jù)三角形的中位線求出EF=BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出，求出，即可求出△AEF與多邊形BCDFE的面積之比．解答：解：連接BD，

∵F、E分別為AD、AB中點，

∴EF=BD，EF∥BD，

∴△AEF∽△ABD，

∴，

∴△AEF的面積：四邊形EFDB的面積=1：3，

∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD，

∴，

∴△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為1：（1+4）=1：5，

故選C．點評：本題考查了三角形的面積，三角形的中位線等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較典型，難度適中．10．（2012?欽州）圖中兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點M B．點N C．點O D．點P考點：位似變換．專題：網(wǎng)格型．分析：根據(jù)位似變換的定義：對應(yīng)點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應(yīng)點的連線上．解答：解：點P在對應(yīng)點M和點N所在直線上，

故選：D．點評：此題主要考查了位似圖形的概念，根據(jù)位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上得出是解題關(guān)鍵．11．（2012?畢節(jié)地區(qū)）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O．若點A的坐標是（1，2），則點A′的坐標是（）A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．分析：根據(jù)以原點O為位中心，將△ABO擴大到原來的2倍，即可得出對應(yīng)點的坐標應(yīng)應(yīng)乘以-2，即可得出點A′的坐標．解答：解：根據(jù)以原點O為位中心，圖形的坐標特點得出，對應(yīng)點的坐標應(yīng)應(yīng)乘以-2，

故點A的坐標是（1，2），則點A′的坐標是（-2，-4），

故選：C．點評：此題主要考查了關(guān)于原點對稱的位似圖形的性質(zhì)，得出對應(yīng)點的坐標乘以k或-k是解題關(guān)鍵．二、填空題12．（2012?宿遷）如圖，已知P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，若S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長是AB，寬是PB的矩形的面積，則S1S2．（填“＞”“=”或“＜”）考點：黃金分割．分析：根據(jù)黃金分割的定義得到PA2=PB?AB，再利用正方形和矩形的面積公式有S1=PA2，S2=PB?AB，即可得到S1=S2．解答：解：∵P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，

∴PA2=PB?AB，

又∵S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長是AB，寬是PB的矩形的面積，

∴S1=PA2，S2=PB?AB，

∴S1=S2．

故答案為=．點評：本題考查了黃金分割的定義：一個點把一條線段分成較長線段和較短線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點．14.（2012?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，當BM=cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為cm2．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)．分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，當AM⊥MN時，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值．解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，

∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，

∴△ABM∽△MCN，則，即，

解得CN=，

∴S四邊形ABCN=×1×[1+x（1-x）]=-x2+x+，

∵-＜0，

∴當x=-cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是-×（）2+×+=cm2．

故答案是：，．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式．15.（2012?資陽）如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點，N為DC邊上一點，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為。考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．分析：求兩條線段的關(guān)系，把兩條線段放到兩個三角形中，利用兩個三角形的關(guān)系求解．解答：解：如圖，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，

∵ABCD為矩形

∴∠C=90°

∵OF⊥BC，OE⊥CD

∴∠EOF=90°

∴∠EON+∠FON=90°

∵ON⊥OM

∴∠EON=∠FOM

∴△OEN∽△OFM

∵O為中心

∴,

∴,即y=x，

故答案為：y=x，點評：此題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理的在圖中作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)．16.（2012?鎮(zhèn)江）如圖，E是?ABCD的邊CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，且AD=4，，則CF的長為．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得BC=AD=4，AB∥CD，繼而可證得△FEC∽△FAB，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=4，AB∥CD，

∴△FEC∽△FAB，

∴，

∴，

∴CF=BC=×4=2．

故答案為：2．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17.（2012?泰州）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值是．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．分析：首先連接BE，由題意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案．解答：解：如圖，連接BE，

∵四邊形BCED是正方形，

∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，

∴BF=CF，

根據(jù)題意得：AC∥BD，

∴△ACP∽△BDP，

∴DP：CP=BD：AC=1：3，

∴DP=PF=CF=BF，

在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，

∵∠APD=∠BPF，

∴tan∠APD=2．

故答案為：2．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵準確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．（2012?青海）如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，標桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為m．考點：相似三角形的應(yīng)用．專題：應(yīng)用題．分析：先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CD的值．解答：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB∥DC，

∴△ABE∽△ACD，

∴，

∵BE=1.5，AB=2，BC=14，

∴AC=16，

∴，

∴CD=12．

故答案為：12．點評：本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．19.（2012?婁底）如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場內(nèi)M處的運動員林丹把球從N點擊到了對方內(nèi)的B點，已知網(wǎng)高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM=米．考點：相似三角形的應(yīng)用．分析：首先根據(jù)題意易得△ABO∽△NAM，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．解答：解：根據(jù)題意得：AO⊥BM，NM⊥BM，

∴AO∥NM，

∴△ABO∽△NBM，

∴，

∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，

∴BM=OB+OM=4+5=9（米），

∴，

解得：NM=3.42（米），

∴林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM為3.42米．

故答案為：3.42．點評：此題考查了相似三角形的應(yīng)用．此題比較簡單，注意掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．20.（2012?北京）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB=m．考點：相似三角形的應(yīng)用．分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．解答：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D

∴△DEF∽△DCB

∴,

∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，

∴,

∴BC=4，

∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，

故答案為5.5點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．21.（2012?阜新）

如圖，△ABC與△A1B1C1為位似圖形，點O是它們的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面積為3，那么△A1B1C1的面積是．考點：位似變換．分析：由△ABC與△A1B1C1為位似圖形，位似比是1：2，即可得△ABC與△A1B1C1為相似三角形，且相似比為1：2，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得答案．解答：解：∵△ABC與△A1B1C1為位似圖形，

∴△ABC∽△A1B1C1，

∵位似比是1：2，

∴相似比是1：2，

∴△ABC與△A1B1C1的面積比為：1：4，

∵△ABC的面積為3，

∴△A1B1C1的面積是：3×4=12．

故答案為：12．點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．注意位似圖形是相似圖形的特殊情況，注意相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用．三、解答題22．（2012?上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點G．

（1）求證：BE=DF；

（2）當時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）證得△ABF與△AFD全等后即可證得結(jié)論；

（2））利用得到，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后證得BE=GF，利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，

∵∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，

即：∠BAE=∠DAF，

∴△BAE≌△DAF

∴BE=DF；

（2）∵，

∴

∴FG∥BC

∴∠DGF=∠DBC=∠BDC

∴DF=GF

∴BE=GF

∴四邊形BEFG是平行四邊形．點評：本題考查了平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)，特別是第二問如何利用已知比例式進行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵．23．（2012?云南）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM=AC，過點M作ME∥BC交AB于點E．

求證：△ABC∽△MED．考點：相似三角形的判定．專題：證明題．分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠B=∠MED，結(jié)合全等三角形的判定定理可判斷△ABC≌△MED，也可得出△ABC∽△MED．解答：證明：∵MD⊥AB，

∴∠MDE=∠C=90°，

∵ME∥BC，

∴∠B=∠MED，

在△ABC與△MED中，，

∴△ABC≌△MED（AAS）．

∴△ABC∽△MED．點評：此題考查了相似三角形的判定，注意兩三角形全等一定相似，但兩三角形相似不一定全等，要求掌握三角形全等及相似的判定定理，難度一般．24．（2012?株洲）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O．

（1）求證：△COM∽△CBA；

（2）求線段OM的長度．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)A與C關(guān)于直線MN對稱得到AC⊥MN，進一步得到∠COM=90°，從而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后證得△COM∽△CBA；

（2）利用上題證得的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得OM的長．解答：（1）證明：∵A與C關(guān)于直線MN對稱，

∴AC⊥MN，

∴∠COM=90°．

在矩形ABCD中，∠B=90°，

∴∠COM=∠B，

又∵∠ACB=∠ACB，

∴△COM∽△CBA；

（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

∴AC=10，

∴OC=5，

∵△COM∽△CBA，

∴，

∴OM=．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細分析并找到相等的角來證得相似三角形．25.（2012?株洲）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．

（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？

（2）當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程求得t值即可；

（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算其面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可．解答：解：（1）∵從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．

∴AM=12-t，AN=2t

∵∠AMN=∠ANM

∴AM=AN，從而12-t=2t

解得：t=4

秒，

∴當t為4時，∠AMN=∠ANM．

（2）如圖，作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°，

∴NH∥BC

∴△NHA∽△ABC

∴，

即：,

∴NH=t,

從而有S△AMN=（12-t）?t=-t2+t，

∴當t=6時，S最大值=．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式，從而求解．26.（2012?江西）如圖1，小紅家陽臺上放置了一個曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點立于地面，經(jīng)測量：

AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．

（1）求證：AC∥BD；

（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（精確到0.1°）；

（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．

（參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科學(xué)記算器）考點：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)等角對等邊得出∠OAC=∠OCA=（180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），進而利用平行線的判定得出即可；

（2）首先作OM⊥EF于點M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=≈0.471，即可得出∠OEF的度數(shù)；

（3）首先證明Rt△OEM∽Rt△ABH，進而得出AH的長即可．解答：（1）證明：證法一：∵AB、CD相交于點O，

∴∠AOC=∠BOD

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=（180°-∠BOD），

同理可證：∠OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），

∴∠OAC=∠OBD，

∴AC∥BD，

證法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，

∴OB=OD=85cm，

∴,又∵∠AOC=∠BOD

∴△AOC∽△BOD，

∴∠OAC=∠OBD；

∴AC∥BD；

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；

作OM⊥EF于點M，則EM=16cm；

∴cos∠OEF=≈0.471，

用科學(xué)記算器求得∠OEF=61.9°；

（3）解法一：小紅的連衣裙會拖落到地面；

在Rt△OEM中，OM==30cm，

過點A作AH⊥BD于點H，

同（1）可證：EF∥BD，

∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽Rt△ABH，

∴，AH==120cm

所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．

解法二：小紅的連衣裙會拖落到地面；

同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；

過點A作AH⊥BD于點H，在Rt△ABH中

sin∠ABD=，

AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm.

所以：小紅的連衣裙垂掛在衣