2023年人教版高考數(shù)學總復習第一部分考點指導第一章集合與常用邏輯用語第二節(jié)充要條件與量詞

第二節(jié)充要條件與量詞【考試要求】.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義..理解全稱量詞與存在量詞的意義..能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定..能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.【高考考情】考點考法：本部分內(nèi)容常常與集合、函數(shù)、不等式等知識交匯考查，屬于低頻考點.多以選擇題、填空題或解答題中某一部分的形式呈現(xiàn)，屬于低檔題.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理Q■ =—知謂梳理,思推激活,一 Q歸納?知識必備.充分條件、必要條件與充要條件的概念川若pnq,則p是g的充分條件,q是p的必要條件P是q的充分不必要條件口1〉pnq豆qpP是q的必要不充分條件戶。且qnpP是q的充要條件P<=>QP是q的既不充分也不必要條件產(chǎn)Q且（7分。,注解1若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合6的形式出現(xiàn)，即p（力｝,g：4=｛削g（x）｝,則①若3,則是Q的充分條件；②若尾4則0是g的必要條件；③若力06,則0是＜?的充分不必要條件；④若夙）4則0是（?的必要不充分條件；⑤若4=8,則0是q的充要條件；⑥若加）6且反）4則夕是q的既不充分也不必要條件..全稱量詞命題與存在量詞命題（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“匕”表示;含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.（2）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“工”表示；含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題..全稱量詞命題與存在量詞命題的否定^名稱形式全稱量詞命題存在:；冒：i司命題結(jié)構(gòu)對“中任意一個X,〃（分成立存在〃中的元素X,0（x）成立簡記VxGM,0(x)mxGM,p{x}否定mxRM,―?2(x)VxGM,"i2(x),注解2（1）對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定；⑵注意“或”“且”的否定，“或”的否定為“且”，“且”的否定為“或”.智學?變式探源1.必修一P19例22.必修一P35T7.（改變形式）設四邊形4靦的兩條對角線為BD,則“四邊形4靦為菱形”是aACLBff'的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因為四邊形4靦為菱形，得到對角線4cL物，所以充分性成立，若四邊形力靦中對角線力四邊形不一定是菱形，必要性不成立..（改變形式）命題“VxGR,f-x+l>0”的否定是（ ）A.VxGR,—x+IWO B.V V—x+lVOC.3x—x+IWO D.3 x—x+lVO【解析】選C.全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以本題命題的否定為xGR,"x+1W0”.-慈考?四基自測3.基礎知識4.基本方法5.基本能力6.基本應用3.（概念的理解）（多選題）下列命題為全稱量詞命題的是（ ）A.奇函數(shù)的圖象關于原點對稱B.正四棱柱都是平行六面體C.棱錐僅有一個底面D.存在大于等于3的實數(shù)x,使*-2*—320【解析】選ABC.A,B,C中命題都省略了全稱量詞“所有”，所以A,B,C都是全稱量詞命題;D中命題含有存在量詞“存在"，所以D是存在量詞命題.4.（充分條件定義）已知aGR,則“a>6”是％2>36”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.①因為a>6,所以才>36,所以充分性成立，②因為a?>36,所以a>6或aV-6,所以必要性不成立，所以a>6是a>36的充分不必要條件..（轉(zhuǎn)化能力）命題“存在xGR,使y+ax—daVO為假命題”是命題“一16《9《0”的（ ）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.依題意，知f+ax—4a20恒成立，則4=a'+16a<0,解得一16WaW0..（用命題真假求參數(shù)）已知命題“VxGR,蘇+4葉1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】當原命題為真命題時，a>0且4=16—4aV0,所以a>4.故當原命題為假命題時，a《4.答案：（一8,4]Q-一考點探先二修法培優(yōu) -Q?考點一充分、必要條件的判定|自主練透.已知。，￡均為第一象限角，那么“。>￡”是“sina>sin￡”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件TOC\o"1-5"\h\z八—, — 7n n .、 _【解析】選D.取。=一丁,B=—,o>￡成乂，而sina=sinB,sina>sin￡不?J o成立.所以充分性不成立；ji13n _.取a=—,fi=—~,sina>sin￡,但aV￡,必要性不成立.故"￡"是"sin3 6a>sin￡”的既不充分也不必要條件..設xGR,則“？-5xV0”是“|*一1|VI”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由x—5^<0可得0VxV5.由|x—11VI可得0VxV2.由于區(qū)間（0,2）是（0,5）的真子集，故"V—5xV0"是u|a—11<1w的必要不充分條件.（2021?全國甲卷）等比數(shù)列｛品｝的公比為q,前〃項和為S,設甲：>0,乙：｛$｝是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】選B.若q=l,則①團>0,貝!HS｝單調(diào)遞增；②&V0,則｛$｝單調(diào)遞減，所以甲弁乙；又若｛$｝單調(diào)遞增，則恒成立，所以a.+i>0=ad>0恒成立，所以國>0,<7>0,所以甲仁乙，綜上：甲右乙.★（命題?新視角）王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【解析】選D.非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分條件.,規(guī)律方法充分條件、必要條件的判斷方法|自主完善，老師指導(1)定義法：直接判斷“若。則武“若q則P”的真假:(2)集合法：設4={x"(x)},6={x|g(x)},若忙見則。是。的充分條件或。是。的必要條件;若忒8,則。是。的充分不必要條件;若A=B,則。是。的充要條件.提醒：解決與充要條件有關的應用交匯問題的關鍵是根據(jù)交匯知識，弄清充要關系進行判斷,判斷時注意方法靈活，可直接或驗證判斷.鈾【加練備選】(1)已知a,￡CR,則“存在〃GZ使得a=〃n+(—l)?￡”是“Sina=sin￡”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.①充分性：已知存在AGZ使得a=An+(—D*用，(i)若A為奇數(shù)，則〃=2〃+1,〃GZ,此時。=(2〃+1)n—￡,n《Z,sina=sin(2〃n+n—￡)=sin(n-￡)=sin￡；(ii)若左為偶數(shù)，則A=2〃，〃GZ,此時a=2〃“+￡,〃GZ,sina=sin(2〃n+￡)=sin￡.由(i)(ii)知，充分性成立.②必要性：若sina=sin￡成立，則角。與角￡的終邊重合或角。與角￡的終邊關于y軸對稱，即a=￡+20n或a+￡=2zzzn+n,廬Z,即存在〃GZ使得a=An+(—1)"￡,必要性也成立.(2)(一題多解)設a>0,b>0,則“a+6《4”是“abW4”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.方法一(通解)：因為a>0,b>0,所以a+b^2\[ab,由a+Z<4可得2，/《4,解得a6《4,所以充分性成立；當a6W4時，取a=8, ,滿足a6W4,O但a+6>4,所以必要性不成立.所以“a+6<4”是“abW4”的充分不必要條件.方法二(創(chuàng)新解法)：在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)4一 ?6=4—a,b=~的圖象，如圖所示，a則不等式a+0與abW4表示的平面區(qū)域分別是直線a+6=4及其左下方(第一象限中的部4分)與曲線6=-及其左下方(第一象限中的部分)，a易知當a+6<4成立時，a/<4成立，而當a/W4成立時，a+6W4不一定成立，所以“a+6/4”是“abW4”的充分不必要條件.5考點二充分、必要條件的應用|講練互動[典例口(1)不等式x(x-2)V0成立的一個必要不充分條件是()A.xG(0,2) B.xG[—1,+°°)C.XG(0,1) D.xG(1,3)【解析】選8.解不等式x(x—2)V0得0VxV2,因此xC(0,2)是不等式x(x—2)V0成立的充要條件，則所求必要不充分條件應包含集合{x10<x<2}.(2)已知P={x|x?-8x—20W0},非空集合S={x|1—mWxWl+m}.若xGP是xeS的必要條件，則m的取值范圍是.【解析】由x2—8x—20W0,得一2WxW10,f1—所以P={x|-2Wx《10},由xCP是xGS的必要條件，知SUP.則{ —2,所以0Ll+m^lO,Wm<3.所以當0WmW3時，xGP是xCS的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3].答案：[0,3]，一題多變(1)若本例(2)將條件“若xGP是xGS的必要條件”改為“若xWP是xGS的必要不充分條件”，則m的取值范圍是.【解析】方法一：若XGP是XGS的必要條件，則0Wm43,當m=0時，S={1},不充分；當m=3時，S={x|-2WxW4}也不充分，故m的取值范圍為[0,3].1—m=—2,方法二：若xGP是x￡S的必要且充分條件，則P=S,即，八=m無解，J+m=10所以m的取值范圍是[0,3].答案：[0,3](2)若本例(2)將條件“若xGP是xGS的必要條件”變?yōu)椤叭舴荘是非S的必要不充分條件”,其他條件不變，則m的取值范圍是.【解析】由已知可得P={x|-2《xW10},因為非P是非S的必要不充分條件，所以S是P的必要不充分條件，所以P=S且SD=/P.所以[—2,10][1—m,1+m].所叫l(wèi)+m>10 或所以m29,即m的取值范圍是[9,+°°).答案：[9,+°°),規(guī)律方法根據(jù)充分條件、必要條件求解參數(shù)范圍的方法把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解.提醒：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍.，對點訓練.下列函數(shù)中，滿足“Xi+x2=0”是“f(xJ+f(X2)=0”的充要條件的是( )A.f(x)=tanx B.f(x)=3X—3-'C.f(x)=x2 D.f(x)=logs|x|【解析】選B.因為f(x)=tanx是奇函數(shù),所以Xi+x2=0=f(xj+f(x2)=0,((3 n3但“TJ+H=0時，7+—WO,不符合要求，所以4不符合題意；因為f(x)=3X-3r均為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以滿足“Xi+xz=O”是“f(xJ+f(Xz)=O”的充要條件，符合題意；f(x)=x?是偶函數(shù)，不符合題意；由f(x)=/q/|x|的圖象易知不符合題意.(2022?贛州模擬)角A,B是AABC的兩個內(nèi)角.下列四個條件下，“A>B”的充要條件是()A.sinA>sinB B.cosA>cosBC.tanA>tanB D.cos2A>cos?B【解析】選4當A>B時，根據(jù)“大邊對大角”可知，a>b,ah由于一彳=—H，所以sinA>s力？B,則選項力是“A>B”的充要條件；sinK.smB由于0VBVAV",余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間(0,萬)內(nèi)單調(diào)遞減，所以cosA<cosB,則選項8不是“A>B”的充要條件；當A>B時，若A為鈍角，B為銳角，則tanA<0<tanB,則選項。不是“A>B”的充要條件；當cosA>cosB,即1—si方A>1—si/fB,所以si/fAVsin'B,即sinAVsinB,所以選項〃不是“A>B”的充要條件.(2022?山東模擬)已知p：x2k,q：(x+1)(2—x)V0.如果p是q的充分不必要條件，那么實數(shù)k的取值范圍是()A.[2,+°°) B.(2,+°0)C.[1,+°°) D.(―°°,—1]【解析】選區(qū)由q：(x+1)(2—x)<0,可知q：xV-l或x>2.因為P是q的充分不必要條件，所以x2k=xV—1或x>2,即［k,+8)是(—8,—1)U(2,+8)的真子集,故k>2.【加練備選】設nWN+，則一元二次方程*-4x+〃=0有整數(shù)根的充要條件是n=.【解析】由4=16—4〃20,得〃W4,又aGN+,則〃=1,2,3,4.當〃=1,2時，方程沒有整數(shù)根；當〃=3時，方程有整數(shù)根1,3；當〃=4時，方程有整數(shù)根2.綜上可知，〃=3或4.答案：3或47考點三全稱量詞命題與存在量詞命題自主練透.（多選題）下列命題是xGR,*>3”的表述方法的是（ ）A.有一個xWR,使得9>3成立B.對有些“GR,使得V>3成立C.任選一個xGR,都有x?>3成立D.至少有一個xGR,使得*>3成立【解析】選ABD.原命題為存在量詞命題，A,B,D選項均為對應的存在量詞命題，是原命題的表述方法，C為全稱量詞命題.故選ABD..下列四個命題中真命題是（ ）V3Vr￡R,m?n=mVnER,3r￡R,m<nV〃GR,n<n【解析】選B.對于選項A,令〃=；，即可驗證其不正確；對于選項C,D,可令〃=—1加以驗證，均不正確.3.下列命題中的假命題是（）A.VxGR,2i>0B.VxGN*,U-l）2>0C.3xER,lgx<lD.3x￡R,tanx=2【解析】選B.當x￡N*時，x—lWN,可得5—1）220,當且僅當x=l時取等號，故B不正確;易知A,C,D正確.V4.命題“Vx>0,-r>0”的否定是（）X—1

x一3x<0,——rWOx—\x一3x<0,——rWOx—\3x>0,OWxWlx一Vx>0, WOx—\Vx<0,Y【解析】選B.因為r>0,所以xVO或x>l,Y所以一r>0的否定是0《后1,x—1所以命題的否定是mx>0,OWxWL，規(guī)律方法.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法全稱量詞命題(1)要判斷一個全稱量詞命題是真命題，一個元素X,證明p(x)成立；(2)要判斷一個全稱量詞命題是假命題，特殊值X=Xo,使P(Xo)不成立即可.必須對限定的集合"中的每只要能舉出集合"中的一個存在要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合材中，找到一量詞個*=如使0(兩)成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.命題.對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定的方法(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；(2)否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.提醒：對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定.售后I【加練備選】(D(多選題)命題"存在實數(shù)“ER，使得數(shù)據(jù)1,2,3,x,6的中位數(shù)為3.若命題"為真命題，則實數(shù)x的取值集合可以為()A.{3,4,5} B.{x|x>3}C.{x|x23} D.{x|3〈W6}【解析】選ABCD.根據(jù)中位數(shù)的定義可知，只需x23,則1,2,3,X、6的中位數(shù)必為3,選項A,B,C,D中的取值集合均滿足*23.故選ABCD.(2)已知命題0：M3xWR,e*—x—1W0”,則-7?為( )3x￡R,e'—x—1203xGR,e'—x—1>0VxGR,e-x—1>0Vx￡R,e'-x-l20【解析】選C.根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定關系，可得為"VxGR,e、-x一1>0”.(3)下列命題中是假命題的是()A.3xWR,log2^=0 B.3xWR,cosx=1C.VxGR,y>0 D.VxGR,2r>0【解析】選C.因為log21=0,cos0=1,所以選項A,B均為真命題，0，=0,選項C為假命題，2'>0,選項D為真命題.7考點四命題中參數(shù)的取值范圍|講練互拓[典例2](1)(金榜原創(chuàng)?易錯對對碰)①若命題“對VxGR,af-ax-lVO”是真命題，則a的取值范圍是.【解析】①“對VxWR,a*—ax—lV0”是真命題，當a=0時，則有一1V0；當aWO時，則有aVO且4=(-a)2-4XaX(—1)=a2+4a<0,解得一4VaV0,綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(一4,0].答案：(一4,0]②若命題“GR,使得3f+2ax+lV0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】命題Fx￡R,使得3*+2ax+lV0”是假命題，即“VxGR,3f+2ax+120”是真命題，故4=4a，—12W0,解得一a/3 .即實數(shù)a的取值范圍為[一/，/].答案：[一m,y[3](2)已知f(x)=ln(V+1),8(才)=(習 —m,若對"汨仁[0,3],3x2^[1,2],使得/'(為)2g(也)，則實數(shù)力的取值范圍是.

【解析】當xC[0,3]時，r(jr).in=/\o)=0,當xe[l,2]時，g(x)11M=g(2)=；—m,由f(x)*i02g(x)1nm，>\>\答案：+8)4一題多變本例中，若將“三及￡[1,2]”改為“V生￡[1,2]”，其他條件不變，則實數(shù)力的取值范圍是.【解析】當xG[l,2]時，g(x)皿=g(l)=；—m,由f(x)"in2g(x)皿，得-m,所以加.答案：g，+°°J，規(guī)律方法根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍(1)巧用三個轉(zhuǎn)化①全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；②存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；③全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.(2)準確計算通過