定積分概念-課件

第五章積分§5.1定積分的概念1o定積分問(wèn)題的提出問(wèn)題一:曲邊梯形面積的計(jì)算

設(shè)y=f(x)0,x[a,b]計(jì)算:由曲線y=f(x),y=0,x=a,x=b所界的曲邊梯形abcd的面積Aabxyo第五章積分§5.1定積分的概念1o定積分問(wèn)題的提出1abxyoabxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）用矩形面積近似取代曲邊梯形面積

可以看到,小矩形越多,小矩形的總面積越接近于曲邊梯形面積Aabxyoabxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）用矩形面積近2(1)分割:使[a,b]被劃分為n個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi

],記[xi-1,xi

]上小曲邊梯形的面積為?Ai

,

y=f(x)?Ai(1)分割:使[a,b]被劃分為n個(gè)子區(qū)間3則(2)近似:若區(qū)間[a,b]被分割的很細(xì),即每個(gè)子區(qū)間

[xi-1,xi

]的長(zhǎng)度很小,則f(x)在[xi-1,xi]上近似于常數(shù),小曲邊梯形近似于矩形.任取若記

?xi=

xi-

xi-1,

則則(2)近似:若區(qū)間[a,b]被分割的很細(xì),即每個(gè)4(3)精確化:可以看出,將區(qū)間分割得越小,則式

(1)

的近似越精確

(1)則有(2)記(分割的最大直徑)

(3)精確化:可以看出,將區(qū)間分割得越小,則式(5問(wèn)題二:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)運(yùn)動(dòng)物體以速度v=v(t)作直線運(yùn)動(dòng),求在時(shí)刻t=a到t=b這段時(shí)間內(nèi),物體行經(jīng)的路程S.(1)分割:使記時(shí)間段[ti-1,ti

]內(nèi),物體行經(jīng)的路程?Si

,則問(wèn)題二:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)運(yùn)動(dòng)物體以速度v=v(t)作6(2)近似:若子區(qū)間很小,則速度v(t)在上近似不變(即近似于常數(shù))任取(3)(3)精確化:可以看出,越小,

則式

(3)

的近似程度越高記則有(4)(2)近似:若子區(qū)間很小,則速度v(t)在7說(shuō)明:(1)

問(wèn)題一,問(wèn)題二是不同背景的問(wèn)題,但面臨同一數(shù)學(xué)問(wèn)題,即和式極限的計(jì)算(2)在問(wèn)題的處理過(guò)程中,都使用了

“以不變處理變”

的思想說(shuō)明:(1)問(wèn)題一,問(wèn)題二是不同背景的問(wèn)題,但面臨820定積分的定義定義設(shè)f(x)在[a,b]上有定義,在(a,b)內(nèi)任意將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間:

在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作和式如果則稱f(x)在[a,b]

可積,A稱為f(x)在[a,b]上的定積分,記為,20定積分的定義定義設(shè)f(x)在[a,b]上9a稱為積分下限;b稱為積分上限;f(x)稱為被積函數(shù);f(x)dx稱為被積表達(dá)式;x稱為積分變量

說(shuō)明:(1)

定積分的幾何意義:abxyo如果y=f(x)0,x[a,b]曲邊梯形的面積:(2)極限值A(chǔ)與區(qū)間[a,b]的劃分方式無(wú)關(guān),與的選取方式無(wú)關(guān)即a稱為積分下限;b稱為積分上限;f(x)稱為10(3)在上述定義中認(rèn)為a<b,對(duì)于a>b的情形:規(guī)定:對(duì)于b=a的情形:規(guī)定:(面積為零)(3)在上述定義中認(rèn)為a<b,對(duì)于a>b的11定理(定積分存在的必要條件)如果f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界說(shuō)明:[a,b]上的無(wú)界函數(shù)是不可積的定理(定積分存在的充分條件)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)或分段連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積說(shuō)明:連續(xù)函數(shù)必是可積函數(shù),不連續(xù)的函數(shù)也可能是可積函數(shù)定理(定積分存在的必要條件)如果f(x)在[a,12例利用定義計(jì)算定積分解由在[0,a]上連續(xù),

將[0,a]區(qū)間n等分,分點(diǎn):取則有[0,a]上可積.可知f(x)在例利用定義計(jì)算定積分解由13說(shuō)明:此例說(shuō)明用定義計(jì)算定積分是非常困難的說(shuō)明:此例說(shuō)明用定義計(jì)算定積分是非常困難的14定積分可被用來(lái)計(jì)算“和式”的極限若f(x)在[a,b]上連續(xù),則根據(jù)定積分的定義有即當(dāng)所求極限的“和式”為積分和時(shí),可利用

(1)轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算

當(dāng)然,(1)也只能解決是“積分和”或“可化為積分和”的和式極限計(jì)算問(wèn)題(1)定積分可被用來(lái)計(jì)算“和式”的極限若f(x)在[15例計(jì)算解例計(jì)算解16例計(jì)算解由于例計(jì)算解由于17據(jù)夾逼定理知據(jù)夾逼定理知18例計(jì)算解記則由于所以例計(jì)算解記則由于所以19解例把區(qū)間[a,b](a>0)分成n等分,分點(diǎn)為xi,

計(jì)算

設(shè)解例把區(qū)間[a,b](a>0)分成n20所以所以21第五章積分§5.1定積分的概念1o定積分問(wèn)題的提出問(wèn)題一:曲邊梯形面積的計(jì)算

設(shè)y=f(x)0,x[a,b]計(jì)算:由曲線y=f(x),y=0,x=a,x=b所界的曲邊梯形abcd的面積Aabxyo第五章積分§5.1定積分的概念1o定積分問(wèn)題的提出22abxyoabxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）用矩形面積近似取代曲邊梯形面積

可以看到,小矩形越多,小矩形的總面積越接近于曲邊梯形面積Aabxyoabxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）用矩形面積近23(1)分割:使[a,b]被劃分為n個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi

],記[xi-1,xi

]上小曲邊梯形的面積為?Ai

,

y=f(x)?Ai(1)分割:使[a,b]被劃分為n個(gè)子區(qū)間24則(2)近似:若區(qū)間[a,b]被分割的很細(xì),即每個(gè)子區(qū)間

[xi-1,xi

]的長(zhǎng)度很小,則f(x)在[xi-1,xi]上近似于常數(shù),小曲邊梯形近似于矩形.任取若記

?xi=

xi-

xi-1,

則則(2)近似:若區(qū)間[a,b]被分割的很細(xì),即每個(gè)25(3)精確化:可以看出,將區(qū)間分割得越小,則式

(1)

的近似越精確

(1)則有(2)記(分割的最大直徑)

(3)精確化:可以看出,將區(qū)間分割得越小,則式(26問(wèn)題二:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)運(yùn)動(dòng)物體以速度v=v(t)作直線運(yùn)動(dòng),求在時(shí)刻t=a到t=b這段時(shí)間內(nèi),物體行經(jīng)的路程S.(1)分割:使記時(shí)間段[ti-1,ti

]內(nèi),物體行經(jīng)的路程?Si

,則問(wèn)題二:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)運(yùn)動(dòng)物體以速度v=v(t)作27(2)近似:若子區(qū)間很小,則速度v(t)在上近似不變(即近似于常數(shù))任取(3)(3)精確化:可以看出,越小,

則式

(3)

的近似程度越高記則有(4)(2)近似:若子區(qū)間很小,則速度v(t)在28說(shuō)明:(1)

問(wèn)題一,問(wèn)題二是不同背景的問(wèn)題,但面臨同一數(shù)學(xué)問(wèn)題,即和式極限的計(jì)算(2)在問(wèn)題的處理過(guò)程中,都使用了

“以不變處理變”

的思想說(shuō)明:(1)問(wèn)題一,問(wèn)題二是不同背景的問(wèn)題,但面臨2920定積分的定義定義設(shè)f(x)在[a,b]上有定義,在(a,b)內(nèi)任意將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間:

在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作和式如果則稱f(x)在[a,b]

可積,A稱為f(x)在[a,b]上的定積分,記為,20定積分的定義定義設(shè)f(x)在[a,b]上30a稱為積分下限;b稱為積分上限;f(x)稱為被積函數(shù);f(x)dx稱為被積表達(dá)式;x稱為積分變量

說(shuō)明:(1)

定積分的幾何意義:abxyo如果y=f(x)0,x[a,b]曲邊梯形的面積:(2)極限值A(chǔ)與區(qū)間[a,b]的劃分方式無(wú)關(guān),與的選取方式無(wú)關(guān)即a稱為積分下限;b稱為積分上限;f(x)稱為31(3)在上述定義中認(rèn)為a<b,對(duì)于a>b的情形:規(guī)定:對(duì)于b=a的情形:規(guī)定:(面積為零)(3)在上述定義中認(rèn)為a<b,對(duì)于a>b的32定理(定積分存在的必要條件)如果f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界說(shuō)明:[a,b]上的無(wú)界函數(shù)是不可積的定理(定積分存在的充分條件)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)或分段連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積說(shuō)明:連續(xù)函數(shù)必是可積函數(shù),不連續(xù)的函數(shù)也可能是可積函數(shù)定理(定積分存在的必要條件)如果f(x)在[a,33例利用定義計(jì)算定積分解由在[0,a]上連續(xù),

將[0,a]區(qū)間n等分,分點(diǎn):取則有[0,a]上可積.可知f(x)在例利用定義計(jì)算定積分解由34說(shuō)明:此例說(shuō)明用定義計(jì)算定積分是非常困難的說(shuō)明:此例說(shuō)明用定義計(jì)算定積分是非常困難的35定積分可被用來(lái)計(jì)算“和式”的極限若f(x)在[a,b]上連續(xù),則根據(jù)定積分的定義有即當(dāng)所求極限的“和式”為積分和時(shí),可利用

(1)轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算