2023北京版數(shù)學高考第二輪復習-12概率與統(tǒng)計

2023北京版數(shù)學高考第二輪復習第十二章概率與統(tǒng)計12.1隨機事件與古典概型

五年高考考點一隨機事件的概率.（2018課標IH文,5,5分，綜合性）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（）.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7答案B.（2020北京,18,14分，應用性）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案:方案一、方案二.為了解該校學生對活動方案是否支持.對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：方案一男支持200人生不支持400人女生支持 不支持300人 100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立.（1）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；⑵從該校全體男生中隨機抽取2人,全體女生中隨機抽取1人估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（3）將該校學生支持方案二的概率估計值記為po.假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為pi.試比較出與p,的大小.（結論不要求證明）解析⑴設該校男生支持方案一"為事件A,該校女生支持方案一"為事件B.依題意知，抽取的樣本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人，故PW=~=去抽取的樣本中共有女生400人,其中支持方案一的有3()0人，故P(B)=^2=I4UU4,(2)由(1)可知,該校男生支持方案一"的概率估計值為小該校女生支持方案一"的概率估計值為1設抽取的該校2個男生和1個女生中，支持方案一的恰有2人"為事件C,該事件包括2個男生均支持方案一而女生不支持方案一"2個男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一",故所求概率為(3)pi<p().解法一:由樣本的頻率估計總體概率.該校學生支持方案二的概率估計值為=稱該校一年級男生中支持方案二的約有喘徐x500s^92人，該校一年級女生中支持方案二的約有高%X300由13人，假設一年級學生中支持方案二的概率為P2廁P2=(292+113)+(500+300)=簿，胃>80_1160-2'則P2>P0.故可知該校除一年級外其他年級學生支持方案二的概率應低于平均概率，即Pl<P0.解法二:由題表可知，男生支持方案二的概率明顯大于女生支持方案二的概率.樣本中男、女生比例為3：2,此時=)而一年級的男、女生比例為5：3,因為9>*所以該校除一年級外其他年級學生支持方案二的概率應低于平均概率.即p.<po.3.(2019北京文.17,12分，綜合性)改革開放以來人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況.從全校所有的10()()名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率：(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結合⑵的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.解析(1)由題知，樣本中僅使用A的學生有27+3=30人,僅使用B的學生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為喘xl000=400.⑵記事件C為從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于2000元"，則P(C)弓=0.04.(3)記事件E為從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,該學生本月的支付金額大于2000元”.假設樣本僅使用B的學生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1：可以認為有變化.理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機事件,P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化.4.(2016北京.16,13分)A,B,C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間.數(shù)據(jù)如下表(單位:小時)：TOC\o"1-5"\h\zA班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5⑴試估計C班的學生人數(shù)：⑵從A班和C班抽出的學生中.各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率：(3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位小時)這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為外表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為即,試判斷即和田的大小.(結論不要求證明)解析(1)由題意知,抽出的20名學生中，來自C班的學生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學生人數(shù)估計為100x^=40.(2)設事件A為甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人",i=l,2,..,5,事件G為乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人",j=1,2,..,8.由題意可知,P(Ai)=1,i=1,2,..,5;P(Cj)=ij=1,2...,8.3 o111P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1xi= j=l,2,..,8.設事件E為該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知,E=AQUA1C2UA2C1UA2c2UA2C3UA3C1UA3c2UA3c3UA4C1UA4c2UA4c3UA5C1UA5c2UA5c3UA5c4.因此P(E)=P(A1C|)+P(A|C2)+P(A2C1)+P(A2c2)+P(A2c3)+P(A3CI)+P(A3c2)+P(A3c3)+P(A4C1)+P(A4c2)+P(A4c3)3+P(A5C1)+P(A5c2)+P(A5c3)+P(A5c4)=15x《=o(3)gi<po.磁思路分析(1)利用分層隨機抽樣的定義求出C班的學生人數(shù);(2)依次找出甲、乙的搭配方式，求出概率;(3)將從A.B.C三個班中抽取的樣本數(shù)據(jù)分別與該班的平均數(shù)比較,進而作判斷.5.(2015北京文.17,13分)某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況.整理成如下統(tǒng)計表，其中表示購買，義"表示未購買.商品甲顧客人數(shù)1(X)VXVV217XVXy200VVVX300V X VX85VXXX98XVXX(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲.則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解析(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為懦=02⑵從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中.有10()位顧客同時購買了甲、丙、丁另有20()位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為當翳=03(3)解法一：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為箴=02顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為變需型=06顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為擺=0」.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.解法二:從統(tǒng)計表可以看出，同時購買了甲和乙的顧客，也都購買了丙;同時購買了甲和丁的顧客.也都購買了丙;有些顧客同時購買了甲和丙，卻沒有購買乙或丁.所以，如果顧客購買了甲，那么他同時購買丙的可能性最大.考點二古典概型1.(2022全國甲文,6,5分，基礎性)從分別寫有123,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張廁抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.1B.iC.1 D.|答案C2.（2022新高考I,5,5分，基礎性）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為（）1112A.7 B.：CiD.5TOC\o"1-5"\h\z6 3 2 3答案D.（2020課標I文,4,5分，綜合性）設O為正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）12 14A卷B.7CiD.75 5 2 5答案A.（2019課標11,4,5分，應用性）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為（）2 3 2 1A3 C5叼答案B.（2019課標川文,3,5分，應用性）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是（）1111TOC\o"1-5"\h\zA.7 Bi Ci Di4 3 2答案D.（2016北京文,6,5分，應用性）從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為（）a1 d2 r8 n9A-S B-S C元 D.-答案B.（2019課標I理.6,5分創(chuàng)新性）我國古代典籍《周易》用卦"描述萬物的變化.每一重卦"由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻J和陰爻匕二，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）

三三三三TOC\o"1-5"\h\z5 11 21 11A? B.- C.- D.-答案A8.（2021全國甲理.10,5分，綜合性）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）12 2 4A-3B.gC,5 D.-答案C9.（2022全國甲理.15,5分，綜合性）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率10.（2022全國乙，理13,文14,5分，應用性）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為11.（2018北京文,17,13分，應用性）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型電電影類型電影赧好評率第一類第二類第三類第四類第五類第六類140 50 300 200 800 5100.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（1）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率:（2）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率:（3）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化.那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大'?（只需寫出結論）解析（1）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200x0.25=50.故所求概率為蒜=0025.（2）由題意知.樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140x0.4+50x0.2+300x0.15+200x0.25+800x0.2+510x0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計為1-7^=0.814.（3）增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.三年模擬A組考點基礎題組考點一隨機事件的概率.（2021海淀模擬試卷一⑼一個盒中裝有大小相同的2個黑球,2個白球，從中任取一球，若是白球,則取出來;若是黑球，則放回盒中，直到把白球全部取出，則在此過程中恰有兩次取到黑球的概率為（）A.% B.胃 C.1 D,^-216 72 9 27答案A.（2022北京市陳經(jīng)綸中學開學考試,12）拋擲紅、黃兩顆骰子,當紅色骰子的點數(shù)為4或6時，兩顆骰子的點數(shù)之積大于20的概率是.冬至1口*3考點二古典概型

1.(2022密云二模,9)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"(大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)叫做素數(shù))，如36=5+31.在不超過36的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于36的概率是()a-TT B.點 c,- D.-答案B2.(2022東城期末.18)202()年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施,二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值.努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和.某校環(huán)保社團為了解本校學生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機抽取了200名學生進行調查，樣本調查結果如下表：清楚不清楚高中部

男生女生12 8清楚不清楚高中部

男生女生12 828 32初中:男生：24部女生243834假設每位學生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨立.(1)從該校學生中隨機抽取一人，估計該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率；(2)從樣本高中部和初中部的學生中各隨機抽取一名學生.以X表示這2人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)從樣本中隨機抽取一名男生和一名女生，用餐1"表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用片0"表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式.用力'=1"表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式.用4=0"表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式.直接寫出方差D化)和D(n)的大小關系.(結論不要求證明)解析⑴樣本中清楚垃圾分類后處理方式的學生有12+8+24+24=68人,

所以從該校學生中隨機抽取一人,估計該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率為編=磊200 50⑵樣本中高中部共有12+8+28+32=80名學生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學生有12+8=20人，不清楚垃圾分類后處理方式的學生有28+32=60人,樣本中初中部共有24+24+38+34=120名學生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學生有24+24=48人，不清楚垃圾分類后處理方式的學生有38+34=72人,X的所有可能取值有0,1,2,八、6°-72 9口? 20、，72,60、，48 9P(X=°)=而乂血=五,P(X=1)=而X訪+而乂痂=而r>“c、20 48 1P(X=2)=-X—=-所以X的分布列為2222.20 2010所以X的數(shù)學期望為E(X)=0x^-+ix2+2x^=共⑶d@>d(ti).3.(2021平谷質量監(jiān)控.18)隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質要求越來越高，某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進行了質量滿意度調查.現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人次作為樣本彳導到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶03酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意5()30305()5()80(1)從樣本中任取1人，求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質量滿意的概率；(2)從該地區(qū)的老年人中隨機抽取2人，青年人中隨機抽取1人，估計這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質量滿意的概率;（3）依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，你認為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升0.1,使得整體對鮮奶的滿意度提升最大?（直接寫結果）解析（1）設這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質量滿意為事件A,抽取的總人次為500,其中對酸奶質量滿意的有100+120+150=370人次，所以P（A尸號=需（2）由頻率估計概率.可得抽取的老年人對生產(chǎn)的鮮奶質量滿意的概率為去抽取的青年人對生產(chǎn)的鮮奶質量滿意的概率為義記抽取的三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質量滿意為事件D,明利看|、（中）+竊＞＜（—）=券所以這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質量滿意的概率為我.（3）青年人.B組綜合應用題組

時間：50分鐘分值61分一、選擇題（共4分）1.（2022東城二模,5）《周髀算經(jīng)》中對圓周率兀有徑一而周三”的記載.已知圓周率兀小數(shù)點后20位數(shù)字分別為14159265358979323846.若從這20個數(shù)字的前10個數(shù)字和后10個數(shù)字中各隨機抽取一個數(shù)字，則這兩個數(shù)字均為奇數(shù)的概率為（）TOC\o"1-5"\h\z3 33B.,21 7C— D—100 20答案D二、填空題（共5分）

2.(2022密云二模,13)銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成，某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后1位數(shù)字，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，則第2次按對的概率是.空1口*5三、解答題(共52分)3.(2022西城二模.17)2021年12月9日，《北京市義務教育體育與健康考核評價方案》發(fā)布.義務教育體育與健康考核評價包括過程性考核與現(xiàn)場考試兩部分,總分值70分.其中，過程性考核40分,現(xiàn)場考試30分.該評價方案從公布之日施行,分學段過渡、逐步推開.現(xiàn)場考試采取分類限選的方式，把內容劃分了四類,必考、選考共設置22項考試內容.某區(qū)在九年級學生中隨機抽取110()名男生和100()名女生作為樣本進行統(tǒng)計調查,其中男生和女生選考乒乓球的比例分別為10%和5%,選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%.假設選考項目中所有學生選擇每一項相互獨立.(1)從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，估計該學生選考乒乓球的概率；(2)從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取2人,全體女生中隨機抽取1人估計這3人中恰有2人選考1分鐘跳繩的概率;(3)已知乒乓球考試滿分8分.在該區(qū)一次九年級模擬考試中,樣本中選考乒乓球的男生有60人得8分40人得7.5分，其余男生得7分;樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.記這次模擬考試中.選考乒乓球的所有學生的乒乓球平均分的估計值為以其中男生的乒乓球平均分的估計值為試比較閨與總的大小.(結論不需要證明)解析(1)樣本中男生選考乒乓球的人數(shù)為1100x10%=110,樣本中女生選考乒乓球的人數(shù)為1000x5%=50,設從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，該學生選考乒乓球為事件A,則P(A)110+50則P(A)110+50 81100+1000 105,(2)設從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取1人，選考1分鐘跳繩為事件B,從該區(qū)九年級全體女生中隨機抽取1人，選考1分鐘跳繩為事件C,則P(B)=0.4,P(C)=0.5,則從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取2人,全體女生中隨機抽取1人,估計這3人中恰有2人選考1分鐘跳繩的概率為GX0.4X(1-0.4)X0.5+C1x0.42x(1-0.5)=0.32.(3)陽〉內.詳解:樣本中選考乒乓球的男生有110()xl0%=ll()人,選考乒乓球的女生有1000x5%=50人.100x8+40x7.5+20x7 31 - 60x8+40x7.5+10x7 85N產(chǎn) 荷 =彳，.= 麗 =五，因為?＞黑，所以內邛2.4.(2022清華大學中學生標準學術能力測試(11月),17)近年來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變，使用移動支付購買商品已成為部分人的消費習慣.某企業(yè)為了解該企業(yè)員工A,B兩種支付方式的使用情況，隨機抽取了600名男員工、400名女員工，統(tǒng)計了他們的消費習慣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男員工女員工經(jīng)常使用偶爾使用從不使用經(jīng)常使用偶爾使用從不使用放A200名300名100名300名100名0同B350名150名100名150名150名100名⑴分別估算該企業(yè)男、女員工從不使用方式B的概率：(2)從該企業(yè)全體男員工中隨機抽取2人，全體女員工中隨機抽取1人.估算這3人中恰有2人經(jīng)常使用方式A的概率.解析(1)該企業(yè)男員工從不使用方式B的概率為擺="該企業(yè)女員工從不使用方式B的概率為擺=OUUO 4UU14,⑵該企業(yè)男員工經(jīng)常使用方式A的概率為黑=|；DUUJ該企業(yè)女員工經(jīng)常使用方式A的概率為裝=*抽取的3人中,有一名男員工經(jīng)常使用方式A,且女員工經(jīng)常使用方式A的概率為禺x2X(1-x[=35所以3人中恰有2人經(jīng)常使用方式A的概率為《+；=薨36 3 365.(2020東城二模.18)某志愿者服務網(wǎng)站在線招募志愿者.當報名人數(shù)超過計劃招募人數(shù)時，將采用隨機抽取的方法招募志愿者，下表記錄了A,B,C,D四個項目最終的招募情況,其中有兩個數(shù)據(jù)模糊，記為a,b.項目計劃招募人數(shù)報名人數(shù)A50100B60aC80bD160200甲同學報名參加了這四個志愿者服務項目，記自為甲同學最終被招募的項目個數(shù)，已知P?=0)磊,P(E=4)=—)10'(1)求甲同學至多獲得三個項目招募的概率：(2)求a,b的值；(3)假設有十名報了項目A的志愿者(不包含甲)調整到項目D,試判斷E化)如何變化(結論不要求證明).解析⑴因為事件甲同學至多獲得三個項目招募"與事件看4”是對立的,所以甲同學至多獲得三個項目招募的概率是磊=春⑵設事件A表示甲同學被項目A招募"面題意可知.P(A尸爵=今設事