倒易點陣復習材料

5?5?例題2.1體心立方和面心立方點陣的倒易點陣 證明體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣.反之，面心立方點陣的倒易點陣是體心立方點陣.［證明］選體心立方點陣的初基矢量如圖1.8所示,aia2a3a2a2a2其中a是立方晶胞邊長,?,?Z?是平行于立方體邊的正交的單位矢量。初基晶胞體積Vca1a2a33-a2根據(jù)式（2.1）aia2a3a2a2a2其中a是立方晶胞邊長,?,?Z?是平行于立方體邊的正交的單位矢量。初基晶胞體積Vca1a2a33-a2根據(jù)式（2.1）計算倒易點陣矢量a2a3ai,b32V7a1a2Vca2a3a2a2ya2a2a2

a22—)?2Vca3aia2a2a2a2a2a2Vc2b3aia2旦2a2旦2旦2旦2a2于是有：2 2 2b——xy,b2——？？，fc3——??a a a顯然b1,b2,b3正是面心立方點陣的初基矢量，故體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣，立方晶胞邊長是4/a.同理,a1a同理,a1a?2a2aQ-y2a3a????對面心立方點陣寫出初基矢量如圖1.10所示。初基晶胞體積V印a如圖1.10所示。初基晶胞體積V印a2a3根據(jù)式(2.1)計算倒易點陣矢量—x>??,b2— x>a a2y?,b3-a顯然，bi,b2,b3正是體心立方點陣的初基矢量,故面心立方點陣的倒易點陣為體心立方點陣，其立方晶胞邊長是4/a.2.2.2(a)證明倒易點陣初基晶胞的體積是32 /Vc，這里Vc是晶體點陣初基晶胞的體積；(b)證明倒易點陣的倒易點陣是晶體點陣自身.［證明］(a)倒易點陣初基晶胞體積為 bib2b3，現(xiàn)計算bib2bs.由式(2.1)(a)知,bl22

a?abl22

a?a3,bzV 2 V7c V(—a3c2a1，b3V—a1a2c此處乂 a1 a2a32 22 22 22 2b2b3VTa3 ai ai a22vTa3aia2aia3 ai ai a2這里引用了公式：ABCDBCD。由于a3aiai 0，故有b2b322_vTa3aia2aiVc a3aia2故有b2b322_

vTaibl b2b322a1bl或寫成bl b2b3Vcaia232a3Vcai a2 a3倒易點陣初基晶胞體積為晶體點陣初基晶胞體積倒數(shù)的23倍。(b)現(xiàn)要證明晶體點陣初基矢量ai,a2,a3滿足關系aib2b32 ,a2bi b2 b3b3bib~W，a32pgb1b2b3有前面知:22b2b3Vai令c, 2b2 b3bi b2b322Vcai bl b2 b31又知b1b2b3 —2Vc3，代入上式得:33332C, ——VccVc~ai 32ai同理C2b3b,2 bi b2 b3 a2C3 2可見,倒易點陣的倒易點陣正是晶體點陣自身.2.3面間距考慮晶體中一組互相平行的點陣平面 (hkl),(a)證明倒易點陣矢量Ghkl hb,kb2lbC3 2可見,倒易點陣的倒易點陣正是晶體點陣自身.2.3面間距考慮晶體中一組互相平行的點陣平面 (hkl),(a)證明倒易點陣矢量Ghkl hb,kb2lbs垂直于這組平面(hkl)；(b)證明兩個相鄰的點陣平面間的距離d(hkl)為:dhkl2Ghkl(C)證明對初基矢量ai,a2,a3互相正交的晶體點陣，有1dhkljf2 2 2上一丄Va a2 a3(d)證明對簡單立方點陣有adhkl Jh2k2l2證明參看圖2.3,在平面族(hkl)中，距原點最近的點陣平面ABC在三個晶軸上的截距分別是a7h,ajk,a^l.現(xiàn)要證明G(hkl)垂直于ABC,只需證明G(hkl)垂直于平面ABC上的兩個矢量CA和CB即可.b1b2a3bi b2 bs2222罔2,3a? a3CA辛孑，CBkl用倒易點陣基矢與晶體點陣基矢間的正交關系式(2.2),立即可得GhklCA hb,罔2,3a? a3CA辛孑，CBkl用倒易點陣基矢與晶體點陣基矢間的正交關系式(2.2),立即可得GhklCA hb,kb2lb3 —— hdhllb3同理，GhklCB0故G(hkl)垂直于點陣平面(hkl).(b)點陣平面(hkl)的面間距d(hkl)為GhkldhklOA?—hGhklahb,kb2h |ghklIlb32Ghkl(c)如果晶體點陣的初基矢量ai,a2,a3彼此正交，則倒易點陣的初基矢量也必然彼此正交.b, bi5?,b2 b2?b3 bs?由倒易點陣基矢的定義bi2Vca2a3,b2VVcasabi2Vca2a3,b2VVcasa,,b32Vcai a2Vca1a2a3得bl2/ai,b22/a2,b32a3hkl/222Vhh kb2 lb32￡￡上~~2~2~~2aia2a3a2as于是面間距為dhkl jGTkidhkl jGTki1[—22h A￥ai a22丄a3(d)對立方晶系中的簡單立方點陣,a(d)對立方晶系中的簡單立方點陣,ai a2 a3a，用(C)的結果可得dhklIaJh2k2I22.4二維倒易點陣一個二維晶體點陣由邊長AB=4,AC=3，夾角BAC/3的平行四邊形ABCD重復而成，試求倒易點陣的初基矢量.［解］解法之一參看圖2.4,晶體點陣初基矢量為a1 45?用正交關系式(2.2)求出倒易點陣初基矢量b,,b2。設bl bbl bixXbiy?b2b2xX^b2y?由b由b1a1 2,b1a20,b?ai 0,b?a? 2得到下面四個方程式45?3x5?Dy? 2(1)4:?b2xXb2y? 0b2x：?由式⑴得:4bx2,bix由式⑵得:乎由式⑴得:4bx2,bix由式⑵得:乎bly343〒九0解得:bly由式(3)得：4b2x0,b2x代入式⑷得：萼％,b2y代入式⑷得：萼％,b2y43/3于是得出倒易點陣基矢4bl??詼恥373解法之二選取a3為？方向的單位矢量，即令a3 ?于是初基晶胞體積Vc為Vc aVc aia2 a34?6/3倒易點陣基矢為a3a3ai3/3?a1a2 2?對二維點陣，僅取X,?兩個方向，于是得blr?近？bblr?近？b22.5簡單六角點陣的倒易點陣簡單六角點陣的初基矢量可以取為73ai——ai2證明簡單六角點陣的倒易點陣仍為簡單六角點陣，其點陣常數(shù)為 2n/C和4/J3a，并且相對于正點陣轉動了30角;當比率C/a取什么值時，正點陣和倒易點陣的這個比率有相同數(shù)值？如果正點陣的C/a比率取理想值，倒易點陣的這個比率又是多少 ？(C)繪出簡單六角點陣的第一布里淵區(qū),并計算其體積.［解］(a)選取簡單六角點陣的初基矢量如圖(C)繪出簡單六角點陣的第一布里淵區(qū),并計算其體積.［解］(a)選取簡單六角點陣的初基矢量如圖2.5所示.ai—ax*a?,a2 —a?222|y'a3cZ初基晶胞體積為ZO1aa2.5簡單陣的一組初基矢ZO1aa2.5簡單陣的一組初基矢aVc a3 ai a2 逅a2c2倒易點陣初基矢量為2一a2Vca3?屆Vc a3 ai a2 逅a2c2倒易點陣初基矢量為2一a2Vca3?屆20J?ab22一a3Vcai?075a2備?b32一aVca22Vc)?43a243a2或寫為￥?，b2>/3a2?2同正點陣初基矢量,a2,a3cZ?比較看出，bi,b2,b3所確定的點陣仍是簡單六角點陣，點陣常數(shù)為 2/c和4I罷a，并相對于正點陣繞c轉動了30角（見圖2.6）。bbi b2b3bbi b2b3caa2/3gT撐撐0.931若c/a c/a,則有c2/a2^’c/a故當正點陣的c/a值為搏時,倒易點陣的c/a和正點陣的c/a有相同值。若正點陣c/a=罟，則倒易點陣的c/a為c/a霽0.53TOC\o"1-5"\h\z故當正點陣的c/a為理想值時，倒易點陣的這個比值為 0.53.簡單六角點陣的第一布里淵區(qū)即倒易簡單六角點陣的為一六角正棱柱(如圖2.7),其體積為3 32_ 163Vc 娛2c即倒易簡單六角點陣初基晶胞的體積為163

亦a2c2.6底心正交點陣的倒易點陣證明底心正交點陣的倒易點陣仍為底心正交點陣.［證明］1b?a3cZ底心正交點陣的慣用晶胞如圖21b?a3cZai aZ,a2一af2初基晶胞體積為VabcVcV倒易點陣基矢為bia2bia2a3 2Vc1 1 2 4 2-X -?,b2 ——a3 ai ——?b3 ——aiab Vc b Vca2由圖2.4/a,43占底心正爻點時的一缸九芯天盤由圖2.4/a,43占底心正爻點時的一缸九芯天盤a 底心正交歳陣的創(chuàng)昌成陸Ast2.7三角點陣的倒易點陣三角點陣初基矢量具有相等長度a，彼此夾角9可以看出，這組基矢所確定的仍是一底心正交點陣，點陣常數(shù)為為B,試證明三角點陣的倒易點陣仍為三角點陣，且倒易點陣初基矢量的長度為其中是倒易點陣初基矢量間的夾角,滿足-cos0=cos0/(1+cos9［證明］三角點陣三個初基矢量的大小相等，且彼此夾角亦相等.現(xiàn)令初基矢量為asin?acos?acos(1)a1a)?a2acos?asin?acos?acos(1)a3acosX參見圖2.10,cos,cos,cos是a3在X、y、z三個方向的方向余弦。cosa3qcos2~

a得coscoscosa3a?coscos1coscossin于是有cos[12cos2 i12cos]coS 1cos212sin2圖3-101212121212121212由倒易點陣基矢的定義可知b,,b2,b3分別垂直于正點陣初基晶胞的9293,9391,9192平面，且有相同長度，b,b2b3b2 2.——9SinVcVc 9i 929393 919293sincos代入上式得229sin9 9sincos9cos(8)bl,b2,b3彼此間應有相間夾角.bib2cos 29cos一9利用公式ABCbi,b2間的夾角為22_

vT929393 91ABC上式化為COS同理可以證明為了計算cos192 93934.~9sin9192939391 9291934 . 29sinbi,b2,b3任意二矢量間的夾角均為此值。9，利用式（4）得到cos22彳212cos1cossin2 122cos1coscos1cos2coscos代入式(7)得9 —192coscos(9)都是最短的倒易點陣矢量，都是最短的倒易點陣矢量，bl a b3，并都在立方晶胞的＜111＞方向，故｛111｝都是最短的倒易點陣矢量，都是最短的倒易點陣矢量，bl a b3，并都在立方晶胞的＜111＞方向，故｛111｝2.8點陣平面上的陣點密度d/Vc，這里d/Vc，這里Vc是初基晶胞的體積，d是該點陣平面所屬的平面族中相鄰兩點陣平面之間的距離;證明面心立方點陣陣點密度最大的平面是｛111｝面，體心立方點陣陣點密度最大的平面是｛110｝面.［證明］(a)考慮晶體點陣中相鄰二平行點陣平面所構成的平行六面體，如圖 2.11所示.設該平行六面體中包含n個陣點，它的體積為VnVc或寫為VAd其中A是所考慮的平行六面體底面的面積，d是它的高.由以上二式得AdnVc于是點陣平面上的密度為ndA Vc(b)由(a)可知，面間距d較大的點陣平面也有較大的陣點密度.由倒易點陣矢量與面間距d的關系Ghkl2Ghkl2dhkl可知，倒易點陣矢量G(hkl)越短，與之垂直的點陣平面(hkl)兩點密度也就越大.面心立方點陣的倒易點陣是體心立方點陣，其初基矢量2a2面心立方點陣的倒易點陣是體心立方點陣，其初基矢量2a2a2abib2)?y??平面有最大的陣點密度.體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣，其初基矢量232b體心立方點陣的倒易點陣是面心立方點陣，其初基矢量232bly?b2y?3也都是最短的倒易點陣矢量，并都沿立方晶胞的V 110＞方向，故｛110｝平面是體心立方點陣陣點密度最大的平面.2.9單斜點陣的面間距 已知平面族(hkl)的面間距與倒易點陣矢量G(hkl)間的關系為dhkl其中Ghklhb,其中Ghklhb,kb2lb3，試證明單斜點陣的面間距d(hkl)由下式?jīng)Q定_1產(chǎn)hkl sin*2_1產(chǎn)hkl sin*2證明:90, 90,3, 32 33初基晶胞的體積為

Vc a2 a^ ai 3]a2a3sin(hkl)平面族的面間距為dhkl2dhkl2Ghkl要計算d(hkl)，除了計算各倒易點陣基矢的長度外，還要求出它們之間的標量積，由倒易點陣基矢的定義biVcasinbiVcasin2 a3 ai2Vca22|aia22Vca3sin2 a?2b2b3此外，有b3bi24b3bi24qa2 a2爲77224a a： a：a3.24cosa1a3sinbib2b2b3 0代入d(hkl)的表達式中得42

d2hklsin2hai1l42

d2hklsin2hai1l22hlcosaia3k2a2_1__d2hkl1?2

sina32hlcos k2—2aia3 a22.10外斯晶帶定律屬于同一晶帶的晶面彼此的交線相互平行，這些平行的晶棱的共同方向稱為晶帶軸的方向，試證明,(a)晶帶軸［uvw］與該晶帶中的平面(hkl)滿足關系uhvkwl0(b)證明晶面(hikili)，(hzkzJ)，(hsks?屬于同一晶帶的條件是0000111213hikih?k111213證明(a)以晶面指數(shù)(hkl)為指數(shù)的倒易點陣矢量G(hkl)是與晶面垂直的最短倒易點陣矢量，于是Ghklgkb2lb3必定在晶面(hkl)法線方向.而晶帶軸［uvw］的方向矢量為Rua1va2wa3.既然晶帶軸是以晶帶中互相平行的交線為方向，帶軸和屬于該晶帶的晶面總是相互平行的，于是行RGhkl0用晶體點陣和倒易點陣基矢間的正交關系abj 2abj 2ij0,ij2,ij直接可得uhvkwl(b)既然h(b)既然hikili,h2k2l2,gksk屬于同一晶帶，由(a)有uh-ivkiwli0uh2vk2wl2 0uh3vk3wl3 0由于u,v,w不同時為零，上述方程組的系數(shù)行列式必定為零，即1112132.11hikih1112132.11一個單胞的尺寸為ai4,a26,as8,a 90, i20，試求:(a)倒易點陣單胞基矢;(b)倒易點陣單胞體積;(210)平面的面間距;此類平面反射的布喇格角(己知A1.54?).(a)畫出此單胞如圖2.13所示. 寫出晶體點陣單胞基矢如下:a4X；a2 3:?3/3?,a38?晶體點陣的單胞體積為乂a3a1a2 a1a2a3sin12096/3(?)3闇2.13闇2.13單斜單胞樂:心詢珈法倒易點陣單胞的基矢為2 C1c」Vr倒易點陣單胞的基矢為2 C1c」Vra2a32"石？，b22一a3Vc 3—aia? —?Vc 4(b)倒易點陣單細體積為(b)倒易點陣單細體積為b1 b1 b2 b3-3(c)與晶面(hkl)(c)與晶面(hkl)垂直的最短倒易點陣矢量Ghkl為4?Ghklhbkb2bh訂 h2/354?2 5G210 *忑看39>?373?G210d210 2(d)(210)面反射的布喇格角 為154Sin ——0.53422d2102arcsin0.5342 32.32.12(a)從體心立方結構鐵的(110)平面來的X-射線反射的布喇格角為22,X-射線波長入=1.54?，試計算鐵的立方晶胞邊長；(b)從體心立方結構鐵的(111)平面來的反射布喇格角是多少?(c)已知鐵的原子量是55.8,試計算鐵的密度.(a)求出(110)平面的面間距」…C 1.54d110 2sin 2sin22于是求得點陣常數(shù)為d(110)2.056?a血d110 2.91?(b)(111)平面的面間距為ad111丁1.68?

V3于是(111)平面反射的不喇格角為Sin訂?0.458arcsin0.458 27.28(c)固體密度的公式為ZMa3其中a是立方慣用晶胞邊長，Z是立方慣用晶胞中的原子數(shù)，M為原于的質(zhì)對M個陣點求和后，上式化為9.已知半導體GaA豊具有閃鋅礦結構，Ga和A鮭兩原子的彳近距離d=245X10山口試求：(1)晶格常數(shù)；(2)固體物理學原胞基矢和倒格子基矢；(:密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4)密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角，解：⑴由題意可知，GaAs^晶格為復式面心立方晶格，其原胞包含一個Ga原子和一個As原子，其中Ga原子處彳面心立方位置上，而As原子則處于立方單元體對角線上距離Ga原子1/4體對角線長的位置上.HJiGHJiG= a4-,巧d= a44J=-=x2.45x1 =5.59囂10一巴用打可知:d)由于G^As的空間點陣為面心立方結構，故其固體物理學原胞基矢為：TOC\o"1-5"\h\zCI IJIa,=-{j+kl=2/795x +2a.=-(k+i)=2.795x +i)2a.=-(i+j)=2.795xll)-'\i+j)2其倒格子基矢為:2t 10b]=—(-i+j+k)=lJ24xl{)"(-i+j+k)dbj=—(i-j+k)=1.124 -j+k)abj=—(i+j-^k)=1J24xi(r'\i+j-k)□G)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為:1-b, +0b.(4)根據(jù)倒格于矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為⑴0)和⑴1)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢和之間的夾角，設為CL,則有：Ka-arccos“『K山_Um十16+0小}(15-1小嚴l?bj|kuo|-K^jI|l-bj+Ibl+O-bJIbb,-1 +l*b3=arccos{-03015)=107.55"6?如圖所示，設二維正三角形晶格相鄰原子間距為a,試求正格子基矢和倒格子基矢.解：取該二維正三角形晶格中任意相鄰的兩邊為基矢，并使町的方向和i的方向相同，于是有：那么有:刃,=日1d?叭？3應.a=一丄+ J「22加r1

=—(I--J>QV34jr.b,=2—玄［xk)

kXa,ba=2礦 -J=-ja,(Hjxk)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4如果基矢廳/’？構成簡單正交系*證明晶面族（ftt/）的面間距為： [tl-\ =\h2Jt2 /3（―）n+（—）'/tf h （'證明；簡單正交系：a丄：丄？ ?1=?/.?2=hj,=ck倒格子基矢:a h C倒格子矢量:K=hby+kb空+吊3倒格子矢量:2兀一 "-=h /+疋 7+/ ka b C品面族的面間距:p試問如下晶體的基元是什么？布拉菲格子是什么？基元OOO布拉菲格子基元OOO布拉菲格子(20)(20)4岸of-吟舁表明該晶體厲單斜晶系*衷明該晶4岸of-吟舁表明該晶體厲單斜晶系*衷明該晶體澀交晶系*卩)表明該蔚休膺六方晶系,簡單航斜點陣璽式.〃b有右螺旋軸，丄b有歸?鞠而.榆單正交點陣，如有2欄旋軸，/7b有2關旌軸，處有藥簡單A方點陣.處有壓、螺K軸，仝有町窿而?著明鍍晶體展四労胡系f體心四方點陣珂處藥7反軸，必有'i旌樓輸《前b有M滑樣而?g明跆S休風;MT品系，而心立方點陣兒處有4屈旋軸，丄萌溺移面，"葉X有3反軸，右2雄暮軸，_0+