《數(shù)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計》課件

第五講一、大數(shù)定理二、隨機變量的收斂性三、中心極限定理1第五講一、大數(shù)定理二、隨機變量的收斂性三、中心極限定理1一大數(shù)定律要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？為何能以樣本均值作為總體期望的估計？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)是什么？答復(fù)大數(shù)定律中心極限定理2一大數(shù)定律要解決的問題為何能以某事件發(fā)生的頻率為何設(shè)為一隨機變量,其數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對于任意有1)切比雪夫不等式2)A.L.Cauchy－Schwarz不等式.準(zhǔn)備工作3設(shè)為一隨機變量,其數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對于任意有1)設(shè)事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,在n次重復(fù)獨立試驗中出現(xiàn)的頻率為且貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律證引入r.v.序列{Xk}設(shè)則4設(shè)事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,在n次重復(fù)獨立試記由Chebyshev不等式相互獨立，5記由Chebyshev不等式相互獨立，5故6故6在概率的統(tǒng)計定義中,事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率與p有較大偏差是小概率事件,因而在n足夠大時,可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義7在概率的統(tǒng)計定義中,事件A發(fā)生的頻率

大數(shù)定律設(shè)r.v.序列或則有是常數(shù)序列，則稱服從大數(shù)定律．

8大數(shù)定律設(shè)r.v.序列或則有是常數(shù)序列，則稱服從大Chebyshev大數(shù)定律則有或兩兩不相關(guān)的隨機變量,又設(shè)

9Chebyshev大數(shù)定律則有或兩兩不相關(guān)的隨機變量,又設(shè)兩兩不相關(guān),且方差有界，則可得到10兩兩不相關(guān),且方差有界，則可得到10辛欽大數(shù)定律

為一列相互獨立同分布的隨機變量，且具有相同的數(shù)學(xué)期望設(shè)在定理一中,去掉方差存在的條件而加上相同分布的條件，則有：注相互獨立的條件可以去掉，代之以（Markov）大數(shù)定律11辛欽大數(shù)定律為一列相互獨立同分布的隨機變量，且具有相同的數(shù)如果對于任意的有，二隨機變量的收斂性

定義1存在常數(shù)使得對于任意的有設(shè)為一列隨機變量，如果記為則稱依概率收斂于定義2設(shè)為一列隨機變量,X是隨機變量記為則稱依概率收斂于12如果對于任意的有，二隨機變量的收斂定義３:設(shè)是一列分布函數(shù),如果對F(x)每個連續(xù)點x，都有則稱分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)F(x)，記為定義：如果則稱依分布收斂于X，記為13定義３:設(shè)可以證明：（１）若則，（２）設(shè)C為常數(shù)，則充分性：F(x)是X=C的分布函數(shù)，即14可以證明：（２）設(shè)C為常數(shù)，則充分性：F(x)是X=C的分布３：r－階收斂

定義：設(shè)對隨機變量Xn及X，r>0為常數(shù)，如果且，則稱r－階收斂于X,記作特別：１－階收斂為平均收斂，２－階為均方收斂

15３：r－階收斂定義：設(shè)對隨機變量Xn及X，r>0為常數(shù)，如４：以概率１收斂

定義：若存在一隨機變量X,使我們稱隨機序列以概率為１收斂于X,或說幾乎處處收斂于X，并記為四種收斂關(guān)系：以概率１收斂或r-階收斂依概率收斂依分布收斂16４：以概率１收斂定義：若存在一隨機變量X,使我們稱隨機序中心極限定理討論：隨機變量序列對應(yīng)的分布函數(shù)序列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的定理三、中心極限定理17中心極限定理討論：隨機變量序列對應(yīng)的分布函數(shù)序列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正的隨機變量，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，定理1（獨立同分布的中心極限定理）任意實數(shù)有其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。設(shè)為一列相互獨立相同分布則對于18的隨機變量，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，定理1（獨立同分布的中心若一隨機變量可以表示成數(shù)量很多的相互獨立相同分布的隨機變量的和，則該隨機變量可近似服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)化后就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。近似近似服從19若一隨機變量可以表示成數(shù)量很多的相互獨立相同分布的隨機變量的對任意有，20對任意有，20中心極限定理的意義前面講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為X，則是由于許多彼此沒有什么相依關(guān)系、對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用(即這些因素的疊加)的它可被看成為許多相互獨立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.結(jié)果.21中心極限定理的意義前面講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于對此現(xiàn)象還可舉個有趣的例子——高爾頓釘板試驗——加以說明.03—釘子層數(shù)22對此現(xiàn)象還高爾頓釘板03—釘子層數(shù)22表示某一個小球在第k次碰了釘子后向左或向右落下這一隨機現(xiàn)象聯(lián)系的隨機變量，滿足中心極限定理條件，獨立投入１００個小球，23表示某一個小球在第k次碰了釘子后向左滿足中心極限定理條件有其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。這個定理表明，二項分布的極限分布是正態(tài)分布項分布的概率。很大時，我們便可以利用定理2來近似計算二當(dāng)定理2（德莫佛—拉普拉斯）則對于任意實數(shù)設(shè)24有其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。這個定理表明，二項分布的極限對任意有，25對任意有，25某單位有200臺電話分機，每臺分機有5%的時間要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機用外線時不等待？解：設(shè)有X部分機同時使用外線，則有設(shè)有N條外線。由題意有例26某單位有200臺電話分機，每臺分機有5%的時間由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得故N應(yīng)滿足條件即27由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得故N應(yīng)滿足條件即——對隨機現(xiàn)象進(jìn)行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值——對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計的分類描述統(tǒng)計學(xué)推斷統(tǒng)計學(xué)第2章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念28————數(shù)描述統(tǒng)計學(xué)參數(shù)估計(第3章)假設(shè)檢驗(第4章)

推斷統(tǒng)計學(xué)方差分析(第6章)回歸分析(第5章)29參數(shù)估計(第3章)假設(shè)檢驗(第4章)推斷方差分析總體——研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個隨機變量(或多維隨機變量).記為X

.

X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.總體和樣本§2.1基本概念30總體——研究對象全體元素組成的集合X的樣本

——從總體中抽取的部分個體.稱為總體X的一個容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).用表示,n

為樣本容量.樣本空間——樣本所有可能取值的集合.

個體

——

組成總體的每一個元素即總體的每個數(shù)量指標(biāo),可看作隨機變量X

的某個取值.用表示.31樣本——從總體中抽取的部分個體.稱為則稱為簡單隨機樣本.若總體

X的樣本滿足:(1)與X

有相同的分布(2)相互獨立簡單隨機樣本它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn表示。若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1)F(x2)…F(xn)32則稱為簡單隨機樣本.若總體X的設(shè)是取自總體X的一個樣本,為一實值連續(xù)函數(shù),

且不含有未知參數(shù),則稱隨機變量為統(tǒng)計量.若是一個樣本值,稱的一個樣本值為統(tǒng)計量定義統(tǒng)計量33設(shè)是取自總體X的一個樣本,例

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計量是一樣本,是統(tǒng)計量,其中則但不是統(tǒng)計量.34例是未知參數(shù),常用的統(tǒng)計量為樣本均值為修正樣本方差為修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體

X

的容量為n的樣本,稱統(tǒng)計量35常用的統(tǒng)計量為樣本均值為修正樣本方差為修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩例如36為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩例如36注樣本方差與樣本二階中心矩的不同關(guān)系式1）37注樣本方差與樣本二階中心矩的不同關(guān)系式常見統(tǒng)計量的性質(zhì)：38常見統(tǒng)計量的性質(zhì)：382）392）39順序統(tǒng)計量與極差設(shè)為樣本,為樣本值,且當(dāng)取值為時,定義r.v.則稱統(tǒng)計量為順序統(tǒng)計量.其中,稱為極差40順序統(tǒng)計量與極差設(shè)為樣本,為樣本值,且當(dāng)取值為時,定義r.1）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值樣本值小于x的個數(shù)，作－－－樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)非降，左連續(xù)；411）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值樣本值小于x的個數(shù)，作－若子樣為n維r.v，那么對于每一樣本值就可作一個經(jīng)驗分布函數(shù)，故是隨機變量---n次獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率。由大數(shù)定律，42若子樣為n維r.v，那么對于每一樣本值就可作一個經(jīng)驗分布函這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù).格列汶科進(jìn)一步證明了：當(dāng)n→∞時，F(xiàn)n(x)以概率1關(guān)于x一致收斂于F(x)，即這就是著名的格列汶科定理.定理告訴我們，當(dāng)樣本容量ｎ足夠大時，對所有的x,Fn(x)與F(x)之差的絕對值都很小，這件事發(fā)生的概率為1.43這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù).格列汶科進(jìn)一步證直方圖離散型

表示在n次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)為n次獨立重復(fù)樣本則44直方圖離散型表示在n次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)為定義函數(shù)：當(dāng)稱為在區(qū)間［a,b)的圖形為［a,b)的頻率直方圖．45定義函數(shù)：當(dāng)稱為在區(qū)間［a,b)的圖形為［a,b)的464647474848２.３抽樣分布定理：則為兩隨機向量，且49２.３抽樣分布定理：則為兩隨機向量，且495050特別：若相互獨立且服從那么也是正態(tài)隨機變量．若為正交矩陣，那么：隨機變量也是相互獨立且均值為０的正態(tài)隨機變量51特別：若相互獨立且服從那么也是正態(tài)隨機變量．幾個重要的抽樣分布定理取自正態(tài)總體的樣本,則有定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn

是52幾個重要的抽樣分布定理取自正態(tài)總體的樣本,則有定理1定理2.(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體樣本,分別為樣本均值和修正樣本方差則有的和相互獨立。證明：設(shè)53定理2.(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,而54而545555定理3(與樣本均值和樣本方差有關(guān)的一個分布)設(shè)X1,X2,…,Xn

是取自正態(tài)總體分別為樣本均值和樣本修正方差.則有的樣本,證明:56定理3(與樣本均值和樣本方差有關(guān)的一個分布)設(shè)X1,X2(II)兩個正態(tài)總體相互獨立的簡單隨機樣本.令設(shè)與分別是來自正態(tài)總體與的57(II)兩個正態(tài)總體相互獨立的簡單隨機樣本.令設(shè)與分別則若則58則若則58則相互獨立的簡單隨機樣本.設(shè)與分別是來自正態(tài)總體與的59則相互獨立的簡單隨機樣本.設(shè)與分別是來自正態(tài)總體與的59與相互獨立60與相互獨立606161第五講一、大數(shù)定理二、隨機變量的收斂性三、中心極限定理62第五講一、大數(shù)定理二、隨機變量的收斂性三、中心極限定理1一大數(shù)定律要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？為何能以樣本均值作為總體期望的估計？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)是什么？答復(fù)大數(shù)定律中心極限定理63一大數(shù)定律要解決的問題為何能以某事件發(fā)生的頻率為何設(shè)為一隨機變量,其數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對于任意有1)切比雪夫不等式2)A.L.Cauchy－Schwarz不等式.準(zhǔn)備工作64設(shè)為一隨機變量,其數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對于任意有1)設(shè)事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,在n次重復(fù)獨立試驗中出現(xiàn)的頻率為且貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律證引入r.v.序列{Xk}設(shè)則65設(shè)事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,在n次重復(fù)獨立試記由Chebyshev不等式相互獨立，66記由Chebyshev不等式相互獨立，5故67故6在概率的統(tǒng)計定義中,事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率與p有較大偏差是小概率事件,因而在n足夠大時,可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義68在概率的統(tǒng)計定義中,事件A發(fā)生的頻率

大數(shù)定律設(shè)r.v.序列或則有是常數(shù)序列，則稱服從大數(shù)定律．

69大數(shù)定律設(shè)r.v.序列或則有是常數(shù)序列，則稱服從大Chebyshev大數(shù)定律則有或兩兩不相關(guān)的隨機變量,又設(shè)

70Chebyshev大數(shù)定律則有或兩兩不相關(guān)的隨機變量,又設(shè)兩兩不相關(guān),且方差有界，則可得到71兩兩不相關(guān),且方差有界，則可得到10辛欽大數(shù)定律

為一列相互獨立同分布的隨機變量，且具有相同的數(shù)學(xué)期望設(shè)在定理一中,去掉方差存在的條件而加上相同分布的條件，則有：注相互獨立的條件可以去掉，代之以（Markov）大數(shù)定律72辛欽大數(shù)定律為一列相互獨立同分布的隨機變量，且具有相同的數(shù)如果對于任意的有，二隨機變量的收斂性

定義1存在常數(shù)使得對于任意的有設(shè)為一列隨機變量，如果記為則稱依概率收斂于定義2設(shè)為一列隨機變量,X是隨機變量記為則稱依概率收斂于73如果對于任意的有，二隨機變量的收斂定義３:設(shè)是一列分布函數(shù),如果對F(x)每個連續(xù)點x，都有則稱分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)F(x)，記為定義：如果則稱依分布收斂于X，記為74定義３:設(shè)可以證明：（１）若則，（２）設(shè)C為常數(shù)，則充分性：F(x)是X=C的分布函數(shù)，即75可以證明：（２）設(shè)C為常數(shù)，則充分性：F(x)是X=C的分布３：r－階收斂

定義：設(shè)對隨機變量Xn及X，r>0為常數(shù)，如果且，則稱r－階收斂于X,記作特別：１－階收斂為平均收斂，２－階為均方收斂

76３：r－階收斂定義：設(shè)對隨機變量Xn及X，r>0為常數(shù)，如４：以概率１收斂

定義：若存在一隨機變量X,使我們稱隨機序列以概率為１收斂于X,或說幾乎處處收斂于X，并記為四種收斂關(guān)系：以概率１收斂或r-階收斂依概率收斂依分布收斂77４：以概率１收斂定義：若存在一隨機變量X,使我們稱隨機序中心極限定理討論：隨機變量序列對應(yīng)的分布函數(shù)序列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的定理三、中心極限定理78中心極限定理討論：隨機變量序列對應(yīng)的分布函數(shù)序列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正的隨機變量，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，定理1（獨立同分布的中心極限定理）任意實數(shù)有其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。設(shè)為一列相互獨立相同分布則對于79的隨機變量，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，定理1（獨立同分布的中心若一隨機變量可以表示成數(shù)量很多的相互獨立相同分布的隨機變量的和，則該隨機變量可近似服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)化后就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。近似近似服從80若一隨機變量可以表示成數(shù)量很多的相互獨立相同分布的隨機變量的對任意有，81對任意有，20中心極限定理的意義前面講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為X，則是由于許多彼此沒有什么相依關(guān)系、對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用(即這些因素的疊加)的它可被看成為許多相互獨立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.結(jié)果.82中心極限定理的意義前面講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于對此現(xiàn)象還可舉個有趣的例子——高爾頓釘板試驗——加以說明.03—釘子層數(shù)83對此現(xiàn)象還高爾頓釘板03—釘子層數(shù)22表示某一個小球在第k次碰了釘子后向左或向右落下這一隨機現(xiàn)象聯(lián)系的隨機變量，滿足中心極限定理條件，獨立投入１００個小球，84表示某一個小球在第k次碰了釘子后向左滿足中心極限定理條件有其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。這個定理表明，二項分布的極限分布是正態(tài)分布項分布的概率。很大時，我們便可以利用定理2來近似計算二當(dāng)定理2（德莫佛—拉普拉斯）則對于任意實數(shù)設(shè)85有其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。這個定理表明，二項分布的極限對任意有，86對任意有，25某單位有200臺電話分機，每臺分機有5%的時間要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機用外線時不等待？解：設(shè)有X部分機同時使用外線，則有設(shè)有N條外線。由題意有例87某單位有200臺電話分機，每臺分機有5%的時間由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得故N應(yīng)滿足條件即88由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得故N應(yīng)滿足條件即——對隨機現(xiàn)象進(jìn)行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值——對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計的分類描述統(tǒng)計學(xué)推斷統(tǒng)計學(xué)第2章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念89————數(shù)描述統(tǒng)計學(xué)參數(shù)估計(第3章)假設(shè)檢驗(第4章)

推斷統(tǒng)計學(xué)方差分析(第6章)回歸分析(第5章)90參數(shù)估計(第3章)假設(shè)檢驗(第4章)推斷方差分析總體——研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個隨機變量(或多維隨機變量).記為X

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X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.總體和樣本§2.1基本概念91總體——研究對象全體元素組成的集合X的樣本

——從總體中抽取的部分個體.稱為總體X的一個容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).用表示,n

為樣本容量.樣本空間——樣本所有可能取值的集合.

個體

——

組成總體的每一個元素即總體的每個數(shù)量指標(biāo),可看作隨機變量X

的某個取值.用表示.92樣本——從總體中抽取的部分個體.稱為則稱為簡單隨機樣本.若總體

X的樣本滿足:(1)與X

有相同的分布(2)相互獨立簡單隨機樣本它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn表示。若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1)F(x2)…F(xn)93則稱為簡單隨機樣本.若總體X的設(shè)是取自總體X的一個樣本,為一實值連續(xù)函數(shù),

且不含有未知參數(shù),則稱隨機變量為統(tǒng)計量.若是一個樣本值,稱的一個樣本值為統(tǒng)計量定義統(tǒng)計量94設(shè)是取自總體X的一個樣本,例

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計量是一樣本,是統(tǒng)計量,其中則但不是統(tǒng)計量.95例是未知參數(shù),常用的統(tǒng)計量為樣本均值為修正樣本方差為修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體

X

的容量為n的樣本,稱統(tǒng)計量96常用的統(tǒng)計量為樣本均值為修正樣本方差為修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩例如97為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩例如36注樣本方差與樣本二階中心矩的不同關(guān)系式1）98注樣本方差與樣本二階中心矩的不同關(guān)系式常見統(tǒng)計量的性質(zhì)：99常見統(tǒng)計量的性質(zhì)：382）1002）39順序統(tǒng)計量與極差設(shè)為樣本,為樣本值,且當(dāng)取值為時,定義r.v.則稱統(tǒng)計量為順序統(tǒng)計量.其中,稱為極差101順序統(tǒng)計量與極差設(shè)為樣本,為樣本值,且當(dāng)取值為時,定義r.1）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值樣本值小于x的個數(shù)，作－－－樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)非降，左連續(xù)；1021）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值樣本值小于x的個數(shù)，作－若子樣為n維r.v，那么對于每一樣本值就可作一個經(jīng)驗分布函數(shù)，故是隨機變量---n次獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率。由大數(shù)定律，103若子樣為n