2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-綜合測試二

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)綜合測試二（時間：120分鐘，分值：150分）一、單項選擇題（本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（2022哈爾濱九中二模,1）已知集合A={x|x=2n+l,nwZ）.B={x|G<3},貝UAnB=（）A.{1,3} B.{1,3,5,7,9}C.{3,5,7} D.{1,3,5,7}答案BB={x|G<3}=[1,10）,奇數(shù)元素有1,3,5,7,9,又A={x|x=2n+l,nwZ},則人。8={1,3,5,7,9）,故選B..（2022湘醯皖長郡十五校聯(lián)盟聯(lián)考（二）,2）已知復(fù)數(shù)z=i2O2,+i2022,則，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B因為z=i2。2*2W2=i+i2=_1+i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（-1,1）,該點位于第二象限，故選B..（2022全國八所名校聯(lián)考（二）,4）如圖,在同一平面內(nèi)沿平行四邊形ABCD兩邊AB,AD向外分別作正方TOC\o"1-5"\h\z形ABEF,正方形ADMN,其中AB=2,AD=1,/BAD=J,貝!]而?麗=（ ）4MEA.-2V2 B.2V2 C.O D.-1答案CAC-FN={AB+AD)?[FA+AN)=AB-FA+AD-FA+AB-AN+AD-AN=0+\AD\\FA\cosi+\AB^AN\?cos^44 4o=V2-&=0,故選c..(2022西安二模,5)現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理各1本書，把這4本書分別放入3個不同的抽屜里，要求每個抽屜至少放一本書且語文和數(shù)學(xué)不在同一個抽屜里，則放法種數(shù)為()A.18 B.24 C.30 D.36答案C①將4本書分為3組，語文和數(shù)學(xué)不在同一個組，有C%1=5種分組方法，②將分好的3組放到3個抽屜里，有的=6種安排方法，則有5x6=30種放法，故選C..(2022長沙長郡中學(xué)第一次月考,6)已知ae(0,9且12cos2a+7sin2a-4=0,若tan(a+p)=3,則tanp=( )A.-表或—7 B.—V或1C1D-n答案D由12cos2a+7sin2a-4=0,得4cos2a+7sinacosa-2sin2a=0,2tan2a-7tana-4=0,由ae(0,]),得tana=4.又vtan(a+0)=3,???tan0=tan(a+B—a)= =言氏=一看故選D.(2021重慶南開中學(xué)月考,7)自點A(-2,l)發(fā)出的光線I經(jīng)過x軸反射，其反射光線所在直線正好與圓M:x2+y2-4x-6y+9=0相切，則反射光線所在直線的所有斜率之和為()TOC\o"1-5"\h\z4 8A.2 B.2 C.1 D.4答案C圓M:x2+y2-4x-6y+9=0可化為(x-2)2+(y-3)2=4,圓心為M(2,3),半徑為r=2點A(-2,1)關(guān)于x軸對稱的點為A，(-2,-1),所以設(shè)反射光線所在直線的方程為y+l=k(x+2),即kx-y+2k-l=0.由反射光線正好與圓M相切，得12k歲叁=2,即3k2-8k+3=0,解得kl=可,k2=芽,于是kl+k2=二夕+Vfc2+1 33 34+V7 8幺、.-—]故選c..(2022福建南平10月聯(lián)考,7)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(2+x),當-2。這0時,f(x)單調(diào)遞增廁()A-f(tang)</(2021)</(log31).f(tang)</(log31)<f(2021)C.f(log3^)</(2021)</(tan/)D.f(log3i)</(tang)<f(2021)答案A因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x),又f(-x)=-f(2+x),所以f(x)=-f(2+x),所以f(x)=f(x+4),即f(x)是周期為4的函數(shù)，則f(2021)=f(505x4+l)=f(l).因為弓<《<微,所以1<tan穿<國,，(1。833)=(1哨2)=露0832),0<10832<1.因為f(x)為偶函數(shù)，且當-2近xWO時f(x)單調(diào)遞增，所以當0WXW2時,f(x)單調(diào)遞減，故f(tan弟〈/⑴</(2og32),即f(tan<f(2021)</(log31).8.(2022陜西質(zhì)檢(一),12)四面體DABC內(nèi)接于球O,BC=2,AC=4,/ACB=60。.若四面體DABC體積的最大值為4,則這個球的體積為()答案A在aABC中,,.,BC=2,AC=4,/ACB=60。，BA2=AC2+BC2-2AC-BC-cosNACB=16+4-2x4x2x912,，AC2=AB2+BC2,.\ZABC=9O°???S.\abc=2x2x2V3=2V3.設(shè)AC的中點為Ch,則O,為過AABC的截面圓的圓心，,/Vd.abc的最大值是4,.,.點D到平面ABC的距離的最大值為28.；四面體DABC內(nèi)接于球O,.?.點D到平面ABC的距離最大時.點D為垂直于截面ABC的球的直徑的一端點，此時D,O,Oi三點共線，如圖.設(shè)球的半徑為R,在RQAOOi中,R2=AOf+OOf,即R2=22+(2g-R)2,解得R=竽,V球0=爭<(手/=等曳.二、多項選擇題體題共8小題每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.(2022福建南平10月聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)=cos2(x-^)-cos2xJiH]()A.f(x)的最大值為萼B.f(x)的圖象關(guān)于點管,0)對稱C.f(x)圖象的對稱軸方程為x=|^+y(keZ)D.f(x)在［0,2用上有4個零點1+cosf2x-5^答案ACDf(x)=——A^?cos2x?sin2x)-cos2x=^sin2x-^cos2x+；=jsin(2x?g)+；,4 4 LL\ □/L則f(x)的最大值為野,A正確.令2xw=尹kMkeZ),得x=g+軟keZ),即為f(x)圖象的對稱軸方程,C正確.易知f(x周象的對稱中心的縱坐標為犯錯誤.由f(x)=ysinj=0,得sin9嗎)=一苧，當*^［0,2兀］時,2*-扣［-)等|.因為sin(-=)=sinv=-f<一?，所以方程sin(2x-=)=一賓［0,2兀］上有4個不同的實根,即f(x)在［0,2捫上有4個零點,D正確.10.(2021湖南衡陽聯(lián)考(一),11)已知拋物線C:x2=2py(p>0),過其準線上的點T(l,-1)作C的兩條切線，切點分別為A、B,下列說法正確的是()A.p=lB.TA1TBC.直線AB的斜率為:D.線段AB中點的橫坐標為1答案BCD易知準線方程為y=-l,,p=2,C:x2=4y.設(shè)過點T的直線方程為y+1=k(x-1)代入y亭,得?kx+k+l=O,當直線與C相切時，有A=0,即k2-k-l=0,設(shè)TA,TB的斜率分別為Lh,易知kik是方程k2-k-l=0的兩根，故kik2=-l,故TA1TB.設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),其中yi哼,y2=子,則直線TA:y-?=￡(x-xl),即y=yX-yl,JE(l,-l)4, *t *rZ L代入得xl-2yl+2=0.同理可得x2-2y2+2=0,故直線AB:x-2y+2=0,故kAB=g,由kAB=3=五=空=［得空=l,即線段AB中點的橫坐標為I.故?BCD..(2022河北神州智達省級聯(lián)測二.12)已知三棱柱ABC-A.B.C,的6個頂點全部在球O的表面±,AB=AC,ZBAC=1ABC-A^iC,的側(cè)面積為8+48,則球O的表面積可能是()A.4n B.8jiC.16兀 D.32兀答案CD因為三棱柱的6個頂點全部在球O的表面上，所以三棱柱為直三棱柱.設(shè)三棱柱ABC-A.B,C.的高為h,AB=AC=a.因為NBAC=120。,所以BC=ga,則該三棱柱的側(cè)面積為(2+V3)ah=8+4心故ah=4.設(shè)4ABC的外接圓半徑為r,則廣云禹*a.設(shè)球O的半徑為R廁R^+g)'=a2+?=得+1力4,當且僅當h=2/時等號成立，故球O的表面積為4兀r2216兀故選CD..(2022廣東汕頭一模,10)已知正實數(shù)a,b滿足a+2b=ab,則以下不等式正確的是()2 1A：+》2 B.a+2b28abC.logza+log2b<3 D.2a+b29答案BD對于A,因為正實數(shù)a,b滿足a+2b=ab,所以黑=1,即］+卜1,所以A錯誤;對于B,因為a>0,b>0,a+2b=ab,所以a+2b22>/2ab=2,2(a+2b),當且僅當a=2b時取等號，所以(a+2b)228(a+2b),因為a+2b>0,所以a+2b28,所以B正確:對于C,若logza+log2b<3,則logza+log2b=log2(ab)〈3=log28,所以ab<8,所以a+2b<8,而由選項B可知a+2b28,所以log2a+log2b<3不成立，所以C錯誤;對于D,由A可知］+［=L所以2a+b=(2a+b)(?+；)=5+與+效25+2Iy--=9,當且僅當-=寸,即a=b=3時取等號，所、 \a0/ bayjba ab以D正確，故選BD.三、填空題體題共4小題每小題5分共20分)13.(2021江蘇七市第二次調(diào)研.13)已知隨機變量X?N(2q2),P(X>0)=0.9,則P(2<X近4)=.答案0.4解析因為P(X>2)=0.5,且產(chǎn)2,所以P(X<0)=P(X>4)=l-P(X>0)=0.1,所以P(2<XW4)=P(X>2)-P(X>4)=0.4.14.(2020浙江15,6分)已知直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=l和圓。?4)2+產(chǎn)=1均相切，則k=,b=.田qV32V3林青一- 口5,^Qf Q解析解法一:由直線與圓相切的充要條件知解法二:如圖所示.由圖易知道線y=kx+b經(jīng)過點(2,0),且傾斜角為30。,從而1<=芋且0=詈+b=b=-詈.2 215.(2022江蘇蘇州常熟抽測二,14)已知A(1,V3),F是橢圓C:^-+^-=l的左焦點，點P是橢圓C上的動點,則|PA|+|PF|的最小值為.答案4解析設(shè)橢圓C的右焦點為F,依題意，知F(2,0),由橢圓的定義得|PF|+|PF|=6,而IIPAHPF'I同AF|=J(2-1)2+(g)2=2,即-2W|PAHPF'|W2,有|PF卜2W|PA|W2+|PF|,因此|PA|+|PF以PF|+|PF卜2=4,當且僅當點P是線段AF的延長線與橢圓C的交點時取“="，所以|PA|+|PF|的最小值為4..(2021山東青島模擬,14)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x+1)的圖象在點(0,1)處的切線為y=ax+b,若方程隆可=01有兩個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍是.答案(0,1)解析-4-3-2-101234x-T由f(x)=eX(x+l)可得f,(x)=eX(x+l)+e*=e，(x+2),則函數(shù)f(x)的圖象在點(0,1)處的切線斜率為k=f'(0)=2e°=2,所以a=2,將(0,1)代入y=ax+b可得b=1，所以方程|a*-b|=m即|2七1|=m有兩個不等實根,等價于y=|2，-11的圖象與直線y=rn有兩個不同的交點，作y=|2，-l|的圖象如圖所示，由圖知:若y=|2X-l|的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，則0<m<l.四、解答題本題共六小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(2022T8聯(lián)考,18)設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,已知ai=33=5ai.⑴求數(shù)列｛加｝的通項公式；⑵設(shè)b“=l數(shù)列｛%｝的前n項和為定義岡為不超過x的最大整數(shù).例如。3]=0,[1.5]=1.當[Ti]+[T2]+-+[Tn]=63時，求n的值.解析⑴設(shè)等差數(shù)列出｝的公差為d.因為ai=3,所以S3=3ai+3d=9+3d.又因為S3=5ai=15,所以9+3d=15狷d=2.所以數(shù)列｛a0｝的通項公式是an=3+2(n-l)=2n+1.(2)因為Sn=3ni嗎")x2=n2+2n,所以bn=14-^-=l+2=1+--3.L Snn｛n+Z)nn+z所以T產(chǎn)n+(l-0+Q-Q+GT)+…+偉島)+&焉)=n+1+9一擊一篇?當n<2時，因為——^j--;^<0,所以[Tn]=n.O4fLiX?II4當n23時，因為0<| 苒七<所以[Tn]=n+1.Ln+1n+zL因為[Ti]+[T2]+…+[TJ=63,所以1+2+4+5+—+(n+1)=63,即31(Q2)(：+”+1)=63,即n2+3n-130=0,BP(n-10)?(n+13)=0.因為neN*,所以n=10..(2021山東煙臺二模,18)從①sinA=cos②2acosA=bcosC+ccosB,③acosC+(2b+c)-cosA=0這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題在4ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.⑴求A;⑵若a=2,求4ABC面積的最大值.解析若選①:⑴由sinA=cos9可得2sin^cos=cos因為0<A<兀,所以cos如0,故2sin夕=1,即sin[=4,由0<[<3可知9=9所以人=今LL LLZD 5(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因為b2+c222bc,所以bc《4,當且僅當b=c=2時“=”成立所以△ABC面積的最大值為:bcsinA=1x4Xy=V3.若選②:⑴由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+cosBsinC,BP2sinAcosA=sin(B+C).因為A+B+C=tc,所以sin(B+C)=sinA.故2sinAcosA=sinA,解得cosA=".因為0<AV7l,所以A=2⑵由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=bc+4.因為t>2+c222bc,所以bc<4,當且僅當b=c=2時“二”成立所以△ABC面積的最大值為gbcsinA=1x4Xy=V3.若選③：(1)由正弦定理得sinAcosC+(2sinB+sinC)?cosA=0.即2sinBcosA+sin(A+C)=0.因為A+B+C=7t,所以sin(A+C)=sinB,可得2sinBcosA+sinB=0,因為0〈B<兀，所以sinB>0,所以cosA=-g.因為0V4Vtt,所以A=(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=4-bc.因為b2+c2"bc,所以bc4當且僅當b=c=竽時"=”成立.所以AABC面積的最大值為:bcsinA=4V3__\/3x3xT-T'19.(2022新高考II,19)在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡彳導(dǎo)到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）;⑵估計該地區(qū)T立這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率;（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001）.解析（1）平均年齡為(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).(2)設(shè)事件A="該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)”，則P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.(3)設(shè)事件B="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，事件C="任選一人患這種疾病”，由條件概率公式可得0001x0.23-0A6-=0.0010001x0.23-0A6-=0.0014375^0.0014.('P(B)~ 16%20.（2021湖南永州二模,19）在如圖所示的圓柱O.O2中,AB為圓。的直徑,C,D是鼐的兩個三等分點EA,FC,GB都是圓柱OQ?的母線.⑴求證:FOi〃平面ADE;⑵若BC=FC=2,求二面角B-AF-C的余弦值.解析(1)證明:連接OCQQ,因為AB為圓Oi的直徑,C,D是?的兩個三等分點，所以NAO|D=/DOiC=NCO|B=60。,又OiA=OiB=OiC=OiD,所以△AOiDQCOQ△BOiC均為等邊三角形，所以O(shè)iA=AD=DC=O|C,所以四邊形ADCOi是菱形，所以CO1〃AD,又因為CO"平面ADE,ADc平面ADE,所以CO,//平面ADE.因為EA,FC都是圓柱OQ2的母線，所以EA//FC,又因為FC。平面ADE,EAu平面ADE,所以FC〃平面ADE.又COi.FCc平面FCOi,COinFC=C，所以平面FCOi〃平面ADE,又FOg平面FCOi,所以FOi〃平面ADE.(2)因為FC是圓柱0,02的母線，所以FC1圓柱0Q2的底面，所以FC,AC,FC_LBC,因為AB為圓Ch的直徑，所以NACB=90。，所以直線CA,CB,CF兩兩垂直.以C為原點建立空間直角坐標系如圖.則C(0,0,0),A(2V5,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2)則后=(-2次,2,0)萬=(一2U,0,2),由題知平面ACF的一個法向量為而=(0,2,0),設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),則卜?AB=-2V3x+2y=0,^x=［則丫=6*=5:.n=(1,V3,V3).所以cos<CB,n>=繇=鬻=亨.由圖可知,二面角B-AF-C的平面角為銳角,所以二面角B-AF-C的余弦值為手.21.(2022八省八校聯(lián)考二,21)已知雙曲線一，=1(a>0,b>0)過點P(V3,V6),且「的漸近線方程為y=土遮x.⑴求「的方程；

⑵如圖，過原點0作互相垂直的直線IJ2分別交雙曲線于A,B兩點和C,D兩點,A,D在x軸同側(cè)，請從①②兩個問題中任選一個作答.如果多選，則按所選的第一個計分.①求四邊形ACBD面積的取值范圍;②設(shè)直線AD與兩漸近線分別交于M,N兩點,是否存在直線AD.使M,N為線段AD的三等分點?若存在,求出直線AD的方程;若不存在.請說明理由.解析(1)由題意有=V3,b=75a①,a將點P(百,幾)代入雙曲線方程得總- ②，聯(lián)立①②解得居；二;'故「的方程為x2-1=1.(2)選①:易知直線11,12的斜率均存在且不為0,設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2),C(X3,y3),D(X4,y。,直線li的斜率為k,直線L的斜率為-Q1的方程為y=kx,12的方程為y=-3(y=kx,由2y2 ?，消去y整理得(3*2*-3=0.卜，二L直線h與雙曲線「交于兩點，所以342#0且A.=12(3-k2)>0,k2<3,y=~rx,vZ 消去y整理彳導(dǎo)(3k2-l)x2-3k2=o.一號=1,直線b與雙曲線r交于兩點，所以3k2-1^0且A2=12k2(3k2-l)>0,k2>i,3k23/c23k23/c2-l,X4怒，則|CD|=?|X3-X4|=23(l+fc2)根據(jù)對稱性可知四邊形ACBD為菱形.其面積s四邊形acbd=4|AB|?|CD|=23-k23k2-l=6(1+H)2

(3-k2)(3k2-l)=23-k23k2-l=6(1+H)2

(3-k2)(3k2-l)二6(1+k2)2

16/c2-3(l+fc2)2=616k2~~(1+H)22?.3<k2<3,k2+2+加卜與16k216*(1+fc2)2—妙+2唱e(3,4],則晨?3e(O,l|,S四邊形acbde[6,-?-oo).I1M)選②:假設(shè)滿足題意的直線AD存在.易知直線AD的斜率存在,設(shè)直線AD的方程為y=kx+m,A(xi,yi),D(x2,y2),聯(lián)立y=kx+m,聯(lián)立7y2?消去y整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,由題意知3爐#0且A=4k2m2+4(m2+3)(3-k2)>0,解--京=i,得k2^3且k2Vm2+3.由根與系數(shù)的關(guān)系得2km久1+》2=獲后，e一3與*2=享下,由根與系數(shù)的關(guān)系得|AD|=J1+k2dg+%2)2?4%i%2=V1+|AD|=J1+k2dg+%2)2?4%i%2=V1+k2?4"2m24(—m2-3)(3-k2)2 3-k2(l+k2)(i2m2-12H+36)—(3-k2)2-=kx+m,解得m%=百?V3m、二百,??M點的坐標為島，盥，同理可得N點的坐標為(溫盥),|MN|=12(1+火2)血2(3-fc2)2因為M,N為線段AD的三等分點，所以|AD|二3|MN|,(l+