一輪復習大題專練51-立體幾何（線面角3）-高三數(shù)學一輪復習

一輪復習大題專練51一立體幾何(線面角3).已知三棱柱WC-44G，AB=AC=BC=2,側(cè)面3CC再為矩形，平面A8C_L平面AB￡.(1)求證：AB,=AC,;(2)若二面角a-做-G的余弦值為咚，P為8c中點，求24與面的4所成角的正弦值.(1)證明：取BC中點。，由于AABC是正三角形，所以AD_L8c,又因為8CG耳為矩形，而三棱柱中A4J/B4，所以從而8c1而AA.D,則40±AD,所以的=A0.(2)解：面ABC_L面AB?,AZ^Jl面A4G，設(shè)如圖，以。為原點，DG為x軸正方向，班為y軸正方向，為z軸正方向建立空間直角坐標系，則A(o,6,0),印(-1,0,0),G(l,0,0),4(0,0,t),尸(0,—君/)，福=(-l,0,T),4反=(-1,-石,0),面A3C法向量即為。A=(0,a/3,0).設(shè)面法向量為所=(x,y,z),則?則?W涵=°為=(5,回

玩=° t所以所給二面角余弦為一一力,所以f=V5.55此時兩=(-1,6,-6)，面44,用法向量為所=(-石,1,1),所求角6的正弦值為：sinJ=|「玩\=-1^=叵,IP8/4而|V5-V7 35所以，所成角的正弦值為幽.35.圖1是直角梯形ABC￡),AB!/DC,NO=90°,AB=2,DC=3,AD=^,CE=2ED,以跖為折痕將BCE折起，使點C到達C1的位置，且4G=6,如圖2.(1)求證：平面平面M￡D；(2)已知點P為線段DC；上一點，且PG=2PD,求直線8P與平面ABC所成角的正弦值.圖1 圖2(1)證明：如圖1,連接AE,由題意可知，AE=2,因為CE〃84且CE=54=AE,所以四邊形ABCE為菱形，連接AC交5E于點F,則CFJ_5E,在RtAACD中，47=占+(后=2&,所以A尸=b=6，在圖2中，AC1=娓,AF2+C}F2=AC-,所以GF，af,又CF工BE,BE[\AF=F,BE,A尸u平面ABED,所以GF，平面AB￡?，又C|Fu平面BC|E,故平面BCtE±平面ABED;(2)解：以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,則0(0,0,0),46,。,0),8(6,2,0)，4(事,/,白)，設(shè)P(x,y,z),則CjP=(x-,y—z—>/3),PD=(―x,—y,—z),

因為G因為G戶=2/t5,故點喏坐，所以題=(0,2,0),甲=(等，,-6),設(shè)平面ABC1的法向量為而=(a,6,c),n-AB=0Qn_n-AB=0Qn_.,即，n-CB=0I1-a+—/?-x/3c=0TOC\o"1-5"\h\zI2 2令a=2,則c=l,故萬=(2,0,1),又麗=(一哈_|,今,2M352M35所以Icos<BP,n>|== .3 ——.I問gx、序+邛\36 43故直線8P故直線8P與平面ABC,所成角的正弦值為空..如圖，在四棱錐P-ABC。中，AP8C為正三角形，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,NADC=90。，AD=CD=3,BC=4,點M,N分別在線段4)和PC上，且"=匕=2.AMPN(1)求證：PM//平面BDN;(2)設(shè)二面角P-8C-A大小為。，若cos(9=L,求直線和平面以。所成角的正弦3值.(1)證明：連接MC,交BD下點、E,因為——-=2,AD=3)AM所以DW=2,AM=\,因為AD//3C,則AWDEsacBE,則包=匹=2="EMDMNP故PMIINE,又NEu平面NBD,PMU平面NBD,故PM〃平面3DV；(2)解：取BC的中點/，連接MF,PF,因為AP8C為正三角形，則尸F(xiàn)_LBC,PF=/3fisin60°=4x^-=2V3,2因為ABCD為直角梯形，AD//BC,NAZX?=90。，F(xiàn)C=MD=2,故四邊形ZWFC為矩形，則MF_LBC,又M尸「|「尸=尸，MF,PFu平面PMF,所以BC_L平面又BCu平面PBC,故平面PBC_L平面PMF,所以NPRM為二面角P-8C-A的平面角，故N/YM=。，Kcos6>=—,設(shè)PM=x,3由余弦定理可得，PM2=PF2+MF2-2PF-MFcosO,所以x2=(2&)2+32-2x2V3x3x^-,整理可得x?—9=0,解得x=3或x=—3(舍)，過點尸作FQ_LPM,交.PM于點Q,因為AD//8C,且8C_L平面尸MF,故A￡)_L平面PMF,又A￡)u平面％￡),則平面皿＞_L平面RWF,又平面皿＞C平面= ,QFu平面RWF,所以QFJ?平面RD,故QF即為點F到平面PAD的距離，又AD11BC，A￡）u平面RU）,BCU平面皿）,所以8c〃平面先由，故QF即為點8到平面皿）的距離，因為cosNPFM=—,3則sinNPFM=y/l-cos2ZPFM=—,3所以Sw=-PFA/FsinNPFM=-PMQF,/\rrM 2即;x2Gx3x^=；x3xQF,解得。尸=20,XBD=V32+42=5,故直線5￡＞與平面皿＞所成角的正弦值為空=2包.BD5.如圖，四邊形ABC￡＞是圓柱OO|的軸截面，點P為底面圓周上異于A,5的點.（1）求證：PB1.平面皿）：（2）若圓柱的側(cè)面積為2乃，體積為萬，點Q為線段DP上靠近點。的三等分點，設(shè)ZAOP=e,是否存在角。使得直線A。與平面瓦￥所成角的正弦值最大？若存在，求出相應的正弦值，并求出〃；若不存在，說明理由.(1)證明：因為他是圓。的直徑，點。是圓周上一點，所以NAPB=90。，即又在圓柱OQ中，母線A￡＞J_底面G)O,P8u底面0O,所以A￡)_LP8,又PA0|AD=A,上4u平面皿＞,A￡＞u平面皿＞,所以平面？4￡)；(2)解：設(shè)圓柱底面半徑為r,母線為/,則產(chǎn)了乃，解得［=1,在A/%￡＞中，過A作AM_L￡)P交DP于點M,由(I)知P3J_平面皿)，又A〃u平面R4D,所以P8_L4M,又。尸n?B=P，DP,PBu平面BDP,所以AMJ■平面跳》,若M與。不重合，則NAQM即為直線A。與平面或中所成的角;若〃與。重合，直線AQ與平面8。尸所成的角為90。，設(shè)Z4OP=6,匹(0,1),n在A4QP中，A尸=2sin-,2汽,6

2sin—在RtAADP中，AM=- J=Jl+4sin2—V2j 2Jl+sin2gAQ=M^+凈）于是sinZ.AQM= =1 乙=AQJ（l+4sin2,）（l+sin《）故6=］時，直線AQ與平面團中所成的角的正弦值最大，最大值為1..在四棱錐P-ABC￡)中，AB!/CD,AD=2,NZMB=60。，AAPB為等腰直角三角形,PA=PB=2s/2,過CD的平面分別交線段E4,PB于M,N,E在線段￡)P上(M,N,E不同于端點).(I)求證：8〃平面M7VE；(II)若E為￡>P的中點，且￡)M_L平面求直線R4與平面MNE所成角的正弦值.4(I)證明：?.?A8〃C￡),ABu平面ABP,CO<t平面ABP,，C￡>〃平面 又?.?C￡>u平面COWN,平面CDMVC平面ABP=MV,;.8〃腦7.又yMNu平面MNE,C￡)U平面MVE,;.CD//平面MNE.(II)解：作于F,連接DF,由三垂線定理有DF_LAB,在RtAADF中，.ZBAD=60P,AD=2,：.AF=\,在RtAAMF中，vZa4M=45°,AM=42,MP=>/2,為AP的中點，E為OP的中點，：.MNHAB,MEI/AD,MN[yME=M.平面MVE//平面ABC。，直線上4與平面MVE所成角，即直線F4與平面ABC。所成角.?r￡)MJ■平面AP8,..DMYAB,又DM^\MF=M,平面￡>?,平面A/D尸_L平面ABC￡),過點M作MH_LOF交于點，，連接A”,則M，_L平面A8C￡).ZMAH是直線PA與平面ABCD所成角，,, /.-27777n MF-MDV6.......MHV3?/MF=AF=1,DM=VAD"一AM?=V2，.=MH= =—.sin/MAH= =—.DF3 AM3

直線PA與平面MNE所成角的正弦值為—36.如圖1,在平面四邊形ABC。中，BC=y/3AB,CD=2AD,且AABE)為等邊三角形.設(shè)E為AD中點，連結(jié)將AABE沿8E折起，使點A到達平面3CDE上方的點尸，連結(jié)PC,PD,設(shè)尸是PC的中點，連結(jié)BF,如圖2.(1)證明：BF//平面PDE；(2)若二面角P-BE-￡)為60。，設(shè)平面PBC與平面PZ)E的交線為/,求/與平面尸C。所成角的正弦值.解：(1)證明：在平面8CQE中，設(shè)?！?、CB的延長線交于點。，連結(jié)P。，在ABC￡>中，設(shè)比>=1,則BC=x/5,CD=2,：.BDVBC,且ZBDC=ZB￡>E=60°,：.DQ=DC,且B為C。中點，?.?尸是PC中點,:.BF//PQ,?.?5尸C平面P￡)￡,PQu平面P￡)￡,.?.8尸//平面PDE.(2)?.?在圖1中，E是4)中點，即= :.B±AE,在圖2中，DELBE,PELBE,DE(^PE=E,DE、PEu平面P￡>E,??.8E_L平面P￡>￡,?.?BEu平面8CDE, 平面BC￡)E_L平面P￡>E,且NPED是二面角。的平面角,?.?二面角夕一8￡—。為60°,:.ZPED=&0°,.\PD=PE=DE=—=-,2 2設(shè)O為止中點，連結(jié)PO,則PO_LOE,PO=—,且尸OJ■平面8CZJE,4過8作B7V/OP,則時_L平面BCQE,以B為坐標原點，分別以8C、BD、BT為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,則8(0,0,0),C由,0,0),0(0,1,0),ni 63n\nr7pi7昌4