(最新整理)垂徑定理課件

(最新整理)垂徑定理2021/7/261(最新整理)垂徑定理2021/7/26124.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)24.1.2垂直于弦的直徑2021/7/26224.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）3.靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點）學(xué)習(xí)目標2021/7/2631.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.學(xué)習(xí)目標2021/7/折一折：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎？在折的過程中你有何發(fā)現(xiàn)？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．導(dǎo)入新課2021/7/264折一折：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎？圓是軸對稱講授新課圓的對稱軸一（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？（2）你是怎么得出結(jié)論的？圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.用折疊的方法●O說一說2021/7/265講授新課圓的對稱軸一（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理及其推論二2021/7/266問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.歸納總結(jié)2021/7/267垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE2021/7/268想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC歸納總結(jié)2021/7/269垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABODCA

如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧）結(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？思考探索2021/7/2610如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦

DOABEC舉例證明其中一種組合方法已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想2021/7/2611DOABEC舉例證明其中一種組合方法①CD如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.證明舉例⌒⌒2021/7/2612如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.·OAB思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)2021/7/2613思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂徑定理及其推論的計算三∴cm.典例精析2021/7/2614例1如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,·OA例2

如圖，

⊙

O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，2021/7/2615例2如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。?/p>

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒2021/7/2616例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,⌒⌒.MCDABON證明：作

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)2021/7/2617解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直試一試：根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?垂徑定理的實際應(yīng)用四2021/7/2618試一試：根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.2021/7/2619解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm2021/7/2620練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的

在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·歸納總結(jié)2021/7/2621在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦視頻：垂徑定理微課講解2021/7/2622視頻：垂徑定理微課講解2021/7/26221.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=

.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.14cm或2cm當(dāng)堂練習(xí)2021/7/26231.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.2021/7/26244.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD

5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。你認為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD..ACDBOE注意：解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．2021/7/26255.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●

OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.2021/7/26266.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧拓展提升：如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個動點，那么OP長的取值范圍

.3cm≤OP≤5cmBAOP2021/7/2627拓展提升：3cm≤OP≤5cmBAOP2021/7/2627垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.基本圖形及變式圖形課堂小結(jié)2021/7/2628垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)課堂作業(yè)2021/7/2629見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)課堂作業(yè)2021/7/26292021/7/26302021/7/2630(最新整理)垂徑定理2021/7/2631(最新整理)垂徑定理2021/7/26124.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)24.1.2垂直于弦的直徑2021/7/263224.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）3.靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點）學(xué)習(xí)目標2021/7/26331.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.學(xué)習(xí)目標2021/7/折一折：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎？在折的過程中你有何發(fā)現(xiàn)？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．導(dǎo)入新課2021/7/2634折一折：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎？圓是軸對稱講授新課圓的對稱軸一（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？（2）你是怎么得出結(jié)論的？圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.用折疊的方法●O說一說2021/7/2635講授新課圓的對稱軸一（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理及其推論二2021/7/2636問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.歸納總結(jié)2021/7/2637垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE2021/7/2638想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC歸納總結(jié)2021/7/2639垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABODCA

如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧）結(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？思考探索2021/7/2640如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦

DOABEC舉例證明其中一種組合方法已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想2021/7/2641DOABEC舉例證明其中一種組合方法①CD如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.證明舉例⌒⌒2021/7/2642如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.·OAB思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)2021/7/2643思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂徑定理及其推論的計算三∴cm.典例精析2021/7/2644例1如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,·OA例2

如圖，

⊙

O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，2021/7/2645例2如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒2021/7/2646例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,⌒⌒.MCDABON證明：作

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)2021/7/2647解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直試一試：根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?垂徑定理的實際應(yīng)用四2021/7/2648試一試：根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.2021/7/2649解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm2021/7/2650練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的

在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·歸納總結(jié)2021/7/2651在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦視頻：垂徑定理微課講解2021/7/2652視頻：垂徑定理微課講解2021/7/26221.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=

.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.14cm或2cm當(dāng)堂練習(xí)2021/7/26531.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.2021/7/26544.如圖，在