《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件

1.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數(shù))復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數(shù))復(fù)1).求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù).2).如何求函數(shù)y=ln(x+2)的導(dǎo)數(shù)呢？把平方式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo).是否還有用其它的辦法求導(dǎo)呢?想一想???探究：1).求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù).2).如何求二、新課——復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù).記作y=f(g(x))

函數(shù)內(nèi)層函數(shù)

外層函數(shù)

復(fù)合函數(shù)定義域值域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))x∈AU∈DU∈Dy∈Bx∈Ay∈B二、新課——復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=問題1:指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：解:問題1:指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：解:2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),注:1)y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為2)法則可以推廣到兩個以上的中間變量.3)在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導(dǎo),而后者是對中間變量的求導(dǎo).或令y=u2,u=3x-2,則從而2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),注:3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則應(yīng)用舉例例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.05x+1;（4）y=sin(πx+φ);(π,φ為常數(shù))(3)y=ln(x+2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟：

分解——求導(dǎo)——相乘——回代應(yīng)用舉例例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=(5x-6)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是()A練習(xí)：函數(shù)的導(dǎo)題型一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法題型一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法

(2)令u=x2,則y=cosu,∴y′x=y′u·u′x=-sinu·2x=-2xsinx2.(2)令u=x2,則y=cosu,《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件規(guī)律技巧:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對于分式型的可化為冪的形式求導(dǎo),關(guān)鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數(shù).規(guī)律技巧:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對于分式型《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(x2-4)2;解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16∴y′=(x4-8x2+16)′=4x3-16x.(方法2)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x3-16x.例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:(1)(方法1)y=(x2-4)(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin(ax+b)

(3)y′=[esin(ax+b)]′=esin(ax+b)[sin(ax+b)]′=esin(ax+b)·cos(ax+b)·(ax+b)′=acos(ax+b)·esin(ax+b).(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin變式訓(xùn)練2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)y′=(sin3x+sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2x·cosx+3x2cosx3.變式訓(xùn)練2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)y′=(sin3x+1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：課堂練習(xí)：2、求曲線y=sin2x在點P(π，0）處的切線方程。1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：課堂練習(xí)：2、求曲線y=sin2x在點題型二求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用例3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且x∈R,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函數(shù)f(x)的解析式.解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.又x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,題型二求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的三次函數(shù),且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0,求f(x)的解析式.解:設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c.由f(0)=3,得d=3,由f′(0)=0,得c=0,變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的三次函數(shù),且f(0)=小結(jié)：⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：

分解——求導(dǎo)——相乘——回代小結(jié)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:(2)解:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:(2)解:

“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加以證明:證:當(dāng)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x求導(dǎo)得:得:故為奇函數(shù).同理可證另一個命題.

我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證:設(shè)f(x)為可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個周期,則對定義域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x).

兩邊同時對x求導(dǎo)得:

也是以T為周期的周期函數(shù).“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)例5:設(shè)f(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:說明:對于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則.例5:設(shè)f(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:說明:對于抽象求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交點處的切線互相垂直.證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,故只需證明其中一個交點處的切線互相垂直即可.聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),不妨證明過P點的兩條切線互相垂直.由于點P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=71.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數(shù))復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數(shù))復(fù)1).求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù).2).如何求函數(shù)y=ln(x+2)的導(dǎo)數(shù)呢？把平方式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo).是否還有用其它的辦法求導(dǎo)呢?想一想???探究：1).求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù).2).如何求二、新課——復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù).記作y=f(g(x))

函數(shù)內(nèi)層函數(shù)

外層函數(shù)

復(fù)合函數(shù)定義域值域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))x∈AU∈DU∈Dy∈Bx∈Ay∈B二、新課——復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=問題1:指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：解:問題1:指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：解:2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),注:1)y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為2)法則可以推廣到兩個以上的中間變量.3)在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導(dǎo),而后者是對中間變量的求導(dǎo).或令y=u2,u=3x-2,則從而2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),注:3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則應(yīng)用舉例例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.05x+1;（4）y=sin(πx+φ);(π,φ為常數(shù))(3)y=ln(x+2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟：

分解——求導(dǎo)——相乘——回代應(yīng)用舉例例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=(5x-6)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是()A練習(xí)：函數(shù)的導(dǎo)題型一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法題型一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法

(2)令u=x2,則y=cosu,∴y′x=y′u·u′x=-sinu·2x=-2xsinx2.(2)令u=x2,則y=cosu,《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件規(guī)律技巧:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對于分式型的可化為冪的形式求導(dǎo),關(guān)鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數(shù).規(guī)律技巧:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對于分式型《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》課件例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(x2-4)2;解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16∴y′=(x4-8x2+16)′=4x3-16x.(方法2)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x3-16x.例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:(1)(方法1)y=(x2-4)(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin(ax+b)

(3)y′=[esin(ax+b)]′=esin(ax+b)[sin(ax+b)]′=esin(ax+b)·cos(ax+b)·(ax+b)′=acos(ax+b)·esin(ax+b).(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin變式訓(xùn)練2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)y′=(sin3x+sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2x·cosx+3x2cosx3.變式訓(xùn)練2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)y′=(sin3x+1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：課堂練習(xí)：2、求曲線y=sin2x在點P(π，0）處的切線方程。1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：課堂練習(xí)：2、求曲線y=sin2x在點題型二求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用例3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且x∈R,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函數(shù)f(x)的解析式.解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.又x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,題型二求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的三次函數(shù),且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0,求f(x)的解析式.解:設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c.由f(0)=3,得d=3,由f′(0)=0,得c=0,變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的三次函數(shù),且f(0)=小結(jié)：⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：

分解——求導(dǎo)——相乘——回代小結(jié)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:(2)解:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:(2)解:

“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加以證明:證:當(dāng)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x求導(dǎo)得:得:故為