直接證明與間接證明公開課一等獎課件

2.2.1直接法證明（一）：綜合法2.2.1直接法證明（一）：綜合法演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.復習推理合情推理（或然性推理）演繹推理（必然性推理）歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）三段論（一般到特殊）演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.數(shù)學結(jié)論例1:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因為b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因為c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.證明:變式1：例1:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a

從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù),逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法叫做綜合法(順推證法)

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為:…特點:“由因?qū)Ч币弧⒅苯幼C明法：綜合法從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù),逐步例2、在ΔABC中，三個內(nèi)角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，且A,B,C成等差數(shù)列，

a,b,c成等比數(shù)列。求證：ΔABC是等邊三角形。【分析】條件是什么？A,B,C成等差數(shù)列2B=A+Ca,b,c成等比數(shù)列b2=ac例2、在ΔABC中，三個內(nèi)角A,B,C對應的邊【分析練習、課本P89：第1題練習、課本P91：B組第2題練習、課本P89：第1題練習、課本P91：B組第2題2.2.1直接法證明（二）：分析法2.2.1直接法證明（二）：分析法例1.求證：.所以為了證明只需證即證即證即證即證例1.求證：.所以為了證明只需證即證即證即證即證

從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件。要證：只要證：只需證：顯然成立上述各步均可逆所以結(jié)論成立格式例:證明：二、直接證明法（二）：分析法從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后，把要證練習1：P89：T2練習1：P89：T2得到一個明顯成立的結(jié)論…也可以是經(jīng)過證明的結(jié)論得到一個明顯成立的結(jié)論…也可以是經(jīng)過證明的結(jié)論練習3：P89：T3練習3：P89：T32.2.2間接法證明：反證法2.2.2間接法證明：反證法復習1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實際解題時，兩種方法如何運用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件復習1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本直接證明與間接證明公開課一等獎課件引例、求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.證明:假設(shè)____________那么_________因為已知_________這與“_____________”矛盾.所以假設(shè)不成立、即求證的命題正確l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2

相交于點P.所以l3∥l1假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立，原命題成立引例、求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條證明：假設(shè)李子是甜的因為李子長在路邊，所以李子早就沒了（與李子有很多矛盾）所以李子是苦的（1）否定結(jié)論（2）推出矛盾（3）假設(shè)不成立（原結(jié)論成立）用反證法證明命題的過程用框圖表示為：條件不變否定結(jié)論導致邏輯矛盾反設(shè)不成立結(jié)論成立證明：假設(shè)李子是甜的（1）否定結(jié)論（2）推出矛盾（3）假設(shè)不

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法.一、間接法證明的概念把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方例1.求證：是無理數(shù).P91練習1,2練習、不可能成等差數(shù)列例1.求證：是無理數(shù).P91練習1,2練習、例2.

已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證：由于a≠0，因此方程至少有一個根x=b/a，注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),

是唯一性問題,常用反證法

```如果方程不只一個根，不妨設(shè)x1,x2

（x1≠x2)是方程的兩個根.例2.已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證例3：已知x>0,y>0，x+y>2，求證：中至少有一個小于2。分析：所謂至少有一個,就是有1個或多個,要證“至少有一個”成立的反面“所有都”不成立.注:“至少”、“至多”型命題常用反證法例3：已知x>0,y>0，x+y>2，分析：所謂至少有一個,（1）直接證明有困難正難則反!歸納總結(jié)：哪些命題適宜用反證法加以證明？牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?/p>

（3）唯一性命題（2）否定性命題（4）至多，至少型命題（1）直接證明有困難正難則反!歸納總結(jié)：哪些命題適宜用反證法“非”命題對常見的幾個正面詞語的否定.正面=>是都是至多有一個至少有一個任意的所有的否定≠≤不是不都是至少有兩個沒有一個某個某些“非”命題對常見的幾個正面詞語的否定.正面=>是都是至多練習、練習、A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C在撒謊嗎？為什么？分析:假設(shè)C沒有撒謊,則A、B都撒謊.由A撒謊,知B沒有撒謊.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立,則C必定是在撒謊.這與B撒謊矛盾.思考？A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、分析小魔方站作品盜版必究語文小魔方站作品盜版必究語文更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您下載使用！更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您直接證明與間接證明公開課一等獎課件直接證明與間接證明公開課一等獎課件附贈中高考狀元學習方法附贈中高考狀元學習方法群星璀璨---近幾年全國高考狀元薈萃群星璀璨---近幾年全國高考狀元薈萃

前言

高考狀元是一個特殊的群體，在許多人的眼中，他們就如浩瀚宇宙里璀璨奪目的星星那樣遙不可及。但實際上他們和我們每一個同學都一樣平凡而普通，但他們有是不平凡不普通的，他們的不平凡之處就是在學習方面有一些獨到的個性，又有著一些共性，而這些對在校的同學尤其是將參加高考的同學都有一定的借鑒意義。前言高考狀元是一青春風采青春風采青春風采青春風采北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：692分(含20分加分)

語文131分數(shù)學145分英語141分文綜255分畢業(yè)學校：北京二中

報考高校：北京大學光華管理學院北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：來自北京二中，高考成績672分，還有20分加分。“何旋給人最深的印象就是她的笑聲，遠遠的就能聽見她的笑聲?！卑嘀魅螀蔷┟氛f，何旋是個陽光女孩?！八菍W校的攝影記者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成績應該是692?！眳抢蠋熣f，何旋考出好成績的秘訣是心態(tài)好?！八茏孕牛埠苡袗坌?。考試結(jié)束后，她還問我怎么給邊遠地區(qū)的學校捐書”。來自北京二中，高考成績672分，還有20分加分?！昂涡o人最班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績，我覺得，很重要的是，何旋是土生土長的北京二中的學生，二中的教育理念是綜合培養(yǎng)學生的素質(zhì)和能力。我覺得何旋，她取得今天這么好的成績，一個來源于她的扎實的學習上的基礎(chǔ)，還有一個非常重要的，我覺得特別想提的，何旋是一個特別充滿自信，充滿陽光的這樣一個女孩子。在我印象當中，何旋是一個最愛笑的，而且她的笑特別感染人的。所以我覺得她很陽光，而且充滿自信，這是她突出的這樣一個特點。所以我覺得，這是她今天取得好成績當中，心理素質(zhì)非常好，是非常重要的。班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績，我覺得，很重要的是，高考總分:711分

畢業(yè)學校:北京八中

語文139分數(shù)學140分英語141分理綜291分報考高校：北京大學光華管理學院北京市理科狀元楊蕙心高考總分:711分

畢業(yè)學校:北京八中

語文139分數(shù)學1班主任孫燁：楊蕙心是一個目標高遠的學生，而且具有很好的學習品質(zhì)。學習效率高是楊蕙心的一大特點，一般同學兩三個小時才能完成的作業(yè)，她一個小時就能完成。楊蕙心分析問題的能力很強，這一點在平常的考試中可以體現(xiàn)。每當楊蕙心在某科考試中出現(xiàn)了問題，她能很快找到問題的原因，并馬上拿出解決辦法。班主任孫燁：楊蕙心是一個目標高遠的學生，而且具有很好的學習孫老師說，楊蕙心學習效率很高，認真執(zhí)行老師的復習要求，往往一個小時能完成別人兩三個小時的作業(yè)量，而且計劃性強，善于自我調(diào)節(jié)。此外，學校還有一群與她實力相當?shù)耐瑢W，他們經(jīng)常在一起切磋、交流，形成一種良性的競爭氛圍。談起自己的高考心得，楊蕙心說出了“聽話”兩個字。她認為在高三沖刺階段一定要跟隨老師的腳步?！袄蠋熃榻B的都是多年積累的學習方法，肯定是最有益的?！备呷o張的學習中，她常做的事情就是告誡自己要堅持，不能因為一次考試成績就否定自己。高三的幾次模擬考試中，她的成績一直穩(wěn)定在年級前5名左右。孫老師說，楊蕙心學習效率很高，認真執(zhí)行老師的復習要求，往往一直接證明與間接證明公開課一等獎課件上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學理科班學生班級職務：學習委員高考志愿：復旦經(jīng)濟高考成績：語文127分數(shù)學142分英語144分物理145分綜合27分總分585分上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學理科班學生

“一分也不能少”

“我堅持做好每天的預習、復習，每天放學回家看半小時報紙，晚上10：30休息，感覺很輕松地度過了三年高中學習?！碑?shù)弥约旱母呖汲煽兒?，格致中學的武亦文遺憾地說道，“平時模擬考試時，自己總有一門滿分，這次高考卻沒有出現(xiàn)，有些遺憾?！?/p>

“一分也不能少”“我堅持做好每天的預習、復習

堅持做好每個學習步驟

武亦文的高考高分來自于她日常嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，堅持認真做好每天的預習、復習?！案咧腥?，從來沒有熬夜，上課跟著老師走，保證課堂效率?！蔽湟辔慕榻B，“班主任王老師對我的成長起了很大引導作用，王老師辦事很認真，凡事都會投入自己所有精力，看重做事的過程而不重結(jié)果。每當學生沒有取得好結(jié)果，王老師也會淡然一笑，鼓勵學生注重學習的過程?！?/p>

堅持做好每個學習步驟上海高考文科狀元--- 常方舟曹楊二中高三(14)班學生班級職務：學習委員高考志愿：北京大學中文系高考成績：語文121分數(shù)學146分 英語146分歷史134分 綜合28分總分575分 (另有附加分10分)上海高考文科狀元--- 常方舟曹楊二中高三(14)班“我對競賽題一樣發(fā)怵”

總結(jié)自己的成功經(jīng)驗，常方舟認為學習的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，這個生活習慣雷打不動。早晨總是6:15起床，以保證八小時左右的睡眠。平時功課再多再忙，我也不會‘開夜車’。身體健康，體力充沛才能保證有效學習。”高三階段，有的同學每天學習到凌晨兩三點，這種習慣在常方舟看來反而會影響次日的學習狀態(tài)。每天課后，常方舟也不會花太多時間做功課，常常是做完老師布置的作業(yè)就算完。“我對競賽題一樣發(fā)怵”總結(jié)自己的成功經(jīng)驗，常方舟認為學習的“用好課堂40分鐘最重要。我的經(jīng)驗是，哪怕是再簡單的內(nèi)容，仔細聽和不上心，效果肯定是不一樣的。對于課堂上老師講解的內(nèi)容，有的同學覺得很簡單，聽講就不會很認真，但老師講解往往是由淺入深的，開始不認真，后來就很難聽懂了；即使能聽懂，中間也可能出現(xiàn)一些知識盲區(qū)。高考試題考的大多是基礎(chǔ)知識，正就是很多同學眼里很簡單的內(nèi)容?！背７街鄹嬖V記者，其實自己對競賽試題類偏難的題目并不擅長，高考出色的原因正在于試題多為基礎(chǔ)題，對上了自己的“口味”?！坝煤谜n堂40分鐘最重要。我的經(jīng)驗是，哪怕是再簡單的內(nèi)容，仔2.2.1直接法證明（一）：綜合法2.2.1直接法證明（一）：綜合法演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.復習推理合情推理（或然性推理）演繹推理（必然性推理）歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）三段論（一般到特殊）演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.數(shù)學結(jié)論例1:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因為b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因為c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.證明:變式1：例1:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a

從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù),逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法叫做綜合法(順推證法)

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為:…特點:“由因?qū)Ч币?、直接證明法：綜合法從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù),逐步例2、在ΔABC中，三個內(nèi)角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，且A,B,C成等差數(shù)列，

a,b,c成等比數(shù)列。求證：ΔABC是等邊三角形?！痉治觥織l件是什么？A,B,C成等差數(shù)列2B=A+Ca,b,c成等比數(shù)列b2=ac例2、在ΔABC中，三個內(nèi)角A,B,C對應的邊【分析練習、課本P89：第1題練習、課本P91：B組第2題練習、課本P89：第1題練習、課本P91：B組第2題2.2.1直接法證明（二）：分析法2.2.1直接法證明（二）：分析法例1.求證：.所以為了證明只需證即證即證即證即證例1.求證：.所以為了證明只需證即證即證即證即證

從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件。要證：只要證：只需證：顯然成立上述各步均可逆所以結(jié)論成立格式例:證明：二、直接證明法（二）：分析法從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后，把要證練習1：P89：T2練習1：P89：T2得到一個明顯成立的結(jié)論…也可以是經(jīng)過證明的結(jié)論得到一個明顯成立的結(jié)論…也可以是經(jīng)過證明的結(jié)論練習3：P89：T3練習3：P89：T32.2.2間接法證明：反證法2.2.2間接法證明：反證法復習1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實際解題時，兩種方法如何運用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件復習1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本直接證明與間接證明公開課一等獎課件引例、求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.證明:假設(shè)____________那么_________因為已知_________這與“_____________”矛盾.所以假設(shè)不成立、即求證的命題正確l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2

相交于點P.所以l3∥l1假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立，原命題成立引例、求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條證明：假設(shè)李子是甜的因為李子長在路邊，所以李子早就沒了（與李子有很多矛盾）所以李子是苦的（1）否定結(jié)論（2）推出矛盾（3）假設(shè)不成立（原結(jié)論成立）用反證法證明命題的過程用框圖表示為：條件不變否定結(jié)論導致邏輯矛盾反設(shè)不成立結(jié)論成立證明：假設(shè)李子是甜的（1）否定結(jié)論（2）推出矛盾（3）假設(shè)不

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法.一、間接法證明的概念把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方例1.求證：是無理數(shù).P91練習1,2練習、不可能成等差數(shù)列例1.求證：是無理數(shù).P91練習1,2練習、例2.

已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證：由于a≠0，因此方程至少有一個根x=b/a，注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),

是唯一性問題,常用反證法

```如果方程不只一個根，不妨設(shè)x1,x2

（x1≠x2)是方程的兩個根.例2.已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證例3：已知x>0,y>0，x+y>2，求證：中至少有一個小于2。分析：所謂至少有一個,就是有1個或多個,要證“至少有一個”成立的反面“所有都”不成立.注:“至少”、“至多”型命題常用反證法例3：已知x>0,y>0，x+y>2，分析：所謂至少有一個,（1）直接證明有困難正難則反!歸納總結(jié)：哪些命題適宜用反證法加以證明？牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?/p>

（3）唯一性命題（2）否定性命題（4）至多，至少型命題（1）直接證明有困難正難則反!歸納總結(jié)：哪些命題適宜用反證法“非”命題對常見的幾個正面詞語的否定.正面=>是都是至多有一個至少有一個任意的所有的否定≠≤不是不都是至少有兩個沒有一個某個某些“非”命題對常見的幾個正面詞語的否定.正面=>是都是至多練習、練習、A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C在撒謊嗎？為什么？分析:假設(shè)C沒有撒謊,則A、B都撒謊.由A撒謊,知B沒有撒謊.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立,則C必定是在撒謊.這與B撒謊矛盾.思考？A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、分析小魔方站作品盜版必究語文小魔方站作品盜版必究語文更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您下載使用！更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您直接證明與間接證明公開課一等獎課件直接證明與間接證明公開課一等獎課件附贈中高考狀元學習方法附贈中高考狀元學習方法群星璀璨---近幾年全國高考狀元薈萃群星璀璨---近幾年全國高考狀元薈萃

前言

高考狀元是一個特殊的群體，在許多人的眼中，他們就如浩瀚宇宙里璀璨奪目的星星那樣遙不可及。但實際上他們和我們每一個同學都一樣平凡而普通，但他們有是不平凡不普通的，他們的不平凡之處就是在學習方面有一些獨到的個性，又有著一些共性，而這些對在校的同學尤其是將參加高考的同學都有一定的借鑒意義。前言高考狀元是一青春風采青春風采青春風采青春風采北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：692分(含20分加分)

語文131分數(shù)學145分英語141分文綜255分畢業(yè)學校：北京二中

報考高校：北京大學光華管理學院北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：來自北京二中，高考成績672分，還有20分加分?！昂涡o人最深的印象就是她的笑聲，遠遠的就能聽見她的笑聲?！卑嘀魅螀蔷┟氛f，何旋是個陽光女孩?！八菍W校的攝影記者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成績應該是692?！眳抢蠋熣f，何旋考出好成績的秘訣是心態(tài)好?！八茏孕牛埠苡袗坌??？荚嚱Y(jié)束后，她還問我怎么給邊遠地區(qū)的學校捐書”。來自北京二中，高考成績672分，還有20分加分?！昂涡o人最班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績，我覺得，很重要的是，何旋是土生土長的北京二中的學生，二中的教育理念是綜合培養(yǎng)學生的素質(zhì)和能力。我覺得何旋，她取得今天這么好的成績，一個來源于她的扎實的學習上的基礎(chǔ)，還有一個非常重要的，我覺得特別想提的，何旋是一個特別充滿自信，充滿陽光的這樣一個女孩子。在我印象當中，何旋是一個最愛笑的，而且她的笑特別感染人的。所以我覺得她很陽光，而且充滿自信，這是她突出的這樣一個特點。所以我覺得，這是她今天取得好成績當中，心理素質(zhì)非常好，是非常重要的。班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績，我覺得，很重要的是，高考總分:711分

畢業(yè)學校:北京八中

語文139分數(shù)學140分英語141分理綜291分報考高校：北京大學光華管理學院北京市理科狀元楊蕙心高考總分:711分

畢業(yè)學校:北京八中

語文139分數(shù)學1班主任孫燁：楊蕙心是一個目標高遠的學生，而且具有很好的學習品質(zhì)。學習效率高是楊蕙心的一大特點，一般同學兩三個小時才能完成的作業(yè)，她一個小時就能完成。楊蕙心分析問題的能力很強，這一點在平常的考試中可以體現(xiàn)。每當楊蕙心在某科考試中出現(xiàn)了問題，她能很快找到問題的原因，并馬上拿出解決辦法。班主任孫燁：楊蕙心是一個目標高遠的學生，而且具有很好的學習孫老師說，楊蕙心學習效率很高，認真執(zhí)行老師的復習要求，往往一個小時能完成別人兩三個小時的作業(yè)量，而且計劃性強，善于自我調(diào)節(jié)。此外，學校還有一群與她實力相當?shù)耐瑢W，他們經(jīng)常在一起切磋、交流，形成一種良性的競爭氛圍。談起自己的高考心得，楊蕙心說出了“聽話”兩個字。她認為在高三沖刺階段一定要跟隨老師的腳步?！袄蠋熃榻B的都是多年積累的學習方法，肯定是最有益的。”高三緊張的學習中，她常做的事情就是告誡自己要堅持，不能因為一次考試成績就否定自己。高三的幾次模擬考試中，她的成績一直穩(wěn)定在年級前5名左右。孫老師說，楊蕙心學習效率很高，認真執(zhí)行老師的復習要求，往往一直接證明與間接證明公開課一等獎課件上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學理科班學生班級職務：學習委員高考志愿：復旦經(jīng)濟高