《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件

原子物理與量子力學原子物理與量子力學第8章矩陣力學簡介第8章矩陣力學簡介§8.1

態(tài)的表象矩陣簡介(Review)1.

N×M矩陣§8.1態(tài)的表象矩陣簡介(Review)1.N×M矩陣《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件矩陣A的共軛矩陣矩陣A的共軛矩陣例如例如表象：波函數和力學量算符的不同表示形式。常用表象：坐標表象，動量表象，能量表象，角動量表象等。直角坐標系的旋轉變換

平面直角坐標系Ox1x2中，兩坐標軸的基矢可表示為e1、e2，其標積為平面上的任一矢量A可表示為在兩個坐標軸上的分量（或投影）為表象：波函數和力學量算符的不同表示形式。直角坐標系的旋轉變換（A1，A2）稱為A在坐標系Ox1x2中的表示。坐標系Ox1x2沿垂直于自身平面的軸順時針轉動θ角，成為一個新的坐標系，單位基矢變?yōu)?。在新坐標系中的兩基矢的標積為

同一矢量A在新坐標系中的表示為

矢量A在新坐標系中的投影分量為（A1，A2）稱為A在坐標系Ox1x2中的表示。

矢量A在新舊坐標系中兩種表示的關系為何？應當相等，即

用新坐標系的基矢量分別對上式的后一等式作標積，有上式可用矩陣形式表示或記為矢量A在新舊坐標系中兩種表示的關系為何？應當其中，是把矢量A在兩坐標系中不同表示的變換矩陣，這是一個幺正矩陣。若轉動角θ一旦給出，兩個坐標系之間的旋轉變換關系就完全確定。量子力學中態(tài)矢量的表象假定算符具有分立的本征值譜，本征方程為其中，是把矢量A在兩坐標系中不同表示的變換矩陣，這是一個幺正作以下積分即，是

與各基矢（的本征態(tài)）的內積。這里的波函數也叫態(tài)矢量，屬于希爾伯特空間（復數空間），可以是無窮維的。把態(tài)矢量或其轉置共軛寫成如下矩陣形式其歸一化條件為作以下積分即，是與各基歸一化條件寫成矩陣形式為I是單位矩陣。態(tài)矢量在不同的表象中有不同的表示。坐標表象以坐標算符的本征態(tài)為基矢構成的表象稱為坐標表象。以一維的x坐標為例，其坐標算符的本征方程為歸一化條件寫成矩陣形式為I是單位矩陣。態(tài)矢量在不同的表象中有相應本征函數為。任意量子態(tài)均可以按該本征函數展開動量表象以動量算符的本征態(tài)為基矢構成的表象稱為動量表象。以一維的動量算符為例，其本征態(tài)（坐標表象）為任意量子態(tài)均可以按該本征函數展開相應本征函數為。任意量子態(tài)均可以按該本同一態(tài)矢量（波函數）在不同表象中的關系該問題相當于同一矢量在直角坐標下經過轉動變換后的兩種表示之間的關系。兩種表象中的態(tài)矢量關系為表示成矩陣關系同一態(tài)矢量（波函數）在不同表象中的關系該問題相當于同算符的表象表示仍以線性空間的矢量作類比§8.1

算符的矩陣表示算符的表象表示仍以線性空間的矢量作類比§8.1算符的矩陣表令寫成矩陣形式，有用e1、e2對上式作點乘，得

令寫成矩陣形式，有用e1、e2對上式作點乘，得即R(θ)矢量A逆時針轉動θ角的變換矩陣，容易證明是它幺正矩陣。即R(θ)矢量A逆時針轉動θ角的變換矩陣，容易證明是它幺正矩與此類比，設經算符作用后變?yōu)?，即以F表象（力學量F完全集的本征態(tài)）為基矢，和分別表示為如何通過上式由ak求bk?與此類比，設經算符作用后變?yōu)?，即以F表象（力學量《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件力學量算符對態(tài)的作用可以寫成矩陣L一旦確定，則所有基矢（因而任何矢量）在作用下的變化就完全確定了。力學量算符對態(tài)的作用可以寫成矩陣L一旦確定，則所有基例1求一維諧振子的坐標x、動量px以及哈密頓量H在能量表象中的表示。例1求一維諧振子的坐標x、動量px以及哈密頓量H在能量表象《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件§8.3

量子力學公式的矩陣表示

在引入特定表象后，量子力學中的所有公式都可用矩陣表述，從而構成矩陣力學在F表象中，力學量L的矩陣元表示為

而量子態(tài)ψ則表示成列矢的形式，即量子力學的理論表述均可表成矩陣的形式§8.3量子力學公式的矩陣表示在引入特定表象后，量薛定諤方程的矩陣表示薛定諤方程在F表象中，系數為時間t函數，薛定諤方程為作以下內積薛定諤方程的矩陣表示薛定諤方程在F表象中，系數為時間t函數，記哈密頓算符的矩陣元為薛定諤方程變?yōu)楸硎境删仃囆问接浌茴D算符的矩陣元為薛定諤方程變?yōu)楸硎境删仃囆问狡骄倒降木仃嚤硎玖W量的平均值即在自身表象中，矩陣元為代入平均值公式平均值公式的矩陣表示力學量的平均值即在自身表象中，矩陣元為代本征值方程的矩陣表示算符的本征方程為在F表象中，任意波函數按其本征態(tài)展開再代入本征方程，得用ψj作內積，得本征值方程的矩陣表示算符的本征方程為在F表象中，任意波函方程組有非零解的充要條件是系數行列式為零，即

如表象空間的維數為N，則上式是關于L的N次方程，有個N實根。若有n個重根，則力學量L的本征態(tài)是n重簡并的。即寫成矩陣形式方程組有非零解的充要條件是系數行列式為零，即如表象空用解得的根一一代入前面的代數所得方程組可以得到，并把它表成列矢的形式

這是與本征值相應的本征態(tài)在F表象中的表示。用解得的根一一代入前面的代數所得方程組可以得到，并把它力學量的表象變換力學量的表象變換按照F表象中的基矢展開用對上式作內積即或按照F表象中的基矢展開用對上式作內積即或同理可得式中其中由此可以得同理可得式中其中由此可以得式中是從F表象到F'表象間基矢變換的幺正矩陣，即即式中是從F表象到F'表象間基矢變換的幺正矩陣，即即本章小結本章小結《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件謝謝!謝謝!原子物理與量子力學原子物理與量子力學第8章矩陣力學簡介第8章矩陣力學簡介§8.1

態(tài)的表象矩陣簡介(Review)1.

N×M矩陣§8.1態(tài)的表象矩陣簡介(Review)1.N×M矩陣《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件矩陣A的共軛矩陣矩陣A的共軛矩陣例如例如表象：波函數和力學量算符的不同表示形式。常用表象：坐標表象，動量表象，能量表象，角動量表象等。直角坐標系的旋轉變換

平面直角坐標系Ox1x2中，兩坐標軸的基矢可表示為e1、e2，其標積為平面上的任一矢量A可表示為在兩個坐標軸上的分量（或投影）為表象：波函數和力學量算符的不同表示形式。直角坐標系的旋轉變換（A1，A2）稱為A在坐標系Ox1x2中的表示。坐標系Ox1x2沿垂直于自身平面的軸順時針轉動θ角，成為一個新的坐標系，單位基矢變?yōu)?。在新坐標系中的兩基矢的標積為

同一矢量A在新坐標系中的表示為

矢量A在新坐標系中的投影分量為（A1，A2）稱為A在坐標系Ox1x2中的表示。

矢量A在新舊坐標系中兩種表示的關系為何？應當相等，即

用新坐標系的基矢量分別對上式的后一等式作標積，有上式可用矩陣形式表示或記為矢量A在新舊坐標系中兩種表示的關系為何？應當其中，是把矢量A在兩坐標系中不同表示的變換矩陣，這是一個幺正矩陣。若轉動角θ一旦給出，兩個坐標系之間的旋轉變換關系就完全確定。量子力學中態(tài)矢量的表象假定算符具有分立的本征值譜，本征方程為其中，是把矢量A在兩坐標系中不同表示的變換矩陣，這是一個幺正作以下積分即，是

與各基矢（的本征態(tài)）的內積。這里的波函數也叫態(tài)矢量，屬于希爾伯特空間（復數空間），可以是無窮維的。把態(tài)矢量或其轉置共軛寫成如下矩陣形式其歸一化條件為作以下積分即，是與各基歸一化條件寫成矩陣形式為I是單位矩陣。態(tài)矢量在不同的表象中有不同的表示。坐標表象以坐標算符的本征態(tài)為基矢構成的表象稱為坐標表象。以一維的x坐標為例，其坐標算符的本征方程為歸一化條件寫成矩陣形式為I是單位矩陣。態(tài)矢量在不同的表象中有相應本征函數為。任意量子態(tài)均可以按該本征函數展開動量表象以動量算符的本征態(tài)為基矢構成的表象稱為動量表象。以一維的動量算符為例，其本征態(tài)（坐標表象）為任意量子態(tài)均可以按該本征函數展開相應本征函數為。任意量子態(tài)均可以按該本同一態(tài)矢量（波函數）在不同表象中的關系該問題相當于同一矢量在直角坐標下經過轉動變換后的兩種表示之間的關系。兩種表象中的態(tài)矢量關系為表示成矩陣關系同一態(tài)矢量（波函數）在不同表象中的關系該問題相當于同算符的表象表示仍以線性空間的矢量作類比§8.1

算符的矩陣表示算符的表象表示仍以線性空間的矢量作類比§8.1算符的矩陣表令寫成矩陣形式，有用e1、e2對上式作點乘，得

令寫成矩陣形式，有用e1、e2對上式作點乘，得即R(θ)矢量A逆時針轉動θ角的變換矩陣，容易證明是它幺正矩陣。即R(θ)矢量A逆時針轉動θ角的變換矩陣，容易證明是它幺正矩與此類比，設經算符作用后變?yōu)?，即以F表象（力學量F完全集的本征態(tài)）為基矢，和分別表示為如何通過上式由ak求bk?與此類比，設經算符作用后變?yōu)?，即以F表象（力學量《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件力學量算符對態(tài)的作用可以寫成矩陣L一旦確定，則所有基矢（因而任何矢量）在作用下的變化就完全確定了。力學量算符對態(tài)的作用可以寫成矩陣L一旦確定，則所有基例1求一維諧振子的坐標x、動量px以及哈密頓量H在能量表象中的表示。例1求一維諧振子的坐標x、動量px以及哈密頓量H在能量表象《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件《原子物理與量子力學》第8章-矩陣力學簡介課件§8.3

量子力學公式的矩陣表示

在引入特定表象后，量子力學中的所有公式都可用矩陣表述，從而構成矩陣力學在F表象中，力學量L的矩陣元表示為

而量子態(tài)ψ則表示成列矢的形式，即量子力學的理論表述均可表成矩陣的形式§8.3量子力學公式的矩陣表示在引入特定表象后，量薛定諤方程的矩陣表示薛定諤方程在F表象中，系數為時間t函數，薛定諤方程為作以下內積薛定諤方程的矩陣表示薛定諤方程在F表象中，系數為時間t函數，記哈密頓算符的矩陣元為薛定諤方程變?yōu)楸硎境删仃囆问接浌茴D算符的矩陣元為薛定諤方程變?yōu)楸硎境删仃囆问狡骄倒降木仃嚤硎玖W量的平均值即在自身表象中，矩陣元為代入平均值公式平均值公式的矩陣表示力學量的平均值即在自身表象中，矩陣元為代本征值方程的矩陣表示算符的本征方程為在F表象中，任意波函數按其本征態(tài)展開再代入本征方程，得用ψj作內積，得本征值方程的矩陣表示算符的本征方程為在F表象中，任意波函方程組有非零解的充要條件是系數行列式為零，即

如表象空間的維數為N，則上式是關于L的N次方程，有個N實根。若有n個重根，則力學量L的本征態(tài)是n重簡并的。即寫成矩陣形式方程組有非零解的充要條件是系數行列式為零，即如表象空用解得的根一一代入前面的代數所得方程