第二章誤差的基本性質(zhì)與處理課件

熱工儀表及測(cè)量技術(shù)孟獻(xiàn)豐主講熱工儀表及測(cè)量技術(shù)孟獻(xiàn)豐主講

本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使大家能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施；掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法；掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法。測(cè)量結(jié)果不確定度的估算及合成重點(diǎn)與難點(diǎn)三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施；第一節(jié)隨機(jī)誤差當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)，得到一系列不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有：

零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素

①測(cè)量裝置方面的因素第一節(jié)隨機(jī)誤差當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)

隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)誤差可表示為：(2-1)

式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為 式中：σ——標(biāo)準(zhǔn)誤差（或均方根誤差）

e——自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182……。二、正態(tài)分布隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有非正態(tài)分布，而多圖2-1為正態(tài)分布曲線，絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；隨機(jī)誤差δ只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，稱為誤差的有界性；隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤差的補(bǔ)償性。

圖2-1為正態(tài)分布曲線，絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。

(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:下面來證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。三、算術(shù)平均值對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，測(cè)量即由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知，因此

由此：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測(cè)量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。即

一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差：(2-5)

此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值與的差值：(2-6)

式中的為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-6）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。

(二)算術(shù)平均值的兩個(gè)性質(zhì)一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式根據(jù)（2-5）可證明算術(shù)平均值有以下兩個(gè)性質(zhì)：（1）剩余誤差代數(shù)和為零，即這一性質(zhì)可以校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確。（2）剩余誤差的平方和為最小，即這一性質(zhì)建立了最小二乘法原理。

根據(jù)（2-5）可證明算術(shù)平均值有以下兩個(gè)性質(zhì)：例2-1

測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。

解：任選參考值=1879.65，計(jì)算差值和列于表很容易求得算術(shù)平均值＝1879.64。

序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

例2-1測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平1.測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差σ

四、測(cè)量值誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)為了評(píng)定測(cè)量列和其最優(yōu)概值的優(yōu)劣，需引入一些評(píng)價(jià)指標(biāo)，常用的有標(biāo)準(zhǔn)誤差和極限誤差。因被測(cè)量的真值X0為未知，上式中不能計(jì)算，因此需用剩余誤差來表示標(biāo)準(zhǔn)誤差，可以證明貝塞爾(Bessel)公式1.測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差σ四、測(cè)量值誤差的評(píng)剩余誤差分布密度為：由于σ值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。σ值愈大，函數(shù)減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。剩余誤差分布密度為：由于σ值反映了測(cè)2.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差服從正態(tài)分布的直接測(cè)量值的最優(yōu)概值就是這組測(cè)量列的算術(shù)平均值，以此作為測(cè)量結(jié)果。最優(yōu)概值的標(biāo)準(zhǔn)誤差應(yīng)和測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差有關(guān)，可以推得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：用剩余誤差表示為：2.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差服從正態(tài)分布的直接測(cè)3.測(cè)量值的極限誤差從概率論，隨機(jī)誤差落在[-3,3]的概率為99.7%，落在外面只有0.3%，即每測(cè)得1000次其誤差絕對(duì)值大于3σ的次數(shù)僅有3次，因此在有限次的測(cè)量中，就認(rèn)為不出現(xiàn)大于3σ的誤差，故把3σ定位極限誤差。4.最優(yōu)概值的極限誤差3.測(cè)量值的極限誤差從概率論，隨機(jī)誤差落在[第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義

系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置在測(cè)量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件

實(shí)際上測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。

由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。實(shí)際上測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：

①測(cè)量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測(cè)量方法的因素

④

測(cè)量人員的因素計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測(cè)量同一測(cè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測(cè)量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。

圖2-11為各種系統(tǒng)誤差⊿隨測(cè)量過程t變化而表現(xiàn)出不同特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下（一）不變系統(tǒng)誤差

固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測(cè)量過程中，誤差的大小和符號(hào)始終是不變的。如千分尺或測(cè)長(zhǎng)儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對(duì)每一測(cè)量值的影響均為一個(gè)常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測(cè)量過程中，誤差的大小和方向隨測(cè)試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：

①線性變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。例如，量塊中心長(zhǎng)度隨溫度的變化：（一）不變系統(tǒng)誤差（二）變化系統(tǒng)誤差①線性變化的系統(tǒng)誤差

②周期變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個(gè)偏心量e

，則指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差為。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當(dāng)指針在0

和180時(shí)誤差為零，而在90和270

時(shí)誤差絕對(duì)值達(dá)最大。

③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些復(fù)雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式或其它正交函數(shù)多項(xiàng)式來描述。②周期變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因由于形成系統(tǒng)誤差原因復(fù)雜，目前尚沒有適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是可針對(duì)不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，按照下述兩類方法加以識(shí)別：

1、用于發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對(duì)比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；

2、用于發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量組間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t

檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法由于形成系統(tǒng)誤差原因復(fù)雜，目前尚沒有適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法2、殘余誤差觀察法（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)

①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差顯著含有系統(tǒng)誤差的測(cè)量列，其任一測(cè)量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測(cè)量列系統(tǒng)誤差平均值之差。

②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測(cè)量列，存在著按順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值符號(hào)也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號(hào)變化，因此由差值可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測(cè)量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。3、殘余誤差校核法(有兩種方法)①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)等精度測(cè)量，可用不同分式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。如貝塞爾公式。在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計(jì)算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。3、t檢驗(yàn)法

當(dāng)兩組測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測(cè)量人員，對(duì)測(cè)量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測(cè)試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：四、系統(tǒng)誤差的減小和消除①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；

②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；

③儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；

④所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差；

⑤測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；

⑥注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、注意力不集中等。①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是（二）加修正值法這種方法是預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。

由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對(duì)隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。（二）加修正值法（三）改進(jìn)測(cè)量方法在測(cè)量過程中，根據(jù)具體的測(cè)量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使測(cè)得值中的系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中相互抵消而不帶入測(cè)量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測(cè)量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中予以消除，常用的方法有：

（三）改進(jìn)測(cè)量方法①反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測(cè)量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測(cè)一次，取兩次測(cè)量的平均值作為測(cè)量結(jié)果，這樣，大小相同但符號(hào)相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。

②代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測(cè)量裝置上對(duì)被測(cè)量測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，放到測(cè)量裝置上再次進(jìn)行測(cè)量，從而求出被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即：

被測(cè)量＝標(biāo)準(zhǔn)差＋差值

①反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測(cè)量，再在

③抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測(cè)量，以便使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號(hào)相反，取兩次測(cè)得值的平均值，作為測(cè)量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補(bǔ)償法相似。

④交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。③抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測(cè)量，以便使兩次讀數(shù)2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對(duì)稱法對(duì)稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法，如圖所示。隨著時(shí)間的變化，被測(cè)量作線性增加，若選定某時(shí)刻為對(duì)稱中點(diǎn)，則此對(duì)稱點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即利用這一特點(diǎn)，可將測(cè)量對(duì)稱安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對(duì)稱法3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法對(duì)周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。如儀器度盤安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。

4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)，對(duì)復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法

在一系列重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則很可能含有粗大誤差（簡(jiǎn)稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)粗大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含粗大誤差的數(shù)據(jù)，會(huì)造成測(cè)量精密度偏高的假象。反之如果對(duì)混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會(huì)造成測(cè)量精密度偏低的后果。因此，對(duì)數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀測(cè)量結(jié)果的一個(gè)重要方法。第三節(jié)粗大誤差在一系列重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差

一、粗大誤差產(chǎn)生的原因①測(cè)量人員的主觀原因

②客觀外界條件的原因測(cè)量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)，或在測(cè)量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書或記錄。測(cè)量條件意外地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差一、粗大誤差產(chǎn)生的原因測(cè)量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則

在測(cè)量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測(cè)量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。

在判別某個(gè)測(cè)得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則常用的判別準(zhǔn)則有：（一）準(zhǔn)則準(zhǔn)則是最常用也是最簡(jiǎn)單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測(cè)量次數(shù)充分大為前提，但通常測(cè)量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際測(cè)量中，常以貝塞爾公式算得，以代替真值。對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：

，則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。常用的判別準(zhǔn)則有：（二）格拉布斯準(zhǔn)則

1950年格拉布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的準(zhǔn)則。1974年我國(guó)有人用電子計(jì)算機(jī)做過統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)與其它幾個(gè)準(zhǔn)則相比，對(duì)樣本中僅混入一個(gè)異常值的情況，用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)的功率最高。（三）狄克松準(zhǔn)則1950年狄克松（Dixon）提出另一種無需估算和的方法，它是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準(zhǔn)則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個(gè)以上異常值的情形效果較好。（二）格拉布斯準(zhǔn)則（三）狄克松準(zhǔn)則（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按t分布的實(shí)際誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合理。羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則又稱t檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其特點(diǎn)是首先剔除一個(gè)可疑的測(cè)得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的值是否是含有粗大誤差。（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則以上介紹了四種粗大誤差的判別準(zhǔn)則，根據(jù)前人的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，建議按如下幾點(diǎn)考慮去具體應(yīng)用：

①大樣本情況（n>50）用3σ準(zhǔn)則最簡(jiǎn)單方便，雖然這種判別準(zhǔn)則的可靠性不高，但它使用簡(jiǎn)便，不需要查表，故在要求不高時(shí)經(jīng)常使用；30<n≤50情形，用格拉布斯準(zhǔn)則效果較好；3≤n<30情形，用格拉布斯準(zhǔn)則適于剔除一個(gè)異常值，用狄克遜準(zhǔn)則適于剔除一個(gè)以上異常值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)比較小時(shí)，也可根據(jù)情況采用羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則。以上介紹了四種粗大誤差的判別準(zhǔn)則，根據(jù)前人的②在較為精密的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)合，可以選用二、三種準(zhǔn)則同時(shí)判斷，當(dāng)一致認(rèn)為某值應(yīng)剔除或保留時(shí)，則可以放心地加以剔除或保留。當(dāng)幾種方法的判斷結(jié)果有矛盾時(shí)，則應(yīng)慎重考慮，一般以不剔除為妥。因?yàn)榱粝履硞€(gè)懷疑的數(shù)據(jù)后算出的σ只是偏大一點(diǎn)，這樣較為安全。另外，可以再增添測(cè)量次數(shù)，以消除或減少它對(duì)平均值的影響。②在較為精密的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)合，可以選用二、三種準(zhǔn)則同時(shí)判斷，當(dāng)一三、防止與消除粗大誤差的方法對(duì)粗大誤差，除了設(shè)法從測(cè)量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以剔除外，更重要的是要加強(qiáng)測(cè)量結(jié)果者的工作責(zé)任心和以嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度對(duì)待測(cè)量工作；此外，還要保證測(cè)量條件穩(wěn)定，或者應(yīng)避免在外界條件發(fā)生激烈變化時(shí)進(jìn)行測(cè)量。如能達(dá)到以上要求，一般情況下是可以防止粗大誤差產(chǎn)生的。在某些情況下，為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)與防止測(cè)得值中含有粗大誤差，可采用不等精度測(cè)量和互相之間進(jìn)行校核的方法。例如對(duì)某一測(cè)量值，可由兩位測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量、讀數(shù)和記錄；或者用兩種不同儀器、或兩種不同測(cè)量方法進(jìn)行測(cè)量。三、防止與消除粗大誤差的方法三類測(cè)量誤差特點(diǎn)各異，因而處理方法也有較大差別。簡(jiǎn)單歸納如下：

①隨機(jī)誤差具有抵償性，這是它最本質(zhì)的特性，算術(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差是表示測(cè)量結(jié)果的兩個(gè)主要統(tǒng)計(jì)量；系統(tǒng)誤差則違背抵償性，因而會(huì)影響算術(shù)均值，變化的系統(tǒng)誤差還影響標(biāo)準(zhǔn)差；粗大誤差則存在于個(gè)別的可疑數(shù)據(jù)中，也會(huì)影響算術(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。三類測(cè)量誤差特點(diǎn)各異，因而處理方法也有較大差別。②隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是無法消除的，但通過適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)可提高測(cè)量精度；系統(tǒng)誤差則是有確定性規(guī)律，在掌握這個(gè)規(guī)律后，可以采取適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p小它；粗大誤差既違背統(tǒng)計(jì)規(guī)律，又違背確定性規(guī)律，可用物理或統(tǒng)計(jì)的方法判斷后剔除。②隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是無法消除的，但通過適當(dāng)增加測(cè)③為處理一組測(cè)量數(shù)據(jù)，往往先找出個(gè)別可疑數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)判斷確認(rèn)無粗大誤差后，再用適當(dāng)?shù)姆椒z驗(yàn)數(shù)據(jù)中是否含有明顯的系統(tǒng)誤差，如確認(rèn)已無系統(tǒng)誤差，最后處理隨機(jī)誤差，統(tǒng)計(jì)算術(shù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及極限誤差，以正確的表達(dá)方式給出測(cè)量結(jié)果。③為處理一組測(cè)量數(shù)據(jù)，往往先找出個(gè)別可疑數(shù)據(jù)，第四節(jié)測(cè)量結(jié)果的不確定度

由于測(cè)量誤差的存在，難以確定被測(cè)量的真值。目前使用不確定度理論對(duì)被測(cè)量進(jìn)行估計(jì)。在給出測(cè)量結(jié)果時(shí)，應(yīng)同時(shí)給出相應(yīng)的測(cè)量不確定度，以表明測(cè)量結(jié)果可信賴的程度。

測(cè)量不確定度就是對(duì)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的定量表征，測(cè)量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其不確定度的大小。所以測(cè)量結(jié)果必須附有不確定度說明才是完整并有意義。第四節(jié)測(cè)量結(jié)果的不確定度由于測(cè)量誤差的存在，難第四節(jié)測(cè)量結(jié)果的不確定度一、測(cè)量不確定度的定義及構(gòu)成由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度成為測(cè)量不確定度。

測(cè)量不確定度包括兩個(gè)部分，第一部分涉及隨機(jī)誤差，稱隨機(jī)分量或A類分量；另一部分涉及未掌握的系統(tǒng)誤差，稱系統(tǒng)分量或B類分量。第四節(jié)測(cè)量結(jié)果的不確定度一、測(cè)量不確定度的定義及構(gòu)成二、不確定度的估算

1、A類不確定度的估算

A類不確定度分量用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示。標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了測(cè)量結(jié)果可能取值的分散程度，是表征隨機(jī)誤差分布特征的參數(shù)，也是不確定度的基本表征參數(shù)。

測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：

當(dāng)測(cè)量次數(shù)n較少時(shí)，估算值會(huì)偏大，這時(shí)，從理論上可得A分量的估算值為：二、不確定度的估算2、B類不確定度的估算

B類不確定度分量估算分3步：（1）根據(jù)儀器、儀表說明書，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，材料特性確定測(cè)量誤差限；（2）確定測(cè)量誤差的分布，常見的有正態(tài)分布和均勻分布；（3）將測(cè)量誤差限換算成相似的標(biāo)準(zhǔn)誤差。2、B類不確定度的估算三、不確定度的合成

合成不確定度是受多個(gè)不確定度分量的影響的測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用表示。四、測(cè)量結(jié)果的表示

測(cè)量結(jié)果表示為三、不確定度的合成1、何謂系統(tǒng)誤差，其有何特點(diǎn)？

2、試舉例說明系統(tǒng)誤差可分幾類？在測(cè)量數(shù)據(jù)中是否所有的系統(tǒng)誤差均能通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)？有哪些檢驗(yàn)方法？

3、何謂隨機(jī)誤差，它具有哪些性質(zhì)？隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因是什么？4、請(qǐng)指出下列誤差屬于哪類誤差：

（1）用一塊普通萬(wàn)用表測(cè)量同一電壓，重復(fù)測(cè)量

20次后所得結(jié)果的誤差。（

2）觀測(cè)者抄寫記錄時(shí)錯(cuò)寫了數(shù)據(jù)造成的誤差。

（3）在流量測(cè)量中，流體溫度、壓力偏離設(shè)計(jì)值造成的流量誤差。習(xí)題1、何謂系統(tǒng)誤差，其有何特點(diǎn)？

習(xí)題熱工儀表及測(cè)量技術(shù)孟獻(xiàn)豐主講熱工儀表及測(cè)量技術(shù)孟獻(xiàn)豐主講

本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使大家能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施；掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法；掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法。測(cè)量結(jié)果不確定度的估算及合成重點(diǎn)與難點(diǎn)三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施；第一節(jié)隨機(jī)誤差當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)，得到一系列不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有：

零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素

①測(cè)量裝置方面的因素第一節(jié)隨機(jī)誤差當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)

隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)誤差可表示為：(2-1)

式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為 式中：σ——標(biāo)準(zhǔn)誤差（或均方根誤差）

e——自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182……。二、正態(tài)分布隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有非正態(tài)分布，而多圖2-1為正態(tài)分布曲線，絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；隨機(jī)誤差δ只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，稱為誤差的有界性；隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤差的補(bǔ)償性。

圖2-1為正態(tài)分布曲線，絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。

(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:下面來證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。三、算術(shù)平均值對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，測(cè)量即由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知，因此

由此：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測(cè)量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。即

一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差：(2-5)

此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值與的差值：(2-6)

式中的為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-6）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。

(二)算術(shù)平均值的兩個(gè)性質(zhì)一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式根據(jù)（2-5）可證明算術(shù)平均值有以下兩個(gè)性質(zhì)：（1）剩余誤差代數(shù)和為零，即這一性質(zhì)可以校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確。（2）剩余誤差的平方和為最小，即這一性質(zhì)建立了最小二乘法原理。

根據(jù)（2-5）可證明算術(shù)平均值有以下兩個(gè)性質(zhì)：例2-1

測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。

解：任選參考值=1879.65，計(jì)算差值和列于表很容易求得算術(shù)平均值＝1879.64。

序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

例2-1測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平1.測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差σ

四、測(cè)量值誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)為了評(píng)定測(cè)量列和其最優(yōu)概值的優(yōu)劣，需引入一些評(píng)價(jià)指標(biāo)，常用的有標(biāo)準(zhǔn)誤差和極限誤差。因被測(cè)量的真值X0為未知，上式中不能計(jì)算，因此需用剩余誤差來表示標(biāo)準(zhǔn)誤差，可以證明貝塞爾(Bessel)公式1.測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差σ四、測(cè)量值誤差的評(píng)剩余誤差分布密度為：由于σ值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。σ值愈大，函數(shù)減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。剩余誤差分布密度為：由于σ值反映了測(cè)2.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差服從正態(tài)分布的直接測(cè)量值的最優(yōu)概值就是這組測(cè)量列的算術(shù)平均值，以此作為測(cè)量結(jié)果。最優(yōu)概值的標(biāo)準(zhǔn)誤差應(yīng)和測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差有關(guān)，可以推得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：用剩余誤差表示為：2.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差服從正態(tài)分布的直接測(cè)3.測(cè)量值的極限誤差從概率論，隨機(jī)誤差落在[-3,3]的概率為99.7%，落在外面只有0.3%，即每測(cè)得1000次其誤差絕對(duì)值大于3σ的次數(shù)僅有3次，因此在有限次的測(cè)量中，就認(rèn)為不出現(xiàn)大于3σ的誤差，故把3σ定位極限誤差。4.最優(yōu)概值的極限誤差3.測(cè)量值的極限誤差從概率論，隨機(jī)誤差落在[第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義

系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置在測(cè)量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件

實(shí)際上測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。

由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。實(shí)際上測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：

①測(cè)量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測(cè)量方法的因素

④

測(cè)量人員的因素計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測(cè)量同一測(cè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測(cè)量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。

圖2-11為各種系統(tǒng)誤差⊿隨測(cè)量過程t變化而表現(xiàn)出不同特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下（一）不變系統(tǒng)誤差

固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測(cè)量過程中，誤差的大小和符號(hào)始終是不變的。如千分尺或測(cè)長(zhǎng)儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對(duì)每一測(cè)量值的影響均為一個(gè)常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測(cè)量過程中，誤差的大小和方向隨測(cè)試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：

①線性變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。例如，量塊中心長(zhǎng)度隨溫度的變化：（一）不變系統(tǒng)誤差（二）變化系統(tǒng)誤差①線性變化的系統(tǒng)誤差

②周期變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個(gè)偏心量e

，則指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差為。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當(dāng)指針在0

和180時(shí)誤差為零，而在90和270

時(shí)誤差絕對(duì)值達(dá)最大。

③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些復(fù)雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式或其它正交函數(shù)多項(xiàng)式來描述。②周期變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過程中，隨某因由于形成系統(tǒng)誤差原因復(fù)雜，目前尚沒有適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是可針對(duì)不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，按照下述兩類方法加以識(shí)別：

1、用于發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對(duì)比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；

2、用于發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量組間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t

檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法由于形成系統(tǒng)誤差原因復(fù)雜，目前尚沒有適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法2、殘余誤差觀察法（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)

①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差顯著含有系統(tǒng)誤差的測(cè)量列，其任一測(cè)量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測(cè)量列系統(tǒng)誤差平均值之差。

②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測(cè)量列，存在著按順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值符號(hào)也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號(hào)變化，因此由差值可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測(cè)量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。3、殘余誤差校核法(有兩種方法)①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)等精度測(cè)量，可用不同分式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。如貝塞爾公式。在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計(jì)算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。3、t檢驗(yàn)法

當(dāng)兩組測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測(cè)量人員，對(duì)測(cè)量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測(cè)試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：四、系統(tǒng)誤差的減小和消除①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；

②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；

③儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；

④所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差；

⑤測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；

⑥注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、注意力不集中等。①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是（二）加修正值法這種方法是預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。

由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對(duì)隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。（二）加修正值法（三）改進(jìn)測(cè)量方法在測(cè)量過程中，根據(jù)具體的測(cè)量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使測(cè)得值中的系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中相互抵消而不帶入測(cè)量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測(cè)量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中予以消除，常用的方法有：

（三）改進(jìn)測(cè)量方法①反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測(cè)量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測(cè)一次，取兩次測(cè)量的平均值作為測(cè)量結(jié)果，這樣，大小相同但符號(hào)相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。

②代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測(cè)量裝置上對(duì)被測(cè)量測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，放到測(cè)量裝置上再次進(jìn)行測(cè)量，從而求出被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即：

被測(cè)量＝標(biāo)準(zhǔn)差＋差值

①反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測(cè)量，再在

③抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測(cè)量，以便使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號(hào)相反，取兩次測(cè)得值的平均值，作為測(cè)量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補(bǔ)償法相似。

④交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。③抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測(cè)量，以便使兩次讀數(shù)2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對(duì)稱法對(duì)稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法，如圖所示。隨著時(shí)間的變化，被測(cè)量作線性增加，若選定某時(shí)刻為對(duì)稱中點(diǎn)，則此對(duì)稱點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即利用這一特點(diǎn)，可將測(cè)量對(duì)稱安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對(duì)稱法3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法對(duì)周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。如儀器度盤安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。

4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)，對(duì)復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法

在一系列重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則很可能含有粗大誤差（簡(jiǎn)稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)粗大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含粗大誤差的數(shù)據(jù)，會(huì)造成測(cè)量精密度偏高的假象。反之如果對(duì)混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會(huì)造成測(cè)量精密度偏低的后果。因此，對(duì)數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀測(cè)量結(jié)果的一個(gè)重要方法。第三節(jié)粗大誤差在一系列重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差

一、粗大誤差產(chǎn)生的原因①測(cè)量人員的主觀原因

②客觀外界條件的原因測(cè)量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)，或在測(cè)量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書或記錄。測(cè)量條件意外地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差一、粗大誤差產(chǎn)生的原因測(cè)量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則

在測(cè)量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測(cè)量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。

在判別某個(gè)測(cè)得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則常用的判別準(zhǔn)則有：（一）準(zhǔn)則準(zhǔn)則是最常用也是最簡(jiǎn)單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測(cè)量次數(shù)充分大為前提，但通常測(cè)量次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際測(cè)量中，常以貝塞爾公式算得，以代替真值。對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：

，則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。常用的判別準(zhǔn)則有：（二）格拉布斯準(zhǔn)則

1950年格拉布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的準(zhǔn)則。1974年我國(guó)有人用電子計(jì)算機(jī)做過統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)與其它幾個(gè)準(zhǔn)則相比，對(duì)樣本中僅混入一個(gè)異常值的情況，用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)的功率最高。（三）狄克松準(zhǔn)則1950年狄克松（Dixon）提出另一種無需估算和的方法，它是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準(zhǔn)則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個(gè)以上異常值的情形效果較好。（二）格拉布斯準(zhǔn)則（三）狄克松準(zhǔn)則（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按t分布的實(shí)際誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合理。羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則又稱t檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其特點(diǎn)是首先剔除一個(gè)可疑的測(cè)得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的值是否是含有粗大誤差。（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則以上介紹了四種粗大誤差的判