人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第三章第2節(jié)第二課時　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

第二課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值關(guān)鍵能力?課堂突破■考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題口角度一根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值畫m設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是()八一2?解析:因為函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在X=-2處取得極小值，所以當(dāng)x>-2時，f'(x)>0;當(dāng)x=-2時，f'(x)=0;當(dāng)x<-2時,f'(x)<0.所以當(dāng)-2<x<0時,xf'(x)<0;當(dāng)x=-2時，xf'(x)=0;當(dāng)x<-2時,xf'(x)>0.故選C.解題策略L涉及與極值有關(guān)的函數(shù)圖象問題,首先要分清給的是f(x)的圖象還是f'(x)的圖象若給的是f(x)的圖象，應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點，如果給的是f'(x)的圖象應(yīng)先找出f'(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正，然后結(jié)合題目特點分析求解.2.f(x)在x=x。處有極值時,一定有f'(x°)=0,f(x。)可能為極大值，也可能為極小值,應(yīng)檢驗f(x)在x=x。兩側(cè)的符號后才可下結(jié)論;若f'(Xo)=0,則f(X)不一定在X=Xo處取得極值，只有確認(rèn)Xi<Xo<X2時,f(X1),f(x2)<0,才可確定f(x)在X=Xo處取得極值.口角度二求函數(shù)的極值 丫2(例1-3函數(shù)f(x)=5-kinx,k>0.求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：由f(x)=土-kinx(k>0,x>0),得f'(x)=x-空上~^.由f'(x)=0,2 xx解得x-y/k(負(fù)值舍去).當(dāng)x變化時，f(x)與f'(x)在區(qū)間(0,+8)上的變化情況如表，X(O.Vfc)(Vfc,+°°)f'(X)—0+f(X)單調(diào)遞減k(l-lnk)2單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,迎)，單調(diào)遞增區(qū)間是(板,+8),所以f(x)在x=迎處取得極小值為f(Vfc)=也詈,f(x)沒有極大值.解題策略利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,首先是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值,也就是f'(X)的值的符號,如果左正右負(fù)，那么y=f(x)在這個點處取極大值,如果左負(fù)右正，那么y=f(x)在這個點處取極小值.如果左右不改變符號,那么f(x)在這個點處無極值.幅度三已知極值點求參數(shù)(范圍)(例1-3已知函數(shù)f(x)=[ax?-(3a+l)x+3a+2]e*在x=l處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍.解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為fz(x)=[ax2-(a+l)x+l]ex=(x-l)(ax-l)e31.法一若a>l,則當(dāng)x￡(二1)時,f'(x)<0;當(dāng)x￡(1,+8)時,f，a(x)>0.所以f(x)在x=l處取得極小值.若aWl,則當(dāng)x￡(0,1)時,axT〈xT〈0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點.綜上可知,a的取值范圍是(1,+8).法二若a=0,當(dāng)x<l時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>l時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值,不符合題意；若a=l,由f'(x)=(x-l)2ex^0知f(x)單調(diào)遞增,無極值,不符合題意;TOC\o"1-5"\h\z若a>l,則乂1,f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，CL CL可得函數(shù)f(X)在x=l處取得極小值,符合題意；若0<a<l,則工>1,f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增,在(1,與上單調(diào)遞減，a a可得函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值,不符合題意；若a<0,則乂1,f(x)在(2,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，Cl CL可得函數(shù)f(X)在X=1處取得極大值,不符合題意.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(1,+8).解題策略已知函數(shù)的極值點X=x。求參數(shù)的值時,首先明確f'(x°)=0,然后判斷函數(shù)在x=x。左右的函數(shù)值的符號是否滿足函數(shù)極值點的性質(zhì)，若是涉及參數(shù)的討論,則還要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點分類討論,一般是將導(dǎo)函數(shù)的零點用參數(shù)表示出來，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點與極值點的關(guān)系分類討論后求解.口角度四已知極值點的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍t^X-1 7(例1-4)已知函數(shù)f(x)=—7-a(lnx+-)(aER).若f(x)在(0,2)上有兩X個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.要使得f(x)在(0,2)上有兩個極值點，則g(x)=exl-ax在(0,2)上有兩個變號零點.①當(dāng)aWl時，g(x)=e*'-ax2e"'-x,令S(x)=ex'-x,S'(x)=ex-1,所以當(dāng)x￡(0,1)時,S'(x)<0,S(x)為減函數(shù),當(dāng)x￡(l,2)時,S'(x)>0,S(x)為增函數(shù)，所以S(x)2S⑴=0,故g(x)20,所以g(x)在(0,2)上沒有兩個零點,不符合題意.②當(dāng)a2e時，因為x￡(0,2),ex-,Ee),eg'(x)=exl-a<0,則g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以g(x)最多只有一個零點，不符合題意.③當(dāng)Ka<e時,g'(x)=ex-a,當(dāng)x￡(0,lna+l)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x￡(Ina+1,2)時,g'(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(lna+l)=-alna,要使g(x)=e*「ax在(0,2)上有兩個(g(0)=；>。，不同的零點，只要JgQna+1)=-a\na<0,解得(g(2)=e-2a>0,綜上所述,a的取值范圍為(1,|).解題策略已知函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.解決此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f'(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)變號零點的個數(shù)問題求解.口角度五討論函數(shù)極值點的個數(shù)I例1-5)已知函數(shù)f(x)=(x-l)ex-ax2(e是自然對數(shù)的底數(shù),a￡R).討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由.解:f(x)的定義域為R,f'(x)=xex-2ax=x(ex-2a),(1)當(dāng)a《0時,ex-2a>0,令f'(x)=0,得x=0,若x<0,則fz(x)<0,f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,若x>0,則f'(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)有1個極值點.(2)當(dāng)a>0時，令f'(x)=0,得x=0或x=ln(2a),①當(dāng)時，In(2a)=0,f'(x)20,f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)沒有極值點.②當(dāng)O〈aq時，ln(2a)<0,由f'(x)>0,得x〈ln(2a)或x〉0,由f'(x)<0,得ln(2a)<x<0,所以f(x)在(-8Jn(2a))上單調(diào)遞增,在(In(2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)有2個極值點.③同②可得，當(dāng)a*時,f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,在(0,In(2a))上單調(diào)遞減，在Un(2a),+8)上單調(diào)遞增,所以f(x)有2個極值點.綜上所述，當(dāng)a三時,f(x)沒有極值點，當(dāng)a<0時,f(x)有1個極值點，當(dāng)a>0,且時,f(x)有2個極值點.解題策略討論函數(shù)極值點的個數(shù)，就是轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的變號零點的個數(shù),而討論變號零點的個數(shù),常常利用數(shù)形結(jié)合法,將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題,需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象,利用圖象討論滿足條件的參數(shù)范圍.［針對訓(xùn)練］1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，那么( )-1是函數(shù)f(x)的極小值點1是函數(shù)f(x)的極大值點2是函數(shù)f(x)的極大值點D.函數(shù)f(x)有兩個極值點解析:根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象可知f'(T)=o,f'(2)=0,當(dāng)x<T時,伊(x)>0,當(dāng)-l〈x<2時，f'(x)>0,當(dāng)x>2時,f'(x)<0,所以-1不是極值點,2是函數(shù)f(x)的極大值點.故選C.(2021?河北邯鄲月考)若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則a的值為()A.-1B.0C.1D.e解析：f'(x)=ae*-cosx,若函數(shù)f(x)=ae*-sinx在x=0處有極值，則f'(0)=aT=0,解得a=l,經(jīng)檢驗a=l符合題意.故選C.(2021?貴州遵義高三期中)若函數(shù)f(x)與匚ax?+x-5無極值點,則實數(shù)a的取值范圍是()(-1,1)[-1,1](-°°,-1)U(1,+8)(-°°,-1]U[1,+oo)解析：因為f(x)=1x3-ax2+x-5,所以f'(x)=x2-2ax+l.由函數(shù)f(x)=|x3-axL，+x-5無極值點知f'(x)=0至多有1個實數(shù)根.所以△=(-2a)2-4W0,解得TWaWl,實數(shù)a的取值范圍是[T,故選B..函數(shù)f&)=&+1)6"-92-6*+2的極大值為 .解析：因為f'(x)=(x+2)(e*-3),令f'(x)=0,解得x=-2或x=ln3.故當(dāng)x￡(-8,-2)時,f'(x)>0,當(dāng)(-2,In3)時，f'(x)<0,當(dāng)x￡(ln3,+8)時,f'(x)>0,故當(dāng)x=-2時，函數(shù)f(x)有極大值，極大值是6.答案：6.已知函數(shù)f(x)=xln(2x)-ax2-x(aGR),討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù).解:f(x)的定義域為(0,+8),f，(x)=ln(2x)+2x,—-2ax-l=ln(2x)-2ax,下面討論f'(x)=ln(2x)-2ax的變號零點：由f'(x)=ln(2x)-2ax=0得a=ln(2x).；記t=2x>0,g(t)=—,2x t因為g'(t)」等，令g'(t)=0,可得t=e,所以當(dāng)t￡(0,e)時,g'(t)>0,當(dāng)t￡(e,+8)時,g'(t)<0,故8代)=則在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,且g(e)At e畫出函數(shù)的簡圖：所以當(dāng)a2二時,f'(x)沒有變號零點,當(dāng)aWO時,f'(x)有1個變號零點,當(dāng)(Kad時,f'(x)有2個變號零點.e綜上，當(dāng)a2二時,f(x)無極值點，當(dāng)a<0時,f(x)有1個極值點,當(dāng)O〈ad時,f(x)有2個極值點.戚考點;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值C0?)已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(mGR),求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值.解：因為伊(x)』-m二』.XX①若mWO,『(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上為增函數(shù).所以在xe［1,e］上，f(x)皿=、(e)=1-me.②若三WmW1,即1WMe,當(dāng)x￡(0」)時,f'(x)〉0,f(x)為增函數(shù)，e m m當(dāng)x￡(3+8)時,f'(x)<O,f(x)為減函數(shù)，771所以在x￡11,e］上,f(x),?ax=f(—)=-lnm-1.mTOC\o"1-5"\h\z③若m>l,即0<-<l,f(x)在(工,+8)上為減函數(shù)，m m所以在xe［1,e］上，f(x)*=f(1)=-m.④若0<m4,BP->e,f(x)在(0,與上為增函數(shù),所以當(dāng)x￡［1,e］em m時，f(x)mx=f(e)=l-me.綜上所述，當(dāng) f(x)M=f(e)=l-me;e當(dāng)工WmWl時,f(x)111ax=f(L)=Tnm-1;e m當(dāng)m>l時,f(x)max=f［典例遷移］(變結(jié)論)已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m￡R).若m>0,且f(x)在倬，2］上的最大值為-1,求m的值.解：因為f(x)=lnx-mx(mWR),則伊(x)』-m上空其中x￡R,2：①當(dāng)(KmW涉,對任意的2］,『(x)20,此時，函數(shù)f(x)在1,2］上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(2)=ln2-2m=-l,解得m=帶唱,舍去；②若則當(dāng)xeRJ)時，伊(x)>0,當(dāng)x￡(Z,2］時，尹(x)<0,2 2m m所以函數(shù)f(X)在L》上單調(diào)遞增,在《，2］上單調(diào)遞減，所以f(x)111ax=f(3=-lnmT=T,解得m=l;m③當(dāng)m22時,對任意的x￡g,2］f(x)WO,此時，函數(shù)f(x)在巳2］上單調(diào)遞減，則f(x)a=f(?=Tn2-，=T,解得m=2-21n2<2(舍去).綜上所述,m=l.解題策略L求解函數(shù)y=f(x)在給定閉區(qū)間［a,b］上的最值問題，應(yīng)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及函數(shù)的極值點的函數(shù)值與區(qū)間端點的函數(shù)值的大小確定函數(shù)的最值(若函數(shù)值的大小不能確定，則需要利用作差比較法比較其大小)；若所給的閉區(qū)間［a,b］含有參數(shù)或函數(shù)解析式含有參數(shù),則需通過對參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.2.已知函數(shù)的最值求參數(shù),通法是直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),這種方法一般需要較為復(fù)雜的討論;巧法是利用最值的定義通過分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題.［針對訓(xùn)練］已知f(x)=ax-lnx,aWR,是否存在實數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.解:假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x)=axTnx在x￡(0,e］上的最小值為3,則f(x)23在x￡(0,e］上恒成立,且存在xG(0,e］使等號成立.f(x)23即a^3+lnx,x￡(0,e].X令g(x)-3+lnx,xe(0,e],X則g，⑺二二^^二邛，X￡ X令g'(x)=0得x=e2.當(dāng)x￡(o,e")時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡(e；e］時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)m=g(e2)=|r|=e2.綜上,存在a=e)使f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值為3.原考點三導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用CW南半球某地區(qū)冰川的體積每年隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間,以月為單位,年初為起點，根據(jù)歷年的數(shù)據(jù)，冰川的體積(單位:億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)的關(guān)系為V/xf-t3+llt2-24t+100,0<t<10,；(4(t-10)(3t-41)+100,10<t<12.(1)該冰川的體積小于100億立方米的時期稱為衰退期.以表示第i月份(i=l,2,…，12),問：一年內(nèi)哪幾個月是衰退期？(2)求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積.解：(1)由題意可得V(t)<100.①當(dāng)(KtWIO時，由V(t)=-t3+llt2-24t+100G00,可得t(t-3)(t_8)>0,解得0<僅3或8<tW10.②當(dāng)10<t^l2時,由V(t)=4(t-10)(3t-41)+100<100,可得10<t<p則綜上所述,衰退期為1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月.(2)①當(dāng)(KtWIOBt,V(t)=-t3+llt2-24t+100,Vz(t)=-3t2+22t-24=-(3t-4)(t-6).當(dāng)t變化時,V(t)與L(t)在區(qū)間(0,10］上的變化情況如表.t(0.|)43(p6)6(6,10]w(t)—0+0—V(t)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)在(0,3,(6,10］上單調(diào)遞減,在專6)上單調(diào)遞增，所以V(t)極大值=V(6)=136,因為V(0)=100,此時V(t)*V(6)=136.②當(dāng)10<t^l2時，V(t)=4(t-10)(3t-41)+100,W(t)=24t-284,故函數(shù)V(t)在(10,2)上單調(diào)遞減,在(三,12］上單調(diào)遞增,且V(12)<100.6 6綜上所述,一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積為136億立方米.解題策略利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本方法(1)將實際問題利用函數(shù)進行抽象表達,并注意函數(shù)定義域.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題.(3)根據(jù)函數(shù)的最值得到優(yōu)化問題的答案.提醒:用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時,如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么依據(jù)實際意義,該極值點也就是最值點.［針對訓(xùn)練］已知某服裝廠每天的固定成本是30000元,每生產(chǎn)一件服裝,成本增加100元,每天最多可以生產(chǎn)m件.生產(chǎn)x件服裝的收入函數(shù)是R(x)="|xM00x(x>0),記L(x),P(x)分別為每天生產(chǎn)x件服裝的利潤和平均利潤(平均利潤=黑絲).總產(chǎn)量(1)當(dāng)m=600時,每天生產(chǎn)量x為多少時,利潤L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值；(2)每天生產(chǎn)量x為多少時,平均利潤P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.解：(1)根據(jù)題意,可得利潤L(x)=R(x)-100x-30000--x2+400x-100x-30000=--x2+300x-30000,x￡(0,600],整理得L(x)=」(x-450)2+37500,xG(0,600]，因為x￡(0,600],所以當(dāng)x=450時,L(x)有最大值37500元.17/、q1 +300x-30000 1/on000\ ,(2)依題思得P(x)=- =—(x+ )+300,x￡(0,m],x 3x貝IJP'(x)"2；oooo”(0,m].3xz令P'(x)=0,即產(chǎn)：?！?。。=0,解得x=300或x=-300(舍去)，當(dāng)x￡(0,300)時,P'(x)>0,P(x)在(0,300)上單調(diào)遞增，當(dāng)x￡(300,+8)時,p'(x)<0,P(x)在(300,+8)上單調(diào)遞減,所以若0<m<300,當(dāng)x初時,P(x)取得最大值為(300-亞鯉)元；若m2300,當(dāng)x=300時,P(x)取得最大值為100元.息備選例題C?0(2021,黑龍江大慶高三模擬)已知函數(shù)f(x^x,+ax'+bx+a，在x=l處有極小值10,則a+b等于( )A.-7B.0C.-7或0D.-15或6解析：由函數(shù)f(x)nx'+ax^+bx+a?有f'(x)=3x?+2ax+b.函數(shù)f(x)在x=l處有極小值10.所以V：二°'即1/(1)=10,［尸(1)=3+2a+b=0,t/(l)=l+a+b+a2=10,解得｛-九或當(dāng)［時，f'(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11).令伊(x)>0得x>l或x<*，令*(x)<0得號<xG,所以函數(shù)f(x)在(-8,*)上單調(diào)遞增，在(號J)上單調(diào)遞減在(1,+8)上單調(diào)遞增.顯然滿足函數(shù)f(x)在x=l處有極小值10.當(dāng)｛；［3'時，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1/20,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，不滿足函數(shù)f(X)在x=l處有極小值10.所以a+b=4-11=-7.故選A.CW(2021?新高考I卷)函數(shù)f(x)=|2%-止21nx的最小值為.解析:由題設(shè)知f(x)=|2x-l|-21nx的定義域為(0,+8),所以當(dāng)0<x嚀時,f(x)=l-2x-21nx,此時f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)"xWl時,f(x)=2xT-21nx,有f'(x)=2二■<(),此時f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時，f(x)=2x-『21nx,有f'(x)=2=>0,此時f(x)單調(diào)遞增，X又f(x)在各分段的界點處連續(xù),所以當(dāng)0<xWl時,f(X)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)2f⑴=1.答案:1(例3)已知函數(shù)f(x)=alnx,a￡R.設(shè)F(x)=xf(x),求F(x)在[a,2a]上的最大值.解：由已知a>O,F'(x)=a(l+lnx),當(dāng)O〈xd時,F'(x)<0,當(dāng)x升時(x)>0,e e從而F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,-),e e從而,F(x)max=max{F(2a),F(a)},于是F(2a)-F(a)=a2[In(4a2)-Ina]=a21n(4a).當(dāng)a>；時,F(2a)>F(a),所以F(x) (2a)=2a2ln(2a);當(dāng)(KaW工時,F(2a)WF(a),4所以F(x)*F(a)=a2lna.{a2\na,0<a<-,° 4i2a21n(2a),a>-.CK)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+l)+a(x'x),其中a￡R,試討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由.解：函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a￡R,x￡(-1,+<?).導(dǎo)數(shù)為伊(x)」+2ax-a=?立上山.x+1 x+1令g(x)=2ax2+ax-a+l.(1)當(dāng)a=0時,g(x)=l,此時f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(T,+8)上單調(diào)遞增，無極值點；(2)當(dāng)a〉0時,△=a2-8a(l-a)=a(9a-8).①當(dāng)(Kaq時，△<0,g(x)20,f'(x)20,函數(shù)f(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，無極值點；②當(dāng)a3時，A>0,設(shè)方程2ax2+ax-a+l=0的兩個實數(shù)根分別為X1,X2,X1<X2.因為xi+x2=-=,所以xK-;,X2>-；.2 4 4由g(-l)>0,可得-4所以當(dāng)x￡(-1,Xi)時,g(x)>0,fz(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x￡(xbX2)時,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(x2,+8)時,g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個極值點.⑶當(dāng)a<0時,△>0,由g(-l)=l>0,可得Xi<-l<x2.所以當(dāng)x￡(-1,X2)時,g(x)>0,fz(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x6(x2,+8)時,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.因此函數(shù)f(x)有一個極值點.綜上所述，當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)有一個極值點；當(dāng)時，函數(shù)f(x)無極值點；當(dāng)a*時，函數(shù)f(x)有兩個極值點.知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1,2,3,7,8,912,13,16,1718導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值4,514,15課時作業(yè)靈活鄉(xiāng)點合數(shù)提彩闞選題明細表函數(shù)的極值與最值綜合問題6,1011A級基礎(chǔ)鞏固練(2021?安徽阜陽高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x3-ax2(a>0)的極大值點為a-2,則a等于(B)A.1B.2C.4D.6解析:函數(shù)f(x)=x'-ax'(a>0)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-2ax.當(dāng)x<0或x>年時,f'(x)>0,當(dāng)0<x號時,f'(x)<0.所以f(x)的極大值點為0,則a-2=0,解得a=2.故選B.(2021?河南南陽高三期末)已知函數(shù)f(x)=ax+e、沒有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A.a<0B.a>0C.a<0D.a20解析：函數(shù)f(x)=ax+ex在R上沒有極值點，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0無解或有唯一解(但導(dǎo)數(shù)在點的兩側(cè)符號相同).函數(shù)f(x)=ax+e，的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=a+ex,所以a+ex=O無解，所以a=-e*無解,所以a20.故選D.3.一個矩形鐵皮的長為16cm,寬為10cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,若記小正方形的邊長為x(cm),小盒子的容積為V(cm)則(B)A.當(dāng)x=2時,V有極小值B.當(dāng)x=2時,V有極大值C.當(dāng)x號時,V有極小值D.當(dāng)x號時,V有極大值

解析：小盒子的容積為v(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),所以Vz(x)=12x2-104x+160,令V'(x)=0,得x=2或x號(舍去).當(dāng)0<x<2時,W(x)>O,V(x)單調(diào)遞增,當(dāng)2<x<5時，V'(x)〈O,V(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時,V(x)有極大值為144.故選B..已知函數(shù)f(x)=31nx-x?+(a-?x在區(qū)間(1,3)上有最大值,則實數(shù)a的取值范圍是(B)A.(苫,5)B.(-|,y)。,專段*65)解析：因為f,(x)=>x+a《,所以由題設(shè)f'(x)q-2x+a-拉(1,3)上(f,(1)>0TOC\o"1-5"\h\z只有一個零點，且單調(diào)遞減，則問題轉(zhuǎn)化為' 'I1⑶<0,{clH—>0, 11I「 解得-故選B.仁〈。，2 2.設(shè)圓柱的體積為V,那么其表面積最小時，底面半徑為(D)A.WC.V4VA.WC.V4V解析:設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為h,則V=Jir2h,即h=三,所以S=ci,n2c V.o22Vs2oIa2V4nr3-2V占2Jirh+2Jir=2冗r?--+2nr=—+2nr,S=4nr--=——--,由nr2 r rzr2S'>0得，叫'由S'>0得，叫'由S'<。得,0<r〈聯(lián),所以當(dāng)2ITr=3三時,圓柱的表面27r積最小.故選D..(2021?河南鄭州高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x-3a+|)x2+6ax^f(x)在(T,+8)上既有極大值,又有最小值,且最小值為3a-1,則a的取值范圍為(C)A-6，b.C.(W，qD.(W，|)解析：由于函數(shù)f(x)=x'-(3a+|)x，6ax的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x~6a+3)x+6a=(3x-6a),(x-1)的零點為2a和］，且f⑴=3a」，所以1是函數(shù)的極小值點即最小值點，則2a是函數(shù)的極大值點，所以-1<2a<1,且f(-1)23a」,解得-乂aW」.故選C.2 2 6.已知a,beR,若x=a不是函數(shù)f(x)=(x-a)“x-b)?,-1)的極小值點,則下列選項符合的是(B)A.l^b<a B.bVaWlC.a<lWb D.a<bWl解析:令f(x)=(x-a)2(x-b)(exl-l)=0,得Xi=a,X2=b,X3—1.下面利用數(shù)軸標(biāo)根法畫出f(x)的草圖，借助圖象對選項A,B,C,D逐一分析.對選項A,若l〈b〈a,由圖$匕可知x=a是f(x)的極小值點,不符合題意；對選項B,若b〈aWl,由圖右/、，：可知x=a不是f(x)的極小值點，符合題意；對選項C,若a〈l〈b,由圖J、可知x=a是f(x)的極小值點,不符合題意；對選項D,若a〈b〈l,由圖 ；可知x=a是f(x)的極小值點,不符合題意.故選B.

(2021?河南鄭州一模)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在極小值,則a的取值范圍是.解析：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2).因為函數(shù)f(x)的定義域為R,所以若f(x)存在極小值，即函數(shù)f(x)有最小值點，所以x?+4x+a+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，△=16-4(a+2)>0,解得a<2.答案：(-8,2)(2021?湖北武漢高三模擬)寫出一個定義在R上且使得命題“若f'(1)=0,則1為函數(shù)f(x)的極值點”為假命題的函數(shù)f(x)=.解析：由題意,f'(1)=0,且f'(x)在x=l處不存在變號零點，例如f(x)=(x-D\則f'(x)=3(x—1)；所以伊(1)=0,且/(x)=3(xT)2?0,符合題意.答案：6-1尸(答案不唯一)已知函數(shù)f(x)=F.若函數(shù)f(x)在X=-1處取得極值,則函數(shù)的X+Qf(x)的最大值是,最小值是.解析：因為f(X)解析：因為f(X)竿，貝Ijf'(X)-2(x2+a)-2x(3-2%)2(x2-3x-a)(x2+a)2 (x2+a)2由題意可得f'(-1)鏟名0,解得a=4.

(a+1)故f(x)=故f(x)=3-2%X2+4，求導(dǎo)得f'(x)=2(x+l)(x-4)

(x2+4)2由f'(x)=0得x=T或x=4.當(dāng)x變化時，函數(shù)f(x),f，(x)的變化情況如表,X(-8,-1)-1(T,4)4(4,+8)*(X)+0—0+r(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,一1),(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).當(dāng)xT時,f(x)>0;當(dāng)X>。時,f(x)<0.所以f(x)g=f(-1)=1,f(X)1nin=f(4)=-；.4答案：i4B級綜合運用練11.(多選題)(2021?廣東湛江高三一模)已知函數(shù)f(x)=x-31nx-1,則(BC)A.f(x)的極大值為0B.曲線y=f(x)在(1,f(D)處的切線為x軸C.f(x)的最小值為0D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)解析:函數(shù)f(x)=x3-31nxT的定義域為(0,+8),導(dǎo)數(shù)f，(x)=3x"三XX令f'(x)=2(x：'T)=0,得x=l.X當(dāng)X變化時,f(X),f，(X)的變化情況如表：X(0,1)1(1,+°°)「(X)—0+f(X)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增所以f(x)的極小值,也是最小值為f(1)=0,無極大值,在定義域內(nèi)不單調(diào)，故C正確,A,D錯誤;對于B,由f(1)=0及f'⑴=0,所以y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=0,即x軸，故B正確.故選BC.(2021?全國乙卷)設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)"x-b)的極大值點，則(D)A.a<b B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2解析：因為函數(shù)f(x)=a(x-a)3(x-b),所以f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a),(3x-a-2b).令(x)=0,結(jié)合ar0可得x=a或x=^^.⑴當(dāng)a>0時,①若E等>a,即b>a,此時易知函數(shù)f(x)在(-8,a)上單調(diào)遞增,在(a,等)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點,滿足題意；②若啜a,即b=a,此時函數(shù)￡(外=2儀-23在R上單調(diào)遞增，無極值點,不滿足題意；③若等<a,即b<a,此時易知函數(shù)f(x)在(等,a)上單調(diào)遞減,在(a,+8)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點，不滿足題意.⑵當(dāng)a<0時，①若^^>a,即b>a,此時易知函數(shù)f(x)在(-8,a)上單調(diào)遞減，在(a,券)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點,不滿足題意；②若。丁-a,即b=a,此時函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞減,無極值點，不滿足題意；③若等(a,即b<a,此時易知函數(shù)f(x)在(等,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點,滿足題意.綜上，當(dāng)a>0,且b>a時,滿足題意，當(dāng)a<0,且b〈a時，也滿足題意.據(jù)此,可知必有ab>a?成立.故選D.13.若x。是函數(shù)f(x)=e=史」的極值點，則(C)XXA.—+lnxo=OB.XoTnxo=O%。C.Xo+lnxo=OD.--Inxo=O%0解析：因為函數(shù)f(x)=e=隹」，XX所以『(x)=e，+粵，X乙因為X。是函數(shù)f(X)=e'-也」的極值點，XX所以f'(x0)=ex°+ln^--0,即就e*o=-lnx0.xo兩邊取以e為底的對數(shù)，得x()+21nx0=ln(-Inx0),即xo+lnx()=Tnx0+ln(-Inx0).令g(x)=x+lnx(x>0),即g(x0)=g(-lnXq),因為g'(x)=l+工>0,X所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以x0=-lnXo,即Xo+lnxo=O.故選C..已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))，在［-2,2］上有最大值3,那么此函數(shù)在12,2］上的最小值為.

解析：由已知可得,f'(x)=6x2-12x,由6x」T2x=0得x=2或x=0,因此當(dāng)x￡[2,+8)u(-8,0]時,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡[0,2]時,f(x)單調(diào)遞減,又因為x￡[-2,2],所以當(dāng)x￡[-2,0]時,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡[0,2]時,f(x)單調(diào)遞減,f(x)(0)=m=3,故有f(x)=2xL6x?+3,所以f(-2)—37,f(2)=-5.因為f(-2)=-37<f(2)=-5,所以函數(shù)f(x)的最小值為f(-2)=-37.答案：-37.已知函數(shù)f(x)=ex+lnx,g(x)=4x+：,且x滿足l〈x<2,則g(x)-f(x)的最大值為解析:令h(x)=g(x)-f(x)=4x+--ex-lnx,1WxW2,X則h'(x)=4-^-ex--,X令m(x)=4--7；-ex上 X則m'(x)=W-e"+W1WxW2,易知m,(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則m'⑴=3-e>0,m，1.12則必存在一點xoe(1,1.1),使m,(x0)=4-eX°XO即m(x)在(1,xo)上單調(diào)遞增,在(xo,2)上單調(diào)遞減,則函數(shù)m(x)在Xo處取最大值,2 1—XqXqWx°￡(1,1.2 1—XqXqWx°￡(1,1.1),xo易知m(x。)在(1,1.1)上單調(diào)遞增，則2 121.2 121.121.11.13<0,則m(x)<0在l〈x<2上恒成立,即h'(x)<0.故h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,從而h(x)Wh(l)=5-e.答案：5-e16.若x=0為f(x)=x'+(aT)x：'+ax2的極大值點，則a的取值范圍為.解析：因為f(x)=x"+(a-Dx,ax；則f'(x)=4x3+3(a-l)x2+2ax=x[4x2+3(a-1)x+2a].設(shè)g(x)=4x2+3(a-l)x+2a,則A=9(a-l)2-32a=9a-50a+9.⑴若A<0,貝!|g(x)>0,當(dāng)x<0時，f'(x)<0,當(dāng)x>0時，f'(x)>0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點,不符合題意;(2)若A=9a2-50a+9=0,解得@=里譽，設(shè)函數(shù)g(x)的零點為Xo,則f'(x)=4x(x-x())2.①若a=25+4■①若a=25+4■mi.3d-a)視Xo=-<0,當(dāng)Xo<x<O時,f，(x)<0,當(dāng)x>0時,f'(x)>0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點，不符合題意;②若a互容,貝IJx。邛>0,9 8當(dāng)x<0時，伊(x)<0,當(dāng)0<x〈x()時，f'(x)>0.此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點,不符合題意;⑶若A>0,解得a<卓更或更設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為Xi,X2.①若a=0,貝