人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第八章第4節(jié)　雙曲線

第4節(jié)雙曲線課程標(biāo)準(zhǔn)要求.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用..了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)..理解數(shù)形結(jié)合思想..了解雙曲線的簡單應(yīng)用.必備知識(shí)?課前回顧I店知識(shí)梳理L雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2(|FFz|=2c>0)的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于|FR|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定直叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式:集合P={M|||MRHMF?||=2a},|FEI=2c,其中a,c為常數(shù),且c>a>0.■釋疑⑴當(dāng)IPFJ-1PF2|=2a(2a<|FE|)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.當(dāng)|P&|-|PF21=-2a(2a<|FRI)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.(2)若2a=2c,則軌跡是以R,FZ為端點(diǎn)的兩條射線;若2a>2c,則軌跡不存在;若2a=0,則軌跡是線段FF2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2———=1a2b2匕三1a2b2

(a>0,b>0)(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍y￡R,x，a或xW-ax￡R,y〈-a或y2a對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)Ai(-a,0),Az(a,0)A,(0,-a),A2(0,a)漸近線y=+-xa離心率e-,e￡(1,+°0)a實(shí)虛軸線段A也叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A也|=2a;線段BB叫做雙曲線的虛軸，它的長度|BB|=2b;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長a,b,c的關(guān)系c2=aW3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為匕士圣離心率為e=應(yīng).重要結(jié)論1.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為平.2 2.與雙曲線靠噌=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為丫2”2---j=t(t#0).a2b2.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b..若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F.,F?分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min=a+C,|PF2|min二C-a..焦點(diǎn)三角形的面積:P為雙曲線上的點(diǎn),F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，h2且NFFF2=。,則△EPF2的面積為上石tan—

2—各點(diǎn)—2”2.設(shè)P是雙曲線 上一點(diǎn),F.,F2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，1620若|PF』=9,則|PFz|等于（B）A.1B.17c.i或17D.8解析：由題意知|PFi|=9<a+c=10,所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有|PFz卜|PF』=2a=8,故|PF2|=|PFj+8=17.故選B.2 2.若雙曲線弓-2=1（a>。，b>0）的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長,a2b2則該雙曲線的離心率為（A）A.V5B.5C.V2D.2解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線方程為±±白0,ab即bx土ay=0,所以2a=7染6=卜Va2+/）2又a2+b-c2,所以5a2=c2,c"2所以e=^=5,a2所以e=V5.故選A..若雙曲線C:--y2=l(m>0)的一條漸近線方程為3x+2y=0,則實(shí)數(shù)mm等于(A)A.-B.-C.-D.-9 4 3 2解析:雙曲線C的漸近線方程為丈-y2=0,m即生土y=0,y/mm--.3 9故選A.4.已知方程---1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離?nz+n3mz-n為4,則n的取值范圍是(A)A.(-1,3)B.(-1,V3)C.(0,3)D.(0,V3)解析:因?yàn)榉匠?----口表示雙曲線，mz+n3mz-n所以(m'+n),(3m2-n)>0,解得-由雙曲線性質(zhì)，知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c=2X2|m|=4,解得Im|=1,所以-l〈n<3.故選A.5.(選擇性必修第一冊P124練習(xí)T2改編)經(jīng)過點(diǎn)A(3,-1),且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為.解析:設(shè)雙曲線的方程為自方±l(a＞。),把點(diǎn)A(3-1)代入，得a?=8(舍負(fù))，故所求方程為1=1.關(guān)鍵能力?課堂突破正考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用CWD(1)已知件乃2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF』=2|PFz|,則cosNFFFz等于( )(2)已知圓3：(x+3V+y2=l和圓C2:(x-3)2+yM,動(dòng)圓M同時(shí)與圓G及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為解析：⑴由雙曲線的定義有|PF』-|PF2|=|PF2]=2a=2企，所以|PF/=2|PF2|=4V^,如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓G及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|mgHag|=|ma|,|mc2|-|bc2|=|mb|,因?yàn)閨MA|=|MB|,所以|MGHACJ=|MC2HBe2I,即IMC2HMe1=1BC2HAC』=2,所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2,C的距離的差是常數(shù)且小于|CG|=6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與G的距離小)，其中a-1,c=3,則b2=8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2-^l(x^-l).0答案：(1)C(2)x2-t=l(xW-1)o解題策略.利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程..在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合IiPFj-lPFzl|=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與|PF』，|PFz|的聯(lián)系.［針對訓(xùn)練］TOC\o"1-5"\h\z2 2(1)設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為3,F2,離心率a2b2為VIP是C上一點(diǎn),且FFJ_FzP.若△PFR的面積為4,則a等于( )A.1B.2C.4D.82 2(2)(2021-廣西一模)已知雙曲線器-臺(tái)l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為件,F2,過H且斜率為-6的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為—> —>A,且A0?4尸2=0,若a=V3-l,貝ljF2的坐標(biāo)為( )C.(2,0)D.(V3+I,o)解析：⑴設(shè)IPF』=m,|PF2|=n,P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則Sz\pfiF2=mn=4,m-n=2a，nf'+rrMc?,又e=^=\[5,所以a=L故選A.—> —>(2)因?yàn)?4尸2=0,所以AF」AF2.又因?yàn)槠呤?=一6，所以NAFF2=g6貝ijAFlBc,AF2=c.根據(jù)雙曲線的定義可得V3c-c=2a,則。=嚕2=2,則F2的坐標(biāo)為(2,0).V3-1故選C.愿考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)口角度一雙曲線的離心率(或范圍)da⑴已知F/2分別為雙曲線今、=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)F2到直線PF1的距離為a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.(1,爭B.(當(dāng)+8)C.(1,V5)D.(遍,+8)(2)已知雙曲線5。白1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K,F2,過F,q/的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若&A=4B,F1B-F2B=0,則C的離心率為.解析：(1)雙曲線的漸近線方程為y=±-x,由極限思想，設(shè)過Fi且與一a條漸近線平行的直線1的方程為y=，x+c),即bx-ay+bc=O.a依題意,若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)F2到直線PF1的距離為a,則點(diǎn)F2到直線1距離大于a,即d=7^=>a>所以2b>a,所以衿哈口Ji+(步J1+(上=r-即eG喙+8).故選B.⑵不妨設(shè)點(diǎn)B(m,2m)(m>0),a故BFi=(-c-m,-4)aBF2-(c-m,--m).T T由FiB?F2B=0,可得m2~c'+—m'=0,解得m=a,故B(a,b).a2又心=欣故A(匯,2),代入直線y=-2x,可得也上.竺￡,解得c=2a,故離心率2 2 a 2a2為2.答案：⑴B(2)2解題策略求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.口角度二雙曲線的漸近線方程2 2CSO雙曲線底=1(a>0,b>0)的離心率為北,則其漸近線方程為A.y=±&xB.y=+V3xC.y=±jxD.y=±?x解析:法一（直接法）由題意知,e=J百，a所以c=y/3a,所以b=Vc2-a2=V2a,即空應(yīng)，a所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±V2x.a法二（公式法）由.=[1+6）2=百,得也迎，a所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±V2x.a故選A.解題策略求漸近線方程時(shí),利用c2=a?+b2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的方程.雙曲線的漸近線的斜率與離心率的關(guān)系:k=±也土唬亙=土尺二=±GLaa\a2幅度三由幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程?E3）已知雙曲線芻-卷=l（a>0,b>0）的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直a2b2于X軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近TOC\o"1-5"\h\z線的距離分別為4和d2,且&+d2=6,則雙曲線的方程為（ ）y2 y2y2412124A.412124.2-2 -2 2C.t2=1D.OUi3 9 93解析：由&+d2=6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b=3.2 2因?yàn)殡p曲線臺(tái)臺(tái)1(a>0,b>0)的離心率為2,所以匚2,a所以亨=4,解得a?=3.所以雙曲線的方程為J-3=1.故選C.解題策略求雙曲線的方程時(shí),將已知條件中的雙曲線的幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,C的關(guān)系式,結(jié)合c2=a2+b；列出未知參數(shù)的方程,解方程后即可求出雙曲線的方程.［針對訓(xùn)練］(1)過雙曲線C:a-分1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)作X軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,0兩點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為()TOC\o"1-5"\h\zo2 _2A.上一匕=1B.土一U14 12 7 9O 7 7 7c.t-匕=1D.土-U18 8 12 4(2)已知雙曲線C:^-g=l(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±：x,且其右a2匕2 4焦點(diǎn)為⑸0),則雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為()O 7 7 7A.土-匕=1B.9 16 16 9O 7 7 ?c.t-匕=1D.t-J(3)以橢圓^+y2=l的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),長軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的漸近線4方程是.(4)已知雙曲線E：4-Ka>0,b>0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在Eqnbz上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且21ABi=31BC|,則E的離心率是.(5)已知直線y=kxT和雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是.解析：(1)由題意知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y—x,因此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b).a設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可得c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c)又c2=a2+b2,則c=2a,即a=]=2,所以b2=c2-aM-22=12,2 2故雙曲線的方程為故選A.412⑵由題意得2二三,cJa"+bJ25,a4所以a=4,b=3,2 2所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為弓-5=1.故選B.169(3)由題意可知所求雙曲線方程可設(shè)為三-1=1(a>0,b>0),則a=V4-l=V3,c=2,所以b2=c2_a2=4_3-1,故所求漸近線方程為y=±yx.⑷如圖，由題意知|AB|且，|BC|=2c.Q又21ABi=3|BC|,所以2?空=3?2c,a即2b2=3ac,所以2?-a?)=3ac,兩邊同除以a?并整理得2e2-3e-2-0,解得e=2(負(fù)值舍去).⑸由直線y=kx-l和雙曲線x2-y2=l聯(lián)立方程組,消y得(1-k2)x2+2kx-2=0,因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不等且都大于1的根，!l-/c2W0,4=4k2+8(1-爐)>0i-k2>L,(1-fc2+2/c-2)(1-k2)>0,解得l<k<V2.答案：(1)A(2)B(3)y=±?x(4)2(5)(1,V2)展考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系CW3已知雙曲線次-匕1的左焦點(diǎn)為F.,過F,的直線1交雙曲線的左169支于A,B兩點(diǎn),則直線1斜率的取值范圍為()(-8,一,U(1,+8)解析:雙曲線的漸近線方程為y=±-x,當(dāng)直線1與漸近線平行時(shí),直線

41與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線1的斜率大于零時(shí),要使直線1與雙曲線的左支交于A,B兩點(diǎn),則需直線1的斜率k>K當(dāng)直線1的斜率小于零時(shí),要使直線1與雙曲線的左支交于A,B兩點(diǎn),則需直線1的斜率k<--;又當(dāng)直線1的斜率k=0時(shí),不滿足題意,故直線1斜率的取值范4圍為(-8,-1)U(*+8).故選B.「解題策略解決與直線與雙曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題時(shí),有時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想,有時(shí)利用方程思想.根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率或某切線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會(huì)比較快捷.［針對訓(xùn)練］2.2(1)已知F,(-c,0),F2(c,0)分別為雙曲線C:^-^=l(a>0,b>0)的左、a2b2右焦點(diǎn)，直線1：-+^1與C交于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線與Xcb軸交于點(diǎn)T(-5c,0),則C的離心率為()A.—B.V2C.V3D.—2 2⑵過雙曲線x2-+l的右焦點(diǎn)作直線1交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，則滿足|AB|=6的直線1有()4條B.3條C.2條D.1條解析：⑴設(shè)M(xi,y),N(X2,丫2),線段MN的中點(diǎn)為S(x(),y。)，則犬好一a,臺(tái)a2b2, 兩式相減可得b"(好一好)=a?(公一泥),可得b2(xi-x2)(xi+x2)=a2(yi-y2)(yi+y2),即2b,(x「X2)x0=2a2(y「y2)yo,所以心-絲?孕,即上,里與①CX1-X2CLyocx0Q由kM\,ksT=-l,可得一2,y°~~1.②CXq+SC由①②可得x0=-—,yo=5b,即S ,5b).c c又點(diǎn)S在直線MN上,所以-考+5=1,解得e=J”故選D.a2(2)當(dāng)直線1的傾斜角為90°時(shí)，|AB|=叱=6,故當(dāng)直線1與雙曲線的a右支交于A,B兩點(diǎn)時(shí),滿足題意的直線1有1條；當(dāng)直線1的傾斜角為0。時(shí)，|AB|=2<6,故當(dāng)直線1與雙曲線的左、右兩支分別交于一點(diǎn)時(shí),還可作出2條直線1,使得|AB|=6,故滿足題意的直線1有3條.故選皂備CWD已知雙曲線C:三-Ml(a>0，b>0)的離心率為2,左、右焦點(diǎn)分別a2b2為為F2,點(diǎn)A在雙曲線C上,若△AFE的周長為10a,則△AFF2的面積為()A.2V15a2B.V15a2C.30a2D.15a2解析：由雙曲線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在雙曲線的右支上，由e=J2,a得c=2a,所以△AFF2的周長為|AF』+|AF2|+|FF2|=|AFj+|AF2|+4a.又△AFF2的周長為10a,所以|AR|+|AF21=6a.又因?yàn)閨AFj-|AF2|=2a,所以|AFi|=4a,|AF21=2a,在△AFF2中，|FF21=4a,

所以cos/RAFz二\AFt所以cos/RAFz二\AFt\2+AF22-FxF212（4a）2+（2a）2-（4a）212|AFi?A芻2?4q?2q4,X0<ZF1AF2<jt,所以sin/RAF2=半，4所以S&FiFzTAF11TAF2I,sinNF|AF2=],4a?2a?平=故選B.2 2CWD已知雙曲線券-*1上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x+b對稱,且PQ的中點(diǎn)M在拋物線y2=9x上,則實(shí)數(shù)b的值為()A.0或-10B.0或-2-2D.-10解析:因?yàn)辄c(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x+b對稱,所以PQ的垂直平分線為y=x+b,所以直線PQ的斜率為T.設(shè)直線PQ的方程為y=-x+m,(y=-%+m,x^_y2_1得x2+4mx-2m2-6=0,所以Xp+XQ=-4m,所以Xm=-2iii,所以M(-2m,3m).因?yàn)镻Q的中點(diǎn)M在拋物線y2=9x上，所以9m二9?(-2m),解得m=0或m--2f又PQ的中點(diǎn)M也在直線y=x+b上，得b=5m,

課時(shí)作業(yè)所以b=0或TO.故選A.課時(shí)作業(yè)知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練雙曲線的定義及應(yīng)用4,511雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9,10雙曲線的幾何性質(zhì)1,2,3,6,714,1517綜合問題812,13,1618靈活鄉(xiāng)點(diǎn)合數(shù)提彩A級基礎(chǔ)鞏固練@選題明細(xì)表.經(jīng)過點(diǎn)M（2V3,2遍）且與雙曲線9-學(xué)1有相同漸近線的雙曲線方程是（D）x2x2v2A.土-匕=11812v2x2c.=11812B.匚匕11218v2x2D.匕-J1218解析:設(shè)所求雙曲線的方程為9-9人，將點(diǎn)M（2V3,2花）代入得等:萼J人,解得X=-6,所以雙曲線方程為故選D..若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9,則曲線與曲線1r詈1的（D）259一反 Z5-/C9A.離心率相等B.虛半軸長相等C.實(shí)半軸長相等D.焦距相等解析：由0<k<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上,由，25+9-kK25-k+9,得兩雙曲線的焦距相等.故選D..已知雙曲線《磊=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F（2,0）,漸近線方程為6x土y=0,則該雙曲線實(shí)軸長為（A）A.2B.1C.V3D.2^3解析：由題意知,漸近線方程為y=±V3x,則也逐，a又焦點(diǎn)為F⑵0）,即c=2,所以c2=a2+b2=4a2=4,則a=l,即a-1或T（舍去），則實(shí)軸長為2a=2.故選A..已知雙曲線卷=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F?F%點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若|PEHPF21=4b,且雙曲線的焦距為2代,則該雙曲線的方程為（A）v2c y2yf2A.--y2=lB.t-Ul4 3 2C.X2-^1dY-匕14 2 3（\PF1\-\PF2\=2a=4b,解析：由題意可得卜2=a2+b2,（2c=2V5,解得二:則該雙曲線的方程為9-y2=l.故選A..已知雙曲線y-y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為F.,F2,點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PFJ+|PF2|=2遙,則△PFF2的面積為（A）A.1B.V3C.V5D.-22解析:在雙曲線^-y?=l中,a=V3,b=l,c=2.不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則有iPFj-|PF2|=2a=2/,X|PF!|+|PF2|=2V5,所以IPFJ=V5+V3,|PF2|=V5-V3.又|FE|=2c=4,而|PF』2+|PF2|2=|FF2『，所以PF」PF2,所以S?FjF2mxIPFJXIPF2《X(V5+V3)X(V5-V3)=l.故選A..已知雙曲線C:=*l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若NMAN=60°,則雙曲線C的離心率為(A)A.辭B.-V2C.V3D.2解析：由題意，可得A到漸近線bx+ay=O的距離為bcos30°考b,可得4即也￡可得離心率為故選A..已知雙曲線C:馬-*1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且垂直于xqn軸的直線與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A(A在第一象限內(nèi))，以0A為直徑的圓與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)B,若BF〃0A,則雙曲線C的離心率為(A)A.竽B.&C.V3D.2解析：因?yàn)锳FLOF,所以點(diǎn)F在圓上.又BF〃OA,所以NAOF=NOFB,而NAOF=NBOF,所以AOBF是等腰三角形，所以NOAB=NBAF=NBOF=NAOF.又因?yàn)镹0AB+NBAF+NA0F=90°,所以NAOF=30°,所以也tan30°=—,a 3所以吟母午1+（于二等?故選A.2 .28.（多選題）（2021?廣東深圳一模）設(shè)F/2分別是雙曲線C:二-人=m+nm-n1的左、右焦點(diǎn)，且|FE|=4,則下列結(jié)論正確的有（AC）A.m=2B.當(dāng)n=0時(shí),雙曲線C的離心率是2C.F,到漸近線的距離隨著n的增大而減小D.當(dāng)n=l時(shí),雙曲線C的實(shí)軸長是虛軸長的兩倍解析:對于選項(xiàng)A,由雙曲線的方程可得a二m+n,b2=m-n,所以c'=a'+bJm+n+m-n=2m,因?yàn)?c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2,故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B,當(dāng)n=0時(shí)，雙曲線C:]-?=1,此時(shí)a2=b2=2,c2=4,所以離心率e-[^~V2,故選項(xiàng)B不正確；2 2對于選項(xiàng)C,在雙曲線C:一--3一二1中，由選項(xiàng)Am+nm-n知,m=2,a-2+n,b-2-n,且雙曲線的漸近線方程為y=±｝，不妨取焦點(diǎn)F,（-2.0）,則F,到漸近線的距離d=/-=b=R,所以件到漸近線的距離隨著n的增大而減小,故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D,當(dāng)n=l時(shí)，a=V2+1=V3,b=42T=l,所以實(shí)軸長為2V3,虛軸長為2,不滿足雙曲線C的實(shí)軸長是虛軸長的兩倍,故選項(xiàng)D不正確.故選AC.（2021?廣東汕頭高三一模）寫一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且離心率為V3的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析:取c=B,則e/=8,可得a=l,a所以b=Vc2~a2=V2,因此,符合條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-f=l.答案:丫?-9=1（答案不唯一,符合要求就可以）（2021?遼寧鐵嶺高三一模）已知雙曲線與橢圓三+9=1有相同的166焦點(diǎn),且雙曲線的漸近線方程為y=±1x,則此雙曲線的方程為一.解析：由題意得橢圓焦點(diǎn)為（土包,0）,所以c="U,

設(shè)雙曲線的方程就符】(a>0，b>。),則衿a=3a=3,

b=1.a3' 解得a2+b2=c2=10,所以雙曲線的方程為J-y2=L9v2八答案:-y=iyB級綜合運(yùn)用練2.211.已知雙曲線會(huì)/l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為3(-2,0),F2⑵0),P為雙曲線上位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸上運(yùn)動(dòng),若iPQl+lQFzI-lPF"的最小值為竽，則雙曲線的離心率為(B)A.V3B.2V3C.3V3D.4百@^|PQ|@^|PQ|+|QF2|-|PF1|^|PF2|-|PF1|=2a,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,F2三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,所以IPQ|+IQF2HPFJ的最小值為2a,所以2a=/,解得a=~-由題意知c=2,所以e，=2g.故選B.a2 212.(多選題)已知雙曲線C:^-^=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-l,0),過Fa2b2且與X軸垂直的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAOB的面積為I，則下列結(jié)論正確的有(ABD)A.雙曲線C的方程為4x2-^=1B.雙曲線C的兩條漸近線所成的銳角為60°C.F到雙曲線C的漸近線的距離為V3D.雙曲線C的離心率為2解析:因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為F(T,0),所以c=l,又因?yàn)檫^F與x軸垂直的直線與雙曲線交于A(-1,Q),B(T,-Q),a a所以aAOB的面積為S=；X1?空=|,即也|,2 a2a2又a2+b2=c2=l,所以a=~>2 4所以雙曲線C的方程為4x2-竽=1,故A正確；則雙曲線C的漸近線方程為y=士代x,所以兩漸近線的夾角為60°,故B正確；F到雙曲線C的漸近線的距離為(1=當(dāng)故C錯(cuò)誤；雙曲線C的離心率為e'4=2,故D正確.故選ABD.Q213.(多選題)已知雙曲線C:1-鼻1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為已,民，6 3直線y=kx(kNO)與C交于A,B兩點(diǎn),AE±x軸，垂足為E,直線BE與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則下列結(jié)論正確的是(AC)A.四邊形AF1BF2為平行四邊形B.ZFiPF2<90°C.直線BE的斜率為gD.ZPAB>90°解析:如圖,雙曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱,又直線y=kx過原點(diǎn)，所以A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,由|OA|=|OB|,lOFhlOFzl得四邊形ARBF2為平行四邊形,A正確;當(dāng)k-*0,P點(diǎn)趨近于右頂點(diǎn),此時(shí)NF1PF2趨近于平角，因此不可能有NFFF2<90°,B錯(cuò)誤；設(shè)A(xo,y0),則B(-xo,-y0),由AE_Lx軸知E(x0,0),k=也，XO而 C正確；x0-(-%0)2x02△APB中，ZAPB>ZAEB>ZAE0=90°,因此NPAB<90°,D錯(cuò)誤.故選AC.(2021?浙江寧波高三開學(xué)考試)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線4-y-i的一條漸近線的距離是空,則雙曲線的實(shí)軸長是 ，離心率是.解析：由題意，得拋物線y-4x的焦點(diǎn)為(1,0),雙曲線盤-y2=l的一條漸近線為x+ay=0,因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線馬-y2=l的一條漸近線的距離是返,Q/ 2所以寺震?4,解得a=L所以雙曲線方程為x2-y2=l,所以c=yldz+b2=>/2,所以雙曲線的實(shí)軸長為2,離心率e4也a答案：2V2(2021?廣東廣州高三一模)已知圓(x-l)2+y2=4與雙曲線5馬名=1的兩條漸近線相交于四個(gè)點(diǎn)，按順時(shí)針排列依次記為M,N,P,Q,且|MN|=21PQ|,則C的離心率為.解析:設(shè)k上,漸近線方程是y=±kx,由對稱性可設(shè)aM(xi,kxj,N(xi,-kxi),P(x2,kx2),Q(x2,-kx2),則|MN|=2kxi,|PQ|=-2kx2,所以2kxi=2,(-2kx2),Xi=-2x2.①由口=kX，((%-l)+y2=4,得(l+kJ)x2-2x-3z=0,X1+X2.，②XiXL—上,③①代入②得X一篇X尸系，代入③得一^~~^777，(l+fc2) 1+H解得l+k24所以e個(gè)Jl+(?2=平.答案:包8(2021?浙江杭州高三模擬)在四邊形ABCD中，已知A(T,0),

B(2,0),NABC=2NBAC,|DB|=21DA|,若C,D兩點(diǎn)關(guān)