理學(xué)院幾何與代數(shù)B第一學(xué)期期末考試試卷1及答案_第1頁
理學(xué)院幾何與代數(shù)B第一學(xué)期期末考試試卷1及答案_第2頁
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交通大學(xué)2007-2008學(xué)年第一學(xué)期《幾何與代數(shù)（B）》期末考試試卷(A)一．（本題滿分30分，每空3分）請把答案填在空中．1、已知，，，且，則.2、若有非零解，則1，-2..3．若點，，共線，則的值分別是.4.由曲線圍繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程是5．已知向量組的秩為2，則3.6．設(shè)為階方陣，的行列式為的伴隨矩陣，則的伴隨矩陣7.向量組的一個極大線性無關(guān)組是,8.通過點且與直線垂直的平面方程是.9.設(shè)A是3階方陣，1，2，3是A的3個特征值。則24.10.已知三階方陣。則.二.(10分)計算n階行列式解....8分....10分三．（12分）當(dāng)為何值時，線性方程組無解，有惟一解，有無窮多解？并在有無窮多解的情況下，寫出它的所有解（用導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系表示）。解將方程組的增廣矩陣化為階梯形：....3分（1）當(dāng)時，方程組有唯一解。....5分（2）當(dāng)時，方程組的增廣矩陣可化為（i）當(dāng)時，方程組無解；....8分（ii）當(dāng)時，方程組有無窮多解；此時方程組的增廣矩陣可化為一個特解是，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系是此時方程組的通解是....12分四．（10分）試求直線在平面：上的投影直線方程，并將它寫為對稱式方程解過直線的平面束方程...5分與垂直的平面是。...7分所求的投影直線方程為...8分對稱式方程為。...10分五．（12分）設(shè)。求滿足的矩陣X，其中是的伴隨矩陣，是的逆矩陣。解由知....4分又故由，....10分所以....12分六.（13分）已知三元二次型用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)正交矩陣；指出方程表示何種二次曲面。解（1）二次型矩陣為特征多項式解得特征值為?！?4分對應(yīng)三個特征值解得三個兩兩正交的特征向量….7分將它們單位化為…8分作矩陣…9分則是正交矩陣。經(jīng)正交變換，可將二次型化為…11分（2）可化為它是一個橢圓柱面?！?3分七.（8分）取何值時，三元實二次型是正定二次型？解（1）二次型矩陣為……2分二次型正定當(dāng)且僅當(dāng)它的矩陣的各階順序主子式大于0。即……5分解得……8分八.證明題（兩題任選一題）（5分）（1）設(shè)是階方陣，且。證明（2）設(shè)是階單位矩陣，是階實矩陣。證明是正定矩陣，其中是的轉(zhuǎn)置。證明（1）由，知?！?分這樣。……..4分因此?！?分(2)首先是對稱矩陣。關(guān)于任何非零實向量，記。則

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