線性代數(shù)-11 .第二章

第五節(jié)矩陣的秩與初等變換

本節(jié)介紹矩陣的秩與初等變換和初等矩陣,它們是求解線性方程組的重要內(nèi)容,難度較大.希同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí),重點(diǎn)掌握。一、矩陣秩的概念例1解例2解注意：非奇異矩陣的秩與等于它的階數(shù)，故非奇異矩陣又稱為滿秩矩陣．奇異矩陣稱為降秩矩陣．定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．定理5.2

對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，矩陣的秩不變，等價(jià)矩陣的秩相等用矩陣的初等行變換，化簡(jiǎn)下述矩陣：特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．

行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．

行最簡(jiǎn)形是由矩陣唯一確定的；行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由矩陣唯一確定的，而且等于矩陣的秩。例如，特點(diǎn)：

所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.定義由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣

定理5.3

設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.四、初等矩陣的應(yīng)用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣

定理5.4

設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣證利用初等變換求逆陣的方法：

解例１即初等行變換例２解列變換列變換五、小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));秩初等變換1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換初等矩陣1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:思考題

解思考題解答因此