大學專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案(三)

大學專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案（三）填空題

1 1 11 0 4設向量組

, ,

線性相關，則k 2 .1 2 2 0 3 81 1 k解：方法一：,,1 2 3

0kkk，使1 2 3

kk k 0k 0 1 2 3

1

k4k 0kkk

k01 31 1 2 2 3

1 2 3 k2 0

2k8k 0k4k

3 k1

12k2

3kk 03k,k,k1 2 31k,k,k1 2 3

k 0前三個方程解出kkk

3k ， （3 3k

不全為0）3 3把k,k,k1 2

代入第四個方程得k2k3

0，k3

0k2方法二：,,1 2

線性相關，則1 2

331 1 1

1 1 1

1 1 11 0 4

0 1 3

0 1 3 A1 2

3 2

0 8

0 2 6

00 0 0 01 2 k1

0 1 k1

0 k2由1 2

3k20，即k23方法三：RA1 2

3A0A的一個三階子式31 1 12 0 80k21 2 k a b 1

0,

c,

a線性無關，則a,b,c必滿足關系式abc0.c 0 c 0 解：A

a b 00 c a，則,,A01 2a b 0

3 c 0 b

1 2 30 c a2abc0abc0.c 0 b1 1 1 設向量組

1 , 1,

1 的秩為2，則 -3 .1 2 3 1 1 1 1 1 1 解：1 2

23 3 1 2

00,3當0時，1 2當3時，1 2

120；323.3向量組,,1 2

1

,1 2

1

,3

2 3是線性 無關 . 1 1 0 11 2 11 A1解： 2 2 2 0 1 4 333 333A30APP12

P為初等方陣的乘積，初等變換不改變矩陣秩，從而不改變向量s組的秩，R 1 2

3 1 2

3（,,3 1 2

線性無關）,,1 2

線性無關.（5）向量組,,1 2 3

21

,1 2

,2 3

3

的秩為2 . 1 1 0 10 1 11 A1解： 2 2 2 1 0 1 333 333A20APP12

P為初等方陣的乘積，初等變換不改變矩陣秩，從而不改變向量s組的秩，R 1 2

3 1 2

2.31 2 2 a6設三階矩陣A2 1 2向量1且滿足與線性相關則a -1 . 3 0 4 3 0 4 解：與線性相關 與對應分量成比例1 2 2a a a a 2a3 42 1 212a3kk1 k1

a 1 1 3 0 41 3a a11 1 k 設1

1,k

k,1

1R3k滿足關系式1

k1,k2 . 解：,,1 2

R3,,1 2 31 1 k

線性無關 1 2 3

1 k 1kk32k2k20k1,k2k 1 1 1 1 0 已知三維線性空間的一組基為1

1, 0 1 1

0,

1，則向量0在這組基下的坐標是

x 1解：xxx

x

Ax，xA11 1 2 2 3

1 2 3 2x31 1 0 2

1 1 0 2 1 1 0 2

1 0 0 11 0 1 0

0 1 1 2 0 1 1 2

0 1 0 1 0 1 1 0 x1 .

0 1 1 0

0 0 1 選擇題（1）設,,1 2

n(A)m（A）若,,1 2

不線性相關，則一定線性無關；kkm mmkk,

k k

k

0，則,, 1 2

線性無關；

1 2 m

1 1 2 2若存在m個不全為零的數(shù)k,k,

，使得：k

k

0，則,, 1 2

kkm m

1 2 m

1 1 2 2若向量組,,1 2

線性相關，則m 1

可由, 2

線性表示.B）,,1 2

可以線性相關；kkm m（C）m個不全為零的數(shù)kk,

k k

k

0，則,, 1 2

線性無關；

1 2 m

1 1 2 2（D）P64定理3.2.1指出：,, 1 2 m

（m2）線性相關至少存在一個向量可由其余m1個向量線性表示，但并沒有指明是哪一個向量可由其余m1個向量線性表示.（2）向量組,,1 2

線性相關的充要條件( C )m（A）,,1 2（B）,,

中有一個零向量；m中任意兩個向量成比例；1 2（C）,,1 2

m中有一個向量是其余向量的線性組合；m（D）,,1 2

中任意一個向量都是其余向量的線性組合.mC）正確：P64定理3.2.AB）.,(3sn維向量組,(3s1 2

sn)線性無關的充要條件( D )存在一組不全為零的數(shù)k ,k,1 2

k，使si1

k 0；i i（B）,,1 2（C）,,1 2

,中任意兩個向量都線性無關；s,存在一個向量不能由其余向量線性表示；s（D）,,1 2

,.sA）,,

,線性相關k k0k

0任意一組不1 2全為0的數(shù)k,

s 1 1 s s 1 s,k k k0； s3

1,

0,

1，則,,

中任意兩個向量都 1 0

2 1

1 2 1

1 2 3線性無關，但是,,1 2 3

線性相關；P64定理3.2.1的逆否命題為：,, 1 2 m

（m2）線性無關不存在一個向量可由其m1個向量線性表示m1個向量線性表示，故）.（4）設向量(I)：,, 1 2 r

；向量(II)：,, 1 2

,r

, ,m

，則必( A )（A）(I)線性相關(II)線性相關； （B）(I)線性相關(II)線性無關；（C）(II)線性相關(I)線性相關； 線性相關(I)線性無關.解：1

, ,r

線性相關增加一個向量或者減少一維向量仍線性相關；, ,1

線性無關減少一個向量或者增加一維向量仍線性無關.（5）已知向量組,1 2

,,3

線性無關，則向量( C )1

,2 ,

,3 ,

,4 ,

線性無關；1線性無關；11

2 ,2

3 3,3

4 4,4

1線性無關；11

,2

,3

,4

.1解：一般地， 1 2

3 4

1 2

T，即，3 4A0AAPP12

P為初等方陣的乘積，初等變換不改變矩陣的秩，從而s1 2

,,3

,1 2

,,3

1 2

,,3 4,1 2

,,3

線性無關；若A01 2

,,3

一定線性相關：RRARA41 2

,,3

線性相關；方法二：A

0，則0一定有非零解，設此非零解為x 0，即ATx 0，0 0則xTA0，xTxT00x

x

x

x

，,

,,線0 0 0性相關.

01 1

02 2

03 3

04 4

1 2 3 41100011000111001A 20，故11000110001110013 1 2

A 0.4（6）設,,線性相關，,,線性無關，( C )1 2 2 3（A）,,1 2

線性相關； （B）,,1 2 3

線性無關；（C）1

,,2 3

線性表示； （D）能由,1 2

線性表示.,,1 2

線性相關,2

,,2 3

線性無關1

能由,2

線性表示1

,,2 3

線性表示，故（C）正確.設向量能由向量組,1 2

, ,m

線性表示但不能由向量組：,1 2

, ,

線m1性表示，記向量組I：,,1 2

,m1

,，則( B )不能由線性表示，也不能由線性表示；m不能由線性表示，但能由線性表示；m能由（I）線性表示，也能由線性表示；m能由（I）線性表示，但不能由.m解： 能由向量組,1 2

, ,m

線性表示，,

R

m11 m1又 不能由向量組：,1 2

, ,

m1

線性表示，于是m

0，1 1m

21 22

1

m1

，即m

能由（II）線性表示；m m m m假設

能由（I）k,

R，使

k

，代入,km1k ,km1k m1m1m1

得到能由向量（,, ,

線性表示，矛盾，1 1 m1 m m 1 2 m1故m不能由（I）線性表示.故選（B）.設矩陣A為n階方陣，且R(rn，則在A的n個行向量( B )r個行向量線性無關；r個行向量線性無關；r個行向量構(gòu)成極大無關組；r.R(r

A 1

, , A

R

r解： ，

，1 n

為 的行向量組，則 ，n 1 n, ,1

的最大無關組的個數(shù)為r，1

, ,n

必有r個行向量線性無關，故（B）正確.EA rr

O

RAr

, ,例如：關.

O O 1

，r rn

則 線性無1 r

A為n階方陣，且|A0，則矩陣A中( C )0；2列元素對應成比例；必有一列向量是其余列向量的線性組合；nAn1|A|0RAn,1

,kn 1

, ,kn

，使得：k k1 1 n

0一個向量可由其余n1個向量線性表示，故（C）正確.B）是|A0.（10）,,1 2 3

線性無關，向量1

可由向量組,,1 2

線性表示，而向量 不2能由向量組,,1 2

線性表示，則對于任意的常數(shù)k，必( A )（A）,1 2

,,k3

線性無關； （B）,2 1

,,k3

線性相關；2（C）,1 2

,,3

k2

線性無關； （D）,1 2

,,3

k2

線性相關.

可由向量組,,

線性表示

k

k

k1 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3①,1

,,k3

一定線性無關2若線性相關，,,

k

，則1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3

k

k

k

kk

kk

kk2 11 2 2 3 3

11 2 2 3 3

1 1 1 2

2 2 3 3 3矛盾，故,1 2

,,k3

線性無關；2k0時，,1 2

,,3

k2

k0時，,1 2

,,3

k2

線性相關。k0時，若線性相關，,,

線性無關，

k

，則1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3kkkk2 11 2 2 3 3 11 2 2 3 31

k1

k1k

，矛盾，故線性相關；2 k

1 1 k

2 2 k 3 3 3k0kkk，故,,

線性相關.1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 11 30 23．設 , ，求,4,(,),||||,||||.1 42 1 13 2 5 12 17解：

02

4

0

8814 5 5 16 1123

10 4 6 (,)T30423 ||||

110146||||

3094161230941615 1 1設

, , ，且

)

)

)，求.1 1 2 5 3 1 1 2 33 3 1)

)13251 2 3

6 1 2 36 20 20 1115 2 5 2 63 10 5 39 20 5 4 討論下列向量組的線性相關性：1 1 1（1）1

1,

1,

1；1

2

3 0 0 1 1

4

12

1

3（2）2

,

, ；1 13

2 56

3 47 2

3（3）33,

1；1 2 0 2 1 9 22

100

4（4）向量組4：

,

, ；1 1

2 10

24 4 8 1 3 2 2（5）5

,

2,

1,

3.1

2 3 4 2 0 1 5 解）

1 1 1 1100120100120 1 2 3 1

0 0 121.3

1141141141213095 0 9 5（2）

1 2

1 5 4 0 9 5 0 0 03 6 7 0 18 10 0 0 0 R1 22R12 3（3）,1 2

對應分量不成比例，3.1 9 22 100 4

1 9 20 82 0（4）方法一：

1 2

1 10 2 0 19 04 4 8 0 32 01

24.3方法二：1

與線性相關（3

21

，,,1 2

線性相關.（5）3.2.543維向量必定線性相關，56．分別求下列向量組的秩及其一個最大的線性無關組：1 4 12 11 71：

, , ；1 4 2 15 3 80 1 4 1 2 4 7 38 9 7 6 12：1

,0

,5 3

,5

,10

.51 3 1 3 2 1 4 1 1 4 1 1 4 12 11 7 0

5

1 4解）

1 2

4 15 8 0 1 4 0 0 17 40 0 1 4 0 1 40 R 1 2

3，,,3 1 2

為一個極大無關組. 1 2 4 7 1 2 4 7 （2）

0 0

8 9 7 6

25 25 501 2

4 0 5 5 10

5 5 101 3 1 3 0 5 5 10 1 2 4 7 0 1 1 2 0 0 0 00 0 0 0R2，顯然矩陣的前兩個列向量線性無關，的前兩個列向量線性無關,1

為一個極大無關組. 6 a a設

a1,

,

1，則：1 2 3 3 2 3 2 a為何值時，向量組,1 2

線性相關？線性無關？a為何值時，向量組,,1 2 3

線性相關？線性無關？）向量組,1 2

線性相關的充要條件是對應分量成比例，即6a1

3a4a 2 2當a4時，對應分量不成比例，此時向量組線性無關.a時，,1 2

a時，,1 2

線性無關.（2）向量組線性無關1 2

3A 3 1 2

036 a aA 1 2

a1 3

142a30a4a32向量組線性相關

3 2 0 3A

0a4或a31 2 3 1 2 3 2aa3/2時，,,1 2 3

線性相關；當aa3/2時，,,1 2 3

線性無關.a 2 1 2設向量組1

3,

b,

2,

3的秩為2，求a,b的值. 1 3 1 1 3 1 a 2 1 2 解：方法一：A3 b 2 3，RA 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 A 3 b 2 3 0 b9 1 0 a 2 1 2 0 23a 1a 2 要使RA2，則9 0與1a 2a必線性相關：b9

0 a2,b521a 2a方法二：RA2，容易找到一個二階子式不為0，A的所有三階子式為0，則a 121111113 23323010 2a0a21 11a1201a2a1212b21212b23203110221b 3b2221b1b0b52 2 2 1 2

9．設向量組,,1 2 3

lm2

,1

,線2 1 3性無關.解：

l

m

1 0 1l 1 01 2

2 1 3 2 1

1 2

0 m

，RRARA3,

A0可逆A=0A0R31 2 3

線性相關；A0A可逆，此時RR31 2 3

線性無關；A0線性相關1 2 31 2 3線性無關A0A0線性無關1 2 31 2 3線性相關A0A01 2 3A0線性無關1 2 31 0 1

1 0 1

1 l A l 1 0 0 1 l

m 1

ml1

0lm10 m 1 0 m 1lm12

,1

,2 1

線性無關.10,,1 2 3

線性無關，向量1

能由向量組,,1 2

線性表示，而向量 不能2由向量組,,1 2

線性表示，對任意的實數(shù)k，問向量組,1 2

,,k3

是否線性相關，為什么？2向量組,1 2

,,3

k2

是否線性相關，為什么？解：可由向量組,,

線性表示

kkk1（1）,1 2

,,k3

1 2 3 1.2

1 1 2 2 3 3若線性相關，,,

k

，則1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3

k

k

k

kk

kk

kk2 11 2 2 3 3

11 2 2 3 3

1 1 1 2

2 2 3 3 3矛盾，故,1 2

,,k3

線性無關；2（2）k0,1 2

,,3

k2

k0,1 2

,,3

k2

線性相關.k0時，若線性相關，,,

線性無關，

k

，則1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3kkkk2 11 2 2 3 3 11 2 2 3 31

k1

k1k

，矛盾，故線性相關；2 k

1 1 k

2 2 k 3 3 3k0kkk，故,,

線性相關.1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 11 1

1 1

8 4 2 3

9

9 9驗證矩陣1 1

1和矩陣8 1

4. 2 2

9

9 91 13232

491 9

4 79 9解：方法一：直接根據(jù)正較陣定義進行驗證，即AATE，過程略；方法二：根據(jù)定理3.4.2，A為正交陣 A的行（列）向量組是標準正交向量組1 1 11 2 3

1 8 49 9 9

1 1

1

8

1 41 2 3 2 2

1 2

9 9 91 13232

1

994 4 799 9 對于矩陣,0矩陣不是正交1 2陣；對于矩陣， 1 2

1，,,3 1 2

是單位列向量又1

188149 9 9 9 9

0，,1 3

1484479 9 9 9 9 9

0，,

841447

0，,,

是標準正交向量組， 2 3 9 9 9 9 9 9

1 2 3矩陣.121 1 111

1,

2,

4； 1 3 1 3 1 1 10 1 12：

, , .1 1 2 0 3 11 1 0）

111 1 11,

1

1 16

2 1

2 103 1 2 2 ,3 1 1 1

1 3 , ,

1

114

8

11 3 1

3 2

4 1 0 23 3 , 1 ,

2 3 2 3 1 1 2 1

9 1 1 10（2）1

1 11 1 1 1 1,

1 20 13

2 1

2 2 ,

1 0 31 321 1 1 1 1 01 1 2 10

1,

,

1 2

13

13

3

13

2

3 3 , 1 ,

2 1 31 5 32 531 1 2

0 1 3 1 4 1

,1

1

, ,r

1

,1

, ,r

線性無關，證明向量,1

, ,r

線性無關.k

k

k

0

,

,,,r1r有：kr 12kr 120r11 2 1 2kkr 12kr 2k0r r1 2,1 2

,線性無關，kk k k 0,k r 2k 0, ,k 0r r,k 0,2,k 0,2r

k01 1

, ,r

線性無關.能由向量組1

, ,m

線性表示，且表示式惟一，證明1

, ,m

線性無關.k

k

0l

l

l

，兩式相加有：km mkm mk1

l1

k2

l2

km

l,,km0kl1 1

l,,,k lm

l km

0,, ,1

線性無關15．設向量組,,1 2 3

線性相關，向量組2

,,3

線性無關，證明：1

能由,線性2 3表示，而4

不能由,,1 2

線性表示.解： 2

,,3

,2 3

線性無關，又,,1 2 3

0的數(shù)k,k,k ，st.kkk0，必有k 0，否則k,

不全為0，且1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3kk2 2 3

0與,2

線性無關矛盾，1

k2k 1

k3k 1

，即1

能由,2

線性表示.反證：若4

能由,,1 2

線性表示，由于1

可由,2

線性表示，4

能由,線性2 3表示，與2

,,3

線性無關矛盾，4

不能由,,1 2

線性表示.16．設n維單位坐標向量組,,1 2

,n維向量組,n 1

, ,n

線性表示，證明向量組,,1 2

,.n,,1 2

,n,n 1

, ,n

線性表示，因此由題目知,,1 2

,與,n 1

, ,n

,,1 2

,的秩為n以,,1 2

,的秩也為n，即,,n 1 2

,.n17．,1

, ,n

是n維向量組，證明它們線性無關的充分必要條件是：任一n維向量都能由它們線性表示.證明：必要性：任取向量Rn，

,1

, ,n

是線性無關的n維向量組，,1

, ,n

可由,,1 2

,線性表示；n充分性：若任意一個n維向量均可由,1 2

, ,n

線性表示，則n維單位坐標向量組,,1 2

,可由,n 1

, ,n

16題知,,1 2

,.n1

Annk00，證明向量組,,Ak線性無.k100，則線性無關，結(jié)論正確；k1

A2

Ak0 （1）0 1

k1Ak，則0

Ak11

Ak2

Ak1

k

A2k20Ak00

Ak00，0

0，代入（1）得：1 2

A2

k1

Ak0 （2）Ak2，則1

Ak12

Ak

k

A2k301

0，代入（2）得A22 3

A3

k1

Ak0 （3）Ak3，則2

Ak13

Ak

k

A2k4002以此類推，得到3 4

k

0，從而,,Ak線性無.19．設向量(I)：,, ,的秩為r，向量(II)：,, ,，的秩為

，向量組1 2 s 1 1 2 t 2(III)：,,

,,,

, ,

，證明max{r

r}

rr.1 2 s 1 2 t 3

1,2

3 1 2r1

rr3

r，3所以maxr,rr；1 2 3同時記,

, ,

為,

, ,

的極大無關組，,,

,為,

, ,

的極大1 2 r 1 2 s1

1 2 r 1 2 t2無關組，則可由,,

,，,,

,線性表示，r

rrmax{r

1r}

2 r 1 2 r1 2rr.

3 1 21,2 3 1 2AmsBmtRABRR(B.證明：將

ABA1

，Bs 1

，則tRAR1

，RBRs 1

，且tRA B 1 s 1

，由19題知：RA BRARB.tBmnRABRR(B.ABA1

，Bn 1

，則：nAB1 1

n

，1

, ,1

可由n

, ,n

,, ,1

線性表示，由19題知：R(AB)R(A)R(B).AmsBsnRABR(B)}.a

a

11

1s

1

1a a a

證明設A 21 22

2sB

2ABAB

2，a a a

aa 2ABa1121aa22a112a1s2sa1aa 211111a1s s2s s ma