多元函數(shù)積分概念與性質(zhì)

關(guān)于多元函數(shù)積分概念與性質(zhì)第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日1.曲頂柱體的體積曲頂柱體：以XOY平面上的閉區(qū)域D為底，以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于Z

軸的柱面為側(cè)面，并以z=f(x,y)為頂?shù)目臻g立體.一.兩個(gè)實(shí)例：如何求此曲頂柱體的體積V？微元法思想.分割：把D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域(同時(shí)用表示第i

個(gè)小區(qū)域的面積），分別以的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z

軸的柱面，則原曲頂柱體分成了n

個(gè)小的曲頂柱體。第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日近似

：任取，則以為底的小曲頂柱體體積:yxzDo求和：取極限：區(qū)域中任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的直徑，記則：第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日設(shè)有一物體對(duì)應(yīng)于空間曲面

,(x,y,z)

為密度函數(shù)(連續(xù)），現(xiàn)要求該物體的質(zhì)量m。2.質(zhì)量：分割：把任意分成n

小塊，表示第i

小塊曲面的面積。近似：任取，則第i小塊曲面的質(zhì)量取極限：求和：第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日二.數(shù)量函數(shù)積分的概念定義1第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日二重積分；三重積分：其中稱為積分域，f稱為被積函數(shù)，f(M)d稱為被積式或積分微元。幾種具體的類型：第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第一型曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分）：第一型曲面積分（對(duì)面積的曲面積分）：L稱為積分路徑。第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日數(shù)量函數(shù)積分的幾何意義：當(dāng)時(shí)，=以D為底,以為頂?shù)那斨w的體積；第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日數(shù)量函數(shù)積分的物理應(yīng)用之一：第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日三.積分存在的條件和性質(zhì).

必要條件:

f在上可積，則f在上有界。第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日1.線性性質(zhì)：2.可加性3.積分不等式若則第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日5.中值定理特別地，有若則第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面為側(cè)面，D為底面，曲面由二重積分的幾何意義知：以xoy平面上的區(qū)域?yàn)轫斆娴那斨w的體積為第2節(jié)二重積分的計(jì)算一.直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算：xbxaoyz第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日任取，過x

軸作平行于yoz坐標(biāo)面的平面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設(shè)其面積為，則先y后x的二次積分(累次積分)而該體積也可用定積分的方法求得:bxaoxyz第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日X-型區(qū)域：任一平行y

軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)至多只有兩個(gè)。上面假定，但實(shí)際上上公式對(duì)一般的也成立。對(duì)各種不同類型的積分區(qū)域D，二重積分化為二次積分的情況總結(jié)如下：第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日DaboyxoyxDab第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日DdcoyxDcdoyxY-型區(qū)域：任一平行x

軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)至多只有兩個(gè)。第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日oy第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1計(jì)算解oxy11第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日解法一先對(duì)y后對(duì)x積分oyx例2第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日法二先對(duì)x后對(duì)y積分oyx第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日解由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能先對(duì)y積分例3計(jì)算oyx1D第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日注意：在例2中，法1比法2簡(jiǎn)便，在例3中，由于被積函數(shù)中含有，只能先對(duì)x積分.因此，在把二重積分化為二次積分時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序是非常重要的，而要計(jì)算二重積分，關(guān)鍵的是要化為二次積分。例4

作出積分域，并改變積分次序：解原積分=(4,2)o第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日解原積分=o(2,1)o解原積分=第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日解原積分o第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例5求兩個(gè)底面半徑相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。解第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日二.極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算則得極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算公式:作極坐標(biāo)變換第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日oxD第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxDoxD第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxD第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxD第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxDab第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日解令則在極坐標(biāo)系中，于是例6

計(jì)算第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日顯然由于從而例7

計(jì)算反常積分解設(shè)例6例6第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日而從而因此第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例8

將下列二次積分化為極坐標(biāo)形式下的二次積分：解第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日積分區(qū)域：D:在極坐標(biāo)下，D：于是解第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日在極坐標(biāo)下，將D分為二部分表示：于是解第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日在極坐標(biāo)下，D分為二部分表示：于是解第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例9

求Bernoulli雙紐線圍成的面積A.解雙紐線在極坐標(biāo)下的方程為：第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日由的周期性得圖形的對(duì)稱性，而且當(dāng)從增加到時(shí)，由零增加到，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日（2）變換T：把uov平面上的區(qū)域一對(duì)一的變?yōu)镈，定理1設(shè)（1）（3）(u,v),(u,v)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且：三.二重積分的換元法二重積分的換元公式第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日例10

計(jì)算解于是第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日例11

求由曲線

所圍區(qū)域D的面積S。解令D第四十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日于是第四十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例12

求橢圓圍成區(qū)域的面積A。解令廣義極坐標(biāo)，第四十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日作業(yè)P93-97習(xí)