切線的證明-判定的運(yùn)用課件

年級(jí)：九年級(jí)學(xué)科名稱：數(shù)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系——切線的判定

授課學(xué)校：

授課教師：授課學(xué)校：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

條件：(1)經(jīng)過半徑的外端；圓的切線判定定理：(2)垂直于過該點(diǎn)半徑；●O┐Al∵l⊥OA，OA為半徑∴直線l是⊙O的切線數(shù)學(xué)語言表達(dá)經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。條件1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的直線是圓的切線（)3.過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）4.圓心與直線上一點(diǎn)的距離等于半徑長(zhǎng),則此直線為圓的切線()5.過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．()×××OrlAOrlAOrlA判斷正誤●O┐Al×1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）×××O如何判定一條直線是已知圓的切線？切線的判定方法有三種：(1)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(定義法)(2)到圓心的距離等于半徑的直線

是圓的切線；(3)過半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直

的直線是圓的切線；(判定定理)(d=r數(shù)量關(guān)系法)如何判定一條直線是已知圓的切線？切線的判定方法有三種：(2)1、矩形的兩邊長(zhǎng)分別為2.5和5，若以較長(zhǎng)一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相切的線段最多有（）A、0條B、1條C、2條D、3條D基礎(chǔ)練習(xí)1、矩形的兩邊長(zhǎng)分別為2.5和5，若以較長(zhǎng)一邊為直徑作半圓，2、已知如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF，AB為直徑,還需添加的條件是＿＿＿＿＿.使得EF是⊙O的切線。FECOBA2、已知如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF，AB為直徑OBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明＿＿＿即可。證明：連結(jié)OC(如圖)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC。又∵OC為半徑

∴AB是⊙O的切線。例1.已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，且OA=OB,CA=CB求證：直線AB是⊙O的切線。例題講解（1）AB⊥OCOBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明例2.已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過O作OE⊥AC，垂足為E?！逜O平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴OE是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。

例題講解（2）例2.已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為例題1與例題2的證法有何不同?(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED例題1與例題2的證法有何不同?OBACOABCED例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線二.例題講解AOBDC分析：欲證DC是⊙O的切線，由于直線CD與⊙O有公共點(diǎn)C，所以連接OC，易知△OCB為等邊三角形，由CB=OB=BD可得△OCD是直角三角形。證明OC⊥CD即可，因?yàn)锳B是直徑，所以連接BC，例題講解（3）例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=O證明：連結(jié)OC、BC例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線AOBDC∵AB為⊙O的直徑∴∠ACB=90°∵∠CAB=30°∴∠ABC=60°∵OB=OC，∴△BOC為等邊三角形∴BC=OB=BD，即△BCD為等腰三角形又∵∠CBD=180°-∠ABC=120°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線∴∠BCD=∠D=30°證明：連結(jié)OC、BC例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線AOBDC點(diǎn)評(píng)：如果直線與圓有公共點(diǎn)，則連接該點(diǎn)和圓心，證明直線垂直于經(jīng)過這點(diǎn)的半徑。即

“連半徑，證垂直”例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=O例4.如圖，已知：PA是∠BAC的平分線，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為E，求證：AC是⊙O的切線證明：連結(jié)OE，過O作OF⊥AC垂足為F點(diǎn)∵AB是⊙O的切線∴OE⊥AB(?)（圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑）又∵AP是∠BAC的角平分線，OF⊥AC∴OF=OE（？）∴AC是⊙O的切線（？）點(diǎn)評(píng)：如果直線與圓未知公共點(diǎn)，則過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑。即

“作垂直，證半徑”F例4.如圖，已知：PA是∠BAC的平分線，AB是⊙O的切線，小結(jié)

相切是直線與圓的位置關(guān)系中最重要一種關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)是中考命題中一個(gè)曲線型證明必涉及的內(nèi)容，一般7~10分.在解決有關(guān)圓的切線問題時(shí)，常常需要添加輔助線:1、已知直線是圓的切線，通常連過切點(diǎn)的半徑，得這條半徑垂直于切線；2、要證明一條直線是圓的切線：①如果直線經(jīng)過圓上某一點(diǎn)，則需要連接這點(diǎn)和圓心得到輔助線半徑，再證明所作半徑垂直于這條直線，總結(jié)為：“已知公共點(diǎn)，連半徑，證垂直”；②如果已知條件中直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，那么應(yīng)過圓心作直線的垂線，得垂線段，再證明這條垂線段的長(zhǎng)等于半徑。總結(jié)為：“未知公共點(diǎn)，作垂直，證半徑”。即：知切線，連半徑，得垂直。小結(jié)相切是直線與圓的位置關(guān)系中最重要一種關(guān)系，當(dāng)堂訓(xùn)練已知：如圖，AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，PA⊥AB，BC∥OP，求證：PC是⊙O的切線

分析：要證明PC是⊙O的切線，由于點(diǎn)C在⊙O上，只需連結(jié)OC，證明OC⊥PC即可，而PA⊥AB，故需證△PAO≌△PCO，得∠PCO=∠PAO=90°證明：連結(jié)OC∵BC∥OP∴∠1=∠2∠3=∠B又∵OC=OA，OP=OP∴△PAO≌△PCO（SAS）∵OB=OC∴∠1=∠B∴∠2=∠3∴∠PCO=∠PAO而PA⊥AB∴∠PCO=90°∴PC是⊙O的切線123當(dāng)堂訓(xùn)練已知：如圖，AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，PA⊥●O●P┓1、已知：P為⊙O外一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑作圓交⊙O于A、B兩點(diǎn)，連接PA、PB那么PA、PB是⊙O的切線嗎？AB練習(xí)●O●P┓1、已知：P為⊙O外一點(diǎn)，以O(shè)P為2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP證明：連結(jié)OP?！逴B=OA，BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP?！郟E為⊙0的切線。2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP證明：連結(jié)OP。2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊3.已知：如圖，同心圓O，大圓的弦

AB=CD，且AB是小圓的切線，切點(diǎn)為E．

求證：CD是小圓的切線．3.已知：如圖，同心圓O，大圓的弦

AB=CD，且AB是小小結(jié)1.判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線2.證明圓的切線常用輔助線作法：⑴連半徑，證垂直⑵作垂直，證半徑l是圓的切線l是圓的切線判定定理(半徑+垂直)小結(jié)1.判定切線的方法有哪些？直線l與圓有唯一公共點(diǎn)與圓1.如圖,線段AB經(jīng)過圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,∠BAD＝∠B＝30°,邊BD交圓于點(diǎn)D。求證：BD是⊙O的切線O●ABCD1.如圖,線段AB經(jīng)過圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,O2.如圖，在△ABC中∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，E是BC的中點(diǎn)，連接ED

求證：DE是⊙O的切線·OACBED2.如圖，在△ABC中∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙3.如圖，已知，AB是⊙O直徑，BC⊥AB于B，⊙O的弦AD∥OC，求證：DC是⊙O的切線．DOBCA3.如圖，已知，AB是⊙O直徑，DOBCA4.如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的

⊙O交AB于D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．．CBODFEA∟求證：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切線4.如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的CBOD5.已知:如圖,梯形ABCD中，AD‖BC，

∠C=90°，AD+BC=AB，以AB為

直徑作⊙O.求證：CD為⊙O的切線.AODCB5.已知:如圖,梯形ABCD中，AD‖BC，AODCB6.如圖，△ABC為等腰三角形，O為

底邊BC的中點(diǎn)，OD⊥AB，以O(shè)為

圓心OD為半徑作⊙O，求證：AC與⊙O相切.OACDB6.如圖，△ABC為等腰三角形，O為OACDB謝謝聆聽，再見！謝謝聆聽，再見！

年級(jí)：九年級(jí)學(xué)科名稱：數(shù)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系——切線的判定

授課學(xué)校：

授課教師：授課學(xué)校：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

條件：(1)經(jīng)過半徑的外端；圓的切線判定定理：(2)垂直于過該點(diǎn)半徑；●O┐Al∵l⊥OA，OA為半徑∴直線l是⊙O的切線數(shù)學(xué)語言表達(dá)經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。條件1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的直線是圓的切線（)3.過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）4.圓心與直線上一點(diǎn)的距離等于半徑長(zhǎng),則此直線為圓的切線()5.過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．()×××OrlAOrlAOrlA判斷正誤●O┐Al×1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）×××O如何判定一條直線是已知圓的切線？切線的判定方法有三種：(1)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(定義法)(2)到圓心的距離等于半徑的直線

是圓的切線；(3)過半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直

的直線是圓的切線；(判定定理)(d=r數(shù)量關(guān)系法)如何判定一條直線是已知圓的切線？切線的判定方法有三種：(2)1、矩形的兩邊長(zhǎng)分別為2.5和5，若以較長(zhǎng)一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相切的線段最多有（）A、0條B、1條C、2條D、3條D基礎(chǔ)練習(xí)1、矩形的兩邊長(zhǎng)分別為2.5和5，若以較長(zhǎng)一邊為直徑作半圓，2、已知如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF，AB為直徑,還需添加的條件是＿＿＿＿＿.使得EF是⊙O的切線。FECOBA2、已知如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF，AB為直徑OBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明＿＿＿即可。證明：連結(jié)OC(如圖)?！逴A＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC。又∵OC為半徑

∴AB是⊙O的切線。例1.已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，且OA=OB,CA=CB求證：直線AB是⊙O的切線。例題講解（1）AB⊥OCOBAC分析：由于AB過⊙O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明例2.已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過O作OE⊥AC，垂足為E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴OE是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。

例題講解（2）例2.已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為例題1與例題2的證法有何不同?(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED例題1與例題2的證法有何不同?OBACOABCED例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線二.例題講解AOBDC分析：欲證DC是⊙O的切線，由于直線CD與⊙O有公共點(diǎn)C，所以連接OC，易知△OCB為等邊三角形，由CB=OB=BD可得△OCD是直角三角形。證明OC⊥CD即可，因?yàn)锳B是直徑，所以連接BC，例題講解（3）例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=O證明：連結(jié)OC、BC例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線AOBDC∵AB為⊙O的直徑∴∠ACB=90°∵∠CAB=30°∴∠ABC=60°∵OB=OC，∴△BOC為等邊三角形∴BC=OB=BD，即△BCD為等腰三角形又∵∠CBD=180°-∠ABC=120°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線∴∠BCD=∠D=30°證明：連結(jié)OC、BC例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°，求證：DC是⊙O的切線AOBDC點(diǎn)評(píng)：如果直線與圓有公共點(diǎn)，則連接該點(diǎn)和圓心，證明直線垂直于經(jīng)過這點(diǎn)的半徑。即

“連半徑，證垂直”例3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=O例4.如圖，已知：PA是∠BAC的平分線，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為E，求證：AC是⊙O的切線證明：連結(jié)OE，過O作OF⊥AC垂足為F點(diǎn)∵AB是⊙O的切線∴OE⊥AB(?)（圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑）又∵AP是∠BAC的角平分線，OF⊥AC∴OF=OE（？）∴AC是⊙O的切線（？）點(diǎn)評(píng)：如果直線與圓未知公共點(diǎn)，則過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑。即

“作垂直，證半徑”F例4.如圖，已知：PA是∠BAC的平分線，AB是⊙O的切線，小結(jié)

相切是直線與圓的位置關(guān)系中最重要一種關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)是中考命題中一個(gè)曲線型證明必涉及的內(nèi)容，一般7~10分.在解決有關(guān)圓的切線問題時(shí)，常常需要添加輔助線:1、已知直線是圓的切線，通常連過切點(diǎn)的半徑，得這條半徑垂直于切線；2、要證明一條直線是圓的切線：①如果直線經(jīng)過圓上某一點(diǎn)，則需要連接這點(diǎn)和圓心得到輔助線半徑，再證明所作半徑垂直于這條直線，總結(jié)為：“已知公共點(diǎn)，連半徑，證垂直”；②如果已知條件中直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，那么應(yīng)過圓心作直線的垂線，得垂線段，再證明這條垂線段的長(zhǎng)等于半徑?？偨Y(jié)為：“未知公共點(diǎn)，作垂直，證半徑”。即：知切線，連半徑，得垂直。小結(jié)相切是直線與圓的位置關(guān)系中最重要一種關(guān)系，當(dāng)堂訓(xùn)練已知：如圖，AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，PA⊥AB，BC∥OP，求證：PC是⊙O的切線

分析：要證明PC是⊙O的切線，由于點(diǎn)C在⊙O上，只需連結(jié)OC，證明OC⊥PC即可，而PA⊥AB，故需證△PAO≌△PCO，得∠PCO=∠PAO=90°證明：連結(jié)OC∵BC∥OP∴∠1=∠2∠3=∠B又∵OC=OA，OP=OP∴△PAO≌△PCO（SAS）∵OB=OC∴∠1=∠B∴∠2=∠3∴∠PCO=∠PAO而PA⊥AB∴∠PCO=90°∴PC是⊙O的切線123當(dāng)堂訓(xùn)練已知：如圖，AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，PA⊥●O●P┓1、已知：P為⊙O外一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑作圓交⊙O于A、B兩點(diǎn)，連接PA、PB那么PA、PB是⊙O的切線嗎？AB練習(xí)●O●P┓1、已知：P為⊙O外一點(diǎn)，以O(shè)P為2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP證明：連結(jié)OP。∵OB=OA，BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP?！郟E為⊙0的切線。2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP證明：連結(jié)OP。2.如圖,△ABC中，以AB為直徑的⊙O交邊3.已知：如圖，同心圓O，大圓的弦

AB=CD，且AB是小圓的切線，切點(diǎn)為E．

求證：CD是小圓的切線．3.已知：如圖，同心圓O，大圓的弦

AB=CD，且AB是小小結(jié)1.判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等