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1.如圖,連接A、B兩點的所有連線中,哪條最短?為什么?AB①②③②最短,因為兩點之間,線段最短2.如圖,點P是直線l外一點,點P與該直線l上各點連接的所有線段中,哪條最短?為什么?PlABCDPC最短,因為垂線段最短回顧舊知3.在我們前面的學(xué)習(xí)中,還有哪些涉及比較線段大小的基本事實?三角形三邊關(guān)系:兩邊之和大于第三邊;斜邊大于直角邊.4.如圖,如何做點A關(guān)于直線l的對稱點?AlA′回顧舊知將軍的疑問?相傳,古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者,名叫海倫。有一天,一位將軍專程拜訪海倫,求教一個百思不得其解的問題:
從圖1中的A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?圖1ABl抽象為數(shù)學(xué)問題?CABl圖2問題1:如圖2,將A、B兩地抽象為兩個點,將河l抽象為一條直線,設(shè)點C為直線l上的一個動點,當點C在什么位置時,AC+BC最小。解決問題!ABl圖2AlBC圖3問題2
:如圖3,現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,如何在l上找到一個點,使得這個點到點A,點B的距離的和最短?尋找B’~~~作法:(1)作點B
關(guān)于直線l的對稱點B′;(2)連接AB′,與直線l
相交于點C.則點C即為所求.ABlB′C證明最短?問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎?證明:如圖,在直線l上任取一點C′(與點C
不重合),連接AC′,BC′,B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知,
BC=B′C,BC′=B′C′.∴
AC+BC=AC+B′C=AB′,
∴
AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即
AC+BC
最短.ABlB′CC′
追問1:證明AC+BC最短時,為什么要在直線l上任取一點C’(與點C不重合),證明AC+BC<AC’+BC’?這里的“C’”的作用是什么?想一想
若直線上任意一點(與點C不重合)與A,B兩點的距離和都大于AC+BC,就說明AC+BC最小。追問2:回顧前面的探究過程,我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的?實際問題數(shù)學(xué)問題抽象①軸對稱----找對稱點②兩點之間線段最短③三角形兩邊之和大于第三邊練一練1、如圖,直線l是一條河,P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實線表示鋪設(shè)的管道,則所需要管道最短的是()PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2、如圖,已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點,AD=5,點F是AD邊上的動點,則BF+EF的最小值為()
A.7.5B.5C.4D.不能確定B練一練練一練3.如圖,牧童在A處放馬,其家在B處,A、B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米,則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家,所走的最短距離是
米.ACBD河1000談一談?wù)f說本節(jié)課你有哪些收
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