數(shù)學中考專題訓練-全等三角形的判定和性質(zhì)

中考專題訓練——全等三角形的判定和性質(zhì).如圖，點E,尸在BC上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,求證：AB=OC..如圖，點E,F在8c上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,4F與OE交于點O.(1)求證：AB=OC；(1)求證：AABE^ACAD；(2)求NP8。的度數(shù).AD與.如圖，△4BC中，AB=BC,BEJMC于點E,4O_LBC于點。，ZBAD=45°AD與BE交于點、F,連接CE(1)求證：BF=2AE；(2)若CD=H，求AO的長..如圖，OE_LA8于E,DFLACTF,若BD=CD,BE=CF,(1)求證：AO平分NBAC；

(2)直接寫出4B+AC與AE之間的等量關(guān)系..如圖，ZXABC和△AOE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,。在同一條直線上.(1)求證：BD=CE.BD,CE有什么位置關(guān)系？請證明..如圖，在8c和中，AB=AC,AD^AE,NBAC=N￡>A￡=90°.(1)當點。在4c上時，如圖①，線段B￡>,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；(2)將圖①中的△AOE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖②，線段80,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.圖①C3圖②C.已知：如圖，AD//BC,E/垂直平分BD,與AO,BC,8。分別交于點E,F,O.求證：△BOFmADOE：DE=DF.

。.如圖，點C是線段A8上除點A、8外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△AC3和等邊△8CE,連接AE交3c于M,連接80交C￡于N,連接用N.(1)求證：AE=5￡＞；(2)判斷△CMN的形狀并說明理由..如圖，在△ABC中，AB=AC,8c=6,點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，當點P運動到4時，點P、。隨即停止運動，若點P、。移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D(1)如圖①，當點P自點8出發(fā)在線段B4上運動時，過點P作AC的平行交BC于點F,連接PC、FQ,判斷四邊形PFQC的形狀，并證明你的結(jié)論.(2)如圖②，過點尸作「ELBC,垂足為E,請說明在點P、。在移動的過程中，OE長度保持不變..如圖，在△ABC中，AB=8,AC=4,G為8c的中點，OG_LBC交NBAC的平分線40于O,DEA.ABfE,。凡LAC于尸交AC的延長線于F.(1)求證：BE=CF；(2)求AE的長.A.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,ZVICB和均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接BE,求/AE8的度數(shù).(2)拓展探究如圖2,△ACS和△DCE均為等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90°,點A、D、E在同一宜線上，CM為△￡＞口中DE邊上的高，連接請求/AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由..如圖，在RtZxABC中，/BAC=90°,AB^AC,。是BC的中點，AE=BF.求證:DE=DF：為等腰直角三角形..如圖，ZVIBC中，AB=AC,NB4C=45°,BDLAC,垂足為。點，AE平分NB4C,交8。于尸，交BC于E,點G為AB的中點，連接DG,交AE于點”，(1)求NACB的度數(shù)；(2)求證：HE=4AF.2.已知AW〃BN,A￡平分N84W,BE平分NABN,(1)求/AEB的度數(shù).(2)如圖2,過點E的直線交射線A歷于點C,交射線8N于點O,求證：AC+BD=AB,(3)如圖3,過點E的直線交射線AM的反向延長線于點C,交射線BN于點。，AB=5,AC=3,Smbe-Smce=2,求△BDE的面積..在等邊三角形ABC中，點E在4B上，點。在CB的延長線上，且AE=8D試探索以下問題：(1)當點E為AB的中點時，如圖1,求證：EC=ED.(2)如圖2,當點E不是AB的中點時，過點、E作EF〃BC,交AC于點兄求證：XAEF是等邊三角形.(3)在(2)的條件下，EC與還相等嗎？請說明理由..如圖1,點A和點8分別在y軸正半軸和x軸負半軸上，且0A=08,點C和點。分別在第四象限和第一象限，且OC_LOC,OC=OD,點。的坐標為(m,"),且滿足(5-2〃)2+|n-2|=0.(1)求點。的坐標；(2)求NAKO的度數(shù)；(3)如圖2,點P,。分別在y軸正半軸和x軸負半軸上，且。尸=0Q,直線0N_L8P交AB于點N,MMLAQ交8戶的延長線于點判斷ON,MN, 的數(shù)量關(guān)系并證明..在△48C中，AB=AC,點O是直線8c上的一點(不與點8、C重合)，以A。為一邊在A。的右側(cè)作△AOE,使AO=AE,NDAE=NBAC,連接CE.(1)如圖，點。在線段BC上，若NBAC=90°,則NBCE等于度：(2)設(shè)/BAC=a,ZBCE=p.①如圖，若點。在線段BC上移動，則a與B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點。在直線BC上移動，則a與。之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論.⑴⑵.如圖(1)四邊形ABC。中，已知NABC+NAOC=180°,AB=AD,DALAB,點E在8的延長線上，ZBAC=ZDAE.(1)試說明：△ABC^ZXAOE；(2)試說明C4平分NBCC；(3)如圖(2),過點A作AMJ_CE,垂足為M,試說明：ZACE=ZCAM=ZMAE=NE=45°..如圖(1),直線AB與x軸負半軸、y軸的正半軸分別交于A、B、OA、08的長分別為a、b,且滿足a2-2ab+B=0.(1)判斷aAOB的形狀；(2)如圖(2)過坐標原點作直線OQ交直線AB于第二象限于點Q,過4、B兩點分別作AM_L0Q、BN10Q,若AM=7,BN=4,求A/N的長；(3)如圖(3),E為48上一動點，以AE為斜邊作等腰直角三角形AQE,P為BE的中點，延長OP至F,使PF=OP,連接PO,BF,試問P0是否存在確定的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明.

參考答案：.如圖，點E,F在8c上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,求證：AB=DC.【分析】利用全等三角形的判定定理A4S證得aAB尸絲△OCE；然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得AB=CD【解答】證明：:點E,尸在BC上，BE=CF,：.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE：在△ABF和△OCE中，2a=Nd-ZB=ZC>BF=CEAAABF^ADCE(A45),：.AB=CD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)..如圖，點、E,F在8c上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,AF與OE交于點O.(1)求證：AB=DC；(2)試判斷aOE尸的形狀，并說明理由.ADBF.FC【分析】(1)根據(jù)BE=CF得到BF=C￡,又NA=N￡),ZB=ZC,所以△ABF絲△￡>(:￡,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；(2)根據(jù)三角形全等得NAFB=NOEC,所以是等腰三角形.【解答】(1)證明：；BE=C/,:.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在AAB尸與△OCE中，'BF=CE?ZA=ZD-zb=zc：.XABF4XDCE(AAS),：.AB=DC.△OEF為等腰三角形理由如下：VAABF^ADCE,?\NAFB=NDEC,：.OE=OF,...△OE/為等腰三角形..如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD,8Q_LAO于Q,BE交AD于P.(1)求證：AABE^ACAD；(2)求NP8。的度數(shù).AB DC【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,NBAC=NC=60°,然后利用“邊角邊”即可證明兩三角形全等；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NABE=ND4C,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到/8尸。=60°,再根據(jù)得到NBQP=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NPBQ=30°.【解答】(1)證明：:△ABC是等邊三角形，：.AB=AC,NBAC=NC=60°,在△A8E與△C4O中，，AB=AC-ZBAC=ZC=60°>AE=CD/.AABE^ACAD(SAS)；(2)解：VAABE^ACAD(已證)，，NABE=ZDAC,：.NBPQ=NABE+NBAP=NDAC+NBAP=NBAC=60°,'：BQ±AD,:.NBQP=90°,：.ZPBQ=\SO°-90°-60°=30°..如圖，ZXABC中，AB=BC,8EJ_AC于點E,AO_LBC于點￡>,NBAO=45°,AO與BE交于點F,連接CF.(1)求證：BF=2AE；(2)若求AO的長.【分析】（1）先判定出△AB。是等腰直角三角形，根據(jù)等腰宜角三角形的性質(zhì)可得AD=BD,再根據(jù)同角的余角相等求出然后利用“角邊角”證明△AOC和△8OF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=24凡從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)AO=AF+OF代入數(shù)據(jù)即可得解.【解答】（1）證明：VAD1BC,ZBAD=45",...△A8D是等腰直角三角形，：.AD=BD,,：BE1AC,AD1BC,：.ZCAD+ZACD=90°,NCBE+NACQ=90°,:.NCAD=NCBE,在△4QC和△BQF中，fZCAD=ZCBE-AD=BD ，ZADC=ZBDF=90°.?.△AOCq△BO尸（ASA）,：.BF=AC,'：AB=BC,BE1.AC,：.AC=2AE,：.BF=2AEx（2）解：VAADC^ABDF,:.DF=CD=近,在RtZ\COF中，CF=^/DF24＜，d2=2,'：BE±AC,AE=EC,：.AF=CF=2,：.AD^AF+DF=y/2+2.

5.如圖，DELAB5.如圖，DELAB于E,DF1ACfF,若BD=CD,BE=CF,(1)求證：4。平分NBAC；(2)直接寫出A8+4C與4E之間的等量關(guān)系.=OF,所以AO平分-BE+AF+CF=AE+AE【分析】(1)根據(jù)“HL”定理得出△=OF,所以AO平分-BE+AF+CF=AE+AENBAC；(2)根據(jù)“入證明44￡。也/\4/7),所以AE=AR故AB+4C=AE=2AE.【解答】解：(1)..,￡)E_L4B于E,OF_L4c于F,：.ZE=ZDFC=90°,ABDE與△COE均為直角三角形，...[BD=CD,lBE=CF，:.ABDEqACDF(HL),：.DE=DF,，A￡)平分/8AC；(2)AB+AC=2AE.理由："：ZE=ZAFD=90°,在RtAAED與RtAAFD中，[DE=DF,1ad=ad'/. (HL),：.AE=AF,：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE. X6.如圖，ZXABC和△4OE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,。在同一條直線上.(1)求證：BD—CE.(2)BD,CE有什么位置關(guān)系？請證明.【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AB=4C、AO=AE,由NBAC=ND4E=90°可得出N8AO=NCAE,由此即可證出△BAO/ZXCAE(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BD=CE；(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出NA8C=NACB=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出NACE=NABC=45°,進而即可得出NBCE=NACB+NACE=90°,即BD±CE.【解答】證明：(1);△ABC和△AOE都是等腰三角形，：.AB^AC,AD^AE.VZBAC=90°,ZDAE=90",ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZCAE,即/8AO=NCAE.'AB=AC在△BAO和△CAE中，，ZBAD=ZCAE>AD=AE.?.△BAD^ACA￡(SAS),：.BD=CE.(2)BD1.CE.「△ABC是等腰三角形，ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45°.

：△BAO四△CAE,ZACE=ZABC=45°,NBCE=ZACB+ZACE=90°,：.BDA.CE.：.BDA.CE.7.如圖，在△ABC和△4￡)￡；中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90".(D當點。在AC上時，如圖①，線段BD,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想：(2)將圖①中的△AOE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖②，線段8。，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.【分析】(1)延長8。交CE于F,易證△EACgZXDAB,可得BO=CE,NABD=NACE,根據(jù)NAEC+/ACE=90°,可得NABO+NAEC=90°,即可解題：(2)延長8。交CE于凡易證NBAO=NE4C,即可證明△EAC絲△D48,可得8。=CE,ZABD=ZACE,根據(jù)NABC+NAC8=90°,可以求得/。8尸+/8(7/=90°,即可解題.【解答】證明：(1)延長8。交CE于F,在和在和△DAB中,'AE=AD?ZEAC=ZDAB>AC=AB.,.△EAC^ADAB(SAS),：.BD=CE,ZABD=AACE,ZAEC+ZACE=90°,AZABD+ZAEC=90°,ZBFE=90°,BPEC1BD；(2)延長8。交CE于F,E；NBAD+NCAD=90°,ZCAD+ZE4C=90°,：.ZBAD=ZEAC,在△E4C和△DAB中，'AD=AENBAD=NEAC'AB=AC...△￡ACg△ZMB(SAS),：.BD=CE,ZABD=AACE,'：ZABC+ZACB=90°,:.NCBF+NBCF=NABC-ZABD+ZACB+ZACE=90°,ZBFC=90",即EC_LBD8.已知：如圖，AD//BC,EF垂直平分BD,與AD,BC,BD分別交于點E,F,O.求證：△BOFgADOE；DE=DF.【分析】(1)由線段垂直平分線的定義可知OB=OD,且NBOF=/EOC,利用平行可得NBFO=NDEO,利用A4S可證明△80F名△OOE；(2)由(1)中的全等可得OE=O凡可知8。是EF的垂直平分線，可得DE=DF.【解答】證明：(1)'：AD//BC,:.NBFO=NDEO,垂直平分BD,：.OB=OD,NBOF=NDOE=90°,在△BOF和△OOE中，ZB0F=ZD0E<ZBF0=ZDE0OB=OD.?.△BO尸絲△OOECAAS)；(2)由(1)可知△BOF2△OOE,AOE=OF,且8O_LEF,：.BD為線段EF的垂直平分線，：.DE=DF.9.如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACQ和等邊△BCE,連接AE交OC于M,連接BO交CE于N,連接MN.(1)求證：AE=BD；(2)判斷△CMN的形狀并說明理由.【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明AACE鄉(xiāng)ZkOCB,則可證得AE=BD；(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明△ACMgZ\QCN,可證得MC=NC,則可判定△CMN為等邊三角形.【解答】(1)證明：,/△ACC和4806是等邊三角形，：.AC=DC,CE=CB,NOCA=60°,NECB=6Q°,,：ZDCA=ZECB=60°,:.NDCA+NDCE=NECB+NDCE,ZACE=NDCB,在△ACE與△QCB中，'AC=DC<ZACE=ZDCBCE=CB...△ACE絲△OCB(SAS),：.AE=BD；(2)解：△CMN為等邊三角形，理由如下：?由(1)得，AACE^ADCB,二ZCAM=4CDN,VZACD=ZECB=60°，而A、C、B三點共線，...NOC7V=60°,在△ACM與△QCN中，'Nhac=Nndc-AC=DCZACM=ZDCN...△ACMg4DCN(.ASA),：.MC=NC,■:NMCN=60°,...△MCN為等邊三角形.10.如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=6,點尸從點B出發(fā)沿線段區(qū)4移動，同時，點。從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，當點尸運動到A時，點P、Q隨即停止運動，若點P、。移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D(D如圖①，當點P自點8出發(fā)在線段BA上運動時，過點P作AC的平行交BC于點F,連接尸C、FQ,判斷四邊形PFQC的形狀，并證明你的結(jié)論.(2)如圖②，過點P作尸E_LBC,垂足為E,請說明在點P、。在移動的過程中，OE長度保持不變.【分析】(1)如圖①中，四邊形PFQC是平行四邊形.只要證明P/〃CQ,PF=CQ即可解決問題.(2)如圖②中，過點P作P/〃AC交于F,首先證明BE=EF,根據(jù)DF=FC,即可解決問題.【解答】解：(1)如圖①中，四邊形PFQC是平行四邊形.理由：：AB=AC,:.NB=NACB,'JPF//AQ,ZPFB=ZACB=NB,ZDPF=NDQC,：.PB=PF=CQ,：.四邊形PFQC是平行四邊形.(2)如圖②中，過點P作尸F(xiàn)〃AC交BC于F,②???△P8F為等腰三角形，：.PB=PF,'：PELBF：.BE=EF,由(1)可知尸o=oc,ED=EF+FD=^BF+^FC=—(BF+FC)=-^BC=3,

2 2 2 2為定值，11.如圖，在△ABC中，AB=8,4C=4,G為BC的中點，0Gl交NBAC的平分線AO于O,力EJ_AB于E,。尸_LAC于尸交AC的延長線于尸.(1)求證：BE=CF；(2)求AE的長.【分析】（1）連接DB、DC,先由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE=DF,再證明△OBE且△CCF就可以得出結(jié)論；（2）由條件可以得出絲△4OF,就可以得出AE=AR進而就可以求出結(jié)論.【解答】解：（1）如圖，連接。B、DC,；OG_L8C且平分BC,：.DB=DC.為NB4C的平分線，DEA.AB,DFVAC,:.DE=DF.ZAED=NBED=ZACD=NDCF=90°在RtADBE和RtADCF中fDB=DClDE=DFRt△力BE絲RtZXOC尸(HL),：.BE=CF.(2)在Rt/^ADE和RtAADF中[AD=ADIde=df；.RtZ\AOE絲RtZXAOF(HL).：.AE=AF.'：AC+CF^AF,：.AE=AC+CF."：AE^AB-BE,：.AC+CF=AB-BE'：AB=S,AC=4,：.4+BE=S-BE,：.BE=2,：.AE=S-2=6.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,ZkACB和△OCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接8E,求NAEB的度數(shù).(2)拓展探究如圖2,ZXACB和△￡>(；￡均為等腰直角三角形，NAC8=NOCE=90°,點4、￡>、E在同一直線上，CM為△￡)(?￡中3E邊上的高，連接BE.請求NAEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【分析】(1)先證出N4C￡>=NBCE,那么△4C￡>gZ\BCE,根據(jù)全等三角形證出N4OC=NBEC,求出NAOC=120°,得出/8EC=120°,從而證出NAEB=60°；(2)證明△AC￡>g△BCE,得出NAOC=NBEC,最后證出。M=ME=CM即可.【解答】解：(1)..,△ACB和△ZJCE均為等邊三角形，：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,24CO=60°-NCDB=NBCE.在和△BCE中，'AC=BC<Zacd=Zbce.CD=CE:?△ACDgABCE(SAS).：.NADC=ZBEC.；ADCE為等邊三角形,：.ZCDE=ZCED=60°.?.?點4,D,E在同一直線上，ZADC=120°,.*.ZBEC=120°.:.NAEB=NBEC-NCED=60".(2)NAEB=90°,AE=BE+2CM.理由：和△OCE均為等腰直角三角形，J.CA^CB,CD=CE,NACB=NOCE=90°.:.ZACD=NBCE.在△AC。和△BCE中，'CA=CB<ZACD=ZBCE>CD=CE(SAS).：.AD=BE,NADC=NBEC.??△OCE為等腰直角三角形，:.NCDE=NCED=45°..?點4,D,E在同一直線上，ZADC=135°,/.ZB￡C=135°.：.NAEB=NBEC-NCED=90°.'：CD=CE,CM1.DE,：.DM=ME.ZDCE=90°,：.DM=ME=CM.：.AE=AD+DE^BE+2CM.13.如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=9Q°,AB=AC,。是BC的中點，AE=BF.求證:DE=DF；△OEF為等腰直角三角形.【分析】（1）連接AO,證明絲即可得出OE=OF；（2）根據(jù)三線合一性質(zhì)可知AOLBC,由△BFC絲△4EO可知NBDF=N4OE,根據(jù)等量代換可知NEDF=90°,可證△QEF為等腰直角三角形.【解答】證明：（1）連接AO,：RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,.?.NB=NC=45°.'：AB=AC,DB=CD,：.ZDAE=ZBAD=45°....NBAO=N8=45°.：.AD=BD,ZADB=90°.在△DAE和△DBF中，'AE=BF<ZDAE=ZB=45"，AD=BD:ADAE迫ADBF(SAS).:.DE=DF；(2)VADAE^ADBF:.NADE=NBDF,DE=DF,"：ZBDF+ZADF=ZADB=90°,AZADE+ZADF^9Q°..?.△DEF為等腰直角三角形.14.如圖，△ASC中，AB=AC,/BAC=45°,BDLAC,垂足為D點，AE平分/BAC,交80于F,交BC于E,點G為AB的中點，連接。G,交AE于點出(1)求/4CB的度數(shù)；【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可；(2)證△〃￡＞尸空△8OC,推出4"=8C,求出H￡=8E=CE,即可得出答案.【解答】解：(1)；AB=AC,ZACB=AABC,,.,N7MC=45°,：.ZACB=ZABC=^-(180°-ABAC)=工(180°-45°)=67.5°.2 2

(2)連接”B,'：AB=AC,AE平分NBAC,：.AEA.BC,BE=CE,...NC4E+NC=90°,'：BD±AC,...NCBD+NC=90°,：.ZCAE=ZCBD,,：BDLAC,。為垂足，：.ZDAB+ZDBA=90°,；ND4B=45°,：.ZDBA=45°,：.ZDBA=ZDAB,：.DA=DB,在RtABDC和RtAADF中，'NBDC=/ADF>BD=ADZCAE=ZCBD/.RtABDC^RtAADF(ASA),：.BC=AF,?；D4=OB,點G為AB的中點，.?.OG垂直平分A8,?.?點”在。G上，:.HA=HB,：.ZHAB=ZHBA=AzBAC=22.5°,2:.NBHE=NHAB+NHBA=45°,：.NHBE=NABC-NABH=67.5°-22.5°=45°,：.NBHE=NHBE,：.HE=BE=、BC,2\'AF=BC,：.HE=^AF.215.已知4M〃BN,AE平分NBAW,BE平分NABN,(1)求/AEB的度數(shù).(2)如圖2,過點E的直線交射線AM于點C,交射線BN于點。，求證：AC+BD^AB；(3)如圖3,過點E的直線交射線AM的反向延長線于點C,交射線BN于點O,AB=5,AC=3,Smbe-S^ace=2,求△BOE的面積.A MACMCA M【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/區(qū)4河+/48%=180。，根據(jù)角平分線的定義得到ZBAE=^/BAM,NABE=Z/ABN,于是得到結(jié)論；2 2(2)在AB上截取AF=AC,連接EF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NAEC=NAERBF=BD,等量代換即可得到結(jié)論；(3)延長AE交8D于尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到43=8尸=5,AE=EF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OF=AC=3,設(shè)Sabef=Saabe=5x,SaDEF=S^ace=3x,根據(jù)Saabe-S^ace=2,即可得到結(jié)論.【解答】解：(I)；AM〃BN,：.ZBAM+ZABN=}^0°,?.?AE平分NBAM,BE平分/ABN,：.ZBAE=^/BAM,NABE=L/ABN,2 2：.ZBAE+ZABE=^-(NBAM+NABN)=90°,2AZAEB=90°；(2)在4B上截取AF=AC,連接EF,在AACE與△4FE中，，AC=AF<ZCAE=ZFAE>AE=AE△ACE9XAFE、：.ZAEC=ZAEF,

VZAEB=90°,/.ZAEF+ZBEF=ZAEC+ZBED=90°,：?NFEB=NDEB,在ABFE與ABDE中,<ZFBE=ZDBE<BE=BE ，ZFEB=ZDEB:?△BFEeABDE,:?BF=BD,9：AB=AF+BFf：.AC+BD=AB；(3)延長4E交8。于F,VZAEB=90Q,：.BE1AF,BE平分NA3N,：.AB=BF=5tAE=EF,:AM"BN,：?NC=/EDF,在△從(?￡：與七中，'NONEDF<NAEONFEN，AE=EF，AACE^AFDE,：.DF=AC=3fVBF=5,??設(shè)S&BEF=S&ABE=5x,S〉DEF=S"CE=3x,.*S/\ABE-SaACE=2,A5x-3x=2,**x=1,.二△BOE的面積=8.ACMC/ M

16.在等邊三角形ABC中，點E在48上，點。在CB的延長線上，且AE=8O.試探索以下問題：(1)當點E為48的中點時，如圖1,求證：EC=ED.(2)如圖2,當點E不是AB的中點時，過點E作E產(chǎn)〃BC,交AC于點F,求證：XNEF是等邊三角形.(3)在(2)的條件下，EC與EO還相等嗎？請說明理由.圖1 圖2【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC,ZABC=ZACB=ZA=60°,再由E是A8的中點，AE=BE=BD,證出NEZ)B=NEC8,得出EC=EC；(2)在△AEF中，只要證明有兩個內(nèi)角是60°即可；(3)只要證明△O8E也即可推出結(jié)論；【解答】證明：(1);△ABC是等邊三角形，，4B=AC=BC,NABC=NACB=NA=60°,是AB的中點，；.AE=BE,ZECB=—ZACB=30°,2'：AE=BD,：.BE=BD,:.NEDB=NDEB=Z/ABC=30。,2:.NEDB=NECB,：.EC=ED.(2)過E點作E尸〃BC交AC于/點.如圖2所示：,JEF//BC,：.ZAEF=ZABC=60°,ZAFE=ZACB=6O°,二是等邊三角形.(3)ED=EC.理由如下:是等邊三角形.ZXFE=ZAfiC=60":.NEFC=NDBE=120°,又,：AE=BD,AB=AC,：.BD=EF,BE=FC,在△OBE和△￡：/(中，fBD=EF-ZDBE=ZEFC>BE=FC:./\DBEm4EFC(SAS),AED=EC..如圖1,點A和點8分別在)，軸正半軸和x軸負半軸上，且OA=OB,點C和點。分別在第四象限和第一象限，且OC_LOC,OC=OD,點。的坐標為(加，”)，且滿足(m-2〃)2+|"-2|=0.(1)求點。的坐標；(2)求NAKO的度數(shù)；(3)如圖2,點P,。分別在y軸正半軸和x軸負半軸上，且。尸=OQ,直線ONJ_BP交AB于點N,〃%，42交8戶的延長線于點〃，判斷ON,MN,8例的數(shù)量關(guān)系并證明.【分析】(1)利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；(2)如圖1中，作OE_LB￡>于E,OFVACF.只要證明△BOOgZ\AOC,推出EO=。尸(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等)，推出。K平分NBKC,再證明NAK8=/B0A=90°,即可解決問題；(3)結(jié)論：BM=MN+ON.只要證明△8N4g△BN。，以及即可解決問題；【解答】解：(1)V5-2“)2+|n-0=0,又；（m-2n）2》0, 2|20,?/i2,/w=4>.?.點O坐標為（4,2）.(2)如圖1中，作。從LB。于E,OFVACTF.：OA=OB,OD=OC,ZAOB=ZCOD=90°,；.NBOD=NAOC,/.△BOD^AAOC,:.EO=OF（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），二OK平分NBKC,:.NOBD=NOAC,易證NAK8=NBOA=90°,：.ZOKE=45°,：.ZAKO=135".(3)結(jié)論：BM=MN+ON.理由：如圖2中，過點B作軸交MN的延長線于H.VOQ=OP,OA=OB,NAOQ=NBOP=90°,:.△AOQdBO尸，:.NOBP=NOAQ,

'：ZOBA=ZOAB=45°,ZABP=ZBAQ,'：NM±AQ,BMLON,：.ZANM+ZBAQ=90°,ZBNO+ZABP=90Q,4ANM=NBNO=NHNB,:NHBN=NOBN=45°,BN=BN,.,.△BN%△BN。，：.HN=NO,NH=NBON,；NHBM+NMBO=90°,NBON+NMBO=90°,ZHBM=ZBON=NH,：.BM=MN+NH=MN+ON..在△ABC中，AB=AC,點。是直線BC上的一點(不與點8、C重合)，以A。為一邊在A￡)的右側(cè)作△△￡>￡：,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.(1)如圖，點O在線段BC上，若NB4c=90°,則NBCE等于90度;(2)設(shè)N8AC=a,ZBCE=p.①如圖，若點。在線段BC上移動，則a與。之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點。在直線BC上移動，則a與0之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論.【分析】(1)可以證明△BAOgACAE,得到NB=NACE,證明NACB=45°,即可解決問題.(2)證明△8A。g△CAE,得到/8=NACE,B=NABC+NACB,即可解決問題.(3)證明得到NABO=N4CE,借助三角形外角性質(zhì)即可解決問題.【解答】解：(1)如圖1,'：ZBAC=ZDAE,；.NBAD=NCAE；，AB=AC在△BAO與△C4E中，,/BAD=NCAE，AD=AE.?.△BAO絲△CAE(SAS),NB=ZACE,：.NBCE=NACB+NACE=90°,故答案為90.(2)如圖2,a+p=180°；理由如下：,/ZBAC=ZDAE,；.NBAD=NCAE；在△840與中，'AB=AC-ZBAD=ZCAE?,AD=AE(SAS),NB=NACE,0=ZABC+ZACB,.??a+p=180".(3)①?.?NO4E=NBAC,：.ZDAB=ZEACi在△BAD與△CAE中，'AB=AC<ZBAD=ZCAE>,AD=AE.?.△BAD^ACA￡(SAS),:.NB=NACE,/.ZABD=ZACE,而4B￡>=NACB+a,0=NACE-NACB,.\p=ZACB+a-ZACB,.,.a=p.②當。在CB的延長線時，a=p.當。在BC的延長線上或線段BC上時，a+B=180°.19.如圖(1)四邊形4BC￡>中，已知/ABC+N4OC=180°,AB=AD,DALAB,點E在CD的延長線上，NBAC=ND4￡.(1)試說明：AABC^AADE；(2)試說明C4平分/BCD；(3)如圖(2),過點A作AMJ_CE,垂足為M,試說明：ZACE=ZCAM=ZMAE=Z￡=45°.Ac圖(1) C圖(2)【分析】(1)根據(jù)三角形的判定定理ASA即可證得：(2)通過三角形全等得AC=A￡,NBCA=NE,進而根據(jù)等邊對等角求得NAC￡>=NE,從而求得NBC4=/E=ZACD即可證得；(3)通過三角形全等得AC=AE,ZCAE=90°,即△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)三線合一可得△4CM和AAEM都是等腰直角三角形，進而得出結(jié)論.【解答】解：(1)證明：如圖，?.?NABC+NAOC=180°,NAOE+NAOC=180°,