中考數(shù)學(xué)專題《線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與數(shù)學(xué)思想》專題講練含答案解析

專題10線段中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與數(shù)學(xué)思想專題講練線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)題）是人教版七年級(jí)上學(xué)期壓軸題，而四種數(shù)學(xué)思想則一直貫穿我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，站在中考的角度看數(shù)學(xué)思想的重要性甚至超過(guò)線段的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。本本專題主要介紹線段相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（與中點(diǎn)、和差倍分結(jié)合的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；存在性（探究性）問(wèn)題；閱讀理解（新定義）等）和四種數(shù)學(xué)思想（分類討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想）。1、知識(shí)儲(chǔ)備考點(diǎn)1.線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)2.線段和差倍分關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)3.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的存在性（探究性）問(wèn)題考點(diǎn)4.閱讀理解型（新定義）問(wèn)題考點(diǎn)5.分類討論思想考點(diǎn)6.數(shù)形結(jié)合思想考點(diǎn)7.整體思想考點(diǎn)8.方程思想2、經(jīng)典基礎(chǔ)題3、優(yōu)選提升題1.在與線段長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題中，常常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問(wèn)題，而且題中的數(shù)據(jù)無(wú)法直接利用，常設(shè)列方程；2.線段等量代換模型：若，則，即3.定和型中點(diǎn)模型：若，分別是，的中點(diǎn)，則線段的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題步驟：1.設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2.利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3.根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4.觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果?？键c(diǎn)1.線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題變式1．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長(zhǎng)度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長(zhǎng)度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時(shí)間t為4或或．【分析】（1）（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；（3）當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，可分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)；③當(dāng)＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得方程，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；（2）∵AC=a，BC=b，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，即0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)，得10-2t=6-t，解得t=4；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，即5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)，2t-10=16-3t，解得t=；③當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上，即＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)，6-t=3t-16，解得t=；④當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，即6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)，2t-10=t-6，解得t=4（舍），綜上所述：所求時(shí)間t為4或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的定義得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．變式1．（2022·廣東·七年級(jí)期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒：（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為______，點(diǎn)表示的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？（3）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）-6，；（2）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)7秒時(shí)追上點(diǎn)；（3）線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為7【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)表示的數(shù)和AB的長(zhǎng)度即可求解；（2）根據(jù)題意列出方程，求解即可；（3）分類討論即可：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，且，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，故答案為：-6，；（2）設(shè)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒追上，依題意得，，解得，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)7秒時(shí)追上點(diǎn)；（3）線段的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化都等于7；理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)：，②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：，∴線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，掌握中點(diǎn)的定義、一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2.線段和差倍分關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期末）如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根據(jù)AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后兩種情況討論；（3）表示出BP、BQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多種情況討論；【詳解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，∴，P到達(dá)C之前時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得P到達(dá)C之后時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得故當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)或（3）當(dāng)P、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)C之后、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)此時(shí)，，，當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)以后、Q到達(dá)D之前，，解得綜上當(dāng)厘米時(shí)，、、8，【點(diǎn)睛】此題考查線段和差計(jì)算、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是弄清點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)的出發(fā)點(diǎn)、方向、速度以及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)屬于相遇問(wèn)題還是追及問(wèn)題等．變式1．（2022·天津和平·七年級(jí)期末）如圖，直線l上有A，B兩點(diǎn)，AB＝12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），且滿足AC＝CO+CB，求CO的長(zhǎng)；（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2cm/s．點(diǎn)Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線l看作以O(shè)為原點(diǎn)，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時(shí)，2OP﹣OQ＝4（cm）．【答案】（1）8，4；（2）cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8．【分析】（1）由于AB＝12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB，則OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根據(jù)圖形可知，點(diǎn)C是線段AO上的一點(diǎn)，可設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，分兩種情況：①點(diǎn)C在線段OA上時(shí)；②點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，根據(jù)AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求解；②分兩種情況：0＜t＜4（P在O的左側(cè)）；4≤t≤12（P在O的右側(cè)）；進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案為：8，4；（2）設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，分兩種情況：①點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣；②點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合題意，舍）．故CO的長(zhǎng)是cm；（3）①t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣8+2t；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為4+t．故答案為：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左側(cè)），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右側(cè)），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．綜上所述，t＝1.6或8時(shí)，2OP﹣OQ＝4cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，數(shù)軸上點(diǎn)的表示，比較復(fù)雜，要認(rèn)真理清題意，并注意數(shù)軸上的點(diǎn)，原點(diǎn)左邊表示負(fù)數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離等于任意兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對(duì)值．變式2．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，AB=20，BC=AC，點(diǎn)D，E在射線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．(1)DE在線段AB上，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)F在線段AB上，CF=3，求EF的長(zhǎng)；(3)若AB=2DE，線段DE在射線AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式4BE=3（AD+CE），求的值．【答案】(1)CE=2.5；(2)EF的長(zhǎng)為0.5或5.5；(3)．【分析】（1）根據(jù)AC=20，BC=AC可得BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的中點(diǎn)可得答案；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)或當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)，再根據(jù)線段的中點(diǎn)計(jì)算即可；（3）根據(jù)DE的位置分情況計(jì)算即可．（1）解：∵AB=20，BC=AC，∴BC=5，AC=15，∵E為BC中點(diǎn)，∴CE=2.5；（2）解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，如圖，EF=CF-CE=3-2.5=0.5，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)，如圖，EF=CF+CE=3+2.5=5.5，綜上：EF的長(zhǎng)為0.5或5.5；（3）解：∵BC=AC，AB=2DE，滿足關(guān)系式4BE=3（AD+CE），設(shè)CE=x，BC=5，AC=15，DE=10，①當(dāng)DE在線段AC上時(shí)，如圖，則AD=15-x-10=5-x，BE=5+x，∵4BE=3（AD+CE），即4（5+x）=3（5-x+x），解得x=-1.25，不合題意，舍去；②當(dāng)點(diǎn)C在DE之間時(shí)，如圖，∴AD=15+x-10=5+x，BE=5-x，∵4BE=3（AD+CE），即4（5-x）=3（5+x+x），解得x=0.5，∴CD=10-0.5=9.5∴；③線段CB在線段DE上時(shí)，如圖，則AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合題意，舍去；④當(dāng)D在CB之間時(shí)，如圖，AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合題意，舍去；⑤當(dāng)D在B的右邊時(shí)，如圖，AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合題意，舍去．綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義和線段的和差是解題關(guān)鍵，注意分情況計(jì)算．考點(diǎn)3.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的存在性（探究性）問(wèn)題例1．（2022·廣西桂林·七年級(jí)期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計(jì)算即可求解；（2）分點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)和線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論，從而求解；（3）先將和表示出來(lái)，再求出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，，∴，∵線段，N為BP的中點(diǎn)，∴．故答案是：2；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為8或24．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線段之間的關(guān)系，熟練掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2022·湖北青山區(qū)·七年級(jí)期中）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線段CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①M(fèi)N=8，②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，即可得到答案；②設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進(jìn)行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：解得：a=2在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點(diǎn)∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時(shí)F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時(shí)FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時(shí)FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，F(xiàn)C5DE的值為定值，且定值為0．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差倍分的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，絕對(duì)值的非負(fù)性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的中點(diǎn)定義進(jìn)行解題，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．考點(diǎn)4.閱讀理解型（新定義）問(wèn)題例1．（2022·北京市第七中學(xué)七年級(jí)期中）如圖1，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC=2BC時(shí)，則稱點(diǎn)C是線段AB的內(nèi)二倍分割點(diǎn)；如圖2，如果BC=2AC時(shí)，則稱點(diǎn)C是線段BA的內(nèi)二倍分割點(diǎn)．

例如：如圖3，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C、D分別表示數(shù)-1、2、1、0，則點(diǎn)C是線段AB的內(nèi)二倍分割點(diǎn)；點(diǎn)D是線段BA內(nèi)二倍分割點(diǎn)．（1）如圖4，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)N所表示的數(shù)為7．MN的內(nèi)二倍分割點(diǎn)表示的數(shù)是；NM的內(nèi)二倍分割點(diǎn)表示的數(shù)是．（2）數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的數(shù)為-30，點(diǎn)B所表示的數(shù)為20．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t>0）秒．①線段BP的長(zhǎng)為；（用含t的式子表示）②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、A、B三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的內(nèi)二倍分割點(diǎn)．【答案】（1）4；1；（2）①線段BP的長(zhǎng)為2t；②當(dāng)t為或或或75秒時(shí)，P、A、B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的內(nèi)二倍分割點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)內(nèi)二倍分割點(diǎn)的定義，找到MN的三等分點(diǎn)表示的數(shù)即可；（2）①根據(jù)速度與路程的關(guān)系，可得BP=2t,②分P為其余兩點(diǎn)的內(nèi)二倍分割點(diǎn)和A為其余兩點(diǎn)的內(nèi)二倍分割點(diǎn)兩種情況，按照內(nèi)二倍分割點(diǎn)的定義，列方程求解即可．【詳解】解：（1）MN的內(nèi)二倍分割點(diǎn)就是MN的三等分點(diǎn)且距N近，MN=9，則MN的內(nèi)二倍分割點(diǎn)在N的左側(cè)，距N點(diǎn)3個(gè)單位，所以，表示的數(shù)為4；同理，則NM的內(nèi)二倍分割點(diǎn)在N的左側(cè)，距N點(diǎn)6個(gè)單位，所以，表示的數(shù)為1；（2）①則線段BP的長(zhǎng)為2t．②當(dāng)P在線段AB上時(shí)，有以下兩種情況：如果P是AB的內(nèi)二倍分割點(diǎn)時(shí)，則AP=2BP，所以50-2t=2×2t解得t=；如果P是BA的內(nèi)二倍分割點(diǎn)時(shí)，則BP=2AP，所以2t=2（50-2t）解得t=；當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，有以下兩種情況：如果A是BP的內(nèi)二倍分割點(diǎn)時(shí)，則BA=2PA，所以50=2（2t-50）解得t=；如果A是PB的內(nèi)二倍分割點(diǎn)時(shí)，則PA=2BA，所以2t-50=2×50，解得t=75；綜上所述：當(dāng)t為或或或75秒時(shí)，P、A、B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的內(nèi)二倍分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義內(nèi)二倍分割點(diǎn)、速度與路程的關(guān)系和分類討論的思想；準(zhǔn)確理解定義，恰當(dāng)?shù)挠盟俣扰c時(shí)間表示線段長(zhǎng)，分類討論，建立方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·河南南陽(yáng)·七年級(jí)期中）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）【問(wèn)題解決】（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)?！緫?yīng)用拓展】（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（2）由題意設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程即可；（3）根據(jù)題意先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解即可求出t的值．【詳解】解：（1）因原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，所以線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，故答案為：是；（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：①當(dāng)AB=2AC時(shí)，有60=2（x+20），解得，x=10；②當(dāng)BC=2AC時(shí)，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③當(dāng)AC=2BC時(shí)，有x+20=2（40-x），解得，x=20．綜上，C點(diǎn)表示的數(shù)為10或0或20；（3）由題意得，（i）、若0≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P為AQ的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AQ=2AP時(shí)，60-4t=2×2t，解得，，②當(dāng)PQ=2AP時(shí)，60-6t=2×2t，解得，t=6；③當(dāng)AP=2PQ時(shí)，2t=2（60-6t），解得，；綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15時(shí)，點(diǎn)Q為AP的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AP=2AQ時(shí)，2t=2×（60-4t），解得，t=12；②當(dāng)PQ=2AQ時(shí)，6t-60=2×（60-4t），解得，；③當(dāng)AQ=2PQ時(shí)，60-4t=2（6t-60），解得，．綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有：t=12；；．故，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【點(diǎn)睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程并進(jìn)行求解．考點(diǎn)5.分類討論思想分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干個(gè)不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種解題思想。在線段計(jì)算中，由于線段及端點(diǎn)的不確定性往往需要分類討論。常見分類依據(jù)：①無(wú)圖常需分類討論；②在不清楚點(diǎn)的具體位置的情況下，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，即分點(diǎn)在線段上還是在線段的延長(zhǎng)線上，在左側(cè)還是右側(cè)等情況。例1．（2022·重慶初一期中）已知，點(diǎn)C在直線AB上，ACa，BCb，且a≠b，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則線段MC的長(zhǎng)為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于點(diǎn)B的位置以及a、b的大小沒(méi)有確定，故應(yīng)分四種情況進(jìn)行討論，即可得到答案．【解析】由于點(diǎn)B的位置不能確定，故應(yīng)分四種情況討論：①當(dāng)a＞b且點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②當(dāng)a＞b且點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③當(dāng)a＜b且點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④當(dāng)a＜b且點(diǎn)C在線段AB的方向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．綜上所述：MC的長(zhǎng)為或（a＞b）或（a＜b），即MC的長(zhǎng)為或．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的定義，線段之間的和差關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離，掌握線段間的和差關(guān)系與分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·沙坪壩區(qū)·七年級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．【答案】1或【分析】設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，由OD=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的不同的位置分4種情況進(jìn)行解答，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關(guān)系，再計(jì)算的值即可．【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，如圖2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，如圖3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此時(shí)m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，的值為1或．【點(diǎn)睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用．考點(diǎn)6.數(shù)形結(jié)合思想

以圖形的認(rèn)識(shí)為主，這是幾何研究的主要特點(diǎn)。同時(shí)我們也要聯(lián)系到數(shù)量，使兩者一致，達(dá)到數(shù)與形的完美結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩塊基石，它們常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

在解題時(shí)，必須注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，或者把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題。利用數(shù)研究形，關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，使幾何圖形數(shù)量化；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求最值和定值是常考點(diǎn)。例1.（2022·福建漳州·七年級(jí)期末）如圖，AB＝12cm，C為線段AB上一點(diǎn)，且AC＝2BC．(1)求AC的長(zhǎng)；(2)若D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AB上，且AE＝3cm．請(qǐng)你把圖形補(bǔ)充完整；并求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)8cm；(2)補(bǔ)全圖形見解析，7cm或13cm．【分析】（1）由和，即可求出AC的長(zhǎng)；（2）分類討論當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，畫出圖形．根據(jù)D為BC的中點(diǎn)，即可求出CD的長(zhǎng)，從而可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)所畫圖形，即可求出DE的長(zhǎng)．(1)∵，即，∴cm，解得：cm；(2)①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如下圖即為補(bǔ)全的圖形，∵，∴．∵D為BC的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴cm；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如下圖即為補(bǔ)全的圖形，同理，可求出∵，∴cm．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和與差．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022·山東·七年級(jí)期末）如圖1，將一段長(zhǎng)為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無(wú)彈性，折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處．①如圖2，若A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，MN＝cm；②如圖3，若點(diǎn)A'落在點(diǎn)B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長(zhǎng)度；③若A'B'＝ncm，求MN的長(zhǎng)度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長(zhǎng)度．【解題思路】（1）①由題意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=②先結(jié)合圖形可求得AA′+BB′＝40cm，再根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和線段和差關(guān)系計(jì)算即可；③分兩種情況分別計(jì)算即可：當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時(shí)；（2）根據(jù)三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，分別按以下幾種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)B′D：CD：AC＝3：4：5時(shí)，②當(dāng)B′D：AC：CD＝3：4：5時(shí)，③當(dāng)CD：B′D：AC＝3：4：5時(shí)，④當(dāng)CD：AC：B′D＝3：4：5時(shí)，⑤當(dāng)AC：B′D：CD＝3：4：5時(shí)，⑥當(dāng)AC：CD：B′D＝3：4：5時(shí)．【解答過(guò)程】（1）①∵繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處，A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，∴MN＝MO+ON=12（AO②∵AB＝60cm，A′B′＝20cm，∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40cm．根據(jù)題意得，M、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，∴AM=12AA'，∴AM+BN=12AA'+12BB'=12(AA'+BB')=12×40=20③如∵M(jìn)、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，∴AM＝MA′=12AA'，BN＝B′當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時(shí)，如第（1）小題②圖，∴MN＝MA′+A′B′+B′N=12AA′+A′B′+12B′B=12（AA′+A′B′+B′B）+12A′B′=12（AB當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時(shí)，如（1）③圖，∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．∴AM+BN=12∴MN＝AB﹣（AM+BN）=60?(30+n2)=(30?綜上，MN的長(zhǎng)度為(30+n2)cm或（2）由于三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，CN=12①當(dāng)B′D：CD：AC＝3：4：5時(shí)，AC=512AB，CD=13AB，∴AN=512AB+②當(dāng)B′D：AC：CD＝3：4：5時(shí)，AC=13AB，CD=∴AN=13AB+12CD=③當(dāng)CD：B′D：AC＝3：4：5時(shí)，AC=512AB，CD=312AB，∴AN=512AB+④當(dāng)CD：AC：B′D＝3：4：5時(shí)，AC=13AB，CD=∴AN=13AB+12CD=1124AB＝27.5cm，此時(shí)⑤當(dāng)AC：B′D：CD＝3：4：5時(shí)，AC=14AB，CD=∴AN=14AB+12CD=1124AB＝27.5cm，此時(shí)⑥當(dāng)AC：CD：B′D＝3：4：5時(shí)，AC=14AB，CD=∴AN=14AB+12CD=512AB＝25cm；此時(shí)綜上所述，AN所有可能的長(zhǎng)度為：32.5cm或35cm．考點(diǎn)7.整體思想整體思想就是通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法。運(yùn)用整體思想計(jì)算線段的長(zhǎng)或求定值，注意設(shè)字母參數(shù)x，并用x表示有關(guān)線段。在線段計(jì)算中，求一條線段上的兩個(gè)中點(diǎn)之間的距離時(shí)常用到整體的思想。例3．（2022·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)期末）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時(shí)，求DE的長(zhǎng)．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，若會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意求出BC的長(zhǎng)度，然后由E為BC的中點(diǎn)求出BE的長(zhǎng)度，最后即可求出DE的長(zhǎng)；（2）由題意可得，由F為AD的中點(diǎn)和E為BC的中點(diǎn)表示出，代入，即可求出EF長(zhǎng)．（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，∴，,∵E為BC的中點(diǎn)，∴，∴；（2）線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，，∵AB＝16，CD＝2，∴，∵F為AD的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算以及有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系．變式1．.（2022·成都市·七年級(jí)期中）已知：點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖（1），①若AC＝5，BC＝3，則DE＝；②若AC+BC＝a，你能猜想出DE的長(zhǎng)度嗎？寫出你的猜想并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上，且AC＝m，BC＝n時(shí)，你能猜想出DE的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)?jiān)趫D（2）上畫出圖形，并直接寫出你的猜想結(jié)果．【解題思路】（1）①由中點(diǎn)的性質(zhì)得DC=12AC、CE=12BC，根據(jù)DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC+BC）可得答案；②與①同理；（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得DC=12AC、CE=12BC，結(jié)合圖形依據(jù)DE【解答過(guò)程】解：（1）①∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC、CE=∵AC＝5，BC＝3，∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（②∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC、CE=∵AC+CB＝a，∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC（2）DE=12（n﹣∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC、CE=∵AC＝m，BC＝n，∴DE＝CE﹣CD=12BC?12AC=1考點(diǎn)8.方程思想方程思想是指把數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)?shù)耐緩睫D(zhuǎn)化為方程，從而使問(wèn)題得到解決的思想方法，運(yùn)用方程思想計(jì)算線段的長(zhǎng)，巧設(shè)未知數(shù)，一般設(shè)和其它多數(shù)線段相關(guān)的線段為x.有關(guān)線段比的問(wèn)題（或倍分關(guān)系）常用方程思想求解。例1．（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，分情況列方程求解即可．（1）AB=12，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過(guò)秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·河南·鄭州七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來(lái)的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第二次相遇時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請(qǐng)直接寫出x的值．【答案】(1)16，24．(2)當(dāng)x=，即運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處．(3)當(dāng)x=或x=或x=，即運(yùn)動(dòng)x=或x=或x=秒時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ=2m．【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的長(zhǎng)，然后再求出AB的長(zhǎng)即可；（2）先確定機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，再根據(jù)線段AP=AQ列方程求出x的值即可；（3）分三種情況，一是點(diǎn)P在線段AQ上，可根據(jù)AP+2=AQ列方程求出x的值；二是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之前，可根據(jù)AP-2=AQ列方程求出x的值；三是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P從點(diǎn)B返回時(shí)，可根據(jù)2AB減去點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離等于AQ+2列方程求出x的值即可．(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案為：16，24．(2)解：由題意可得：：機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．答：當(dāng)x=，即運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處．(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AQ上且PQ=2m時(shí)，則6x+2=8+2x，解得x=；當(dāng)點(diǎn)P在線段BQ上且PQ=2m時(shí)，則6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=．答：當(dāng)x=或x=或x=，即運(yùn)動(dòng)x=或x=或x=秒時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ=2m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的應(yīng)用、線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解等知識(shí)點(diǎn)，正確地用含x的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵.1．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖線段，點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，則時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)PB=AB時(shí)，點(diǎn)P可以位于點(diǎn)B兩側(cè)，則通過(guò)分類討論問(wèn)題可解．【詳解】解：由已知當(dāng)PB=AB時(shí)，PB=，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=2t當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)2t+=8解得t=，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)2t-=8解得t=所以t=或t=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解答時(shí)注意根據(jù)已知的線段數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程．2．（2022·遼寧撫順·九年級(jí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD，點(diǎn)P沿直線l從左向右移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)，而圖中共有六條線段，由此可以得到出現(xiàn)報(bào)警的最多次數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)出報(bào)警，∵圖中共有線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，∵AD和BC的中點(diǎn)是同一個(gè)，∴直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有5個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用總體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問(wèn)題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．3．（2022·江蘇·七年級(jí)期中）把根繩子對(duì)折成一條線段，在線段取一點(diǎn)，使，從處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為，則繩子的原長(zhǎng)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由于題目中的對(duì)折沒(méi)有明確對(duì)折點(diǎn)，所以要分A為對(duì)折點(diǎn)與B為對(duì)折點(diǎn)兩種情況討論，討論中抓住最長(zhǎng)線段即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖∵，∴2AP=＜PB①若繩子是關(guān)于A點(diǎn)對(duì)折，∵2AP＜PB∴剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為PB=30cm，∴繩子全長(zhǎng)=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；②若繩子是關(guān)于B點(diǎn)對(duì)折，∵AP＜2PB∴剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×cm∴繩子全長(zhǎng)=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的對(duì)折與長(zhǎng)度比較，解題中滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．4．（2022·福建·福州華倫中學(xué)七年級(jí)期末）如圖直線l上有AB兩點(diǎn)，，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，，若點(diǎn)C是射線AB上一點(diǎn)，且滿足，則OC＝______cm．【答案】或【分析】根據(jù)題意可求出，．設(shè)，分類討論①當(dāng)點(diǎn)C在AO之間時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在OB之間時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用x可分別表示出AC，CB的長(zhǎng)，根據(jù)，即得出關(guān)于x的等式，解出x即可．【詳解】∵AB=12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA=2OB，∴，．設(shè)，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C在AO之間時(shí)，如圖，由圖可知，，，∵，∴，解得：．故此時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在OB之間時(shí)，如圖，由圖可知，，．∴此時(shí)不成立；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖，由圖可知，，，∵，∴，解得：．故此時(shí)；綜上可知OC的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的計(jì)算．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．5．（2022·貴州黔西·七年級(jí)期末）已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)7(2)3或5【分析】（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長(zhǎng)．（2）點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，，，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求出AD的長(zhǎng)．(1)，，，，如圖1，為中點(diǎn)，，，∴，∴，(2)Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，如圖2，或∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長(zhǎng)為3或5．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期末）如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根據(jù)AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后兩種情況討論；（3）表示出BP、BQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多種情況討論；【詳解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，∴，P到達(dá)C之前時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得P到達(dá)C之后時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得故當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)或（3）當(dāng)P、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)C之后、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)此時(shí)，，，當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)以后、Q到達(dá)D之前，，解得綜上當(dāng)厘米時(shí)，、、8，【點(diǎn)睛】此題考查線段和差計(jì)算、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是弄清點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)的出發(fā)點(diǎn)、方向、速度以及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)屬于相遇問(wèn)題還是追及問(wèn)題等．7．（2022·重慶一中）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿足．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立刻返回到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后再返回到點(diǎn)并停止．（1）________，________，________．（2）點(diǎn)從點(diǎn)離開后，在點(diǎn)第二次到達(dá)點(diǎn)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)秒鐘，，求的值．（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，假設(shè)秒鐘時(shí)，、、三點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的值．【答案】（1），，；（2）或或或；（3），1，，8，12【分析】（1）根據(jù)b為最大的負(fù)整數(shù)可得出b的值，再根據(jù)絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性即可得出a、c的值；（2）由題意知，依次求出PC、PB的長(zhǎng)，再進(jìn)行分類討論即可：當(dāng)從到時(shí)，當(dāng)從到時(shí)，當(dāng)從到時(shí)，三種情況分類討論．（3）以點(diǎn)從為PN中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)0<t<時(shí)，點(diǎn)P向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)≤t≤時(shí)，點(diǎn)P從A返回向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P為M中點(diǎn)時(shí)，這幾種情況分類討論．【詳解】解：（1）∵是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿足，∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案為：-3；-1；9．（2）由題意知，此過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)．∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．∴．又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．當(dāng)從到時(shí)，如圖所示：∵PB=1，可以列方程為：3x=1，解得：x=1；當(dāng)從到時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)P在線段AB之間時(shí)，如圖所示：可以列方程為：3x=3,解得：x=1，②當(dāng)P在線段BC之間時(shí)，如圖所示：∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，∴PB=PA-AB=3-2=1，可列方程為：3x=5，解得：．當(dāng)從到時(shí)，如圖所示：可列方程為：3x=23，解得：．綜上所述，或或或．（3）當(dāng)點(diǎn)從為PN中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)0<t<時(shí)，點(diǎn)P向A運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t=（舍去）．當(dāng)≤t≤時(shí)，點(diǎn)P從A返回向B運(yùn)動(dòng)．此時(shí)，P=-3+3（t-）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．當(dāng)P為M中點(diǎn)時(shí)，t>．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t=．當(dāng)點(diǎn)N為PM中點(diǎn)時(shí)，t>．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=．綜上所述，t的值為1，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點(diǎn)能求出兩點(diǎn)間的距離．8．（2022·江西東湖區(qū)·）已知：如圖1，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，此時(shí)AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，求AC+MD的值．（3）若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】（1）2，4；（2）6cm；（3）4；（4）或1．【分析】（1）先求出CM、BD的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB＝2AM，然后根據(jù)AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分點(diǎn)N在線段AB上和點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）根據(jù)題意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案為：2cm，4cm；（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；（3）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD＝2MC，∵M(jìn)D＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案為：4；（4）①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴；②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴；綜上所述或1故答案為或1．【點(diǎn)睛】本題考查了線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．9．（2022·深圳市高級(jí)中學(xué)初一期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=12cm，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.（1）當(dāng)t=1時(shí)，PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t=2時(shí)，PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；（3）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；（4）在（3）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的長(zhǎng).【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm分析：(1)觀察圖形可以看出，圖中的線段PC和線段BD的長(zhǎng)分別代表動(dòng)點(diǎn)C和D的運(yùn)動(dòng)路程.利用“路程等于速度與時(shí)間之積”的關(guān)系可以得到線段PC和線段BD的長(zhǎng)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)BD=2PC.結(jié)合條件PD=2AC，可以得到PB=2AP.根據(jù)上述關(guān)系以及線段AB的長(zhǎng)，可以求得線段AP的長(zhǎng).(2)利用“路程等于速度與時(shí)間之積”的關(guān)系結(jié)合題目中給出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，可以求得線段PC和線段BD的長(zhǎng)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)BD=2PC.根據(jù)BD=2PC和PD=2AC的關(guān)系，依照第(1)小題的思路，可以求得線段AP的長(zhǎng).(3)利用“路程等于速度與時(shí)間之積”的關(guān)系可知，只要運(yùn)動(dòng)時(shí)間一致，點(diǎn)C與點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路程的關(guān)系與它們運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系一致.根據(jù)題目中給出的運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系，可以得到BD=2PC.這樣，本小題的思路就與前兩個(gè)小題的思路一致了.于是，依照第(1)小題的思路，可以求得線段AP的長(zhǎng).(4)由于題目中沒(méi)有指明點(diǎn)Q與線段AB的位置關(guān)系，所以應(yīng)該按照點(diǎn)Q在線段AB上以及點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況分別進(jìn)行求解.首先，根據(jù)題意和相關(guān)的條件畫出相應(yīng)的示意圖.根據(jù)圖中各線段之間的關(guān)系并結(jié)合條件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之間的關(guān)系，借助前面幾個(gè)小題的結(jié)論，即可求得線段PQ的長(zhǎng).【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=1(s)，所以(cm).因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=1(s)，所以(cm).故BD=2PC.因?yàn)镻D=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.因?yàn)锳B=12cm，所以(cm).(2)因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=2(s)，所以(cm).因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=2(s)，所以(cm).故BD=2PC.因?yàn)镻D=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.因?yàn)锳B=12cm，所以(cm).(3)因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，所以(cm).因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，所以(cm).故BD=2PC.因?yàn)镻D=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.因?yàn)锳B=12cm，所以(cm).(4)本題需要對(duì)以下兩種情況分別進(jìn)行討論.(i)點(diǎn)Q在線段AB上(如圖①).因?yàn)锳Q-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因?yàn)锳Q=AP+PQ，所以AP=BQ.因?yàn)?，所?故.因?yàn)锳B=12cm，所以(cm).(ii)點(diǎn)Q不在線段AB上，則點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上(如圖②).因?yàn)锳Q-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因?yàn)锳Q=AP+PQ，所以AP=BQ.因?yàn)椋?故.因?yàn)锳B=12cm，所以(cm).綜上所述，PQ的長(zhǎng)為4cm或12cm.點(diǎn)睛：本題是一道幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.分析圖形和題意，找到代表動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程的線段是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的重要環(huán)節(jié).利用速度、時(shí)間和路程的關(guān)系，常?？梢詫缀螁?wèn)題與代數(shù)運(yùn)算結(jié)合起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算獲得更多的線段之間的關(guān)系，從而為解決問(wèn)題提供有利條件.另外，分情況討論的思想也是非常重要的，在思考問(wèn)題時(shí)要注意體會(huì)和運(yùn)用.10．（2022·綿陽(yáng)市七年級(jí)期末）已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn)．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①是定值；②是定值．其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確結(jié)論并求出其值．【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①詳見解析;②詳見解析.【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；（2）分三種情況：①D在BC之間時(shí)②D在AB之間時(shí)③D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)；（3）分三種情況討論：①F、E在BC之間，F(xiàn)在E左側(cè)②F在BC之間，E在CP之間③F、E在BC之間，F(xiàn)在E右側(cè)；【解析】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；（2）∵點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD中點(diǎn)，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之間時(shí)：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴＝2；②D在AB之間時(shí)：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴＝2；③D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴＝2；故＝2；（3）點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．∴AE＝EP，BF＝CF，①EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴＝2．②EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．③EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．【點(diǎn)睛】本題考查線段之間量的關(guān)系，結(jié)合圖形，能夠考慮到所有分類是解題的關(guān)鍵．11.（2022·河南·七年級(jí)期中）如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若，則DE的長(zhǎng)為_____________；（2）若，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？【答案】（1）6；（2）6；（3）或2【分析】(1)根據(jù)圖形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(2)根據(jù)圖形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再畫出兩種圖形，根據(jù)線段的和等于AB，得到兩個(gè)一元一次方程，即可求出．【詳解】解：如圖(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由題意得，如圖所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=或t=2故當(dāng)t=或t=2時(shí)，P，Q之間的距離為6.【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，得出線段之間的關(guān)系式．12．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時(shí)，則MN=______；(2)若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請(qǐng)判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說(shuō)明理由.(3)若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求MN長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示).【答案】(1)6；(2)無(wú)關(guān)，理由見解析；(3)m.【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)可得到AC、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)CN=3AN，CM=3BM，可計(jì)算出CN、CM，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)線段之間的關(guān)系及CN=3AN，CM=3BM，分別表示出CN、AM及MN，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）分情況討論，畫出圖形，根據(jù)線段之間的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】解：（1）∵點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且AB=m=8，∴AC=BC=AB=4，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，∴CN=3，CM=3，∴MN=CN+CM=3+3=6;（2）若C在A的左邊，如圖所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴MN=CM－CN=3BM－3AN，∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，∴CN+2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，∴CN+2AM－2MN的值與m無(wú)關(guān)；（3）①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，如圖所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，BM=BC，∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC=(BC－AC)=AB=m；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊，如圖所示：∵CN=3