七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊暑期特訓(xùn)實(shí)數(shù)浙教版

暑期特訓(xùn)：實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)（一）二要點(diǎn)、難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)平方根，算術(shù)平方根，立方根的看法，會(huì)用根號(hào)表示某些數(shù)的平方根，算術(shù)平方根，立方根會(huì)求某些非負(fù)數(shù)的平方根及某些數(shù)的立方根認(rèn)識(shí)無理數(shù)和實(shí)數(shù)的看法，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大體范圍三授課過程（一）知識(shí)要點(diǎn)1算術(shù)平方根的定義：一般地，若是一個(gè)正數(shù)的平方等于a，即＝a，那么這個(gè)正數(shù)就叫做a的算術(shù)平方根，記為“”，讀作“根號(hào)a”，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，即＝0。2平方根的定義：一般地，若是一個(gè)數(shù)的平方等于a，即＝a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，記為“”，讀作“正負(fù)根號(hào)a”。13平方根的特點(diǎn)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根4開平方：求一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)重要提示1算術(shù)平方根擁有雙重非負(fù)性；（1）被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a0；（2）算術(shù)平方根的自己是非負(fù)數(shù)，即a0。平方根與算術(shù)平方根的差異與聯(lián)系：差異：（1）定義不相同：“若是一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根”；“非負(fù)數(shù)a的非負(fù)平方根叫做a的算術(shù)平方根”；（2）個(gè)數(shù)不相同：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)，且也是正數(shù)；（3）表示方法不相同；正數(shù)a的平方根為；正數(shù)a的算術(shù)平方根為，特別注意：。2聯(lián)系：（1）平方根中包含了算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè)；（2）平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有；（3）0的平方根和0的算術(shù)平方根是其自己。［典型例題］例1以下各數(shù)有沒有平方根若是有的話，求出它的平方根和算術(shù)平方根，若是沒有的話，請說明原由。14（1）64（2）（3）（－5）（4）－3（5）0（6）225（7）解析：（1）要判斷一個(gè)數(shù)有沒有平方根，就要看它是不是負(fù)數(shù)，若是負(fù)數(shù)就沒有平方根，不是負(fù)數(shù)就有平方根；（2）“平方與開方是互逆運(yùn)算”是解這些題的要點(diǎn)解：（1）由于64>0，因此64有平方根，由于（）＝64，所以64的平方根是8，即±＝，64的算術(shù)平方根是8，即＝8。（2）由于>0，因此有平方根；由于（）＝，因此的平方根是，即0.49＝，的算術(shù)平方根是，即0.49＝。（3）由于（－5）＝25>0，因此（－5）的平方根是5，即(5)2＝5，（－5）的算術(shù)平方根是5，即(5)2＝5。31414146486414821481482148（4）由于－3＝－9252525255252552552552550，因此有平方根，由于3的平方根是±，因此的平方根是，的算術(shù)平方根是。反思：（1）求一個(gè)數(shù)的平方根時(shí)，應(yīng)注意它的平方根平時(shí)用的形式來描述，不能粗心大意而拋棄“”號(hào)，它正是平方根與算術(shù)平方根的差異所在。（2）當(dāng)帶分?jǐn)?shù)開平方時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，爾后再開平方，如第（7）題；當(dāng)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根開平方時(shí)，要特別注意先求出＝3，再求出3的平方根是。例2（1）以下列圖，小明想剪一塊面積為25cm的正方形紙板，你能幫他求出正方形板的邊長嗎？2）若小明想將兩塊邊長都為3cm的正方形紙板沿對角線剪開，拼成以以下列圖所示的一個(gè)大正方形，你能幫他求出這個(gè)大正方形的面積嗎它的邊長是整數(shù)嗎若不是整數(shù)，那么請4你估計(jì)這個(gè)邊長的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間？解：（1）由于正方形的面積公式為：S＝a，而（5）＝25，因此a＝5或－5，但a是邊長，故a＝－5舍去，因此a＝5因此這個(gè)正方形的邊長是5cm。（2）由圖示可知，大正方形紙板的面積是由兩個(gè)小正方形紙板剪湊而成，因此大正方形面積＝33＝18（cm），大正方形的邊長是cm（－舍去）。顯然不是整數(shù)。由于4＝16，因此＝4；而5＝25，因此＝5，因此能夠估計(jì)，，即在整數(shù)4與5之間。反思：從本例的研究中我們能夠獲取啟示：（1）由于正方形的邊長不能夠是負(fù)數(shù)，因此，已知正方形面積求邊長，要用它的算術(shù)平方根，而不是平方根；（2）問題2中，大正方形的面積（即兩個(gè)小正方形的面積之和）是客觀存在的，但表示大正方形邊長的數(shù)，既不是整數(shù)，也不能夠化成分?jǐn)?shù)，那它又是一個(gè)什么數(shù)5呢？（二）知識(shí)要點(diǎn)實(shí)數(shù)的意義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的分類（1）按定義分類：整數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)實(shí)數(shù)無理數(shù):無量不循環(huán)小數(shù)（2）按大小分類：正實(shí)數(shù)0實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義完好相同。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都能夠用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。重要提示6無理數(shù)的常有種類有：（1）所有開方開不盡的數(shù)都是無理數(shù)：如，，－等。（2）圓周率π及一些含有π的數(shù)都是無理數(shù)，如π/2，2π1等。（3）像似循環(huán)，但不循環(huán)的無量小數(shù)是無理數(shù)，如（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0），（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)2）等。有理數(shù)大小的比較法規(guī)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小方法仍適用于實(shí)數(shù)大小的比較。［典型例題］例1把以下各數(shù)填入相應(yīng)的會(huì)集里220，，，，－2，－2，，13，7，，4，（兩個(gè)2之間依次多1個(gè)零）自然數(shù)會(huì)集{}有理數(shù)會(huì)集{}正數(shù)會(huì)集{}整數(shù)會(huì)集{}無理數(shù)會(huì)集{}分?jǐn)?shù)會(huì)集{}7解析：對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，應(yīng)先對某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算并化簡，爾后依照最后結(jié)果進(jìn)行分類。解：由于13＝－1，因此自然數(shù)會(huì)集{0，，}22有理數(shù)會(huì)集{0，－2，，，，7，}22正數(shù)會(huì)集{，，，，13，7，，，π/4，（兩個(gè)2之間依次多1個(gè)零）}整數(shù)會(huì)集{0，－2，，}π無理數(shù)會(huì)集｛，13，，4，（每兩個(gè)2之間依次多1個(gè)零）｝22分?jǐn)?shù)會(huì)集｛，7，｝22π反思：此題的易錯(cuò)點(diǎn)是把，7看作無理數(shù)，把4看作分?jǐn)?shù)，解題要點(diǎn)在于認(rèn)真審查各個(gè)數(shù)據(jù)，嚴(yán)格依照各自定義去予以判8斷。例2某位老師在講“實(shí)數(shù)”時(shí)，畫了以下列圖的圖形，即“以數(shù)軸的單位長線段為邊作一個(gè)正方形，爾后以O(shè)為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交數(shù)軸原點(diǎn)右側(cè)于一點(diǎn)A，作這樣的圖是用來說明解析：依照圖獲取邊長為1的正方形的對角線長為，即OC＝，而是一個(gè)無理數(shù)，又OA＝OC，A所代表的是數(shù)，這說明數(shù)軸上的點(diǎn)能夠表示無理數(shù)。解：“無理數(shù)能夠在數(shù)軸上表示出來”或“數(shù)軸上的點(diǎn)也可以表示無理數(shù)”等。反思：此題只要涉及到“無理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)能對應(yīng)”均為正確答案。例3以下說法中正確的個(gè)數(shù)是（）9①兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)；②兩個(gè)無理數(shù)的積必是無理數(shù)；③有理數(shù)與無理數(shù)分別平方后，不能能相等；④無理數(shù)就是平方開不盡的數(shù)；⑤有理數(shù)的倒數(shù)必然是有理數(shù)。個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)解：①錯(cuò)誤，如（－）＝0為有理數(shù)。②錯(cuò)誤，如（3）＝6為有理數(shù)。③正確，由于有理數(shù)與無理數(shù)不相等，因此平方后也不相等。④錯(cuò)誤，如π。⑤錯(cuò)誤，如0是有理數(shù)，但它不存在倒數(shù)。故此題選B反思：判斷一個(gè)說法正確，要有充分的依照，而判斷一個(gè)說法不正確，也要有依照或舉出反例。（三）知識(shí)要點(diǎn)101立方根：一般地，若是一個(gè)數(shù)的立方等于a，即＝a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根）。求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方，其中a是被開方數(shù)。2立方根的表示法：若是＝a，那么＝，其中a是被開方數(shù)，是根指數(shù)。立方根的特點(diǎn)：正數(shù)有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根是0。重要提示平方根與立方根的差異平方根立方根表示方法a的取值aa為任意實(shí)數(shù)特點(diǎn)正數(shù)的平方根有兩正數(shù)的立方根是個(gè)0的平方根是0，正數(shù)，0的立方根是0，11負(fù)數(shù)沒有平方根負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)2立方根是自己的數(shù)有和0的根指數(shù)不能夠省略，要寫在根號(hào)的左上角。［典型例題］例1判斷題（1）有理數(shù)必然有立方根（）（2）－27的立方根是3（）（3）一個(gè)數(shù)的立方根總比這個(gè)數(shù)的平方根?。ǎ?）若的立方根是它自己，則的值是1或0（）解析：由正數(shù)的立方根是正數(shù)，零的立方根是零，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)能夠判斷結(jié)果。解：（1）正確，任何數(shù)都有立方根（2）錯(cuò)誤，－27的立方根是－3（3）錯(cuò)誤，零的立方根是零，零的平方根也是零（4）正確，立方根是自己的數(shù)只有和0（）反思：12，a的平方根為，而a的立方根不是，應(yīng)為<0時(shí)，a沒有平方根，而有立方根為。例2求以下各數(shù)的立方根127（1）0（2）－343（3）－（4）1216（5）－10227解：（1）由于03＝0，因此0的立方根是0，即＝0；（2）由于（－7）3＝－343，因此－343的立方根是－7，即3343＝－7；（3）由于（－）3＝－，因此－的立方根是－，即30.729＝－；1273437343127（4）由于1216＝216，且（6）3＝216，因此1216的立方7311277根是6，即216＝6；106446410（5）由于－227＝－27，且（－3）3＝－27，因此－227的1341043227＝－3立方根是－3，即。反思：求一個(gè)數(shù)的立方根時(shí)，應(yīng)注意其結(jié)果的唯一性，不要與平方根相混淆，出現(xiàn)－8的立方根為±2的錯(cuò)誤結(jié)論。當(dāng)求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根時(shí)，不遺漏其結(jié)果前面的負(fù)號(hào)，如2）、（3）、（5）；和求平方根相同，當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)再求解。例3求滿足方程：1（－3）319＝－13的的值。解析：此題只要按解方程的步驟進(jìn)行解答即可。1解：由2（－3）319＝－131得2（－3）3＝－32（－3）3＝－64－3＝36414＝－43＝－1一、選擇題1、以下各式正確的選項(xiàng)是（）A、＝±5B、±＝5C、(5)2D、±(5)2＝－5＝±52、若一個(gè)數(shù)的平方根是它自己，則這個(gè)數(shù)是（）A、0B、1C、±1D、0或13、和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的是（）A、整數(shù)B、有理數(shù)C、無理數(shù)D、實(shí)數(shù)4、以下命題中：（1）無理數(shù)是開不盡方的數(shù)；（2）帶根號(hào)的數(shù)是無理數(shù)；（3）無量小數(shù)是無理數(shù)；15（4）無理數(shù)是無量不循環(huán)小數(shù)；正確的命題有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)二、填空題1、若13a8b3＝0，則＝。2、小林家馬上要裝修房子，現(xiàn)計(jì)劃用100塊地板來鋪設(shè)面積為36m2的客廳，則需要正方形地板的邊長是。923、把以下各數(shù)填入相應(yīng)的會(huì)集內(nèi)：－11，，3，11，0，3，3，－π，，2。（1）有理數(shù)會(huì)集：{}；（2）無理數(shù)會(huì)集：{}；（3）正實(shí)數(shù)會(huì)集：{}；（4）整數(shù)會(huì)集：{}；4、以下列圖，一個(gè)正方體的體積是64立方米，則它的棱長是米，表面積是。16三、解答題1、計(jì)算（1）169144（2）82152931911（3）25（4）27（5）（6）0.25－2、求以下各式中的的值（1）（－1）2＝4；（2）x1＝3；（3）273－8＝0；（4）1000（－1）3＝－273、試用直尺和圓規(guī)，在下面所畫數(shù)軸上標(biāo)出表示數(shù)的點(diǎn)4、如圖，一個(gè)圓柱體的底面積半徑為1，高為3，則其體積可能是有理數(shù)嗎若是不是，請給出其17精確到千分位的近似值（圓柱體體積＝底面積×高）5、先填寫下表，經(jīng)過觀察后再回答以下問題a1100100a100000000問：（1）被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)地址搬動(dòng)和它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)地址搬動(dòng)有無規(guī)律若有規(guī)律，請寫出它的搬動(dòng)規(guī)律。（2）已知：＝1800，－3.24＝－，你能求出a的值嗎（3）試比較與a的大小18【試題答案】一、選擇題1、D2、A3、D4、A二、填空題131、22、523、（1）－11，