第四章-靜力學(xué)與動力學(xué)P講解課件

第四章：機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)StaticsandDynamicsofRobot第四章：機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)StaticsandDyna

第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)概述a）靜力學(xué)問題b）動力學(xué)問題末端力F與關(guān)節(jié)力矩關(guān)系末端運(yùn)動特性與關(guān)節(jié)力矩關(guān)系第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)概述a）靜力學(xué)問題b）動力學(xué)3

第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)

相同點(diǎn)：都與關(guān)節(jié)力矩有關(guān)不同點(diǎn)：如下圖概述AmIstrong?解決接觸力大小問題-靜力學(xué)問題DoIoperate

smoothly?動力學(xué)問題從力學(xué)的角度讓機(jī)器人工作的更平穩(wěn)、更精確。3第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)相同點(diǎn)：都與關(guān)節(jié)力§4—1機(jī)器人靜力學(xué)F一、靜力學(xué)問題：（1）假設(shè)各構(gòu)件處在靜止?fàn)顟B(tài)（相當(dāng)于運(yùn)動受限狀態(tài)）（2）關(guān)節(jié)力矩末端輸出力末端輸出力§4—1機(jī)器人靜力學(xué)F一、靜力學(xué)問題：（1）假設(shè)各構(gòu)件處在二、靜力學(xué)兩類問題：1、

正向靜力學(xué)—知各關(guān)節(jié)驅(qū)動力（力矩），求末端點(diǎn)能輸出的力（力矩）。2、

逆向靜力學(xué)—已知末端點(diǎn)作用力（力矩），求關(guān)節(jié)需施加的力（力矩）。二、靜力學(xué)兩類問題：三、靜力學(xué)分析方法F1、靜力平衡法2、虛功原理

（虛位移原理）三、靜力學(xué)分析方法F1、靜力平衡法2、虛功原理

（虛位移原7例靜力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：鉸鏈A和DC桿受力.解：取AB梁，畫受力圖.解得7例靜力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：鉸8約束·虛位移·虛功1約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的條件稱為約束.限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程.

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束.（（1）幾何約束和運(yùn)動約束如8約束·虛位移·虛功1約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動9910（2）定常約束和非定常約束

約束條件隨時(shí)間變化的稱非定常約束.不隨時(shí)間變化的約束稱定常約束.10（2）定常約束和非定常約束約束條件隨時(shí)間變化的稱非定11（3）其它分類

約束方程中包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且不可能積分為有限形式的約束稱非完整約束.

約束方程是等式的，稱雙側(cè)約束（或稱固執(zhí)約束）.

約束方程為不等式的，稱單側(cè)約束（或稱非固執(zhí)單側(cè)約束）

n為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，S為約束方程數(shù).

約束方程中不包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的積分項(xiàng)可以積分為有限形式的約束為完整約束.本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束.11（3）其它分類約束方程中包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且不122虛位移

在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移

.只與約束條件有關(guān).虛位移等實(shí)位移等實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)實(shí)現(xiàn)的位移，它與約束條件、時(shí)間、主動力以及運(yùn)動的初始條件有關(guān)

.122虛位移在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,13（1）靜止質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但肯定沒有實(shí)位移。即：實(shí)位移與力有關(guān)，而虛位移只與約束有關(guān)。

（2）虛位移是約束允許的微小位移，與時(shí)間無關(guān)，實(shí)位移是真實(shí)發(fā)生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且與時(shí)間有關(guān)。

2、虛位移與實(shí)位移的區(qū)別與聯(lián)系

（3）虛位移不惟一，而實(shí)位移是惟一的。13（1）靜止質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但肯定沒有實(shí)位移。（2）虛14虛功

4理想約束

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為理想約束.力在虛位移中作的功稱虛功.

光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿，不可伸長的柔索、固定端、輪子只滾不滑等約束為理想約束.14虛功4理想約束如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有15即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡,有或記為此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原理稱虛位移原理或虛功原理.虛位移原理

對于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充分必要條件是:作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零.解析式為15即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡,有或記為此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原16已知：如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶(

),其力矩,螺桿的導(dǎo)程為.求：機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力.例16已知：如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平求：17解:給虛位移以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對象,受力如圖.17解:給虛位移以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對象,受力18總結(jié)：虛功原理解題步驟分析系統(tǒng)所受主動力選擇虛位移

求解

靜平衡系統(tǒng)虛功之和為零求力在虛位移上的虛功18總結(jié)：虛功原理解題步驟分析系統(tǒng)所受主動力選擇虛位移

求解利用虛功原理建立靜力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力利用虛功原理建立靜力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力式中

J——雅可比矩陣。該式表明關(guān)節(jié)空間力矩和笛卡爾空間廣義力可以借助于雅可比矩陣J變換。式中J——雅可比矩陣。該式表明關(guān)節(jié)空間力矩和笛卡爾空間？？靜力平衡方法驗(yàn)證靜力平衡方法驗(yàn)證機(jī)器人逆靜力計(jì)算靜力學(xué)逆解。逆解的關(guān)系式為

機(jī)器人的自由度不是6，例如n>6時(shí)，力雅可比矩陣就不是方陣，則JT就沒有逆解。所以，對第二類問題的求解就困難得多，一般情況不一定能得到唯一的解。如果F的維數(shù)比τ的維數(shù)低，且J滿秩，則可利用最小二乘法求得F的估計(jì)值。F=(JT)–1τ機(jī)器人逆靜力計(jì)算靜力學(xué)逆解。逆解的關(guān)系式為F=(JT)–1一、動力學(xué)問題：§4—2機(jī)器人動力學(xué)二、機(jī)器人動力學(xué)研究的問題可分為兩類：（總結(jié)）

1、給定機(jī)器人的驅(qū)動力（矩），用動力學(xué)方程求解機(jī)器人（關(guān)節(jié)）的運(yùn)動參數(shù)或動力學(xué)效應(yīng),稱為動力學(xué)正問題）。

2、給定機(jī)器人的運(yùn)動要求，求應(yīng)加于機(jī)器人上的驅(qū)動力（矩）稱為動力學(xué)逆問題）。（1）機(jī)器人處于運(yùn)動狀態(tài)（不論是否與外界接觸）（2）關(guān)節(jié)力矩末端位置、速度、加速度

給定期望的末端位置、速度、加速度動力學(xué)計(jì)算關(guān)節(jié)力矩（時(shí)變）自動控制算法控制電機(jī)轉(zhuǎn)矩一、動力學(xué)問題：§4—2機(jī)器人動力學(xué)二、機(jī)器人動力學(xué)研究三、動力學(xué)研究方法：1．拉格朗日方程法：通過動、勢能變化與廣義力的關(guān)系，建立機(jī)器人的動力學(xué)方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。3．高斯原理法:

利用力學(xué)中的高斯最小約束原理,把機(jī)器人動力學(xué)問題化成極值問題求解.代表人物波波夫(蘇)。4．凱恩方程法：引入偏速度概念，應(yīng)用矢量分析建立動力學(xué)方程。該方法在求構(gòu)件的速度、加速度及關(guān)節(jié)驅(qū)動力時(shí)，只進(jìn)行一次由基礎(chǔ)到末桿的推導(dǎo)，即可求出關(guān)節(jié)驅(qū)動力，其間不必求關(guān)節(jié)的約束力，具有完整的結(jié)構(gòu)，也適用于閉鏈機(jī)器人。2．牛頓—?dú)W拉方程法：用構(gòu)件質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動表示機(jī)器人構(gòu)件的運(yùn)動，利用動靜法建立基于牛頓—?dú)W拉方程的動力學(xué)方程。代表人物Orin,Luh(陸?zhàn)B生)等。三、動力學(xué)研究方法：3．高斯原理法:利用力學(xué)中的高斯最小約我們研究動力學(xué)的重要目的之一是為了對機(jī)器人的運(yùn)動進(jìn)行有效控制，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的軌跡運(yùn)動。常用的方法有牛頓—?dú)W拉法、拉格朗日法等。牛頓—?dú)W拉動力學(xué)法是利用牛頓力學(xué)的剛體力學(xué)知識導(dǎo)出逆動力學(xué)的遞推計(jì)算公式，再由它歸納出機(jī)器人動力學(xué)的數(shù)學(xué)模型——機(jī)器人矩陣形式的運(yùn)動學(xué)方程；拉格朗日法是引入拉格朗日方程直接獲得機(jī)器人動力學(xué)方程的解析公式，并可得到其遞推計(jì)算方法。我們研究動力學(xué)的重要目的之一是為了對機(jī)器人的運(yùn)動進(jìn)行有效控制對多自由度的機(jī)械手，拉格朗日法可以直接推導(dǎo)運(yùn)動方程式，但隨著自由度的增多演算量將大量增加。與此相反，牛頓－歐拉法著眼于每一個(gè)連桿的運(yùn)動，即便對于多自由度的機(jī)械手其計(jì)算量也不增加，因此算法易于編程。由于推導(dǎo)出的是一系列公式的組合，要注意慣性矩陣等的選擇和求解問題。進(jìn)一步的問題請參考相關(guān)文獻(xiàn)資料。對多自由度的機(jī)械手，拉格朗日法可以直接推導(dǎo)運(yùn)動方程式，但隨著28質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日方程fmgyxo總結(jié)：解題的一般思路28質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日方程fmgyxo總結(jié)：解題的一般思路

系統(tǒng)的動能和勢能可在任何形式的坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系等）中表示

，不是一定在直角坐標(biāo)系中。四串聯(lián)二自由度機(jī)器人的拉格朗日方程定義：L=K-P

L—Lagrange函數(shù)；K—系統(tǒng)動能之和；P—系統(tǒng)勢能之和。剛體系統(tǒng)拉格朗日方程應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程來處理?xiàng)U系的問題。系統(tǒng)的動能和勢能可在任何形式的坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系一、動能和勢能

（負(fù)號與坐標(biāo)系建立有關(guān)）機(jī)器人拉格朗日方程一、動能和勢能（負(fù)號與坐標(biāo)系建立有關(guān)）機(jī)器人拉格朗日方程第四章-靜力學(xué)與動力學(xué)P講解課件三、動力學(xué)方程

先求第一個(gè)關(guān)節(jié)上的力矩

三、動力學(xué)方程先求第一個(gè)關(guān)節(jié)上的力矩同理，對和微分，可求得第二關(guān)節(jié)力矩

同理，對和微分，可求得第二關(guān)節(jié)力矩34WritteninMatricesForm:有效慣量(effectiveinertial)：關(guān)節(jié)i的加速度在關(guān)節(jié)i上產(chǎn)生的慣性力，等效轉(zhuǎn)動慣量的概念四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義34WritteninMatricesForm:有效慣35WritteninMatricesForm:耦合慣量(coupledinertial)：關(guān)節(jié)i,j的加速度在關(guān)節(jié)j,i上產(chǎn)生的慣性力D12=D21，慣量矩陣為對稱陣（symmetry）四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義35WritteninMatricesForm:耦合慣36向心加速度(accelerationcentripetal)系數(shù)：關(guān)節(jié)i的速度在關(guān)節(jié)i上產(chǎn)生的向心力四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義36向心加速度(accelerationcentripet37向心加速度(accelerationcentripetal)系數(shù)：關(guān)節(jié)j的速度在關(guān)節(jié)i上產(chǎn)生的向心力四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義37向心加速度(accelerationcentripet38哥氏加速度(Coriolisaccelaration)系數(shù)：關(guān)節(jié)j,k的速度引起的在關(guān)節(jié)i上產(chǎn)生的哥氏力(Coriolisforce)此時(shí)，哥氏力(Coriolisforce)只在關(guān)節(jié)1產(chǎn)生，因?yàn)楦缡狭κ怯捎跔窟B運(yùn)動是轉(zhuǎn)動造成的四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義38哥氏加速度(Coriolisaccelaration)39重力項(xiàng)(gravity)：關(guān)節(jié)i,j處的重力四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義39重力項(xiàng)(gravity)：關(guān)節(jié)i,j處的重力四、動力學(xué)方

比較二桿機(jī)器人例中的系數(shù)與一般表達(dá)式中的系數(shù)得到有效慣量系數(shù)：

耦合慣量系數(shù)：

向心力項(xiàng)系數(shù)：

比較二桿機(jī)器人例中的系數(shù)與一般表達(dá)式中的系數(shù)得到耦合哥氏力項(xiàng)系數(shù)：

重力項(xiàng)：

哥氏力項(xiàng)系數(shù)：重力項(xiàng)：

動力學(xué)方程中的慣量項(xiàng)和重力項(xiàng)在機(jī)器人控制中特別重要，將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和定位精度。只有當(dāng)機(jī)器人高速運(yùn)動時(shí)，向心力項(xiàng)和哥氏力項(xiàng)才是重要的。傳動裝置的慣量值往往較大，對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響也不可忽略。

在機(jī)器人動力學(xué)問題的討論中，拉格朗日動力學(xué)方程常寫作更簡化的一般形式：式中：的意義。動力學(xué)方程中的慣量項(xiàng)和重力項(xiàng)在機(jī)器人控制中特別重要，將直接機(jī)器人拉格朗日動力學(xué)一般步驟：

從上節(jié)容易看出Lagrange方程是一個(gè)二階耦合、非線性的微分方程，為簡化計(jì)算，未慮及傳動鏈中的摩擦。以下方程的推導(dǎo)，也是不考慮傳動鏈帶來的摩擦影響，只考慮桿件本身，然后再加入關(guān)節(jié)處驅(qū)動裝置（如電機(jī)、碼盤等）的影響。

推導(dǎo)分五步進(jìn)行：一、計(jì)算任意桿件上任意點(diǎn)的速度；二、計(jì)算動能；三、計(jì)算勢能；四、形成Lagrange函數(shù)；五、建立動力學(xué)方程。機(jī)器人拉格朗日動力學(xué)一般步驟：從上節(jié)容易看出Lagran44拉格朗日方法建立如圖所示動力學(xué)模型

作業(yè)44拉格朗日方法建立如圖所示動力學(xué)模型作業(yè)第四章：機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)StaticsandDynamicsofRobot第四章：機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)StaticsandDyna

第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)概述a）靜力學(xué)問題b）動力學(xué)問題末端力F與關(guān)節(jié)力矩關(guān)系末端運(yùn)動特性與關(guān)節(jié)力矩關(guān)系第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)概述a）靜力學(xué)問題b）動力學(xué)47

第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)

相同點(diǎn)：都與關(guān)節(jié)力矩有關(guān)不同點(diǎn)：如下圖概述AmIstrong?解決接觸力大小問題-靜力學(xué)問題DoIoperate

smoothly?動力學(xué)問題從力學(xué)的角度讓機(jī)器人工作的更平穩(wěn)、更精確。3第四章機(jī)器人靜力學(xué)和動力學(xué)相同點(diǎn)：都與關(guān)節(jié)力§4—1機(jī)器人靜力學(xué)F一、靜力學(xué)問題：（1）假設(shè)各構(gòu)件處在靜止?fàn)顟B(tài)（相當(dāng)于運(yùn)動受限狀態(tài)）（2）關(guān)節(jié)力矩末端輸出力末端輸出力§4—1機(jī)器人靜力學(xué)F一、靜力學(xué)問題：（1）假設(shè)各構(gòu)件處在二、靜力學(xué)兩類問題：1、

正向靜力學(xué)—知各關(guān)節(jié)驅(qū)動力（力矩），求末端點(diǎn)能輸出的力（力矩）。2、

逆向靜力學(xué)—已知末端點(diǎn)作用力（力矩），求關(guān)節(jié)需施加的力（力矩）。二、靜力學(xué)兩類問題：三、靜力學(xué)分析方法F1、靜力平衡法2、虛功原理

（虛位移原理）三、靜力學(xué)分析方法F1、靜力平衡法2、虛功原理

（虛位移原51例靜力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：鉸鏈A和DC桿受力.解：取AB梁，畫受力圖.解得7例靜力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：鉸52約束·虛位移·虛功1約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的條件稱為約束.限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程.

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束.（（1）幾何約束和運(yùn)動約束如8約束·虛位移·虛功1約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動53954（2）定常約束和非定常約束

約束條件隨時(shí)間變化的稱非定常約束.不隨時(shí)間變化的約束稱定常約束.10（2）定常約束和非定常約束約束條件隨時(shí)間變化的稱非定55（3）其它分類

約束方程中包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且不可能積分為有限形式的約束稱非完整約束.

約束方程是等式的，稱雙側(cè)約束（或稱固執(zhí)約束）.

約束方程為不等式的，稱單側(cè)約束（或稱非固執(zhí)單側(cè)約束）

n為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，S為約束方程數(shù).

約束方程中不包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的積分項(xiàng)可以積分為有限形式的約束為完整約束.本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束.11（3）其它分類約束方程中包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且不562虛位移

在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移

.只與約束條件有關(guān).虛位移等實(shí)位移等實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)實(shí)現(xiàn)的位移，它與約束條件、時(shí)間、主動力以及運(yùn)動的初始條件有關(guān)

.122虛位移在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,57（1）靜止質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但肯定沒有實(shí)位移。即：實(shí)位移與力有關(guān)，而虛位移只與約束有關(guān)。

（2）虛位移是約束允許的微小位移，與時(shí)間無關(guān)，實(shí)位移是真實(shí)發(fā)生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且與時(shí)間有關(guān)。

2、虛位移與實(shí)位移的區(qū)別與聯(lián)系

（3）虛位移不惟一，而實(shí)位移是惟一的。13（1）靜止質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但肯定沒有實(shí)位移。（2）虛58虛功

4理想約束

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為理想約束.力在虛位移中作的功稱虛功.

光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿，不可伸長的柔索、固定端、輪子只滾不滑等約束為理想約束.14虛功4理想約束如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有59即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡,有或記為此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原理稱虛位移原理或虛功原理.虛位移原理

對于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充分必要條件是:作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零.解析式為15即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡,有或記為此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原60已知：如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶(

),其力矩,螺桿的導(dǎo)程為.求：機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力.例16已知：如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平求：61解:給虛位移以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對象,受力如圖.17解:給虛位移以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對象,受力62總結(jié)：虛功原理解題步驟分析系統(tǒng)所受主動力選擇虛位移

求解

靜平衡系統(tǒng)虛功之和為零求力在虛位移上的虛功18總結(jié)：虛功原理解題步驟分析系統(tǒng)所受主動力選擇虛位移

求解利用虛功原理建立靜力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力利用虛功原理建立靜力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力式中

J——雅可比矩陣。該式表明關(guān)節(jié)空間力矩和笛卡爾空間廣義力可以借助于雅可比矩陣J變換。式中J——雅可比矩陣。該式表明關(guān)節(jié)空間力矩和笛卡爾空間？？靜力平衡方法驗(yàn)證靜力平衡方法驗(yàn)證機(jī)器人逆靜力計(jì)算靜力學(xué)逆解。逆解的關(guān)系式為

機(jī)器人的自由度不是6，例如n>6時(shí)，力雅可比矩陣就不是方陣，則JT就沒有逆解。所以，對第二類問題的求解就困難得多，一般情況不一定能得到唯一的解。如果F的維數(shù)比τ的維數(shù)低，且J滿秩，則可利用最小二乘法求得F的估計(jì)值。F=(JT)–1τ機(jī)器人逆靜力計(jì)算靜力學(xué)逆解。逆解的關(guān)系式為F=(JT)–1一、動力學(xué)問題：§4—2機(jī)器人動力學(xué)二、機(jī)器人動力學(xué)研究的問題可分為兩類：（總結(jié)）

1、給定機(jī)器人的驅(qū)動力（矩），用動力學(xué)方程求解機(jī)器人（關(guān)節(jié)）的運(yùn)動參數(shù)或動力學(xué)效應(yīng),稱為動力學(xué)正問題）。

2、給定機(jī)器人的運(yùn)動要求，求應(yīng)加于機(jī)器人上的驅(qū)動力（矩）稱為動力學(xué)逆問題）。（1）機(jī)器人處于運(yùn)動狀態(tài)（不論是否與外界接觸）（2）關(guān)節(jié)力矩末端位置、速度、加速度

給定期望的末端位置、速度、加速度動力學(xué)計(jì)算關(guān)節(jié)力矩（時(shí)變）自動控制算法控制電機(jī)轉(zhuǎn)矩一、動力學(xué)問題：§4—2機(jī)器人動力學(xué)二、機(jī)器人動力學(xué)研究三、動力學(xué)研究方法：1．拉格朗日方程法：通過動、勢能變化與廣義力的關(guān)系，建立機(jī)器人的動力學(xué)方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。3．高斯原理法:

利用力學(xué)中的高斯最小約束原理,把機(jī)器人動力學(xué)問題化成極值問題求解.代表人物波波夫(蘇)。4．凱恩方程法：引入偏速度概念，應(yīng)用矢量分析建立動力學(xué)方程。該方法在求構(gòu)件的速度、加速度及關(guān)節(jié)驅(qū)動力時(shí)，只進(jìn)行一次由基礎(chǔ)到末桿的推導(dǎo)，即可求出關(guān)節(jié)驅(qū)動力，其間不必求關(guān)節(jié)的約束力，具有完整的結(jié)構(gòu)，也適用于閉鏈機(jī)器人。2．牛頓—?dú)W拉方程法：用構(gòu)件質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動表示機(jī)器人構(gòu)件的運(yùn)動，利用動靜法建立基于牛頓—?dú)W拉方程的動力學(xué)方程。代表人物Orin,Luh(陸?zhàn)B生)等。三、動力學(xué)研究方法：3．高斯原理法:利用力學(xué)中的高斯最小約我們研究動力學(xué)的重要目的之一是為了對機(jī)器人的運(yùn)動進(jìn)行有效控制，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的軌跡運(yùn)動。常用的方法有牛頓—?dú)W拉法、拉格朗日法等。牛頓—?dú)W拉動力學(xué)法是利用牛頓力學(xué)的剛體力學(xué)知識導(dǎo)出逆動力學(xué)的遞推計(jì)算公式，再由它歸納出機(jī)器人動力學(xué)的數(shù)學(xué)模型——機(jī)器人矩陣形式的運(yùn)動學(xué)方程；拉格朗日法是引入拉格朗日方程直接獲得機(jī)器人動力學(xué)方程的解析公式，并可得到其遞推計(jì)算方法。我們研究動力學(xué)的重要目的之一是為了對機(jī)器人的運(yùn)動進(jìn)行有效控制對多自由度的機(jī)械手，拉格朗日法可以直接推導(dǎo)運(yùn)動方程式，但隨著自由度的增多演算量將大量增加。與此相反，牛頓－歐拉法著眼于每一個(gè)連桿的運(yùn)動，即便對于多自由度的機(jī)械手其計(jì)算量也不增加，因此算法易于編程。由于推導(dǎo)出的是一系列公式的組合，要注意慣性矩陣等的選擇和求解問題。進(jìn)一步的問題請參考相關(guān)文獻(xiàn)資料。對多自由度的機(jī)械手，拉格朗日法可以直接推導(dǎo)運(yùn)動方程式，但隨著72質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日方程fmgyxo總結(jié)：解題的一般思路28質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日方程fmgyxo總結(jié)：解題的一般思路

系統(tǒng)的動能和勢能可在任何形式的坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系等）中表示

，不是一定在直角坐標(biāo)系中。四串聯(lián)二自由度機(jī)器人的拉格朗日方程定義：L=K-P

L—Lagrange函數(shù)；K—系統(tǒng)動能之和；P—系統(tǒng)勢能之和。剛體系統(tǒng)拉格朗日方程應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程來處理?xiàng)U系的問題。系統(tǒng)的動能和勢能可在任何形式的坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系一、動能和勢能

（負(fù)號與坐標(biāo)系建立有關(guān)）機(jī)器人拉格朗日方程一、動能和勢能（負(fù)號與坐標(biāo)系建立有關(guān)）機(jī)器人拉格朗日方程第四章-靜力學(xué)與動力學(xué)P講解課件三、動力學(xué)方程

先求第一個(gè)關(guān)節(jié)上的力矩

三、動力學(xué)方程先求第一個(gè)關(guān)節(jié)上的力矩同理，對和微分，可求得第二關(guān)節(jié)力矩

同理，對和微分，可求得第二關(guān)節(jié)力矩78WritteninMatricesForm:有效慣量(effectiveinertial)：關(guān)節(jié)i的加速度在關(guān)節(jié)i上產(chǎn)生的慣性力，等效轉(zhuǎn)動慣量的概念四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義34WritteninMatricesForm:有效慣79WritteninMatricesForm:耦合慣量(coupledinertial)：關(guān)節(jié)i,j的加速度在關(guān)節(jié)j,i上產(chǎn)生的慣性力D12=D21，慣量矩陣為對稱陣（symmetry）四、動力學(xué)方程中各系數(shù)的物理意義35WritteninMatricesForm