matlab控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真-第1章概述

第1章概述1.1控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介1.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1.1控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介1.1.1控制理論的發(fā)展進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái),現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對(duì)自動(dòng)控制的精度、速度和適應(yīng)能力的要求越來(lái)越高,從而推動(dòng)了自動(dòng)控制理論和控制技術(shù)的迅速發(fā)展。特別是20世紀(jì)60年代以來(lái),計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展,奠定了自動(dòng)控制理論和控制技術(shù)的物質(zhì)基礎(chǔ)。于是,現(xiàn)代控制理論逐步形成了一門現(xiàn)代科學(xué)分支。

控制理論的發(fā)展過(guò)程是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由量變到質(zhì)變的辯證發(fā)展過(guò)程。從發(fā)展的不同階段來(lái)看,控制理論的發(fā)展大致經(jīng)歷了經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩個(gè)階段。經(jīng)典控制理論主要研究簡(jiǎn)單的單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng),所涉及的系統(tǒng)大多是線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng),即使是用于解決非線性系統(tǒng)問(wèn)題的相平面法，也只能處理兩個(gè)狀態(tài)變量的情況。常接觸到的系統(tǒng),如電機(jī)的位置和速度控制、冶煉爐的溫控系統(tǒng)都被簡(jiǎn)化成SISO線性定常系統(tǒng)來(lái)處理。

控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的常用方法包括頻域法、根軌跡法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、期望對(duì)數(shù)頻率特性綜合等。這些方法在精確度、準(zhǔn)確度不高的情況下是完全適用的。經(jīng)典控制理論是與生產(chǎn)過(guò)程的局部自動(dòng)化相適應(yīng)的,具有明顯的依靠手工進(jìn)行分析和綜合的特點(diǎn)。這個(gè)特點(diǎn)是與40~50年代生產(chǎn)發(fā)展的狀況以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展水平尚處于初期階段密切相關(guān)的。1.1.2經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論對(duì)SISOLTI系統(tǒng)的分析和綜合是有成效的。它主要以Laplace變換和Z變換為數(shù)學(xué)工具,用傳遞函數(shù)方法描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,用頻域響應(yīng)、根軌跡分析和極點(diǎn)配置等理論研究設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論主要有以下特點(diǎn)：（1）經(jīng)典控制理論本質(zhì)上是一種頻域方法,它以系統(tǒng)的輸出輸入特性作為研究的依據(jù),著眼于系統(tǒng)的輸出；而現(xiàn)代控制理論本質(zhì)上是一種時(shí)域方法,它是建立在狀態(tài)變量描述方法的基礎(chǔ)上的。

（2）經(jīng)典控制理論是在一類特定的輸入情況下分析輸出的響應(yīng)。在綜合問(wèn)題上,是根據(jù)給定的某種指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的校正網(wǎng)絡(luò)的。（3）經(jīng)典控制理論的控制器即校正裝置,是由能實(shí)現(xiàn)典型控制規(guī)律的調(diào)節(jié)器構(gòu)成的。而現(xiàn)代控制理論的控制器則是能實(shí)現(xiàn)任意控制規(guī)律的數(shù)字機(jī)。（4）經(jīng)典控制理論的基本內(nèi)容有時(shí)域法、頻域法、根軌跡法、描述函數(shù)法、相平面法、代數(shù)與幾何判據(jù)、校正網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)等,研究的主要問(wèn)題是穩(wěn)定性問(wèn)題。1.1.3現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論以線性代數(shù)為數(shù)學(xué)工具,用狀態(tài)空間方法描述系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)性能,研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性、能觀性等問(wèn)題,用極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、狀態(tài)方塊等理論研究設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。現(xiàn)代控制理論是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,主要有以下特點(diǎn)：（1）現(xiàn)代控制理論是以多變量、線性及非線性系統(tǒng)為研究對(duì)象的。在近代的工業(yè)過(guò)程控制、飛行器控制等許多領(lǐng)域中,被控對(duì)象變得日益復(fù)雜,其中包括了多變量耦合問(wèn)題、參數(shù)時(shí)變問(wèn)題和非線性問(wèn)題?，F(xiàn)代控制理論正是為了處理這樣的復(fù)雜控制系統(tǒng)而發(fā)展起來(lái)的。

（2）現(xiàn)代控制理論以時(shí)域中的狀態(tài)空間方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,并在此基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種定性和定量的分析以及希望的控制規(guī)律設(shè)計(jì)。（3）現(xiàn)代控制理論以現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法為主要分析手段,如線性代數(shù)、微分方程和微分幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論在最優(yōu)控制、非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題中都有廣泛的應(yīng)用,甚至像模糊數(shù)學(xué)、混沌及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等最新的數(shù)學(xué)方法也已經(jīng)在許多控制領(lǐng)域得到應(yīng)用。

（4）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究是以計(jì)算機(jī)為主要計(jì)算和分析工具的,計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展極大地促進(jìn)了控制理論研究的廣泛應(yīng)用與推廣。（5）現(xiàn)代控制技術(shù)的研究對(duì)象還包括沒(méi)有或不能用精確數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的廣泛意義上的非線性系統(tǒng),其中諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、自適應(yīng)控制等先進(jìn)控制技術(shù)已成功應(yīng)用到衛(wèi)星、航天等大系統(tǒng)的控制中。現(xiàn)代控制技術(shù)能夠處理復(fù)雜非線性、相互耦合、外界干擾、多輸入多輸出、參數(shù)時(shí)變等復(fù)雜對(duì)象,研究的范圍與經(jīng)典控制理論相比有了極大的擴(kuò)展。1.1.4控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)是一門以計(jì)算機(jī)為工具進(jìn)行的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析的技術(shù)。大部分從事科學(xué)研究和工程應(yīng)用的技術(shù)人員常常遇到并為之困擾的是,當(dāng)計(jì)算涉及矩陣運(yùn)算或畫圖時(shí),利用FORTRAN和C語(yǔ)言進(jìn)行程序設(shè)計(jì)是一件比較麻煩的事情。不僅需要對(duì)所利用的算法有深刻的了解,還需要熟練掌握程序語(yǔ)言的編程方法。有時(shí)這種編程并不是一件容易的事情。

從事控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的技術(shù)人員則常常會(huì)為系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)帶來(lái)的巨大、繁瑣的計(jì)算工作量而苦惱。例如,在進(jìn)行校正器設(shè)計(jì)時(shí),經(jīng)常需要繪制系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率響應(yīng)曲線；在采用根軌跡方法配置系統(tǒng)期望極點(diǎn)時(shí),也需要首先繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。而如果借助計(jì)算機(jī)本身強(qiáng)大的計(jì)算和繪圖功能,這些問(wèn)題都可以很容易地解決,從而極大地提高了系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的效率。

控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件包是從20世紀(jì)70年代發(fā)展起來(lái)的,最初是由英國(guó)的H.H.Rosenbrock學(xué)派將線性單變量控制系統(tǒng)的頻域理論推廣到多變量系統(tǒng),隨后Manchester大學(xué)的控制系統(tǒng)中心完成了該系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件包；日本的古田勝久主持開發(fā)的DPACS―F軟件,在處理多變量系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)上也很有特色。同時(shí),國(guó)際自動(dòng)控制領(lǐng)域的一些學(xué)者用狀態(tài)空間法發(fā)展了多變量系統(tǒng)控制理論,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件上提供了命令式的人機(jī)交互界面,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真中給設(shè)計(jì)者以充分的主動(dòng)權(quán)。1.2MATLAB6.X中的控制產(chǎn)品集1.2.1概述

MATLAB6.X控制產(chǎn)品集支持控制設(shè)計(jì)過(guò)程的每一個(gè)環(huán)節(jié),可以用于不同的領(lǐng)域，如汽車、航空航天、計(jì)算機(jī)和通訊等領(lǐng)域。MathWorks提供的控制產(chǎn)品集,提供了如下能力：使用MATLAB高級(jí)編程語(yǔ)言,只需花很短的時(shí)間就可以開發(fā)出控制算法、強(qiáng)大的繪圖能力以對(duì)數(shù)據(jù)、方程和結(jié)果進(jìn)行顯示,如根軌跡、Bode圖、響應(yīng)和譜等。

與控制相關(guān)的工具箱涵蓋了許多前沿的控制設(shè)計(jì)方法,從LQG和根軌跡到H∞和模糊邏輯。MATLAB語(yǔ)言提供的圖形界面使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析更加方便。如ControlSystemToolbox中包含了一個(gè)根軌跡設(shè)計(jì)工具,用于補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)；一個(gè)LTI觀察器,用于分析時(shí)域和頻域的響應(yīng)。使用框圖式動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真工具Simulink可以方便地建立控制系統(tǒng)原型和控制對(duì)象模型,通過(guò)仿真不斷地優(yōu)化和改善你的設(shè)計(jì)。無(wú)論是離散的、連續(xù)的、條件執(zhí)行的、多采樣的或混雜的系統(tǒng),Simulink都是描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的最佳工具。

結(jié)合有限狀態(tài)機(jī)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和流程圖多種技術(shù)手段,Stateflow使用戶能夠建立復(fù)雜響應(yīng)式系統(tǒng)的清晰、簡(jiǎn)明的描述。通過(guò)Simulink和Stateflow,可以在單一的集成環(huán)境下對(duì)包括頂層控制邏輯、物理對(duì)象和控制器的整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真。

RealTimeWorkshop和StateflowCoder直接從Simulink模型和Stateflow圖中生成高質(zhì)量的代碼,并自動(dòng)地編譯、鏈接和下載可執(zhí)行文件到目標(biāo)處理器上。通過(guò)將MathWorks代碼生成工具與先進(jìn)的實(shí)時(shí)系統(tǒng)集成,用戶可以快速、方便地實(shí)現(xiàn)快速控制原型,實(shí)時(shí)地仿真和分析自己的設(shè)計(jì)。1.2.2控制系統(tǒng)工具箱簡(jiǎn)介控制系統(tǒng)工具箱（ControlSystemToolbox）是MATLAB軟件包中專門針對(duì)控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的函數(shù)和工具的集合。該工具箱主要采用M文件形式，提供了豐富的算法程序以完成一般控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、分析和建模。

控制系統(tǒng)工具箱主要用于反饋控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)和仿真,所涉及的領(lǐng)域涵蓋經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的大部分內(nèi)容,包括根軌跡、極點(diǎn)配置和LQG（線性二次最優(yōu)）控制器設(shè)計(jì)等。另外，還提供了友好的圖形界面環(huán)境（GUI），大大簡(jiǎn)化了控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)過(guò)程。

通過(guò)控制系統(tǒng)工具箱,用戶可以創(chuàng)建線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)-增益模型或狀態(tài)空間模型。既可以操作連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),也適用于離散時(shí)間系統(tǒng),并且可以實(shí)現(xiàn)不同模型間的相互轉(zhuǎn)換。用戶還能夠輕松繪制系統(tǒng)的時(shí)域或頻域響應(yīng)和開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖。其中的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)函數(shù)能夠快速完成系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)等。MATLAB本身提供的開放式環(huán)境可以讓用戶通過(guò)M文件建立自己的控制模型和控制算法。

隨著MATLAB的發(fā)展,控制系統(tǒng)工具箱本身也得到不斷升級(jí)。隨MATLAB6.1一起發(fā)行的是最新的ControlSystemToolbox5.1,它的主要組成和特點(diǎn)包括：

(1)LTI觀測(cè)器（LTIViewer）,用于分析和仿真LTI系統(tǒng)的交互式圖形環(huán)境。

(2)單輸入單輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具（SISODesignTool）,用于SISO系統(tǒng)分析和仿真的交互式圖形環(huán)境。

(3)可以控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域繪圖屬性,例如曲線顏色和類型等。(4)采用專門的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)表示系統(tǒng)的各類模型,稱之為L(zhǎng)TI對(duì)象。

(5)支持MIMO系統(tǒng)、連續(xù)時(shí)間和采樣系統(tǒng)、具有時(shí)間延遲的系統(tǒng)。

(6)用戶復(fù)雜框圖操作的函數(shù)和運(yùn)算,例如串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接等。

(7)可以采用不同方法實(shí)現(xiàn)連續(xù)-離散模型之間的轉(zhuǎn)換。

(8)通常只需要一條指令即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的時(shí)域和頻域仿真。

(9)大量基于經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具,例如根軌跡設(shè)計(jì)、極點(diǎn)配置和LQR/LQG最優(yōu)設(shè)計(jì)等。1.2.3Simulink4.1產(chǎn)品介紹

Simulink4.1（如圖1.1所示）是用來(lái)建模、分析和仿真各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的交互環(huán)境,包括連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和混雜系統(tǒng)。Simulink提供了采用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互界面。通過(guò)Simulink提供的豐富的功能塊,可以迅速地創(chuàng)建系統(tǒng)的模型,不需要書寫一行代碼。Simulink還支持Stateflow,用來(lái)仿真事件驅(qū)動(dòng)過(guò)程。圖1.1Simulink中的庫(kù)瀏覽器1.交互建模

Simulink提供了大量的功能塊以方便用戶快速地建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型。建模時(shí)只需使用鼠標(biāo)拖放庫(kù)中的功能塊并將它們連接起來(lái)。你可以通過(guò)將塊組成子系統(tǒng)來(lái)建立多級(jí)模型。對(duì)塊和連接的數(shù)目沒(méi)有限制。

2.交互仿真

Simulink框圖提供了交互性很強(qiáng)的非線性仿真環(huán)境?？梢酝ㄟ^(guò)下拉菜單執(zhí)行仿真,或使用命令行進(jìn)行批處理。仿真結(jié)果可以在運(yùn)行的同時(shí)通過(guò)示波器或圖形窗口顯示。有了Simulink,可以在仿真的同時(shí),采用交互或批處理的方式,方便地更換參數(shù)來(lái)進(jìn)行“Whatif”分析。3.能夠擴(kuò)充和定制

Simulink的開放式結(jié)構(gòu)允許用戶擴(kuò)展仿真環(huán)境的功能：（1）用MATLAB、FORTRAN和C代碼生成自定義塊庫(kù),并擁有自己的圖標(biāo)和界面。（2）將用戶原有FORTRAN或C語(yǔ)言編寫的代碼連接進(jìn)來(lái)。

4.與MATLAB和工具箱集成由于Simulink可以直接利用MATLAB的數(shù)學(xué)、圖形和編程功能,用戶可以直接在Simulink下完成諸如數(shù)據(jù)分析、過(guò)程自動(dòng)化、優(yōu)化參數(shù)等工作。工具箱提供的高級(jí)的設(shè)計(jì)和分析能力可以通過(guò)Simulink的屏蔽手段在仿真過(guò)程中執(zhí)行。5.專用模型庫(kù)（Blocksets）

Simulink的模型庫(kù)可以通過(guò)專用元件集進(jìn)一步擴(kuò)展。DSPBlockset可以用于DSP算法的開發(fā)。FixedPointBlockset擴(kuò)展了Simulink,用于建立和模擬數(shù)字控制系統(tǒng)和數(shù)字濾波器。MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模塊如表1.1所示。表1.1MATLAB6.X中的Simulink及相關(guān)模塊1.2.4其它控制相關(guān)產(chǎn)品

MATLAB中的控制系統(tǒng)工具箱（ControlSystemToolbox）主要是運(yùn)用經(jīng)典控制理論（包括時(shí)域和頻域方法）處理線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的函數(shù)集合。除了ControlSystemToolbox,MathWorks公司還在MATLAB6.X軟件包中集成了控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的其它相關(guān)工具箱和軟件包,這些工具箱有的是作為ControlSystemToolbox的補(bǔ)充,有的是獨(dú)立的軟件包,主要以控制系統(tǒng)為研究對(duì)象。

借助這些工具箱和軟件包,用戶可以完成諸如系統(tǒng)辨識(shí)、系統(tǒng)建模、仿真以及魯棒控制、模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)。所包含的內(nèi)容幾乎涉及到現(xiàn)代控制理論的所有內(nèi)容,使MATLAB廣泛運(yùn)用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和制造的各個(gè)領(lǐng)域。關(guān)于這些工具箱和軟件包的簡(jiǎn)要說(shuō)明如表1.2所示。

隨著控制理論和控制工程的不斷發(fā)展,不少第三方針對(duì)控制領(lǐng)域內(nèi)的某些特殊系統(tǒng)和應(yīng)用領(lǐng)域設(shè)計(jì)和開發(fā)了其它的專有工具箱,這些工具箱不少是目前該領(lǐng)域的最新研究成果,例如機(jī)器人控制、最優(yōu)控制等等,這些工具箱一般還沒(méi)有被收錄進(jìn)MATLAB集成軟件包中,讀者可以在網(wǎng)上獲得它們的說(shuō)明文檔或源代碼。表1.2MATLAB6.X中的其它控制系統(tǒng)相關(guān)工具箱1.2.5MATLAB6.X開發(fā)控制系統(tǒng)流程采用MATLAB6.X進(jìn)行控制系統(tǒng)的輔助設(shè)計(jì)和仿真一般分為建模、分析、仿真和實(shí)現(xiàn)等四個(gè)部分,針對(duì)每個(gè)部分MATLAB6.X都提供了強(qiáng)有力的輔助工具,其良好的交互界面、強(qiáng)大的計(jì)算功能使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)輕松快捷,極大地提高了系統(tǒng)開發(fā)的速度和效率。圖1.2顯示了利用MATLAB6.X進(jìn)行控制系統(tǒng)開發(fā)的不同階段以及相應(yīng)的MATLAB工具。圖1.2基于MATLAB6.X控制系統(tǒng)開發(fā)流程1.3數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1.3.1微分方程的求解多變量連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)一般可以采用微分方程或微分方程組來(lái)描述。線性非齊次微分方程的一般形式可以寫成(1.1)

對(duì)于某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)函數(shù)ai(t)和g(t),方程對(duì)下面的初始條件存在唯一的解析解：(1.2)

要得到唯一的微分方程解,必須有n個(gè)初始條件。已知n個(gè)初始條件對(duì)微分方程進(jìn)行求解的問(wèn)題稱為n階初值問(wèn)題（IVP）。非齊次方程的一般解的形式由齊次方程的解再加上滿足方程（1.1）的特殊解組成：(1.3)

其中齊次方程的解是指當(dāng)g(t)=0時(shí)方程（1.1）的解。將方程的初始條件代入一般解的形式中,可以求出方程（1.1）的唯一解的形式。對(duì)于系數(shù)時(shí)變的系統(tǒng),求出它的解析解的形式一般是很困難的。但是對(duì)于簡(jiǎn)單的常系數(shù)方程而言,可以通過(guò)下面的方法來(lái)確定方程的齊次解。設(shè)齊次方程為(1.4)

定義解的形式為(1.5)將式（1.5）代入式（1.4）,得到λneλt+an-1λn-1eλt+…+a0eλt=0λn+an-1λn-1+…+a0=0(1.6)

假設(shè),可以對(duì)方程（1.4）構(gòu)造一般解的形式（對(duì)于不同解的情況），即(1.7)

例1.1求解下面微分方程的解。初始條件為

解：假設(shè)方程一般解的形式為

首先求方程的齊次解,將y=eλt代入原微分方程,得到λ2+ω2=0,λ1,2=±iω。方程齊次解可以寫成

然后求方程的一個(gè)特解，將yh(t)=k1sin(ω0t)+k2cos(ω0t)代入原方程,得到解得因此,原微分方程一般解的形式為最后將初始條件代入上式,得到

例1.2對(duì)于g(t)=Csin(ωt),重新求解例1.1的微分方程。解：這個(gè)問(wèn)題與例1.1有相同的齊次解。但是這里的輸入函數(shù)與齊次解的形式有相同的函數(shù)形式。因此,可以選擇下面的特殊解形式。

yp(t)=k1tsin(ωt)+k2tcos(ωt)最終得到原方程的解為

將上式代入原微分方程，得到得到方程的一般解的形式為將初始條件（參見例1.1）代入上式,得1.3.2差分方程的解離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為可以用差分方程來(lái)描述。線性非齊次差分方程的解的一般形式為

y(k+n)+an-1(k)y(k+n-1)+…+a0(k)y(k)=g(k)(1.8)

與連續(xù)系統(tǒng)的情況類似,非線性齊次方程的解的一般形式可以由齊次方程的解加上特殊解構(gòu)成，即y(k)=yh(k)+yp(k)(1.9)

并且定常系數(shù)的線性差分方程具有相對(duì)簡(jiǎn)單的齊次解的形式。假定齊次方程為z(k+n)+an-1

z(k+n-1)+…+a0z(k)=0(1.10)

假定解的形式為

z(k)=λk(1.11)

將其代入式（1.10）,得λk+n+an-1λk+n-1+…+a0λk=0

λn+an-1λn-1+…+a0=0(1.12)

式（1.12）稱為差分方程的特征方程。最后,假定zi(k)=λki,可以構(gòu)造方程（1.10）的解的形式，即(1.13)

例1.3求解下面的差分方程的解。y(k+1)-2ay(k+1)+a2y(k)=brk

初始條件為y(0)=0y(1)=0解：定義y(k)=λk,由λ2-2aλ+a2=0得到λ1,2=a（重根）。使用參數(shù)變量方法,定義y2(k)=u(k)y1(k),其中u(k)=k,將其代入原來(lái)的齊次方程,得到下面的關(guān)系：

(k+2)ak+2-2a(k+1)ak+1+a2kak=0

kak+2+2ak+2-2kak+2-2ak+2+kak+2=0

因此yh(k)=C1ak+C2kak

特解計(jì)算：假定yp(k)=C3rk,將其代入非齊次方程,得到

將上述齊次解與特解結(jié)合起來(lái),得到原差分方程的一般解的形式為將初始條件代入，得

最終得到的非齊次差分方程的解為1.3.3矩陣代數(shù)與矩陣運(yùn)算表1.3列出了常用的矩陣代數(shù)運(yùn)算。表1.3常用的矩陣代數(shù)及其分量表示1）矩陣的特征值和特征根如果在代數(shù)方程描述的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)中定義b=λx,則有Ax=λx(1.14)

如果存在非零向量x滿足式（1.14）,則這里的λ稱為n維矩陣A的特征值。x稱為對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。式（1.14）也經(jīng)常寫成det(A-λI)=0(1.15)

式（1.15）又稱為矩陣A的特征方程。特征多項(xiàng)式的根表示n個(gè)特征值λ（又可能有重根）。一旦確定矩陣的n個(gè)特征值,將λ=λi代入特征方程即可求出對(duì)應(yīng)的每個(gè)特征值。

矩陣的特征值與特征向量對(duì)于描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)十分重要。如果一個(gè)線性集中參數(shù)系統(tǒng)的所有特征值和特征向量均已確定,則一般可以完全仿真該系統(tǒng)的時(shí)域和頻域特性,包括系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性、對(duì)輸入?yún)?shù)變化的敏感性等系統(tǒng)特征也可以被確定。事實(shí)上,根據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征值和特征向量,我們可以描述和分析這類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)幾乎所有的方面。矩陣與其相似矩陣具有相同的特征值。兩個(gè)矩陣A和B如果滿足下面的相似變換,則稱它們?yōu)橄嗨凭仃嚒?/p>

B=C-1

AC(1.16)

一種特殊的相似變換是矩陣的對(duì)角化。對(duì)于任何無(wú)重根的n×n維矩陣,有D=M-1

AM(1.17)

或者A=MDM-1(1.18)