江蘇省淮安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試卷及答案_第1頁
江蘇省淮安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試卷及答案_第2頁
江蘇省淮安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試卷及答案_第3頁
江蘇省淮安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試卷及答案_第4頁
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江蘇省淮安市淮海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試一、單選題.已知i為虛數(shù)單位,且復(fù)數(shù)國電=1-2晨則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為()ZTOC\o"1-5"\h\zA. -1+2/ B. -1-2/ C.l+2z D. 1-2i.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A. 0.6 B. 0.5 C.0.4 D. 0.3.若a,夕仁仁,乃],且sina=苧,sin(a-夕)=-],貝iJsin/7=( )a —11>/5 r ^5 「石 n 11行25 5 5 25.如圖,在四面體A8CC中,E,尸分別是AC與8。的中點,若CZ>248=4,EFLBA,則EF與CD所成的角為()A.90° B.45° C.60° D.30°.在中,ABAC=9,AB=3,點E滿足通=2配,則血.施=( )A.-6 B.-3 C.3 D.6一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8(其中xx7),若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的|■倍,則該組數(shù)據(jù)的方差是()413 八14 -16 -17A.— B.— C.— D.—3 3 3 3.在aABC中,a2+b2+c2=2y/3absinC,則aABC的形狀是( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形TOC\o"1-5"\h\z.已知圓柱的側(cè)面積為2萬,其外接球的表面積為S,則S的最小值為( )A.3兀 B.4萬 C.6兀 D.9K二、多選題.已知復(fù)數(shù)z=(a-i)(3+20(aeR)的實部為-1,則下列說法正確的是( )A.復(fù)數(shù)z的虛部為-5 B.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)5=1-5,C.|z|=V26 D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限10.已知“,b,c分別是aABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,下列四個命題中正確的是( )A.若lanA+tan8+tanC>0,貝I”IBC是銳角三角形B.若acosA=Z?cos8,則aABC是等腰三角形C.若。cosC+ccosB=b,則aABC是等腰三角形D.若三=3=-^;,貝iJaABC是等邊三角形cosAcosBcosC11.甲罐中有3個紅球、2個白球,乙罐中有4個紅球、1個白球,先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐,分別以A,4表示從罐中取出的球是紅球、白球的事件,再從乙罐中隨機取出1球,以8表示從乙罐中取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論正確的是()A.P(B)=—-30B.事件8與事件A互相獨立c.A,4互斥D.尸伊)的值不能確定,因為它與A,4中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)12.如圖,在棱長為1的正方體ABC。-A4Gq中()Di ClA.AC與BR的夾角為60。 B.二面角O-4C-"的平面角的正切值為應(yīng)C.與平面ACR所成角的正切值及D.點O到平面4cA的距離為點三、填空題13,設(shè)向量b= 若2_1_(巾£+今,則.14.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練,在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別g, p,該同學(xué)站在7這三個不同的位置各投籃一次,恰好投中兩次的概率為 則p的值為.1O.在三棱錐S-AB。中,SB上BC,SA.LAC,SB=BC,SA=ACfAB= ,且三棱錐S-ABC2Q的體積為5,則該三棱錐的外接球的體積為.四、雙空題.在aABC中,8=60。,AB=1,M是BC的中點,AM=6,則AC=,cos/M4C=.五、解答題.已知同=4盟=8,£與石的夾角是120.⑴求力的值及歸+閘的值;(2)當(dāng)%為何值時,(a+2b)l(*a-fe)?.已知cosa=—sin(a-£) 且a、眸(0,—).求:5 10 2(1)cos(2a-4)的值:(H)夕的值..為慶祝建黨100周年,謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程,增進全體黨員干部職工對黨史的了解.某單位組織開展黨史知識競賽活動,以支部為單位參加比賽.現(xiàn)把50名黨員的成績繪制了頻

(1)求a的值;(2)這50名黨員成績的眾數(shù)、中位數(shù)及平均成績;(3)試估計此樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)..在銳角AABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2〃sinA-扃=0.(I)求角B的大小:(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍..如圖,四棱錐P-ABCO的底面ABC。是矩形,。是AC與8。的交點,E為P8的中點.(I)求證:0E〃平面以。:(II)若包),平面ABC。,DFLPA,垂足為凡PD=BD=2,AD=l,求三棱錐P-QEF的體積..如圖所示,在四棱錐V-A8C。中,底面A8C。是正方形,側(cè)面依£)是正三角形,平面E4。,底面ABCD.(1)求證:AB_L平面以£);(2)求平面如)與平面所成的二面角的正切值.

參考答案:D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式,以及復(fù)數(shù)的除法運算,求出z,即可得出其共輾復(fù)數(shù).13+4/1 5 5 5(1+2/)【詳解】因為.="2,「所以>,則z=,=島島^1+2,,因此復(fù)數(shù)z的共聊復(fù)數(shù)為1-2/.故選:D.D【詳解】分析:分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能,代入概率公式可求得概率.詳解:設(shè)2名男同學(xué)為A,4,3名女同學(xué)為用,4,用,從以上5名同學(xué)中任選2人總共有&4,4分旦氏8巴.8內(nèi)共10種可能,選中的2人都是女同學(xué)的情況共有4區(qū).48、.冬冬共三種可能3則選中的2人都是女同學(xué)的概率為夕=歷=0.3,故選D.點睛:應(yīng)用古典概型求某事件的步驟:第一步,判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件,設(shè)出事件A:第二步,分別求出基本事件的總數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)加;第三步,利用公式尸(4)='求出事件A的概率.nC【解析】根據(jù)題中條件,由同角三角函數(shù)基本關(guān)系,先求出cosa,cos(a-〃),再由兩角差則a-匹的正弦公式,則a-匹【詳解】因為a,夕所以因為sina=^^,sin(a-/?)=-^,5 3所以cosaJi54所以cosaJi54522行41百)(3、6 xIx—|=5 515)15) 5則sin^=sin[a-(a-/9)l=sinacos(a-/7)-cosasin(a-y0)故選:C.D【分析】設(shè)G為AO的中點,連接GF,GE,由三角形中位線定理可得GE98,G耽D,則NGFE即為EF與CQ所成的角,結(jié)合AB=2,CD=4,EFLAB,在AGEF中,利用三角函數(shù)即可得到答案.【詳解】解:設(shè)G為AD的中點,連接GF,GE則GF,GE分別為AAB。,A4C。的中線.二GF//AB,且GF=gAB=l,GE7CD,且GE=gcD=2,則歷與CO所成角的度數(shù)等于E尸與GE所成角的度數(shù)又EFLAB,GF〃AB:.EFLGF則AGEF為直角三角形,GF=\,GE=2,ZGF£=90°,在直角AGE尸中,sinZ.GEF=^NGEr=30°.故選:D.CB【分析】根據(jù)題中所給的條件利用相應(yīng)公式求得結(jié)果._2 【詳解】aABC中,AE=2EC>所以AE=§AC,_ 2 2 2ABBE=AB(AE-AB')=AB^AC-AB)=^ABAC-AB相加,利用基本不等式及正弦函數(shù)的有界性即可判斷出該aABC的形狀.【詳解】?.,在中,a2+b2+c2=2y/3absinC,又由余弦定理知,b2+a2-c2=2abcosC,兩式相加得:2(a2+Z>2)=2?Z>(x/3sinC+cosC)=4dAsin(C+—),6.?.sin(C+g)=。^…笑=1(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”),又sin(C+%l,TOC\o"1-5"\h\z62ab2ab o.?.sin(C+m)=l(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立),C為AABC的內(nèi)角,Oc冗冗 71 — ,?'?Ch—=—,C=一,義a=b,62 3.,.△ABC的形狀為等邊△.故選:D.B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為,,高為力,則由題意可得21附=2乃,得汕=1,設(shè)圓柱的外接球半徑為R,則斤='+(^],然后利用基本不等式求出r的最小值,從而可求出S的最小值【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為『,高為〃,因為圓柱的側(cè)面積為2乃,所以=2乃,得rh=1,設(shè)圓柱的外接球半徑為R,則夫2=產(chǎn)+(,>2r^=rh=\>當(dāng)且僅當(dāng)r=!,即力=&"=立時取等號,所以斤的最小值為1,2 2所以外接球的表面積S的最小值為4l店=4萬,故選:BACD【解析】首先化簡復(fù)數(shù)z,根據(jù)實部為-1,求“,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念,判斷選項.【詳解】z=(a-j)(3+2z)=3a+2az-3z-2/2=(3a+2)+(2a-3)Z,因為復(fù)數(shù)的實部是-1,所以%+2=-1,解得:a=-\,所以z=-l—5i,A.復(fù)數(shù)z的虛部是-5,正確;B.復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)5=-l+5i,不正確;C.|z|=>/(-1)2+(-5)2=>/26,正確;D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是(-1,-5),位于第三象限,正確.故選:ACDACD【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式以及A,B,C為aABC的內(nèi)角可判斷A;由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式可判斷B;由正弦定理化邊為角,逆用兩角和的正弦公式可判斷C;利用正弦定理化邊為角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D,進而可得正確選項.tQnA+fanR【詳解】對于A,因為tan(A+3)=~j ——所以tanA+tan8=tan(A+B)(l-tanAtanB),所以tanA+tan3+tanC=tan(A+3)(1-tanAtanB)+tanC=—tanC(l-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,因為A,B,。為aABC的內(nèi)角,所以A,B,。都是銳角,所以△ABC是銳角三角形,故選項A正確;對于B:由acosA=bcos3及正弦定理,nJWsinAcosA=sinBcosB,jr即sin2A=sin28,所以2A=23或2A+28=兀,所以A=B或A+8=,,所以aABC是等腰三角形或直角三角形,故選項B錯;對于C:由AosC+ccos8=b及正弦定理化邊為角,可知sinBcosC+sinCeosB=sinB,即sinA=sinB,因為A,B為aABC的內(nèi)角,所以A=B,所以aABC是等腰三角形,故選項C正確;對于D:由一,=一二=一,和正弦定理化邊為角,易知嗎=嗎=半,所以cosAcosBcosC cosAcosdcosCtanA=tanB=tanC,因為A,B,C為IBC的內(nèi)角,所以A=B=C,所以aABC是等邊三角形,故選項D正確;故選:ACD.AC【分析】由題可得P(A),尸(&),P(B)的值,可判斷AD,利用獨立事件的概念可判斷B,根據(jù)互斥事件的定義可判斷C.【詳解】由題可得P(A)=:,P(洋)=:,尸(8)=尸(A)尸(8隊)+?(&)網(wǎng)網(wǎng)&)=rZ+,*[=品,故A正確,D錯誤;又p(A3)=p(a)p(Ma)=?m=5,因此P(A8)xP(A)P(B),故B錯誤;A,4不可能同時發(fā)生,故彼此互斥,故c正確.故選:AC.BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法逐項判斷即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則4(1,0,0),C(0,1,0),3(1,1,0),A(0,0,1)再(1,1,1),?\AC=(-1,1,0),BOX-1,-1,1),而聞=0,即而_L西,AC與的夾角為90。,故A錯誤:設(shè)平面ACR的法向量為成=(x,y,z),AC=(-1,1,0),^,=(-1,0,1),TOC\o"1-5"\h\zin-AC=-x+y=0 z、所以 —. ,令x=l,則歷=(1,1,1),in?AD1=—x+z=0平面D4C的法向量可取日=(0,0,1),二面角O-AC-R的平面角為凡I ^2則cose=kos(玩,研=耳,所以sine=gs(機磯=\,tane=&,故B正確:因為福=(0,1,1),設(shè)AB1與平面AC。所成角為a,r-=—,cos?=—,tana=V2,故C正確;V2.V3 3 3因為麗=(1,0,0),設(shè)點O到平面4C。的距離為",則DAm|w|一程3故選:BCD.1【分析】運用向量的加減運算和向量垂直的條件,計算即可得到所求值.【詳解】向量〃=(1,1),b=(-\jri),貝lj機4+5=。%-1,2?。?,.L^ma+bj,可得“?(ma+E)=0,艮|]有機)=0,即為(加-1)+2m=0,解得故答案為:g.1【分析】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,恰好投中兩次為事件ABC,ABC,ZBC發(fā)生,由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出結(jié)果.【詳解】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,恰好投中兩次為事件AB。,ABC,Z8C發(fā)生,故恰好投中兩次的概率尸=:x1x(l-p)+Jx(l-〈]xp+(1-1)x:xp=[,j2. 3\2.) 3 2 1o2解得p=j.故答案為:|.【點睛】本題考查概率的求法,考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.弓兀相學(xué)【分析】設(shè)元的中點為。,連接8n4。,由題可得。為三棱錐的外接球的球心,根據(jù)三棱錐的體積公式及條件可得外接球的半徑,進而即得..【詳解】設(shè)SC的中點為。,連接BAAD,因為S8_L8C,MLAC,8。=AO=gSC,則力為三棱錐的外接球的球心,設(shè)BO=4O=gsC=R,則AB=0R,BD2+AD2=AB?,BDLAD,因為SB=BC,所以B£>_LSC,同理AD_LSC,又8。門4。=。,8£)<=平面48。,A£)u平面ABD,所以AC_L平面ABD,I? 8???所以匕-ABC=匕一A5d+匕-A8O=§X5X/?x/?x2R=5.所以R=2,

4 ,32所以該三棱錐的外接球的體積為:兀x23=當(dāng)兀.3 332兀故答案為:有一V13嚕^【分析】在aABM中,由余弦定理得身0=2,在aABC中,由余弦定理得AC=JB,在aAMC中,再利用余弦定理求解即可【詳解】由題意作出圖形,如圖,在aABM中,由余弦定理得AM?mAbZ+BM,-ZBM.BA.cosB,解得BM=2,所以BC=2BA/=2CM=4,在aABC中,由余弦定理得AC2=4B2+8C2-2ABBCcosB=l+16-2xlx4xg=13,所以2>/39132>/3913在aAMC中,由余弦定理得cosNM4c=絲±絲上絲e2AMAC故答案為:屈;故答案為:屈;嚕(l)ab=-16,|a+^|=4>^;⑵4=-7.【分析】(1)由定義求出數(shù)量積,再利用模長公式及向量數(shù)量積的運算律即得;(2)由于(£+2&J.(壇-5),可得(£+2楊.(磊-楊=0,利用向量的數(shù)量積的運算公式,即可求解.(1),.[a]=4,W=8,£與5的夾角是120」,cos12cos120=4x8x=-16,,,++(2)+2ab+b:=716-32+64=4>/3;由題意,(2+2可?卜£一勾二%/一262+(24—1)£石=0,即16人一128-16(2無一1)=0,解得欠=-7,即Jt=-7時,(a+%)_L.(I)得;(H)(.【分析】(I)由a,£的范圍求出a-夕的范圍,由題意和平方關(guān)系求出sina和cos(a-4),由兩角和的余弦公式求出cos(2a-£)=cos[(a-夕)+a]的值;(II)由兩角差的余弦公式求出cos^=cos[a-(a-夕)]的值,再由用的范圍求出用的值.【詳解】(I)???0,夕:.a-際(-y.y)...小.(公回TOC\o"1-5"\h\z?cosa=—,sin(a-p)= ,5v7 10Asina=Vl-sin2a= ,cos(a-夕)=Jl-cos2(a+Z?)=——,5 vk7 10cos(2q-夕)=cos[(a-B)+a]=cos(a-4)cosa-sin(a-p)sina35/io亞圓2小無= X X = ,10 5 10 5 10(II)由(I)得,cosjff=cos[(x-(a-fl)]=cosacos(a-6)+sinasin(a-fl)y[53V102石屈虛= X 1 X = ,5 10 5 10 2又,?g(o,9,.”=%【點睛】關(guān)鍵點點睛:拆角2a-£=(a-〃)+a,6=。-(。-£)是本題解題關(guān)健.(1)a=0.020;(2)眾數(shù)75,中位數(shù)76.7,平均成績76.2;(3)93.75.【分析】⑴根據(jù)頻率分布直方圖面積之和為1,即可求出”的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,每一組的中間值代表該組的數(shù)據(jù),即得到可這50名黨員成績的眾數(shù)、中位數(shù)及平均成績;(3)根據(jù)頻率分布直方圖,求頻率在0.9時的分?jǐn)?shù),即為此樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)的估計值.【詳解】(1)根據(jù)頻率分布直方圖得:(0.004+0.006+4+0.030+0.024+0.016)x10=1,解得a=0.020.(2)有眾數(shù)概念可知,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),所以眾數(shù)為四羅=75,v0.004X10+0.006X10+0.020xl0=0.3,???前三個小矩形的面積的和為0.3,而第四個小矩形的面積為:0.030x10=0.3,0.3+0.3=0.6>0.5,???中位數(shù)應(yīng)位于[70,80)內(nèi),中位數(shù)=70+q產(chǎn)*10=手=76.7,

平均成績?yōu)椋?5x(0.004x10)+55x(0.006x10)+65x(0.020x10)+75x(0.030x10)+85x(0.024x10)+95x(0.016x10)=76.2.(3)前5個小組的頻率之和是(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024)x10=0.84,所以第90百分位數(shù)在第五小組[90,100]內(nèi),為90+。:黑:x10=?=93.75.(I)B=(II)[與【分析】(【)方法二:首先利用正弦定理邊化角,然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角8的大小;(II)方法二:結(jié)合(I)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式,然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍,最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cos8+cosC的取值范圍.【詳解】(I)[方法一]:余弦定理由26sinA=J5a,得sin2A 即1-cos2A=.結(jié)合余弦定cosA="+'———,2bc即4/72c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2,即a4+b4+c4+a2c2-2a2b2-2ble1=0,即々4++「4+2a2c2-2a2b2—2b2c2=a2c2,:△ABC為銳角三角形,???/+「2-從>o,:■a2+c2-b2=ac所以COS812+02-從J,2acTT又8為“IBC的一個內(nèi)角,故8[方法二]【最優(yōu)解】:正弦定理邊化角由2Z?sinA=Go?結(jié)合正弦定理可得:2sin8sinA=JisinA,「.sinB=—2

■7T△ABC為銳角三角形,故B=§.(11)[方法一]:余弦定理基本不等式TT因為8=g,并利用余弦定理整理得從="2+?2一改,即3〃c=(。+c)2—b2.結(jié)合ac£結(jié)合ac£a+c~2~I,得陪42.1b由臨界狀態(tài)(不妨取人會可知管=收而aABC為銳角三角形,所以Wb>73.由余弦定理得cosA而aABC為銳角三角形,所以Wb>73.由余弦定理得cosA+cosB+cosC=b2+c2-a21a2+/?2-c2 +—+2bc2Z?2=a2+c2—ac,代入化簡得cosA+cos3+cosC2ab1 +c.r-^+1故cosA+cosB+cosC的取值范圍是0+132,2[方法二]【最優(yōu)解】:恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有:cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos2=COSA.l=COSA.lCOSA+^sinA+l=sinA+-cosA+-=sinA+-=sinA+-+-由,_ 2B冗0<一九一A<一3 2可得:0<A<-2冗,乃加'兀2兀—vA<一,一<A+一<—,6 23 63即cosA+cosB+cosC即cosA+cosB+cosC的取值范圍是73+132"2.【整體點評】(D的方法一,根據(jù)已知條件,利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得a2+c2-b2=ac,運算能力要求較高;方法二則利用正弦定理邊化角,運算簡潔,是常用的方法,確定為最優(yōu)解;(II)的三種方法中,方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡,運算較為麻煩,方法二直接使用三角恒等變形,簡潔明快,確定為最優(yōu)解.(I)證明見解析;(II)述.【解析】(I)由中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理證明即可;15(II)先證明P8_L平面。EF,從而得PE是三棱錐P-DE尸的高,再求出OE,DF,EF,最后由棱錐的體積公式得出三棱錐P-DEF的體積.【詳解】解:(I)因為四邊形ABCD是矩形,所以。是8。的中點又E是尸B的中點,所以O(shè)E//PD因為平面尸A£),PDu平面尸AD所以。E〃平面DAO.(II)因為叨_L平面ABC£>,ABI平面ABC£>,所以又Afl_LAD,PD4Ou平面R4£),PDr\AD=D所以平面R4。,£>Fu平面尸

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