3-4函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性-趙樹(shù)嫄

問(wèn)題的提出若在區(qū)間（a,b)上單調(diào)增加若在區(qū)間（a,b)上單調(diào)減少一、函數(shù)單調(diào)性的判定法假設(shè)定理1.

設(shè)函數(shù)則

在

I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:無(wú)妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明在

I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開(kāi)區(qū)間

I

內(nèi)可導(dǎo),證畢例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說(shuō)明:

單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),那么不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,單調(diào)區(qū)間求法⑴問(wèn)題：如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。⑵定義：假設(shè)函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，那么該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。⑶分界點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。⑷單調(diào)區(qū)間求法:例2.

證明時(shí),成立不等式證:令從而因此且后面證*證明令那么從而即另例證二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方ABMN定義.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)假設(shè)恒有那么稱圖形是凹的;(2)假設(shè)恒有那么稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).圖形是凸的.曲線凹凸的判定圖形分析定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則

在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說(shuō)明(1)成立;(2)證畢例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說(shuō)明:1)假設(shè)在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在

兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).那么曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),例4.求曲線的拐點(diǎn).

解:不存在因此點(diǎn)

(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)

(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在

I

上單調(diào)遞增在

I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)思考與練習(xí)上那么或的大小順序是()提示:利用單調(diào)增加,及B1.

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.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及作業(yè)P1513(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14