(完整版)瓜豆原理(與相似有關)

瓜豆原理（與相似有關）編者的話：上一節(jié)課已經體驗了瓜豆妙用，能解決相應的最值問題．本節(jié)課繼續(xù)學習瓜豆相關知識，但是難度要比上一節(jié)課要增大，本節(jié)不僅需要旋轉還需要進行放縮，即與相似有聯(lián)系．不過相信在理解前一節(jié)的基礎上，再學本節(jié)會簡單很多，我們一起來攻克吧！一、典型例題例1.如圖，/AOB=60°,C,D是邊OA上的兩點，且OD=8,CD=2，點P是射線OB上一動點，連接PD，點Q是PD的中點，連CQ,則CQ的最小值為.OPB解：第一步：判斷.點D為定點，P為主動點，Q為從動點，滿足瓜豆原理.1第二步：畫路徑.局部變化：點Q是點P以定點D為位似中心，以2為相似比縮小而來.P點在射線OB上運動，則整體上變化：Q點的路徑是射線OB以定點D為位似中心,1歹為相似比縮小而來，即射線Q1Q為Q的運動路徑.（實際作圖：兩點確定一條直線，只要尋找兩個特殊點即可.當點P在點O時，取OD中點Q1，連Q1Q并延長即可）.由位似的性質，△DQ1Qs'DOP，且相似比為1,Q1Q//OB.第三步：計算.即當CQ±Q1Q時，CQ2最小.ZAOB=ZAQ1Q=60°,CQ1=2,則UCQ2=.例2.平面內兩定點A,B之間的距離為8,P為一動點，且PB=2，連接AP,并且以AP為斜邊在AP的上方作等腰直角△APC,如圖，連接BC,則BC的最大值與最小值的差為.解：第一步，判斷.確定P點的路徑為。B.A為定點，P為主動點，C為從動點，滿足瓜豆原理．第二步，畫路徑.局部變化是點P到點C的變化是先繞點A逆時針旋轉45。，再以A、再.為位似中心，以e2為相似比縮小.點P在。B上運動，則整體的變化：將。B先繞點A逆時針旋轉45°,再以A為位似中心，以當為相似比縮小得到。0.（實際作圖：以AB為斜邊向上構造等腰直角三角形，頂點即為圓心。，連0C,以0為圓心0C為半徑畫圓即得到。0）第三步：計算.BC的最值轉化為點圓位置關系，則BC2—BC1=C1C2，即為。0的直徑2v2.例3.如圖，等腰直角△ABC中，/A=90°,AB=AC=3,D是AB上的點，且AD=、3.點E是BC邊上的一動點，過E作EF±ED,使DE:EF=1:<3，連接FD,CF，則CF的最小值是.A解：第一步：判斷.點D為定點，E為主動點，F(xiàn)為從動點，滿足瓜豆原理.第二步：畫路徑.局部變化：點F是點E繞點D順時針旋轉60。，再以定點D為位似中心，以2為位似比放大得到；點E在BC上運動，則整體上變化：F的路徑為BC繞點D順時針旋轉60。，再以定點D為位似中心，以2為位似比放大得到B'C’.（實際作圖：將BD,DC分別順時針旋轉60。再擴大2倍得到B',C',連接即可）.第三步：計算最小值CK.AD:AC=1:V3,可得/ADC=60°=ZBDB，，則B',D,C共線且BBC=6?"△BDCs^BDC,所以/B'=/B=45。，則CK=3T2.例4.如圖，△AB0為等腰直角三角形，A（-4,0），直角頂點B在第二象限，點C在y軸上移動，以BC為斜邊作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點D點隨著點C的運動也在一條直線上運動，這條直線的函數(shù)解析式是.圖1圖2解：第一步：判斷.點B為定點，點C為主動點，點D為從動點，滿足瓜豆原理.由于D點的位置沒有明確，故分兩種情況進行討論.第二步：畫路徑.局部變化：點D是點C先繞B旋轉45°,再以B為位似中心以￡為位似比縮小而來.則整體上：D點的路徑為y軸繞點B旋轉45°,再以B為位似中心以包2為位似比縮?。?實際作圖：直線型的我們可以尋找兩個特殊點，兩點確定一條直線．如圖1，點C在y軸上，當BC1±y軸時，D1(-1,3)；當C2在O點時，D2(0,2)；如圖2，當BC1±y軸時，D1-11,1)；當C2在O點時，D2(-2,0)第三步：計算.y=—x+2；y—x+2.二、鞏固練習1.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,E為對角線BD上一動點，以E為直角頂點，AE為直角邊作等腰直角及△AEF,A,E,F按逆時針排列.當點E從點D運到到點B時，點F的運動路徑長為【答案】5J2.提示：法1，尋找始末位置，F(xiàn)1為開始的位置，F(xiàn)2為最終的位置，連接即為F的路徑.利用勾股即可求得.法2,口算.E點的路徑長為5,F點是由E點旋轉擴大得到，滿足瓜豆，知其路徑也為線段，并且擴大%2倍，即F的路徑為5<2..如圖，AB=2,點D是等腰Rt△ABC斜邊AC上的一動點，以BD為邊向右下作等腰△BDE,其中頂角ZBDE=120°,則點D從A運動到C的過程中，則E點的運動路徑長為.

【答案】：2v'6.提示：滿足瓜豆原理.法人畫出路徑具體求解.法2:口算法，D到E旋轉放大、3倍，即E點的路徑為<3AC=2T6..如圖，在等邊^(qū)ABC中，BC=6,D,E是BC邊上的兩點，且BD=CE=1,P是DE上一動點，過點P分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點M,N,連接MN,AP交于點G,則點P由點D移動到點E的過程中，線段BG掃過BG掃過的區(qū)域面積為.BIyPEBIyPEC【答案】：323提示：滿足瓜豆原理.找始末位置G1，G2，則GG為^ADE的中位線即叩2二即叩2二2DE=勺二2AU二羊?1一-3<3??S=GG-GV=——21222.如圖，在平面直角坐標系中，已知正方形ABCO,A(0,4)，點D為％軸上一動點，以AD為邊在AD的右側作等腰直角三角形ADE,NADE=90°，連接OE，則OE的最小值為.【答案】：2<2.提示：瓜豆直線型，路徑是％軸繞點O逆時針旋轉45。得到.實際操作，找一個特殊點(圖上已經有一點)，C點為開始點，連接CE即為E點運動路徑，則OE1為OC最小值．即oe=OC=1<2最小值．5.如圖，在Rt5.如圖，在Rt△ABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,點D是半徑為2的。A上一點，點E是CD的中點，則BE長的最大值是.【答案】：7.提示：以C為位似中心，1為位似比縮小，轉化為點圓位置關系..如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2y2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是.【答案】：兀提示：法/：畫路徑求路徑，以C為位似中心，1為位似比縮小，即為點M2的路徑長.法2:口算.M路徑為P點路徑長的一半.

.如圖，在矩形ABCD中，AD=2,AB=4,長度為2的動線段AE繞點A旋轉，連接EC,位似比縮小，轉化為點圓位置關系．.如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點E，/AED=90°,F為CE的中點，連接BF,則BF的最大值為.SCBSCB3L€【答案】：＜13+1.提示：確定E點的路徑為圓.以C為位似中心，2為位似比縮小，轉化為點圓位置關系．9.如圖，在矩形ABCD中，化為點圓位置關系．9.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E在AD邊上，且AE：ED=1：3.動點P位線．10.如圖，△ABC中，/ACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一動點以DC為斜邊向上作等腰直角△DCE，使NCED=90°,連接BE，則BE的最小值為.BB【答案】：弓.提示：線段型瓜豆，找始末位置，得路徑線段E1E2.△E2CE1s△BAC得到NCEE產NCBA=60。，則NBEE=30°,?'.BE=1BE二點.2121322211.如圖，直線m//n,m,n之間的距離為3,A,B為直線n上的兩點，且AB=2，點C是直線m上的動點，四邊形ACDE為矩形，CD=3AAC，則BD的最小值

【答案】2<3【答案】2<3+1.提示：定點A，主動點C,從動點為D，點C繞點A逆時針旋轉60°,并以A為位似中心放大2倍得到。，滿足直線型瓜豆.找特殊點0即有D點路徑，此時DD與m，n的夾角為60。，則BD>BD_1BD_2^3+1.122312.如圖，BE,AC為四邊形ABCE的對角線，CE=2，/CAE=60°,ZCAB=90°,ZCBA=30°,連接BE，則BE的最大值為連接BE，則BE的最大值為.【答案】：2<21+4<3提示：第一步：定角定弦隱圓．點A的路徑是以O為圓心，OA為半徑的圓上（部分圓）.O提示：第一步：定角定弦隱圓．在CE的垂直平分線上，且NCOE=120°.第二步：C為定點，A為主動點，B為從動點，滿足瓜豆.A到B是繞點C逆時針旋轉60。，再以C為位似中心