概率論課件-特征函數(shù)

第四章特征函數(shù)§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)§4.2多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)§4.3母函數(shù)第四章特征函數(shù)§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)§4.2§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)一、定義及例二、性質(zhì)三、特征函數(shù)與矩的關(guān)系四、反演公式及惟一性定理§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)一、定義及例二、性質(zhì)隨機(jī)變量的數(shù)字特征只反映隨機(jī)變量取值某些方面的特征，一般并不能通過它來確定隨機(jī)變量的分布函數(shù)。引進(jìn)一個工具，既能與分布函數(shù)一一對應(yīng)，但比分布函數(shù)具有更好的分析性質(zhì)。歐拉公式隨機(jī)變量的數(shù)字特征只反映隨機(jī)變量取值某些方面的特征，歐拉公式2.復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若復(fù)隨機(jī)變量為其中X,Y均為實隨機(jī)變量,則Z的數(shù)學(xué)期望定義為2.復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若復(fù)隨機(jī)變量為其中X,Y均一、定義及例定義4.1.1

設(shè)X是定義在概率空間上的隨機(jī)變量,它F

的分布函數(shù)為,稱的數(shù)學(xué)期望為X的特征函數(shù).有時也稱為分布函數(shù)的特征函數(shù),其中記X的特征函數(shù)為,在不會引起混亂的情況下簡寫為1.特征函數(shù)的定義一、定義及例定義4.1.1設(shè)X是定義在概率空間一、定義及例定義4.1.1

設(shè)X是定義在概率空間上的隨機(jī)變量,它F

的分布函數(shù)為,稱的數(shù)學(xué)期望為X的特征函數(shù).有時也稱為分布函數(shù)的特征函數(shù),其中記X的特征函數(shù)為,在不會引起混亂的情況下簡寫為1.特征函數(shù)的定義一、定義及例定義4.1.1設(shè)X是定義在概率空間3.特征函數(shù)的計算(1)離散型(2)連續(xù)型X的特征函數(shù)就是x的函數(shù)的期望，此時的函數(shù)是由X構(gòu)造出來的復(fù)值隨機(jī)變量的期望。3.特征函數(shù)的計算(1)離散型(2)連續(xù)型X例4.1.1

設(shè)隨機(jī)變量X服從退化分布,即求X

的特征函數(shù).例4.1.1設(shè)隨機(jī)變量X服從退化分布,即求X的特征函例4.1.2

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布(兩點分布),求其特征函數(shù).例4.1.2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布(兩點例4.1.3

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,求其特征函數(shù).例4.1.3設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,例4.1.4

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,求其特征函數(shù).例4.1.4設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,例4.1.5

設(shè)隨機(jī)變量X服從的均勻分布,求其特征函數(shù).當(dāng)t=0時，例4.1.5設(shè)隨機(jī)變量X服從的均例4.1.6

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求其特征函數(shù).例4.1.6設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.1.1

隨機(jī)變量X的特征函數(shù)滿足:性質(zhì)4.1.2

設(shè)X

的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.1.1隨機(jī)變量X的特征函性質(zhì)4.1.3

隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)在R上一致連續(xù).性質(zhì)4.1.4

隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)是非負(fù)定的,即對任意正整數(shù)n,任意復(fù)數(shù),以及有波赫納-辛欽定理若函數(shù)連續(xù),非負(fù)定且,則必為特征函數(shù).性質(zhì)4.1.3隨機(jī)變量X的特征函數(shù)在R三、特征函數(shù)與矩的關(guān)系定理4.1.1

設(shè)隨機(jī)變量X的n

階矩存在,則X

的特征函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)存在,且三、特征函數(shù)與矩的關(guān)系定理4.1.1設(shè)隨機(jī)變量X的四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)

設(shè)隨機(jī)變量X的分豈有此理函數(shù)和特征函數(shù)分別為和,則對于的任意連續(xù)點和,有若記(4.1.8)則(4.1.8)等價于四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)設(shè)四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)連續(xù)點:不連續(xù)點:

反演公式四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)連續(xù)點:不連續(xù)推論1(惟一性定理)

分布函數(shù)及恒等的充分必要條件為它們的特征函數(shù)及恒等.推論2

設(shè)隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)于R

上絕對可積,則X

為具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量,且推論1(惟一性定理)分布函數(shù)及例設(shè)隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)求隨機(jī)變量X

的密度函數(shù).例設(shè)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)求隨機(jī)變量X的密度函數(shù).定理4.1.3

設(shè)X

為取整數(shù)值及0的隨機(jī)變量,其概率函數(shù)為其特征函數(shù)為則定理4.1.3設(shè)X為取整數(shù)值及0的隨機(jī)變量,其概率函例設(shè)X為只取0到n的整數(shù)的離散型隨機(jī)變量,且其特征函數(shù)為求隨機(jī)變量X

的分布律.例設(shè)X為只取0到n的整數(shù)的離散型隨機(jī)變量,且其特征函數(shù)為§4.2多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)一、定義及例二、二維隨機(jī)變量特征函數(shù)的性質(zhì)三、相互獨立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)§4.2多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)一、定義及例二、二維隨機(jī)一、定義及例定義4.2.1

設(shè)(X,Y)是一個二維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為為任意實數(shù),記稱為的特征函數(shù).連續(xù)型:

一、定義及例定義4.2.1設(shè)(X,Y)是一個二維隨一、定義及例定義4.2.1

設(shè)(X,Y)是一個二維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為為任意實數(shù),記稱為的特征函數(shù).離散型:

其中一、定義及例定義4.2.1設(shè)(X,Y)是一個二維隨例4.2.1

設(shè)二維隨機(jī)變量的分布列為求二維隨機(jī)變量的特征函數(shù)．例4.2.1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布列為求二維隨機(jī)變例4.2.2

設(shè)二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量的特征函數(shù)．例4.2.2設(shè)二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量的特征n

維隨機(jī)變量的特征函數(shù):定義設(shè)有n維隨機(jī)變量則稱為n

維隨機(jī)變量的特征函數(shù).n維隨機(jī)變量的特征函數(shù):定義設(shè)有n維隨機(jī)變量則二、二維隨機(jī)變量特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.2.1設(shè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，則有(1)且對任意(2)(3)于實平面上一致連續(xù)；(4)其中分別為Ｘ及Ｙ的特征函數(shù)．二、二維隨機(jī)變量特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.2.1設(shè)隨機(jī)變量性質(zhì)4.2.2

設(shè)皆為常數(shù),為二維隨機(jī)變量,則隨機(jī)變量的特征函數(shù)為例4.2.4設(shè)二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量的特征函數(shù)．性質(zhì)4.2.2設(shè)性質(zhì)4.2.3

兩個二元分布函數(shù)恒相等的充分必要條件是它們的特征函數(shù)恒等.性質(zhì)4.2.4

設(shè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)為為任意常數(shù),則的特征函數(shù)為性質(zhì)4.2.3兩個二元分布函數(shù)恒相等的充分必要條件是它們例4.2.5

設(shè)二維隨機(jī)變量求分布.

例4.2.5設(shè)二維隨機(jī)變量求定理4.2.1

隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布的充分必要條件是X

與Y

的任一線性組合服從一維正態(tài)分布.其中a,b,c為任意常數(shù),且a,b不全為0.定理4.2.2

設(shè)為二維隨機(jī)變量,存在,則其特征函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在,且定理4.2.1隨機(jī)變量服從二維正態(tài)例4.2.6

設(shè)二維隨機(jī)變量求分布.

例4.2.6設(shè)二維隨機(jī)變量求三、相互獨立隨機(jī)變量的特征函數(shù)定理4.2.3

n

個隨機(jī)變量相互獨立的充分必要條件為的特征函數(shù)三、相互獨立隨機(jī)變量的特征函數(shù)定理4.2.3n個隨則Y的特征函數(shù)為推論設(shè)為n

個相互獨立的隨機(jī)變量,令則Y的特征函數(shù)為推論設(shè)例4.2.7

設(shè)為n

個相互獨立且均服從參數(shù)為p

的0-1分布,證明例4.2.8

設(shè)X與Y相互獨立,且證明:例4.2.7設(shè)例4.2.9

設(shè)X與Y相互獨立,且證明:例4.2.10

設(shè)X與Y相互獨立,且證明:例4.2.9設(shè)X與Y相互獨立,且證明:例4.2.第四章特征函數(shù)§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)§4.2多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)§4.3母函數(shù)第四章特征函數(shù)§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)§4.2§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)一、定義及例二、性質(zhì)三、特征函數(shù)與矩的關(guān)系四、反演公式及惟一性定理§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)一、定義及例二、性質(zhì)隨機(jī)變量的數(shù)字特征只反映隨機(jī)變量取值某些方面的特征，一般并不能通過它來確定隨機(jī)變量的分布函數(shù)。引進(jìn)一個工具，既能與分布函數(shù)一一對應(yīng)，但比分布函數(shù)具有更好的分析性質(zhì)。歐拉公式隨機(jī)變量的數(shù)字特征只反映隨機(jī)變量取值某些方面的特征，歐拉公式2.復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若復(fù)隨機(jī)變量為其中X,Y均為實隨機(jī)變量,則Z的數(shù)學(xué)期望定義為2.復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若復(fù)隨機(jī)變量為其中X,Y均一、定義及例定義4.1.1

設(shè)X是定義在概率空間上的隨機(jī)變量,它F

的分布函數(shù)為,稱的數(shù)學(xué)期望為X的特征函數(shù).有時也稱為分布函數(shù)的特征函數(shù),其中記X的特征函數(shù)為,在不會引起混亂的情況下簡寫為1.特征函數(shù)的定義一、定義及例定義4.1.1設(shè)X是定義在概率空間一、定義及例定義4.1.1

設(shè)X是定義在概率空間上的隨機(jī)變量,它F

的分布函數(shù)為,稱的數(shù)學(xué)期望為X的特征函數(shù).有時也稱為分布函數(shù)的特征函數(shù),其中記X的特征函數(shù)為,在不會引起混亂的情況下簡寫為1.特征函數(shù)的定義一、定義及例定義4.1.1設(shè)X是定義在概率空間3.特征函數(shù)的計算(1)離散型(2)連續(xù)型X的特征函數(shù)就是x的函數(shù)的期望，此時的函數(shù)是由X構(gòu)造出來的復(fù)值隨機(jī)變量的期望。3.特征函數(shù)的計算(1)離散型(2)連續(xù)型X例4.1.1

設(shè)隨機(jī)變量X服從退化分布,即求X

的特征函數(shù).例4.1.1設(shè)隨機(jī)變量X服從退化分布,即求X的特征函例4.1.2

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布(兩點分布),求其特征函數(shù).例4.1.2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布(兩點例4.1.3

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,求其特征函數(shù).例4.1.3設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,例4.1.4

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,求其特征函數(shù).例4.1.4設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,例4.1.5

設(shè)隨機(jī)變量X服從的均勻分布,求其特征函數(shù).當(dāng)t=0時，例4.1.5設(shè)隨機(jī)變量X服從的均例4.1.6

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求其特征函數(shù).例4.1.6設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.1.1

隨機(jī)變量X的特征函數(shù)滿足:性質(zhì)4.1.2

設(shè)X

的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.1.1隨機(jī)變量X的特征函性質(zhì)4.1.3

隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)在R上一致連續(xù).性質(zhì)4.1.4

隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)是非負(fù)定的,即對任意正整數(shù)n,任意復(fù)數(shù),以及有波赫納-辛欽定理若函數(shù)連續(xù),非負(fù)定且,則必為特征函數(shù).性質(zhì)4.1.3隨機(jī)變量X的特征函數(shù)在R三、特征函數(shù)與矩的關(guān)系定理4.1.1

設(shè)隨機(jī)變量X的n

階矩存在,則X

的特征函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)存在,且三、特征函數(shù)與矩的關(guān)系定理4.1.1設(shè)隨機(jī)變量X的四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)

設(shè)隨機(jī)變量X的分豈有此理函數(shù)和特征函數(shù)分別為和,則對于的任意連續(xù)點和,有若記(4.1.8)則(4.1.8)等價于四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)設(shè)四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)連續(xù)點:不連續(xù)點:

反演公式四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)連續(xù)點:不連續(xù)推論1(惟一性定理)

分布函數(shù)及恒等的充分必要條件為它們的特征函數(shù)及恒等.推論2

設(shè)隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)于R

上絕對可積,則X

為具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量,且推論1(惟一性定理)分布函數(shù)及例設(shè)隨機(jī)變量X

的特征函數(shù)求隨機(jī)變量X

的密度函數(shù).例設(shè)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)求隨機(jī)變量X的密度函數(shù).定理4.1.3

設(shè)X

為取整數(shù)值及0的隨機(jī)變量,其概率函數(shù)為其特征函數(shù)為則定理4.1.3設(shè)X為取整數(shù)值及0的隨機(jī)變量,其概率函例設(shè)X為只取0到n的整數(shù)的離散型隨機(jī)變量,且其特征函數(shù)為求隨機(jī)變量X

的分布律.例設(shè)X為只取0到n的整數(shù)的離散型隨機(jī)變量,且其特征函數(shù)為§4.2多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)一、定義及例二、二維隨機(jī)變量特征函數(shù)的性質(zhì)三、相互獨立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)§4.2多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)一、定義及例二、二維隨機(jī)一、定義及例定義4.2.1

設(shè)(X,Y)是一個二維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為為任意實數(shù),記稱為的特征函數(shù).連續(xù)型:

一、定義及例定義4.2.1設(shè)(X,Y)是一個二維隨一、定義及例定義4.2.1

設(shè)(X,Y)是一個二維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為為任意實數(shù),記稱為的特征函數(shù).離散型:

其中一、定義及例定義4.2.1設(shè)(X,Y)是一個二維隨例4.2.1

設(shè)二維隨機(jī)變量的分布列為求二維隨機(jī)變量的特征函數(shù)．例4.2.1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布列為求二維隨機(jī)變例4.2.2

設(shè)二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量的特征函數(shù)．例4.2.2設(shè)二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量的特征n

維隨機(jī)變量的特征函數(shù):定義設(shè)有n維隨機(jī)變量則稱為n

維隨機(jī)變量的特征函數(shù).n維隨機(jī)變量的特征函數(shù):定義設(shè)有n維隨機(jī)變量則二、二維隨機(jī)變量特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.2.1設(shè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，則有(1)且對任意(2)(3)于實平面上一致連續(xù)；(4)其中分別為Ｘ及Ｙ的特征函數(shù)．二、二維隨機(jī)變量特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.2.1設(shè)隨機(jī)變量性質(zhì)4.2.2

設(shè)皆為常數(shù),為二維隨機(jī)變量,則隨機(jī)變量的特征函數(shù)為例4.2.4設(shè)二維隨機(jī)變量求二維隨機(jī)變量的特征函數(shù)．性質(zhì)4.2.2設(shè)性質(zhì)4.2.3

兩個二元分布函數(shù)恒相等的充分必要條件是它們的特征函數(shù)恒等.性質(zhì)4.2.4

設(shè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)為為任