計算方法插值法課件

第五章插值法在生產和科研實踐中常常遇到這種情況：雖然可以確定所考慮函數(shù)的一些性質，但卻難以找到它的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點上的函數(shù)值。要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù)、求出其它一些點上的函數(shù)值是困難的;另外,有時雖然可以寫出函數(shù)的解析表達式，但由于結構相當復雜，使用起來很不方便。面對這些情況，總希望構造某個簡單函數(shù)作為近似。第五章插值法在生產和科研實踐中常常遇到這種情況：1

當未知函數(shù)

y=f(x)非常復雜時，在一系列節(jié)點

x0…xn

處測得函數(shù)值：

y0

=f(x0)

…

yn

=f(xn)

由此構造一個簡單易算的近似函數(shù)

P(x)

f(x)，滿足條件P(xi)=f(xi)(i=0,…n)，稱P(x)

為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是多項式插值法比較古老,常用的方法。當未知函數(shù)y=f(x)非常復雜時，在2計算方法插值法課件3§1拉格朗日多項式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl§1拉格朗日多項式niyxPiin,...,0,)(==4n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi。每個li有n

個根x0…

xi-1，xi+1…xn=ixl-jijixxC)()(-==jijiiiixxCxl)(11)(n次插值基函數(shù)，Lagrange插值多項式n1希望找到li(x)，i=0,…,n使得5定理(唯一性)滿足的n

階插值多項式是唯一存在的。證明：若除了Ln(x)外還有另一n

階多項式Pn(x)滿足Pn(xi)=yi?？疾靹tQn

的階數(shù)n而Qn有個不同的根n+1x0…xn定理(唯一性)滿足6拉格朗日插值余項設節(jié)點在[a,b]內存在,考察截斷誤差，且f

滿足條件,Rn(x)至少有n+1個根=-=niinxxxKxR0)()()(給定x

xi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2

個不同的根

x0…

xn

x，=0+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx拉格朗日插值余項設節(jié)點在[a,b]內存在,考察截斷誤7

當

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。通常不能確定x

,而是估計,x(a,b)將作為誤差估計上限。例：已知分別利用sinx的2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。)185(50sin20pL0.76543當f(x)為任一個次數(shù)n的多項式時，8sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061§2均差與牛頓插值公式

Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可。sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差9均差的定義：先介紹均差的定義及性質均差的定義：先介紹均差的定義及性質10計算方法插值法課件11差商的值與xi

的順序無關！性質2（對稱性）性質3（與導數(shù)的關系）性質1（線性組合）其中差商的值與xi的順序無關！性質2（對稱性）性質3（與導數(shù)12計算方法插值法課件13例例14Newton均差插值公式：1次插值多項式它滿足Newton均差插值公式：1次插值多項式它滿足15(k<=n)Newton均插差值公式ai=

f[x0,…,xi](k<=n)Newton均插差值公式ai=f[x0,16

實際計算過程為…,…由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余項也相同，即實際計算過程為…,…由唯一性可知Nn(x17現(xiàn)在我們討論現(xiàn)在我們討論18計算方法插值法課件19計算方法插值法課件20計算方法插值法課件21計算方法插值法課件22計算方法插值法課件23計算方法插值法課件24計算方法插值法課件25計算方法插值法課件26

Hermite插值不僅要求函數(shù)值相等，而且要求某些節(jié)點的若干階導數(shù)也相等。要求在1個節(jié)點x0處直到m0

階導數(shù)都重合的插值多項式即為Taylor多項式其余項為N

個條件可以確定N-1階多項式。一般只考慮f

與f’的值。Hermite插值不僅要求函數(shù)值相等，而且27計算方法插值法課件28計算方法插值法課件29計算方法插值法課件30計算方法插值法課件31計算方法插值法課件32計算方法插值法課件33計算方法插值法課件34計算方法插值法課件35計算方法插值法課件36計算方法插值法課件37計算方法插值法課件38第五章插值法在生產和科研實踐中常常遇到這種情況：雖然可以確定所考慮函數(shù)的一些性質，但卻難以找到它的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點上的函數(shù)值。要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù)、求出其它一些點上的函數(shù)值是困難的;另外,有時雖然可以寫出函數(shù)的解析表達式，但由于結構相當復雜，使用起來很不方便。面對這些情況，總希望構造某個簡單函數(shù)作為近似。第五章插值法在生產和科研實踐中常常遇到這種情況：39

當未知函數(shù)

y=f(x)非常復雜時，在一系列節(jié)點

x0…xn

處測得函數(shù)值：

y0

=f(x0)

…

yn

=f(xn)

由此構造一個簡單易算的近似函數(shù)

P(x)

f(x)，滿足條件P(xi)=f(xi)(i=0,…n)，稱P(x)

為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是多項式插值法比較古老,常用的方法。當未知函數(shù)y=f(x)非常復雜時，在40計算方法插值法課件41§1拉格朗日多項式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl§1拉格朗日多項式niyxPiin,...,0,)(==42n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi。每個li有n

個根x0…

xi-1，xi+1…xn=ixl-jijixxC)()(-==jijiiiixxCxl)(11)(n次插值基函數(shù)，Lagrange插值多項式n1希望找到li(x)，i=0,…,n使得43定理(唯一性)滿足的n

階插值多項式是唯一存在的。證明：若除了Ln(x)外還有另一n

階多項式Pn(x)滿足Pn(xi)=yi?？疾靹tQn

的階數(shù)n而Qn有個不同的根n+1x0…xn定理(唯一性)滿足44拉格朗日插值余項設節(jié)點在[a,b]內存在,考察截斷誤差，且f

滿足條件,Rn(x)至少有n+1個根=-=niinxxxKxR0)()()(給定x

xi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2

個不同的根

x0…

xn

x，=0+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx拉格朗日插值余項設節(jié)點在[a,b]內存在,考察截斷誤45

當

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。通常不能確定x

,而是估計,x(a,b)將作為誤差估計上限。例：已知分別利用sinx的2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。)185(50sin20pL0.76543當f(x)為任一個次數(shù)n的多項式時，46sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061§2均差與牛頓插值公式

Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可。sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差47均差的定義：先介紹均差的定義及性質均差的定義：先介紹均差的定義及性質48計算方法插值法課件49差商的值與xi

的順序無關！性質2（對稱性）性質3（與導數(shù)的關系）性質1（線性組合）其中差商的值與xi的順序無關！性質2（對稱性）性質3（與導數(shù)50計算方法插值法課件