質(zhì)點與剛體力學(xué)-習(xí)題課件

質(zhì)點與

剛

體

力

學(xué)主講：左武魁 （習(xí)題課）質(zhì)點與剛體力學(xué)主講：左武魁 （習(xí)題課）1運動方程運動參量與運動方程運動參量與2若運動方程為

一、已知運動方程求運動參量則速度為加速度為——依次求導(dǎo)或或運動方程與運動參量若運動方程為一、已知運動方程求運動參量則速度為加3則速度二、已知及起始條件求運動方程1.變加速運動運動方程2.勻加速運動則速度運動方程或或運動方程與運動參量則速度二、已知及起始條件求運動方程4一、物體受力分析1.選“對象”，畫示力圖；2.選坐標系，列方程；直線運動——選加速度或運動方向為坐標軸正方向；曲線運動——選切向和法向為兩坐標軸正方向；斜面運動——選斜面及其法向為兩坐標軸正方向；3.解方程，整理結(jié)果；先符號運算，再數(shù)字運算；最后對解進行討論。二、解題方法步驟受力分析與解題方法步驟一、物體受力分析1.選“對象”，畫示力圖；2.選坐標系，5習(xí)1.10(P48)解：一質(zhì)點在

x

y平面上運動，運動函數(shù)為x

=

2t

,y

=

4t2-8。（1）求質(zhì)點運動的軌道方程并畫出軌道曲線；（2）求

t1=1s和

t2=2s時質(zhì)點的位置、速度和加速度。(1)在運動方程中消去t,可得軌道方程為y=x2-8軌道曲線為一拋物線。(2)因故知t=1s時，故知t=2s時，各量單位均為同際單位制單位。yxo(0,-8)(-2.8,0)(2.8,0)習(xí)1.10(P48)解：一質(zhì)點在xy平面上運動6已知質(zhì)點在xy

平面內(nèi)運動，運動函數(shù)為x

=

Rcos

t，

y=Rsin

t,R和為常量。（1）規(guī)道方程rRv故知規(guī)道為一半徑為R的圓，即質(zhì)點作圓周運動。例1.1(P22)求：（1）質(zhì)點的運動規(guī)道；任一時刻質(zhì)點的位矢、速度和加速度。（2）解：（2）位矢其中xyo速度已知質(zhì)點在xy平面內(nèi)運動，運動函數(shù)為x=Rcos7例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速度加速度加速度的大小例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速8習(xí)2.22(P114)在與速率成正比的阻力的影響下，一個質(zhì)點具有加速度a，其大小為-0.

2

v。求需多長時間才能使質(zhì)點的速率減小到原來的一半。解：解得故有依題意即注意：（1）v=v0+at——概念錯誤！（2）t+t0=-5(ln

v+c)——不要用不定積分方法求解。兩邊積分得=-5lnv=5ln2=

3.47(s)習(xí)2.22(P114)在與速率成正比的阻力的影響下9習(xí)2.25(P115)直升機每片旋翼長5.97m，旋翼以400r/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，求其根部所受拉力是其重力的幾倍？（旋翼按寬度一定、厚薄均勻的薄片計）解：0Bdrrr設(shè)旋翼材料密度為，截面積為S。此質(zhì)元所受的拉力故旋翼根部所受拉力方向指向根部。解得沿棒長取r軸，在棒上任取dr

距o為r

，故則dr的質(zhì)量習(xí)2.25(P115)直升機每片旋翼長5.9710動量角動量與動量角動量與11（角動量定理角動量守恒定律）一、力矩二、質(zhì)點的角動量三、角動量定理

或四、角動量守恒定律L=rPsinφ=rmvsinφ動量與角動量oφVmr（積分式）（微分式）當(dāng)M=0

時L=恒矢量M=Frsinφ（角動量定理角動量守恒定律）一、力矩二、質(zhì)點的12練習(xí)1——運動質(zhì)點的角動量o1.運動質(zhì)點的角動量的定義L=rmVVL=rPsinφ=rmvsinφ若一質(zhì)量為m的小球作圓周運動，若圓周半徑為

r

，則當(dāng)小球速率為V時，其對圓心O的角動量2.rrV——瞬時關(guān)系若一質(zhì)量為m的小球作勻速直線運動，則小球?qū)θ我还潭c的角動量矢量保持不變。3.oVmmrφ1L=rPsinφ=rmvsinφd——例3.15（P160）=dmVφφ練習(xí)1——運動質(zhì)點的角動量o1.運動質(zhì)點的角動量的定義L=13習(xí)3.25(P174)一質(zhì)量m

=

2200kg的汽車以v=60km/h的速度沿一平直公路開行。求汽車對公路一側(cè)距公路d

=

50m的一點的角動量多大？對公路上任一點的角動量多大？L=rPsinφ=rmvsinφoVmrd=dmVφ解：對公路一側(cè)距公路距公路d

=

50m的一點：L=rmvsinφ=50

22006010003600=1.8310(kgm2/s)對公路上的任一點：L=dmV=0習(xí)3.25(P174)一質(zhì)量m=2200kg的汽車以14守恒定律守恒定律15三、機械能守恒定律若

A外+A非保內(nèi)=0則EP1+Ek1=EP2+Ek2四、能量守恒定律守恒定律一個封閉系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總和是保持不變的。它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)的此一物體傳給另一物體。（1）明確系統(tǒng)；（2）明確勢能零點。注意：一、動量守恒定律則二、角動量守恒定律當(dāng)M=0

時L=恒矢量三、機械能守恒定律若A外+A非保內(nèi)=0則EP116——動量守恒與角動量守恒的對比。擺一旦偏離鉛直位置，合外力（矩）即不為零!一單擺擺球質(zhì)量為

M、擺長為

L

，一質(zhì)量為m的子彈以水平速率

V0

擊中擺球并嵌于球中。求球和子彈一起開始運動時的速率。V(M+m)gmV0=(m+M)V分析：碰撞中系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。LmV0=(m+M)L2ωV0LmV0=L(m+M)V或注意：水平分量為零，故水平方向動量守恒。TMoLm碰撞中系統(tǒng)所受合外力的垂直分量不為零，(P170思3.9)例3.4(P139)——動量守恒與角動量守恒的對比。擺一旦偏離鉛直位置，合外力（17例5.11（P273）——動量守恒與角動量守恒的對比。桿一旦偏離鉛直位置，合外力（矩）即不為零!一質(zhì)量為M、長為L的木桿懸掛在O點，一粒質(zhì)量為m的子彈以速率V0

沿水平方向擊中桿的下端并嵌于桿中。求嵌入后桿角速度的大小。MgmV0注意：MoLoLmg碰撞中系統(tǒng)受合外力矩合外力在水平方向分量不為零，故系統(tǒng)水平方向動量不守恒！F垂直F水平為零，角動量守恒?！獥U可以傳遞切向力！碰撞中系統(tǒng)所受合外力的水平分量是否為零？分析：例5.11（P273）——動量守恒與角動量守恒的對比。桿一18長為L、質(zhì)量為M的均勻桿，一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0

，射入桿的下端并嵌于其中。求桿和子彈開始一起運動時的角速度。例5.11(P273)L解：因子彈射入桿并和桿一起運動所經(jīng)歷的時間極短，故桿的位置基本不變。選子彈和桿為系統(tǒng)，則碰撞過程中解得——系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒。（系統(tǒng)在水平方向動量是否守恒？為什么？）——用角動量守恒長為L、質(zhì)量為M的均勻桿，一端掛在一個水平光滑軸上而靜止19例5.9(P269)R0M一質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪上繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處磨擦，求物體m

由靜止下落高度h

時的速度v

和此時滑輪的角速度ω。hω——用機械能守恒定律解例5.6解：取m

初始位置為勢能零點，則將

、代入前式整理得：解得：例5.9(P269)R0M一質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪20習(xí)5.19(P288)一長為L=

0.40m、質(zhì)量為M=1.0kg的均勻細桿，上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一質(zhì)量為m=8.0g的子彈以水平速率v=200m/s射入桿中而不復(fù)出。射入點在軸下d=3L/4處。求：（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。md（1）子彈停在桿中時桿的角速度；(M)解：（1）子彈擊中桿瞬間，相對于懸點O，M+m系統(tǒng)所受合外力矩為0，對O軸角動量守恒。o故有習(xí)5.19(P288)一長為L=0.40m、質(zhì)量為M21習(xí)5.19(P288)（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。m（1）子彈停在桿中時桿的角速度；M解：（1）o求：=8.89s-1（2）d對M+m+地球系統(tǒng)，=94o18′由機械能守恒定律得習(xí)5.19(P288)（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。m（1）22轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律與轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律與23已知：解：例5.2(P258)在環(huán)上任取一質(zhì)量元dm(相應(yīng)長度為dl)如圖，則求：均勻圓環(huán)質(zhì)量為m

，半徑為R。圓環(huán)對垂直于環(huán)面的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。Rmod

mdl=m

R2已知：解：例5.2(P258)在環(huán)上任取一質(zhì)量元dm240Bx例5.4(p259)已知：解：沿棒長取x軸，在棒上任取dx距o為x，則dx的質(zhì)量dxx求：均勻細棒OB質(zhì)量為

m

，長度為

l。棒對通過端點o并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。0Bx例5.4(p259)已知：解：沿棒長取x軸，在棒25例5.4-1(p259)已知：解：沿棒長取x軸，o為原點，在棒上任取dx

距o為x，則dx的質(zhì)量ABodxxx求：均勻細棒

AB質(zhì)量為

m，長度為

l。棒對通過中點o并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。例5.4-1(p259)已知：解：沿棒長取x軸，o為原26例5.6(P263)R0M一質(zhì)量為M

半徑為R的定滑輪上繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m

的物體而下垂。忽略軸處磨擦，求物體m由靜止下落高度h

時的速度hωm和此時滑輪的角速度。 分析：對m：對M：mg–T=maa=R

α對M和m：T1T2mg例5.6(P263)R0M一質(zhì)量為M半徑為R的定滑輪上27例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T1=T2=T則有分別對M和m作示力圖，則（1）T1=T2聯(lián)立以上三式，解得mg–T=maa=R

α{故已知：M、R、m、h,求：v、ωω例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T128例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T1=T2=T則有分別對M和m作示力圖，則（1）T1=T2聯(lián)立以上三式，解得mg–T=maa=R

α{故已知：M、R、m、h,求：v、ωω例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T129再見再見30質(zhì)點與

剛

體

力

學(xué)主講：左武魁 （習(xí)題課）質(zhì)點與剛體力學(xué)主講：左武魁 （習(xí)題課）31運動方程運動參量與運動方程運動參量與32若運動方程為

一、已知運動方程求運動參量則速度為加速度為——依次求導(dǎo)或或運動方程與運動參量若運動方程為一、已知運動方程求運動參量則速度為加33則速度二、已知及起始條件求運動方程1.變加速運動運動方程2.勻加速運動則速度運動方程或或運動方程與運動參量則速度二、已知及起始條件求運動方程34一、物體受力分析1.選“對象”，畫示力圖；2.選坐標系，列方程；直線運動——選加速度或運動方向為坐標軸正方向；曲線運動——選切向和法向為兩坐標軸正方向；斜面運動——選斜面及其法向為兩坐標軸正方向；3.解方程，整理結(jié)果；先符號運算，再數(shù)字運算；最后對解進行討論。二、解題方法步驟受力分析與解題方法步驟一、物體受力分析1.選“對象”，畫示力圖；2.選坐標系，35習(xí)1.10(P48)解：一質(zhì)點在

x

y平面上運動，運動函數(shù)為x

=

2t

,y

=

4t2-8。（1）求質(zhì)點運動的軌道方程并畫出軌道曲線；（2）求

t1=1s和

t2=2s時質(zhì)點的位置、速度和加速度。(1)在運動方程中消去t,可得軌道方程為y=x2-8軌道曲線為一拋物線。(2)因故知t=1s時，故知t=2s時，各量單位均為同際單位制單位。yxo(0,-8)(-2.8,0)(2.8,0)習(xí)1.10(P48)解：一質(zhì)點在xy平面上運動36已知質(zhì)點在xy

平面內(nèi)運動，運動函數(shù)為x

=

Rcos

t，

y=Rsin

t,R和為常量。（1）規(guī)道方程rRv故知規(guī)道為一半徑為R的圓，即質(zhì)點作圓周運動。例1.1(P22)求：（1）質(zhì)點的運動規(guī)道；任一時刻質(zhì)點的位矢、速度和加速度。（2）解：（2）位矢其中xyo速度已知質(zhì)點在xy平面內(nèi)運動，運動函數(shù)為x=Rcos37例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速度加速度加速度的大小例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速38習(xí)2.22(P114)在與速率成正比的阻力的影響下，一個質(zhì)點具有加速度a，其大小為-0.

2

v。求需多長時間才能使質(zhì)點的速率減小到原來的一半。解：解得故有依題意即注意：（1）v=v0+at——概念錯誤！（2）t+t0=-5(ln

v+c)——不要用不定積分方法求解。兩邊積分得=-5lnv=5ln2=

3.47(s)習(xí)2.22(P114)在與速率成正比的阻力的影響下39習(xí)2.25(P115)直升機每片旋翼長5.97m，旋翼以400r/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，求其根部所受拉力是其重力的幾倍？（旋翼按寬度一定、厚薄均勻的薄片計）解：0Bdrrr設(shè)旋翼材料密度為，截面積為S。此質(zhì)元所受的拉力故旋翼根部所受拉力方向指向根部。解得沿棒長取r軸，在棒上任取dr

距o為r

，故則dr的質(zhì)量習(xí)2.25(P115)直升機每片旋翼長5.9740動量角動量與動量角動量與41（角動量定理角動量守恒定律）一、力矩二、質(zhì)點的角動量三、角動量定理

或四、角動量守恒定律L=rPsinφ=rmvsinφ動量與角動量oφVmr（積分式）（微分式）當(dāng)M=0

時L=恒矢量M=Frsinφ（角動量定理角動量守恒定律）一、力矩二、質(zhì)點的42練習(xí)1——運動質(zhì)點的角動量o1.運動質(zhì)點的角動量的定義L=rmVVL=rPsinφ=rmvsinφ若一質(zhì)量為m的小球作圓周運動，若圓周半徑為

r

，則當(dāng)小球速率為V時，其對圓心O的角動量2.rrV——瞬時關(guān)系若一質(zhì)量為m的小球作勻速直線運動，則小球?qū)θ我还潭c的角動量矢量保持不變。3.oVmmrφ1L=rPsinφ=rmvsinφd——例3.15（P160）=dmVφφ練習(xí)1——運動質(zhì)點的角動量o1.運動質(zhì)點的角動量的定義L=43習(xí)3.25(P174)一質(zhì)量m

=

2200kg的汽車以v=60km/h的速度沿一平直公路開行。求汽車對公路一側(cè)距公路d

=

50m的一點的角動量多大？對公路上任一點的角動量多大？L=rPsinφ=rmvsinφoVmrd=dmVφ解：對公路一側(cè)距公路距公路d

=

50m的一點：L=rmvsinφ=50

22006010003600=1.8310(kgm2/s)對公路上的任一點：L=dmV=0習(xí)3.25(P174)一質(zhì)量m=2200kg的汽車以44守恒定律守恒定律45三、機械能守恒定律若

A外+A非保內(nèi)=0則EP1+Ek1=EP2+Ek2四、能量守恒定律守恒定律一個封閉系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總和是保持不變的。它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)的此一物體傳給另一物體。（1）明確系統(tǒng)；（2）明確勢能零點。注意：一、動量守恒定律則二、角動量守恒定律當(dāng)M=0

時L=恒矢量三、機械能守恒定律若A外+A非保內(nèi)=0則EP146——動量守恒與角動量守恒的對比。擺一旦偏離鉛直位置，合外力（矩）即不為零!一單擺擺球質(zhì)量為

M、擺長為

L

，一質(zhì)量為m的子彈以水平速率

V0

擊中擺球并嵌于球中。求球和子彈一起開始運動時的速率。V(M+m)gmV0=(m+M)V分析：碰撞中系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。LmV0=(m+M)L2ωV0LmV0=L(m+M)V或注意：水平分量為零，故水平方向動量守恒。TMoLm碰撞中系統(tǒng)所受合外力的垂直分量不為零，(P170思3.9)例3.4(P139)——動量守恒與角動量守恒的對比。擺一旦偏離鉛直位置，合外力（47例5.11（P273）——動量守恒與角動量守恒的對比。桿一旦偏離鉛直位置，合外力（矩）即不為零!一質(zhì)量為M、長為L的木桿懸掛在O點，一粒質(zhì)量為m的子彈以速率V0

沿水平方向擊中桿的下端并嵌于桿中。求嵌入后桿角速度的大小。MgmV0注意：MoLoLmg碰撞中系統(tǒng)受合外力矩合外力在水平方向分量不為零，故系統(tǒng)水平方向動量不守恒！F垂直F水平為零，角動量守恒。——桿可以傳遞切向力！碰撞中系統(tǒng)所受合外力的水平分量是否為零？分析：例5.11（P273）——動量守恒與角動量守恒的對比。桿一48長為L、質(zhì)量為M的均勻桿，一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0

，射入桿的下端并嵌于其中。求桿和子彈開始一起運動時的角速度。例5.11(P273)L解：因子彈射入桿并和桿一起運動所經(jīng)歷的時間極短，故桿的位置基本不變。選子彈和桿為系統(tǒng)，則碰撞過程中解得——系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒。（系統(tǒng)在水平方向動量是否守恒？為什么？）——用角動量守恒長為L、質(zhì)量為M的均勻桿，一端掛在一個水平光滑軸上而靜止49例5.9(P269)R0M一質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪上繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處磨擦，求物體m

由靜止下落高度h

時的速度v

和此時滑輪的角速度ω。hω——用機械能守恒定律解例5.6解：取m

初始位置為勢能零點，則將

、代入前式整理得：解得：例5.9(P269)R0M一質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪50習(xí)5.19(P288)一長為L=

0.40m、質(zhì)量為M=1.0kg的均勻細桿，上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一質(zhì)量為m=8.0g的子彈以水平速率v=200m/s射入桿中而不復(fù)出。射入點在軸下d=3L/4處。求：（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。md（1）子彈停在桿中時桿的角速度；(M)解：（1）子彈擊中桿瞬間，相對于懸點O，M+m系統(tǒng)所受合外力矩為0，對O軸角動量守恒。o故有習(xí)5.19(P288)一長為L=0.40m、質(zhì)量為M51習(xí)5.19(P288)（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。m（1）子彈停在桿中時桿的角速度；M解：（1）o求：=8.89s-1（2）d對M+m+地球系統(tǒng)，=94o18′由機械能守恒定律得習(xí)5.19(P288)（2）求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。m（1）52轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律與轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律與53已知：解：例5.2