311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何1⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示.字母表示法：用字母a,b等或者用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示．相等的向量：長度相等且方向相同的向量．ABCD引入

復(fù)習(xí)平面向量⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段2⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量的加減法運(yùn)算⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量3⑵向量的減法三角形法則

減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)⑵向量的減法三角形法則減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)4看下面建筑

這個(gè)建筑鋼架中有很多向量，但它們有些并不在同一平面內(nèi)——這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.看下面建筑這個(gè)建筑鋼架中有很多向量，但它們有些5

1.空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量（spacevector

）.

向量的大小叫做向量的長度或模(modulus).探究點(diǎn)1概念1.空間向量探究點(diǎn)1概念62.空間向量的表示AB

向量

的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量也可以記作AB，其模記為||或|AB|2.空間向量的表示AB向量的起點(diǎn)是7

(1)我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量（zerovector），記為.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時(shí)，AB=.(2)模為1的向量稱為單位向量（unitvector）.(3)兩個(gè)向量不能比較大小，因?yàn)闆Q定向量的兩個(gè)因素是大小和方向，其中方向不能比較大小.總結(jié)歸納(1)我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量（zero8

3.相反向量

與向量

長度相等而方向相反的向量,稱為

的相反向量，記為–.

4.相等向量（equalvector）

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.3.相反向量9

（1）空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.

（2）向量一般用有向線段表示,同向等長的有向線段表示同一或相等的向量.

（3）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.總結(jié)歸納（1）空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.總結(jié)歸納10

結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示.bAOBaba結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，bAOB111.空間向量的加減運(yùn)算

由于任意兩個(gè)空間向量都能平移到同一空間，所以空間向量的加減運(yùn)算與平面向量的加減運(yùn)算相同.AoabB探究點(diǎn)2空間向量的加減運(yùn)算1.空間向量的加減運(yùn)算AoabB探究點(diǎn)2空間向量的加減運(yùn)12a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，減法：CA=OA-OC=a-b.a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，132.空間向量的加法運(yùn)算律

（1）加法交換律

a+b=b+a

（2）加法結(jié)合律

(a+b)+c=a+(b+c)

你能證明下列性質(zhì)嗎？2.空間向量的加法運(yùn)算律你能證明下列性質(zhì)嗎？14證明加法交換律:aa+baboABCb因?yàn)?/p>

OA=CB=a，

AB=OC=b，所以a+b=b+a.證明加法交換律:aa+baboABCb因?yàn)镺A=CB15證明加法結(jié)合律:abca+b+ca+b

ABCO因?yàn)镺C=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).證明加法結(jié)合律:abca+b+ca+bAB16(1)空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣.(2)兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.(3)空間向量的加法運(yùn)算可以推廣至若干個(gè)向量相加.3.對(duì)空間向量的加減法的說明(1)空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣.3.對(duì)空174.擴(kuò)展

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的量．即：4.擴(kuò)展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由18

（2）首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即：（2）首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和19探究點(diǎn)3空間向量的數(shù)乘運(yùn)算探究點(diǎn)3空間向量的數(shù)乘運(yùn)算20311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件21

顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量.顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律如果22311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件23

若P為A,B中點(diǎn),則OABPal若P為A,B中點(diǎn),則OABPal24lABPOlABPO25①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一決定.由此可判斷空間任意三點(diǎn)是否共線.由②得：OP=OA+t(OB-OA)=（１－t）OA+tOB?OP=ｘOA+ｙOB且ｘ＋ｙ＝１?空間三點(diǎn)Ｐ，Ａ，Ｂ共線①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直26探究點(diǎn)4共面向量共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量既可能共面，也可能不共面.dbac探究點(diǎn)4共面向量共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面27由平面向量基本定理知，如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)與，使那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？由平面向量基本定理知，如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量28空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)使C空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y29或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量惟一確定.O或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，30?空間四點(diǎn)Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+sAC=(1-t-s)OA+tOB+sOC?OP=ｘOA+ｙOB+zOC且ｘ＋ｙ+z＝１?空間四點(diǎn)Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+s31P與A,B,C共面P與A,B,C共面32基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練33[解析]

在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．1．下列命題中，假命題是()A．向量AB與BA的長度相等B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一條直線上的單位向量都相等D[解析]在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．342．下列命題中正確的是(

)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a、b、c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbC2．下列命題中正確的是()C35DD36311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件37BB38311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件390.50.50.50.540311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件41311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件42題型探究題型探究43題型一空間向量的加減運(yùn)算題型一空間向量的加減運(yùn)算44[分析][分析]45311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件46[點(diǎn)評(píng)]化簡向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行化簡，在化簡過程中遇到減法時(shí)可靈活應(yīng)用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加減法之間可相互轉(zhuǎn)化．311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件47311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件48311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件49題型二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題型二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算50[分析]

由題目可以獲取以下主要信息：①ABCD是正方形，O為中心，PO⊥平面ABCD，Q為CD中點(diǎn)；②用已知向量表示指定向量．解答本題需先畫圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再根據(jù)對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)相等．求出x、y即可．[分析]由題目可以獲取以下主要信息：51311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件52311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件53[點(diǎn)評(píng)]

1.用已知向量表示未知向量是一項(xiàng)重要的基本功，直接關(guān)系到本章學(xué)習(xí)的成敗，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)，并通過訓(xùn)練掌握向量線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律．2．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義，運(yùn)算律與平面向量一致．311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件54311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件55abc方法：找回路abc方法：找回路56311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件57311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件58題型三共線向量題型三共線向量59311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件60311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件61311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件62311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件63311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件64311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件65311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件66題型三共面問題題型三共面問題67311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件68311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件69311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件70311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件71跟蹤練習(xí)4

如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面．跟蹤練習(xí)4如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD72311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件73易錯(cuò)疑難辨析易錯(cuò)疑難辨析74[錯(cuò)解]因?yàn)?e1與－3e1共線，4e2與8e2共線，所以a與b共線．[辨析]

沒有準(zhǔn)確理解向量共線的充要條件：任一向量a與非零向量b共線的充要條件是a＝λb.例題5已知e1、e2是不共線向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判斷a與b是否共線．[錯(cuò)解]因?yàn)?e1與－3e1共線，4e2與8e2共線，所以75311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件76課堂練習(xí)課堂練習(xí)771.給出以下命題：（1）兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同.（2）若空間向量滿足，則.（3）在正方體中，必有.（4）若空間向量滿足，則.（5）空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4C1.給出以下命題：C78②③②③79答案：②③答案：②③80DD81BB82解析：根據(jù)空間向量的加法法則及正方體的性質(zhì)，逐一判斷可知①②③④都是符合題意的．D解析：根據(jù)空間向量的加法法則及正方體的性質(zhì)，逐一判斷可知①②83②③④②③④84311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件85311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件86311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件87第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何88⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示.字母表示法：用字母a,b等或者用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示．相等的向量：長度相等且方向相同的向量．ABCD引入

復(fù)習(xí)平面向量⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段89⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量的加減法運(yùn)算⑴向量的加法：平行四邊形法則三角形法則(首尾相連)⒉平面向量90⑵向量的減法三角形法則

減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)⑵向量的減法三角形法則減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)91看下面建筑

這個(gè)建筑鋼架中有很多向量，但它們有些并不在同一平面內(nèi)——這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.看下面建筑這個(gè)建筑鋼架中有很多向量，但它們有些92

1.空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量（spacevector

）.

向量的大小叫做向量的長度或模(modulus).探究點(diǎn)1概念1.空間向量探究點(diǎn)1概念932.空間向量的表示AB

向量

的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量也可以記作AB，其模記為||或|AB|2.空間向量的表示AB向量的起點(diǎn)是94

(1)我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量（zerovector），記為.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時(shí)，AB=.(2)模為1的向量稱為單位向量（unitvector）.(3)兩個(gè)向量不能比較大小，因?yàn)闆Q定向量的兩個(gè)因素是大小和方向，其中方向不能比較大小.總結(jié)歸納(1)我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量（zero95

3.相反向量

與向量

長度相等而方向相反的向量,稱為

的相反向量，記為–.

4.相等向量（equalvector）

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.3.相反向量96

（1）空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.

（2）向量一般用有向線段表示,同向等長的有向線段表示同一或相等的向量.

（3）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.總結(jié)歸納（1）空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.總結(jié)歸納97

結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示.bAOBaba結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，bAOB981.空間向量的加減運(yùn)算

由于任意兩個(gè)空間向量都能平移到同一空間，所以空間向量的加減運(yùn)算與平面向量的加減運(yùn)算相同.AoabB探究點(diǎn)2空間向量的加減運(yùn)算1.空間向量的加減運(yùn)算AoabB探究點(diǎn)2空間向量的加減運(yùn)99a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，減法：CA=OA-OC=a-b.a-ba+baboABC加法:OB=OA+AB=a+b，1002.空間向量的加法運(yùn)算律

（1）加法交換律

a+b=b+a

（2）加法結(jié)合律

(a+b)+c=a+(b+c)

你能證明下列性質(zhì)嗎？2.空間向量的加法運(yùn)算律你能證明下列性質(zhì)嗎？101證明加法交換律:aa+baboABCb因?yàn)?/p>

OA=CB=a，

AB=OC=b，所以a+b=b+a.證明加法交換律:aa+baboABCb因?yàn)镺A=CB102證明加法結(jié)合律:abca+b+ca+b

ABCO因?yàn)镺C=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).證明加法結(jié)合律:abca+b+ca+bAB103(1)空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣.(2)兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.(3)空間向量的加法運(yùn)算可以推廣至若干個(gè)向量相加.3.對(duì)空間向量的加減法的說明(1)空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣.3.對(duì)空1044.擴(kuò)展

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的量．即：4.擴(kuò)展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由105

（2）首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即：（2）首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和106探究點(diǎn)3空間向量的數(shù)乘運(yùn)算探究點(diǎn)3空間向量的數(shù)乘運(yùn)算107311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件108

顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量.顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律如果109311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件110

若P為A,B中點(diǎn),則OABPal若P為A,B中點(diǎn),則OABPal111lABPOlABPO112①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一決定.由此可判斷空間任意三點(diǎn)是否共線.由②得：OP=OA+t(OB-OA)=（１－t）OA+tOB?OP=ｘOA+ｙOB且ｘ＋ｙ＝１?空間三點(diǎn)Ｐ，Ａ，Ｂ共線①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直113探究點(diǎn)4共面向量共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量既可能共面，也可能不共面.dbac探究點(diǎn)4共面向量共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面114由平面向量基本定理知，如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)與，使那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？由平面向量基本定理知，如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量115空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)使C空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y116或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量惟一確定.O或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有C③③式稱為空間平面ABC的向量表示式，117?空間四點(diǎn)Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+sAC=(1-t-s)OA+tOB+sOC?OP=ｘOA+ｙOB+zOC且ｘ＋ｙ+z＝１?空間四點(diǎn)Ｐ，Ａ，Ｂ，C共面把③寫成：OP=OA+tAB+s118P與A,B,C共面P與A,B,C共面119基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練120[解析]

在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．1．下列命題中，假命題是()A．向量AB與BA的長度相等B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一條直線上的單位向量都相等D[解析]在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．1212．下列命題中正確的是(

)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a、b、c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbC2．下列命題中正確的是()C122DD123311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件124BB125311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件1260.50.50.50.5127311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件128311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件129題型探究題型探究130題型一空間向量的加減運(yùn)算題型一空間向量的加減運(yùn)算131[分析][分析]132311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件133[點(diǎn)評(píng)]化簡向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行化簡，在化簡過程中遇到減法時(shí)可靈活應(yīng)用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加減法之間可相互轉(zhuǎn)化．311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件134311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件135311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件136題型二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題型二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算137[分析]

由題目可以獲取以下主要信息：①ABCD是正方形，O為中心，PO⊥平面ABCD，Q為CD中點(diǎn)；②用已知向量表示指定向量．解答本題需先畫圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再根據(jù)對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)相等．求出x、y即可．[分析]由題目可以獲取以下主要信息：138311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件139311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件140[點(diǎn)評(píng)]

1.用已知向量表示未知向量是一項(xiàng)重要的基本功，直接關(guān)系到本章學(xué)習(xí)的成敗，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)，并通過訓(xùn)練掌握向量線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律．2．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義，運(yùn)算律與平面向量一致．311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件141311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件142abc方法：找回路abc方法：找回路143311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件144311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件145題型三共線向量題型三共線向量146311-312-？空間向量及線性運(yùn)算課件147311-3