IIR濾波器的設計課件

Ch3.4

IIR濾波器的設計2022/12/231Ch3.4

IIR濾波器的設計2022/12/181Digitalfilter的設計思路:按照任務要求,確定濾波器的性能指標,用一個因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)來逼近這一性能指標,H(z)的實現(xiàn):計算機軟件：利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù);專用數(shù)字濾波器硬件；二者的結合，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/232BiomedicalsignalprocessingDigitalfilter的設計思路:按照任務要求,確定數(shù)字濾波器結構的數(shù)學表示(1)一個濾波器的表示.系統(tǒng)函數(shù)差分方程ItisanARMAfilter.ak:遞歸項(auto-regression,AR)bk:平均項(movingaveraging,MA)N:濾波器的階數(shù)12/23/2022數(shù)字濾波器結構的數(shù)學表示(1)一個濾波器的表示.12/18/用LTI系統(tǒng)來逼近filter性能當M<=N,N階IIR系統(tǒng);M>=N,H(z):N階IIR系統(tǒng)+(M-N)階的FIR系統(tǒng),以上兩種表示等價，部分分式形式和零極點增益形式IIR系統(tǒng)的逼近,就是找到濾波器的系數(shù)ak,bk，或者是系統(tǒng)的零極點和增益(z,p,k)。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/234Biomedicalsignalprocessing用LTI系統(tǒng)來逼近filter性能當M<=N,N階IIR系Linearphase信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件:幅頻特性為一常數(shù)，具有線性相位，why?Supposearg[H()]=-k,輸入和輸出關系如何？NankaiUniversity,CYLI,2022/12/235BiomedicalsignalprocessingLinearphase信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件:NanIIR

filter的設計方法從模擬濾波器H(s)求出數(shù)字濾波器H(z).把DF的技術指標轉化成AF的技術指標根據(jù)AF指標設計模擬濾波器H(s),按一定規(guī)則把H(s)轉換成H(z)計算機輔助設計,最優(yōu)化設計法:依據(jù)某一最優(yōu)化準則,求得在此最佳準則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù),例如:頻域均方差最小準則,即使得實際頻率響應|H(ejw)|與所要求的理想|Hd(ejw)|的均方差最小,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/236BiomedicalsignalprocessingIIRfilter的設計方法從模擬濾波器H(s)求出數(shù)字H(s)H(z)’stwopreservationsStability:Iftheanalogfilteriscausalandstable,thetransformeddigitalfiltershouldbethesametoo.ThismeansthatH(s)haspolesinthelefthalfofsplane,theH(z)shouldhavepolesinsidetheunitcircleinzplane.Frequencyresponse:Bothfiltersshouldhavethesamefrequencyresponse.Thatis,thej?axisinthesplaneshouldbemappedintounitcircleinthezplane.NankaiUniversity,CYLI,2022/12/237BiomedicalsignalprocessingH(s)H(z)’stwopreservationsS模擬濾波器的特性h(t)為實的，H(s)的極點必成共軛存在，H(s)H*(s)=H(s)H(-s)平方幅度函數(shù)|H(s)|2的極點、零點關于虛軸(j)對稱,對因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的極點落在s的左半平面，H(-s)的則落在右半平面，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/238Biomedicalsignalprocessing模擬濾波器的特性h(t)為實的，H(s)的極點必成共軛存在，由幅度平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/239Biomedicalsignalprocessing由幅度平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,模擬低通濾波器的技術指標通帶:0~p,通帶中允許的波動為1過渡帶:p~s,振幅響應不作明確規(guī)定阻帶:s~,阻帶的衰減為211-1通帶過渡帶阻帶2ps|H()|NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2310Biomedicalsignalprocessing模擬低通濾波器的技術指標通帶:0~p,通帶中允許的波動濾波器的指標(1)幅度響應,相位響應,IIR濾波器,不能實現(xiàn)線性相位,只考慮幅度指標,低通濾波器的絕對指標,p,s,和相對指標1,2:NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2311Biomedicalsignalprocessing濾波器的指標(1)幅度響應,相位響應,NankaiUni濾波器的指標(2)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2312Biomedicalsignalprocessing濾波器的指標(2)NankaiUniversity,CY模擬濾波器的類型(以LPAF為例)巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓濾波器NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2313Biomedicalsignalprocessing模擬濾波器的類型(以LPAF為例)巴特沃思(ButterwoButterworth低通濾波器（1）單調、平穩(wěn)的幅度響應，過渡區(qū)衰減緩慢，隨著N的增加，其衰減加快，對所有的N，|H()|都通過-3dB點，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2314BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器（1）單調、平穩(wěn)的幅度響應，Butterworth低通濾波器（2）Butterworth低通濾波器的幅頻特性，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2315BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器（2）ButterworthButterworth低通濾波器的性質對于所有的N，當=0，|H(j)|2=1，對于所有的N，當=c，|H(j)|2=1/2,即在c處有3dB的衰減，|H(j)|2是的單調減函數(shù)，N--〉inf，|H(j)|2趨于理想低通濾波器，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2316BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器的性質對于所有的N，當=0Butterworth逼近(1)零點：s=,全極點型，2N個極點，虛軸對稱，分布于c的圓上，極點的角度間隔：pi/N,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2317BiomedicalsignalprocessingButterworth逼近(1)零點：s=,全極點型，不同N的極點分布N=3,k=1,2/3pi;k=2,pi;k=3,5/3pi;k=4,2pi,…N=4,k=1,5/8pi;k=2,7/8pi;k=3,9/8pi,…NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2318Biomedicalsignalprocessing不同N的極點分布N=3,k=1,2/3pi;k=2,Butterworth逼近(2)(-1)(1/2N)N=3423156(-1)(1/2N)j423156S平面NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2319BiomedicalsignalprocessingButterworth逼近(2)(-1)(1/2N)N=3求Butterworth系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2320Biomedicalsignalprocessing求Butterworth系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversButterworth設計方程由濾波器的四個指標(p,1,s,2)得到Butterworth濾波器的階數(shù)N和截止頻率c,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2321BiomedicalsignalprocessingButterworth設計方程由濾波器的四個指標(p,Butterworth設計例(1)設計一個低通Butterworth濾波器,以滿足,通帶截止頻率p=0.2,通帶波動1=7dB,阻帶截止頻率s=0.3,通帶波動2=16dB,

NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2322BiomedicalsignalprocessingButterworth設計例(1)設計一個低通Butters和z的關系r與的關系,r=eT=0(s平面虛軸)對應于r=1(z平面單位圓上)<0(s的左半平面)對應于r<1(z平面單位圓內)>0(s的右半平面)對應于r>1(z平面單位圓外)與的關系,=T=0(s平面的實軸)對應于=0(z平面的正實軸)=0對應于=0T(z平面的輻射線),:-/Tto/T,:-to從s平面到z平面的映射是多值映射NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2323Biomedicalsignalprocessings和z的關系r與的關系,r=eTNankaiUnivX(z)和X(s)的關系NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2324BiomedicalsignalprocessingX(z)和X(s)的關系NankaiUniversity,由模擬濾波器來設計IIR濾波器把s平面映射到z平面,H(s)-->H(z),實現(xiàn)這種映射的兩個基本條件,頻率軸對應,s平面的虛軸j映射到z平面的單位圓上,因果穩(wěn)定的H(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(z),s平面的左半平面(Re(s)<0)必須映射到z平面單位圓內(|z|<1)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2325Biomedicalsignalprocessing由模擬濾波器來設計IIR濾波器把s平面映射到z平面,H(s模擬filter-->數(shù)字filter的方法直接用H(s)和H(z)的轉換關系，因為無窮級數(shù)求和，不能實現(xiàn)，采用以下三種方法：沖激響應不變法：在AF到DF的變換中，使h(t)h(n)不變階躍響應不變法：在AF到DF的變換中，使其階躍響應不變雙線性變換法：在AF到DF的變換中，使其系統(tǒng)函數(shù)(頻響)不變NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2326Biomedicalsignalprocessing模擬filter-->數(shù)字filter的方法直接用H(s)和沖激響應不變法(Impulseinvariance)設計思想：使數(shù)字濾波器的單位沖激響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)將模擬濾波器的ha(t)加以等間隔抽樣,使h(n)=ha(nT)相應h(n)的z變換H(z)近似等于ha(nT)的Laplace變換Ha(s)。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2327Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法(Impulseinvariance)設計沖激響應不變法(2)Ha(s)-->h(t)-->h(n)-->H(z)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2328Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法(2)Ha(s)-->h(t)-->h(沖激響應不變法(3)x(t)y(t)R1/sCx(n)y(n)z-1e-TNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2329Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法(3)x(t)y(t)R1/sCx(n)y(nMatlab命令由低通濾波器的四個參數(shù)，求出Butter濾波器的兩個參數(shù)：[n,Wn]=Buttord(wp,ws,Rp,Rs)求出H(s)的B和A,[b,a]=butter(n,Wn)通過沖激相應不變法，實現(xiàn)H(s)到H(z)的轉換：impinvar,[BZ,AZ]=IMPINVAR(B,A,Fs)歸一化Butter濾波器的設計，[z,p,k]=buttap(N)H(z)的零極點形式轉換成部分分式的形，[NUM,DEN]=ZP2TF(Z,P,K)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2330BiomedicalsignalprocessingMatlab命令由低通濾波器的四個參數(shù)，求出Butter濾波設計步驟把數(shù)字濾波器的性能轉化為相應的模擬濾波器的性能要求設計模擬濾波器,查表,或用解析的方法通過沖激響應不變法或雙線性法,把H(s)轉化為H(z)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2331Biomedicalsignalprocessing設計步驟把數(shù)字濾波器的性能轉化為相應的模擬濾波器的性能要求N沖激響應不變法設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,1,2,的設計一個等價的模擬濾波器,然后把它映射成數(shù)字濾波器.NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2332Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,沖激響應不變法的缺點缺點:多值映射,產生頻率混疊失真，條件:限帶系統(tǒng),why?因為高通和帶阻濾波器不是限帶的,不能用此法實現(xiàn)H(s)-->H(z)的轉換,在實際中較少采用，多用Bilinear變換NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2333Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法的缺點缺點:多值映射,產生頻率混疊失真，N雙線性變換法(Bilineartransformation)從H(s)變換為H(z)的另一種變換方法，克服多值映射,實現(xiàn)s平面到z平面的一一對應關系,雙線性變換具有此功能,AF和DF在輸入、輸出上相似，使H(s)和H(z)的頻響近似。其思路：差分方程的解應是模擬方程的近似解。其實現(xiàn)：直接用差分代替微分，結果的誤差大；將微分方程做積分，再進行數(shù)值近似，得到差分方程。從微分方程－>H(s);差分方程-->H(z),二者比較后，得到s和z的對應關系。進一步要求s平面整個j軸映射到z平面單位圓一周,得到兩個頻率的關系，即雙線性。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2334Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(Bilineartransformation雙線性變換法原理為了克服沖激響應不變法多值映射產生的頻率混疊的現(xiàn)象，雙線性變換法的映射原理是：1）首先通過下面的變換公式把整個S平面壓縮到中介S1平面的一條橫帶里（寬度從-π/T到π/T），其中C為常數(shù)可根據(jù)設計要求選取；2）然后再通過將此橫帶變換到整個Z平面，這樣就使S平面和Z平面是一一對應的單值映射關系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。由于從S→Z和從Z→S的映射規(guī)則都是分式線性變換，因此稱其為雙線性變換。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2335Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法原理為了克服沖激響應不變法多值映射產生的頻率混疊雙線性變換法(2)-0采用二次映射，先將s平面壓縮到s1平面的一條橫帶中，再進一步映射到z平面上，建立s-z的一一對應關系。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2336Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(2)-0采用二次映射，先將s平面壓縮到雙線性變換法(2)js平面z平面Im(z)Re(z)/T-/T3/T-3/T-11s平面j

和z平面的單位圓上的點一一對應，和ω一一對應NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2337Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(2)js平面z平面Im(z)Re(z)/雙線性變換設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,1,2,的設計一個等價的模擬濾波器,然后把它映射成數(shù)字濾波器,實際中系數(shù)2/T均被約掉,故可省去,或者設T=1,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2338Biomedicalsignalprocessing雙線性變換設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,Butterworth設計例(2)設計一個低通Butterworth濾波器,以滿足,通帶:0~100Hz,通帶波動1=3dB,阻帶:300~Hz,通帶衰減2=20dB,

Ts=1000HzNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2339BiomedicalsignalprocessingButterworth設計例(2)設計一個低通ButterBilinearinMatLabH(s)H(z),零極點增益形式：[Zd,Pd,Kd]=BILINEAR(Z,P,K,Fs)部分分式：[NUMd,DENd]=BILINEAR(NUM,DEN,Fs)NUMandDEN分別表示濾波器傳遞函數(shù)的分子與分母多項式系數(shù)向量。d:digitalNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2340BiomedicalsignalprocessingBilinearinMatLabH(s)H(z),頻帶變換低通濾波器作為基本逼近函數(shù),可以通過頻帶變換來實現(xiàn)帶通、帶阻、高通濾波器的設計變換的方式：stos，模擬頻帶變換ztoz，數(shù)字頻帶變換濾波器變換s-->z頻帶變換z-->z模擬低通濾波器的設計頻帶變換s-->sIIR濾波器模擬低通濾波器的設計濾波器變換s-->zIIR濾波器NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2341Biomedicalsignalprocessing頻帶變換低通濾波器作為基本逼近函數(shù),可以通過頻帶變換來實現(xiàn)Chebyshev低通濾波器ChebyshevI型，通帶中等波紋，阻帶中單調，ChebyshevII型，通帶中單調，阻帶中等波紋，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2342BiomedicalsignalprocessingChebyshev低通濾波器ChebyshevI型，通帶ChebyshevI、II型低通濾波器ChebyshevI型，MatLab，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2343BiomedicalsignalprocessingChebyshevI、II型低通濾波器ChebyshevDifferentordersNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2344BiomedicalsignalprocessingDifferentordersNankaiUniversChebyshev濾波器的H(s)找到H(s)H(-s)極點,把左半平面的極點分配給H(s)H(s)H(-s)有2N個等間隔角(pi/N)極點,落在一個橢圓上,長軸bc,短軸ac,N=4bcacjNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2345BiomedicalsignalprocessingChebyshev濾波器的H(s)找到H(s)H(-s)極點Chebyshev濾波器的H(s)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2346BiomedicalsignalprocessingChebyshev濾波器的H(s)NankaiUniverChebyshev濾波器的設計方程由指標p,s,1,2,求出濾波器的三個參數(shù),,c,NNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2347BiomedicalsignalprocessingChebyshev濾波器的設計方程由指標p,s,1IIR濾波器的CAD設計

（任意幅度IIR濾波器的設計）最優(yōu)化設計原理:用一組{ak,bk}的H(z)去逼近預先設定的目標,所要求的Hd(zi)在一組分離頻率上i指定,實際設計的濾波器的振幅響應H（z），均方誤差為Q,采用均方差準則，使誤差函數(shù)Q最小，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2348BiomedicalsignalprocessingIIR濾波器的CAD設計

（任意幅度IIR濾波器的設計）最優(yōu)Ch3.4

IIR濾波器的設計2022/12/2349Ch3.4

IIR濾波器的設計2022/12/181Digitalfilter的設計思路:按照任務要求,確定濾波器的性能指標,用一個因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)來逼近這一性能指標,H(z)的實現(xiàn):計算機軟件：利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù);專用數(shù)字濾波器硬件；二者的結合，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2350BiomedicalsignalprocessingDigitalfilter的設計思路:按照任務要求,確定數(shù)字濾波器結構的數(shù)學表示(1)一個濾波器的表示.系統(tǒng)函數(shù)差分方程ItisanARMAfilter.ak:遞歸項(auto-regression,AR)bk:平均項(movingaveraging,MA)N:濾波器的階數(shù)12/23/2022數(shù)字濾波器結構的數(shù)學表示(1)一個濾波器的表示.12/18/用LTI系統(tǒng)來逼近filter性能當M<=N,N階IIR系統(tǒng);M>=N,H(z):N階IIR系統(tǒng)+(M-N)階的FIR系統(tǒng),以上兩種表示等價，部分分式形式和零極點增益形式IIR系統(tǒng)的逼近,就是找到濾波器的系數(shù)ak,bk，或者是系統(tǒng)的零極點和增益(z,p,k)。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2352Biomedicalsignalprocessing用LTI系統(tǒng)來逼近filter性能當M<=N,N階IIR系Linearphase信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件:幅頻特性為一常數(shù)，具有線性相位，why?Supposearg[H()]=-k,輸入和輸出關系如何？NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2353BiomedicalsignalprocessingLinearphase信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件:NanIIR

filter的設計方法從模擬濾波器H(s)求出數(shù)字濾波器H(z).把DF的技術指標轉化成AF的技術指標根據(jù)AF指標設計模擬濾波器H(s),按一定規(guī)則把H(s)轉換成H(z)計算機輔助設計,最優(yōu)化設計法:依據(jù)某一最優(yōu)化準則,求得在此最佳準則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù),例如:頻域均方差最小準則,即使得實際頻率響應|H(ejw)|與所要求的理想|Hd(ejw)|的均方差最小,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2354BiomedicalsignalprocessingIIRfilter的設計方法從模擬濾波器H(s)求出數(shù)字H(s)H(z)’stwopreservationsStability:Iftheanalogfilteriscausalandstable,thetransformeddigitalfiltershouldbethesametoo.ThismeansthatH(s)haspolesinthelefthalfofsplane,theH(z)shouldhavepolesinsidetheunitcircleinzplane.Frequencyresponse:Bothfiltersshouldhavethesamefrequencyresponse.Thatis,thej?axisinthesplaneshouldbemappedintounitcircleinthezplane.NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2355BiomedicalsignalprocessingH(s)H(z)’stwopreservationsS模擬濾波器的特性h(t)為實的，H(s)的極點必成共軛存在，H(s)H*(s)=H(s)H(-s)平方幅度函數(shù)|H(s)|2的極點、零點關于虛軸(j)對稱,對因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的極點落在s的左半平面，H(-s)的則落在右半平面，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2356Biomedicalsignalprocessing模擬濾波器的特性h(t)為實的，H(s)的極點必成共軛存在，由幅度平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2357Biomedicalsignalprocessing由幅度平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,模擬低通濾波器的技術指標通帶:0~p,通帶中允許的波動為1過渡帶:p~s,振幅響應不作明確規(guī)定阻帶:s~,阻帶的衰減為211-1通帶過渡帶阻帶2ps|H()|NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2358Biomedicalsignalprocessing模擬低通濾波器的技術指標通帶:0~p,通帶中允許的波動濾波器的指標(1)幅度響應,相位響應,IIR濾波器,不能實現(xiàn)線性相位,只考慮幅度指標,低通濾波器的絕對指標,p,s,和相對指標1,2:NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2359Biomedicalsignalprocessing濾波器的指標(1)幅度響應,相位響應,NankaiUni濾波器的指標(2)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2360Biomedicalsignalprocessing濾波器的指標(2)NankaiUniversity,CY模擬濾波器的類型(以LPAF為例)巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓濾波器NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2361Biomedicalsignalprocessing模擬濾波器的類型(以LPAF為例)巴特沃思(ButterwoButterworth低通濾波器（1）單調、平穩(wěn)的幅度響應，過渡區(qū)衰減緩慢，隨著N的增加，其衰減加快，對所有的N，|H()|都通過-3dB點，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2362BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器（1）單調、平穩(wěn)的幅度響應，Butterworth低通濾波器（2）Butterworth低通濾波器的幅頻特性，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2363BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器（2）ButterworthButterworth低通濾波器的性質對于所有的N，當=0，|H(j)|2=1，對于所有的N，當=c，|H(j)|2=1/2,即在c處有3dB的衰減，|H(j)|2是的單調減函數(shù)，N--〉inf，|H(j)|2趨于理想低通濾波器，NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2364BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器的性質對于所有的N，當=0Butterworth逼近(1)零點：s=,全極點型，2N個極點，虛軸對稱，分布于c的圓上，極點的角度間隔：pi/N,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2365BiomedicalsignalprocessingButterworth逼近(1)零點：s=,全極點型，不同N的極點分布N=3,k=1,2/3pi;k=2,pi;k=3,5/3pi;k=4,2pi,…N=4,k=1,5/8pi;k=2,7/8pi;k=3,9/8pi,…NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2366Biomedicalsignalprocessing不同N的極點分布N=3,k=1,2/3pi;k=2,Butterworth逼近(2)(-1)(1/2N)N=3423156(-1)(1/2N)j423156S平面NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2367BiomedicalsignalprocessingButterworth逼近(2)(-1)(1/2N)N=3求Butterworth系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2368Biomedicalsignalprocessing求Butterworth系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversButterworth設計方程由濾波器的四個指標(p,1,s,2)得到Butterworth濾波器的階數(shù)N和截止頻率c,NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2369BiomedicalsignalprocessingButterworth設計方程由濾波器的四個指標(p,Butterworth設計例(1)設計一個低通Butterworth濾波器,以滿足,通帶截止頻率p=0.2,通帶波動1=7dB,阻帶截止頻率s=0.3,通帶波動2=16dB,

NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2370BiomedicalsignalprocessingButterworth設計例(1)設計一個低通Butters和z的關系r與的關系,r=eT=0(s平面虛軸)對應于r=1(z平面單位圓上)<0(s的左半平面)對應于r<1(z平面單位圓內)>0(s的右半平面)對應于r>1(z平面單位圓外)與的關系,=T=0(s平面的實軸)對應于=0(z平面的正實軸)=0對應于=0T(z平面的輻射線),:-/Tto/T,:-to從s平面到z平面的映射是多值映射NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2371Biomedicalsignalprocessings和z的關系r與的關系,r=eTNankaiUnivX(z)和X(s)的關系NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2372BiomedicalsignalprocessingX(z)和X(s)的關系NankaiUniversity,由模擬濾波器來設計IIR濾波器把s平面映射到z平面,H(s)-->H(z),實現(xiàn)這種映射的兩個基本條件,頻率軸對應,s平面的虛軸j映射到z平面的單位圓上,因果穩(wěn)定的H(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(z),s平面的左半平面(Re(s)<0)必須映射到z平面單位圓內(|z|<1)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2373Biomedicalsignalprocessing由模擬濾波器來設計IIR濾波器把s平面映射到z平面,H(s模擬filter-->數(shù)字filter的方法直接用H(s)和H(z)的轉換關系，因為無窮級數(shù)求和，不能實現(xiàn)，采用以下三種方法：沖激響應不變法：在AF到DF的變換中，使h(t)h(n)不變階躍響應不變法：在AF到DF的變換中，使其階躍響應不變雙線性變換法：在AF到DF的變換中，使其系統(tǒng)函數(shù)(頻響)不變NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2374Biomedicalsignalprocessing模擬filter-->數(shù)字filter的方法直接用H(s)和沖激響應不變法(Impulseinvariance)設計思想：使數(shù)字濾波器的單位沖激響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)將模擬濾波器的ha(t)加以等間隔抽樣,使h(n)=ha(nT)相應h(n)的z變換H(z)近似等于ha(nT)的Laplace變換Ha(s)。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2375Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法(Impulseinvariance)設計沖激響應不變法(2)Ha(s)-->h(t)-->h(n)-->H(z)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2376Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法(2)Ha(s)-->h(t)-->h(沖激響應不變法(3)x(t)y(t)R1/sCx(n)y(n)z-1e-TNankaiUniversity,CYLI,2022/12/2377Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法(3)x(t)y(t)R1/sCx(n)y(nMatlab命令由低通濾波器的四個參數(shù)，求出Butter濾波器的兩個參數(shù)：[n,Wn]=Buttord(wp,ws,Rp,Rs)求出H(s)的B和A,[b,a]=butter(n,Wn)通過沖激相應不變法，實現(xiàn)H(s)到H(z)的轉換：impinvar,[BZ,AZ]=IMPINVAR(B,A,Fs)歸一化Butter濾波器的設計，[z,p,k]=buttap(N)H(z)的零極點形式轉換成部分分式的形，[NUM,DEN]=ZP2TF(Z,P,K)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2378BiomedicalsignalprocessingMatlab命令由低通濾波器的四個參數(shù)，求出Butter濾波設計步驟把數(shù)字濾波器的性能轉化為相應的模擬濾波器的性能要求設計模擬濾波器,查表,或用解析的方法通過沖激響應不變法或雙線性法,把H(s)轉化為H(z)NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2379Biomedicalsignalprocessing設計步驟把數(shù)字濾波器的性能轉化為相應的模擬濾波器的性能要求N沖激響應不變法設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,1,2,的設計一個等價的模擬濾波器,然后把它映射成數(shù)字濾波器.NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2380Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,沖激響應不變法的缺點缺點:多值映射,產生頻率混疊失真，條件:限帶系統(tǒng),why?因為高通和帶阻濾波器不是限帶的,不能用此法實現(xiàn)H(s)-->H(z)的轉換,在實際中較少采用，多用Bilinear變換NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2381Biomedicalsignalprocessing沖激響應不變法的缺點缺點:多值映射,產生頻率混疊失真，N雙線性變換法(Bilineartransformation)從H(s)變換為H(z)的另一種變換方法，克服多值映射,實現(xiàn)s平面到z平面的一一對應關系,雙線性變換具有此功能,AF和DF在輸入、輸出上相似，使H(s)和H(z)的頻響近似。其思路：差分方程的解應是模擬方程的近似解。其實現(xiàn)：直接用差分代替微分，結果的誤差大；將微分方程做積分，再進行數(shù)值近似，得到差分方程。從微分方程－>H(s);差分方程-->H(z),二者比較后，得到s和z的對應關系。進一步要求s平面整個j軸映射到z平面單位圓一周,得到兩個頻率的關系，即雙線性。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2382Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(Bilineartransformation雙線性變換法原理為了克服沖激響應不變法多值映射產生的頻率混疊的現(xiàn)象，雙線性變換法的映射原理是：1）首先通過下面的變換公式把整個S平面壓縮到中介S1平面的一條橫帶里（寬度從-π/T到π/T），其中C為常數(shù)可根據(jù)設計要求選取；2）然后再通過將此橫帶變換到整個Z平面，這樣就使S平面和Z平面是一一對應的單值映射關系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。由于從S→Z和從Z→S的映射規(guī)則都是分式線性變換，因此稱其為雙線性變換。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2383Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法原理為了克服沖激響應不變法多值映射產生的頻率混疊雙線性變換法(2)-0采用二次映射，先將s平面壓縮到s1平面的一條橫帶中，再進一步映射到z平面上，建立s-z的一一對應關系。NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2384Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(2)-0采用二次映射，先將s平面壓縮到雙線性變換法(2)js平面z平面Im(z)Re(z)/T-/T3/T-3/T-11s平面j

和z平面的單位圓上的點一一對應，和ω一一對應NankaiUniversity,CYLI,2022/12/2385Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(2)js平面z平面Im(z)Re(z)/雙線性變換設計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,1,2,的設計一個等價的模擬濾波器,然后把它映射成數(shù)字濾波器,實際中系數(shù)2/T均被約掉,故可省去,或者設T=1,NankaiUniversity,CYLI,202