2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)專題《一元二次方程中的動(dòng)態(tài)幾何問題》含答案解析

專題一元二次方程優(yōu)選提升題：實(shí)際問題與一元二次方程題型：動(dòng)態(tài)幾何問題1．（2022·新疆·烏魯木齊市第70中九年級(jí)期末）如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AD以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，P從B點(diǎn)出發(fā)沿BA以2cm/s的速度向A運(yùn)動(dòng)，如果P、Q分別同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也同時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAQ為等腰三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APD的面積為6cm2？（3）五邊形PBCDQ的面積能否達(dá)到20cm2？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．（4）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為cm？【答案】（1）當(dāng)t＝2時(shí)，△PAQ為等腰三角形；（2）當(dāng)t＝時(shí)，△APD的面積為6cm2；（3）五邊形PBCDQ的面積不能達(dá)到20cm2；（4）t＝【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在矩形邊上的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間，分別確定AQ＝tcm，BP＝2tcm，得出cm，再根據(jù)為等腰三角形，，將相等的邊代入計(jì)算即可求出t值；（2）由（1）得：cm，cm，根據(jù)三角形面積公式及題目要求可得：，求解一元一次方程即可得出答案；（3）根據(jù)圖形可得：矩形ABCD的面積減去△PAQ的面積即為五邊形的面積，代入可得關(guān)于t的一個(gè)代數(shù)式，根據(jù)題意可得：，然后利用一元二次方程根的判別式即可確定方程是否有解，即面積能否達(dá)到20cm2；（4）利用勾股定理及根據(jù)題意可得：，然后求解，最后要考慮題意中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否都符合題意，不符合題意的舍去，即可得出t值．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，∵為等腰三角形，，∴，即，解得：，∴當(dāng)時(shí)，△PAQ為等腰三角形；（2）∵（cm2），∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，的面積為6cm2；（3）∵（cm2），∴整理得：，∵，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，∴五邊形PBCDQ的面積不能達(dá)到20cm2；（4）在Rt△APQ中，，根據(jù)題意得：，∴化簡后得：，解得：，，∵，，∴，∴（舍去），∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查點(diǎn)在矩形邊上的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到知識(shí)點(diǎn)包括等腰三角形性質(zhì)、一元二次方程的判別式及解法、勾股定理等，對知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量運(yùn)用、融會(huì)貫通是解題關(guān)鍵．2．（2022·河北保定·九年級(jí)期末）如圖，中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒（）．發(fā)現(xiàn)：（1）__________；（2）當(dāng)點(diǎn)，相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在哪條邊上？并求出此時(shí)的長．探究：（1）當(dāng)時(shí)，的面積為_________；（2）點(diǎn)，分別在，上時(shí)，的面積能否是面積的一半？若能，求出的值；若不能，請說明理由．拓展：當(dāng)時(shí)，直接寫出此時(shí)的值．【答案】發(fā)現(xiàn)（1）5；（2）相遇點(diǎn)在邊上，AP＝1；探究：（1）1；（2）不能，理由見解析；拓展：【分析】發(fā)現(xiàn)：（1）在中應(yīng)用勾股定理即可求解；（2）P和Q相遇時(shí)可得方程，求得t后，即可進(jìn)一步AP的長；探究：（1）求出當(dāng)時(shí)PC和CQ的長，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）用t列出的面積表達(dá)式，然后和面積的一半列出方程，進(jìn)行求解即可判斷；拓展：根據(jù)題意作出示意圖，然后根據(jù)平行線截線段成比例列出方程，解方程即可求出t的值．【詳解】發(fā)現(xiàn)：（1）在中，∴AB=5；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B需要：s點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)需要：s當(dāng)點(diǎn)相遇時(shí)，有．解得．∴相遇點(diǎn)在邊上，此時(shí)．探究：（1）當(dāng)時(shí)，PC=1，BQ=2，即CQ=2∴故答案為1；（2）不能理由：若的面積是面積的一半，即，化為．∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，即的面積不能是面積的一半．拓展：由題可知，點(diǎn)先到達(dá)邊，當(dāng)點(diǎn)還在邊上時(shí)，存在，如圖所示．這時(shí)，．∵，，∴．解得，即當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，一元一次方程中的動(dòng)點(diǎn)問題，平行線截線段成比例，一元二次方程的判別式，題目較難，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握不同模塊知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．3．（2022·貴州遵義·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，△CDP的面積最大，并求出最大面積；(3)如圖2，點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，MF//x軸交直線CD于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)M，使得△MEF≌△COD，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)P（,），最大面積為(3)M（2，8）或M（5，4）【分析】（1）將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，即可求解；（2）過點(diǎn)P作PG⊥x軸交直線CD于點(diǎn)G，設(shè)P（t，），則G（t，），由S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，即可求解；（3）由題意可得FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），再由F點(diǎn)在直線CD上，即可求m的值，進(jìn)而確定M點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)解：將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，∴，∴，∴(2)過點(diǎn)P作PG⊥x軸交直線CD于點(diǎn)G，設(shè)P（t，），則G（t，），，∴GP＝令y＝0，則x＝3，∴D（3，0），∵S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，，∴當(dāng)t＝時(shí)，S△CDP有最大值此時(shí)P（,）；(3)存在點(diǎn)M，使得△MEF≌△COD，理由如下：∵M(jìn)E⊥CD，∴∠MEF＝90°，∵M(jìn)F∥x軸，∴∠FME＝∠CDO，∵△MEF≌△COD，∴MF＝CD，∵OC＝4，OD＝3，∴CD＝5，∴FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），∵F點(diǎn)在直線CD上，∴＝∴m＝2或m＝5，∴M（2，8）或M（5，4）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·黑龍江大慶·九年級(jí)期末）如圖，在中，，、的長恰好為方程的兩根，且．（1）求的值．（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的路線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）．若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒個(gè)單位．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)的面積為，試求與之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出自變量的取值范圍和的范圍．【答案】（1）a=48；（2）S=，當(dāng)時(shí)，【分析】(1)由根與系數(shù)關(guān)系，得AC+BC=14，結(jié)合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC·BC=a，求a的值；(2)由勾股定理得AB=10，過點(diǎn)P作PH⊥BC，可得△BHP∽△BCA，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）、的長為方程的兩根，又，，，（2）作，垂足為，，．由得，，，即，解得，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理的運(yùn)用．解題關(guān)鍵是根據(jù)比例表示△PCQ的高，寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．5．（2022·吉林吉林·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，線段PQ掃過的面積．(1)AQ＝cm（用含t的代數(shù)式表示）；(2)求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)線段PQ掃過的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P和Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同都是t（s），是Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，根據(jù)速度城市間等于路程求出BQ，AQ就是AB與BQ的差；（2）線段PQ掃過的面積就等于四邊形PQBD的面積，也就是直角三角形ABD和直角三角形APQ面積之差，所以計(jì)算出兩個(gè)三角形的面積再相見便可得出答案；（3）先求出矩形ABCD面積，再根據(jù)“線段PQ掃過的面積為矩形ABCD面積的”建立方程求解即可．由于兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A就停止了，因此，求解后要進(jìn)行取舍．(1)，．(2)．(3)令，解得或者，∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)A的時(shí)間為∴，∴舍去，答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考察了幾何上的動(dòng)點(diǎn)問題、面積問題以及解二次方程，能理解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和正確的解二次方程并根據(jù)具體問題對解進(jìn)行取舍是做出本題的關(guān)鍵．6．（2022·湖南永州·九年級(jí)期末）如圖①，在Rt△ABC中，，，，點(diǎn)P由A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．(1)填空：在______秒時(shí)，△PCQ的面積為△ACB的面積的；(2)經(jīng)過幾秒，以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？(3)如圖②，D為AB上一點(diǎn)，且，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少時(shí)，？【答案】(1)；(2)經(jīng)過秒或秒，以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似；(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.2秒時(shí)，PQ⊥CD【分析】（1）分別表示出線段和線段的長后利用列出方程求解；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與相似，當(dāng)與相似時(shí)，可知或，則有或，分別代入可得到關(guān)于的方程，可求得的值．（3）由，△ACD是等腰三角形，構(gòu)造△ADE≌△ACE可知從而通過相似比求出t．（1）設(shè)經(jīng)過秒△PCQ的面積為△ACB的面積的，由題意得：PC＝，CQ＝則，解得：．故答案為：3．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s，以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)，則有，∴，解得，當(dāng)△QCP∽△ACB時(shí)，則有，∴，解得．因此，經(jīng)過秒或秒，以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．（3）如圖②，過點(diǎn)A作，連接DE．∵，∴△ACD是等腰三角形，∵，∴∠DAE＝∠CAE，∵AE＝AE∴△ADE≌△ACE∴DE＝CE，∠ADE＝∠ACE＝90°在Rt△ACB中，，，∴AB＝10cm∴DB＝4cm設(shè)CE＝，則DE＝，BE＝，在Rt△DEB中，∴解得＝3，即CE＝3∵，∴∴，即解得t＝1.2因此，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.2秒時(shí)，PQ⊥CD．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．7．（2022·河北承德·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向終點(diǎn)A以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C－B－A向終點(diǎn)A以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，Q追上P時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．解答下列問題：(1)當(dāng)______時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，當(dāng)______時(shí)點(diǎn)Q追上點(diǎn)P；(2)當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，求t為何值時(shí)PQ的長為cm；(3)作為P為圓心，PQ長為半徑作，是否存在這樣的t值，使正好與的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在直接寫出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)秒，4秒(2)2(3)存在，或【分析】對于（1），根據(jù)點(diǎn)Q的速度和BC即可求出時(shí)間，再表示出點(diǎn)P的速度，根據(jù)路程相等列出方程求出t即可；對于（2），分別表示出BQ，BP，根據(jù)勾股定理列出方程，求出解即可；對于（3），當(dāng)圓P與直線AD兩次相切時(shí)，列出方程，求出t的值，并判斷是否成立；當(dāng)圓P與BD相切時(shí)，根據(jù)銳角三角函數(shù)列出方程，求出t．（1）秒，4秒．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，（秒）；根據(jù)題意可知CQ=3t，BP=t，當(dāng)點(diǎn)Q在邊AB上追上點(diǎn)P時(shí)，得t+8=3t，解得t=4．故答案為：秒，4秒．（2）依題意BQ＝8-3t，在Rt△BPQ中，，即：，解得，．當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，∴．當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，t=2時(shí)，PQ的長為cm；（3）存在.或．當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，圓P與直線AD相切時(shí)，BQ=8-3t，BP=t，QP=AP=6-t，根據(jù)勾股定理，得，即，解得．∵，∴；當(dāng)點(diǎn)P，Q在AB上，圓P與直線AD相切時(shí)，，解得t=2．∵當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，∴不合題意舍去；當(dāng)點(diǎn)P，Q在AB上，圓P與直線BD相切時(shí)，可知PE⊥BD，于點(diǎn)E．則BP=t，BQ=3t-8，∴PQ=t-(3t-8)=8-2t，即PE=8-2t．又，即，解得．所以或．【點(diǎn)睛】這是一道動(dòng)點(diǎn)的綜合問題，考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)等．注意分情況討論．8．（2020·江西南昌·九年級(jí)期末）如圖，在長方形ABCD中，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿△ABC邊A→B→C→A的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）求AB與BC的長；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊BC上時(shí)，試求出使AP長為時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC上時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)AB＝3，BC＝4；(2)t＝4；(3)t為10秒或9.5秒或秒時(shí)，△CDP是等腰三角形．【分析】（1）解一元二次方程即可求得邊長；（2）結(jié)合圖形，利用勾股定理求解即可；（3）根據(jù)題意，分為：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三種情況分別可求解.【詳解】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，∴(x－3)(x－4)＝0，∴＝3或＝4，則AB＝3，BC＝4，(2)由題意得，∴，(舍去)，則t＝4時(shí)，AP＝．(3)存在點(diǎn)P，使△CDP是等腰三角形．①當(dāng)PC＝PD＝3時(shí)，t＝＝10(秒)．②當(dāng)PD＝PC(即P為對角線AC中點(diǎn))時(shí)，AB＝3，BC＝4．∴AC＝＝5，CP1＝AC＝2.5，

∴t＝＝9.5(秒)．③當(dāng)PD＝CD＝3時(shí)，作DQ⊥AC于Q，，，∴PC＝2PQ＝，

∴(秒)，可知當(dāng)t為10秒或9.5秒或秒時(shí)，△CDP是等腰三角形．9．（2020·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，在正方形中，，E為上一點(diǎn)，以為直角邊構(gòu)造等腰直角（點(diǎn)F在左側(cè)），交于點(diǎn)G，分別延長相交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，連結(jié)．（1）求證：．（2）當(dāng)時(shí)，求的值．（3）當(dāng)點(diǎn)H關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在的邊上時(shí)，求的度數(shù)．（4）若與的面積相等，求與面積的比值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或或；（4）．【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，然后分①當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在上時(shí)三種情況，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可得；（4）如圖（見解析），設(shè)，則，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得的值，再根據(jù)與的面積相等可得，由此利用三角形的面積公式可求出的值，然后利用三角形的面積公式分別求出與面積即可得出答案．【詳解】證明：（1）四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，且為直角邊，，，，在和中，，；（2），，，同理可得：，，，又，，，；（3）由（1）已證：，，，即，由（2）已證：，，又，，由題意，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在上時(shí)，由對稱性可知，，，，，在和中，，，，，，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在上時(shí)，由對稱性可知，，設(shè)，，，，由（3）①可知，，又，，解得，即；③如圖，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在上時(shí)，，，即，設(shè)，則，由對稱性可知，，又，，，，解得，即，綜上，的度數(shù)為或或；（4）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，在和中，，，，即，解得，，在和中，，，，即，解得，，在和中，，，與面積相等，與的面積相等，，即，，即，，整理得：，解得或（舍去）或（舍去）或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，，，則與面積的比值．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（4），正確找出相似三角形是解題關(guān)鍵．10．（2022·福建泉州·九年級(jí)期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于B點(diǎn)、A點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊向終點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，①P點(diǎn)的坐標(biāo)__________；（用b來表示）②當(dāng)為直角三角形時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為8平方厘米時(shí)，求b與t的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為或或；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，與的關(guān)系式為或．【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的與運(yùn)動(dòng)可分別求出和的長，過點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)，則，根據(jù)比例可求出和的長，進(jìn)而可得到的長，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可表示出、，然后分和是直角兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可；（2）過點(diǎn)作于，利用的正弦求出，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可．(1)①直線與軸，軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，，，，，，當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知，，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，即，，，，；故答案為：；②由上可知，，，若是直角三角形，則有下面兩種情況：當(dāng)是直角時(shí)，，若點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)，則，即，解得；若點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則，即，解得；②當(dāng)是直角時(shí)，，，即，解得，綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為或或；(2)如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，①當(dāng)點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)時(shí)，的面積，整理得：，②當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，的面積，整理得，，綜上可知，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，與的關(guān)系式為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積以及一元二次方程的應(yīng)用能力，根據(jù)對應(yīng)邊成比例兩相似三角形的判定分類討論是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東青島·九年級(jí)期末）已知：如圖，菱形ABCD中，cm，cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s．過點(diǎn)P做，過點(diǎn)B做，垂足為M，連接QP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．解答下列問題：(1)菱形ABCD的高為______cm，的值為______；(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形MPQB為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形MPQB的面積是菱形ABCD面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(4)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在的角平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)cm，(2)存在，當(dāng)時(shí)，四邊形MPQB為平行四邊形，理由見詳解；(3)存在，當(dāng)時(shí)，四邊形MPQB的面積是菱形ABCD面積的，理由見詳解；(4)不存在，理由見詳解【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，在Rt和Rt中，根據(jù)勾股定理找等量關(guān)系．求出AE的長，進(jìn)而得出cos∠ABC．（2）若要四邊形MPQB為平行四邊形，則PM=BQ，因?yàn)镻MBC，BM⊥PM，所以∠MPB=∠ABC，所以cos∠MPB=cos∠ABC=，用含有t的代數(shù)式表示PM和BQ，聯(lián)立解出t即可．（3）因?yàn)镾菱形ABCD=5×=24，所以S四邊形MPQB=，根據(jù)sin∠ABC=sin∠MPB，算出BM=t，因?yàn)镻MBC，所以四邊形MPQB是梯形，根據(jù)梯形面積公式得到關(guān)于t的一元二次方程，求這個(gè)方程即可．（4）若存在，則由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得PM=PQ，即PM2=PQ2，利用勾股定理分別用含有t的代數(shù)式表